CC BY
17
_ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ_
УДК 519.816
И.И. Коваленко, А.В. Швед, Е.С. Пугаченко ЭКСПЕРТНОЕ РАНЖИРОВАНИЕ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ И ТЕОРИИ СВИДЕТЕЛЬСТВ
Введение. Одним из ключевых факторов эффективности организационной структуры (системы) является оптимальность иерархии управления. Выбор оптимальной иерархии проводится в соответствии с некоторыми критериями, важнейшими из которых являются: Q - норма управляемости, и Q2 - затраты на содержание структуры. Первый критерий характеризует распределение обязанностей и подчиненность между исполнителями структуры, квалификацию менеджеров и др. Второй - несет в себе информацию о затратах на оплату труда, аренду зданий и помещений, коммунальных услуг и др. Норма управляемости r характеризует максимальное количество непосредственных подчиненных, которыми управляет один менеджер в пределах 1<r<n (n - число элементов структуры) [2]. Таким крайним значениям r соответствуют графы типа «цепочка» и «веер» (рис. 1а, в).
Для поиска оптимальных иерархических структур по двум указанным критериям необходимо последовательно сформировать некоторое множество промежуточных структур, лежащих в интервале между крайними значениями нормы управляемости и решить задачу двухкритериального их ранжирования. C этой целью могут быть использованы возможности теории графодинамических систем [1, 3], в основе которой лежит комплекс операций, позволяющих получать последовательность, сменяющих один другого, иерархических графов с различными показателями Q1 и Q2 (рис. 1).
Рис. 1. Графическое представление графодинамического моделирования норм управляемости
иерархическими структурами: а) граф-цепочка (г=тщ); б) промежуточные иерархии; в) граф-веер (г=тах)
При этом число сгенерированных таким образом структур т может быть достаточно большим, например т>10, что может создать сложности при их ранжировании с использованием классического метода анализа иерархий (МАИ) [4]. Это связано с необходимостью построения большого числа матриц попарных сравнений на согласованность локальных приоритетов, которая при большем числе сравниваемых элементов, как правило, не выполняется. В данной ситуации для решения задачи ранжирования альтернативных иерархических структур целесообразно использовать подход, объединяющий в себе возможности МАИ и теории свидетельств Демпстера-Шейфера (ТДШ) [4, 5, 6].
Постановка задачи. Целью работы является рассмотрение подхода к ранжированию множества альтернативных иерархических структур, характеризующихся различными значениями критериев Q и Q2 с использованием метода МАИ/ТДШ
Изложение основного материала. В данном подходе, вместо сравнения отдельных альтернатив между собой, эксперту или лицу, принимающему решение (ЛПР), предлагается по каждому из критериев выделить из исходного множества всех альтернатив ряд подмножеств, а затем определить степени их предпочтения по отношению ко всем оставшимся альтернативам, что эквивалентно заданию парного сравнения таких подгрупп и всего множества альтернатив.
Далее обработка результатов экспертного опроса и вычисление весов альтернатив осуществляется с использованием ТДШ При этом в соответствии с правилом комбинирования свидетельств Демпстера
вычисляются комбинированные базовые вероятности и определяются функции доверия и правдоподобия для всех подгрупп альтернатив, включая подмножества, состоящие из одной альтернативы. На основании значений этих функций принимается решение о выборе той или иной альтернативы.
Рассмотрим пример применения описанного подхода, сопровождая его числовыми значениями. Пусть на множестве альтернатив А={а1,а2,а3,а4,а5,а6} по каждому из критериев сформированы следующие подмножества:
(1)
0 :{а^,{аз,а4},{а2,а5,а6}.
02 :{а2},{а,аз},{а4,а5,аб}.
Предварительно, как делается в МАИ, определяются веса ю критериев Q1 и Q2 посредством их парного сравнения. Положим, что т{Q1)=0.6 и m(Q2)=0.4. Далее оцениваются степени предпочтения выбранных подмножеств (1) с использованием шкалы, имеющей шесть значений от 1 до 6 (1 - означает эквивалентность альтернатив или невозможность их сравнения, а значение 6 означает абсолютную степень превосходства).
Результаты такого оценивания по критериям 0 и 02 представлены в таблицах 1 и 2.
Таблица 1
Результаты сравнения альтернатив по критерию 0
ю^=0,6 {а,} {а3 ,а4} {а2 ,а5 ,аб} {а1, а2, а3 ,а4 ,а5 ,а6}
{а} 1 0 0 2 ■ (0.6)
{а3 ,а4} 0 1 0 4 ■ (0.6)
{а2 ,а 5 а} 0 0 1 6 ■ (0.6)
{а1,а2 ,а3 ,а4 ,а5 ,а6} 1/(2-0.6) 1/(4-0.6) 1/(6-0.6) 1
Таблица 2
Результаты сравнения альтернатив по критерию Q
т®2)=0,4 {а2} {а1 ,а3} {а4 ,а5,а6} {а1 ,а2 ,а3 ,а4 ,а5 ,а6}
{а2} 1 0 0 3 ■ (0.4)
{а1 ,а3} 0 1 0 4 ■ (0.4)
{а4 ,а5,а6} 0 0 1 5 ■ (0.4)
{а1 ,а2 ,а3 ,а4 ,а5 ,а6} 1/(3-0.4) 1/(4-0.4) 1/(5-0.4) 1
Таблица 3
Результаты сравнения альтернатив по критериям 0 и 0
в2 в,
{а1} {а3 ,а4} {а2 ,а5 ,а6} {а1 ,а2 ,а3 ,а4 ,а5 ,а6}
{а2} 0 0 {а2} {а2}
{а1 ,а3} {а1} {а3} 0 {а1 ,а3}
{а4 ,а5,а6} 0 {а4} {а5 ,а6} {а4 ,а5 ,а6}
{а1 ,а2 ,а3 ,а4 ,а5 ,а6} {а1} {а3 ,а4} {а2 ,а5 ,а6} {а1 ,а2 ,а3 ,а4 ,а5 ,а6}
Далее выполняются преобразования значений предпочтений полученных матриц посредством умножения и деления их значений, исходя из следующего правила: каждое значение предпочтения ху, назначенное по указанной шкале, т.е. х е[1, 6] и находящееся на пересечении /-ой строки иу-го столбца равно тх., если х. >1 и 1/{тх. ), если х. <1.
Г !]■> у 1 ,]" у
Посчитаем веса подмножеств альтернатив (1) по критериям 0 и 02 в виде собственных значений. Нулевые элементы парных сравнений в вычислениях не используются. Веса альтернатив по критерию 0 :
Веса выделенных подмножеств исходного множества альтернатив А, по каждому из критериев, вычисляются следующим образом:
(А) = -
Е Ьг +^
(А) = ^
4с1
Е Ьг
(2)
к
г=1
г=1
где Ак с А - выделенная к-тая группа альтернатив поу-му критерию; d - общее число выделенных групп альтернатив поу-му критерию. Коэффициент Ь определяется из выражения
ьк = хк , (3)
где хк - степень предпочтения выделенной к-той группы альтернатив по у'-му критерию; а у - вес (приоритет) у-го критерия, у = 1,2 .
Рассчитаем веса выделенных подмножеств альтернатив: - по критерию Q1:
* 2 • 0.6
а ({«:}) =-Г = 0.134;
1 1 7.2 + У3
* 6 • 0.6
а1 ({а2, а5, а6 }) =-= = 0.403 •
7.2 + л/ 3
* 4 • 0.6
а1 ({а3, а4}) =--¡= = 0.269 ;
7.2 + Я 3
* Тз
а1 ({а,,а2,а3,а4,а5,а6}) =--¡= = 0.194
7.2 + л/ 3
^ а,* (4) + а,* (А) = 0.134 + 0.269 + 0.403 + 0.194 = 1.
г=1
- по критерию Qr
* 4 • 0.4
а2 ({а,, а3}) =--¡= = 0.245 -
4.8 + л/ 3
* 3 • 0 4
а* ({а2}) =-'-= = 0.184 ;
2 * 4.8 + 43
* 5 • 0.4
а2 ({а4, а5, а6 }) =-= = 0.306 ;
4.8 + л/ 3
* 43
а2 ({а,, а2, а3, а4, а5, а6 }) =--¡= = 0.265
4.8 + л/ 3
3
^ а** (4) + а* (А) = 0.184 + 0.245 + 0.306 + 0.265 = 1.
г=1
Коэффициент конфликтности:
&12 = а* ({а }) •а** ({а2 }) + а1* ({а3, а4 }) - а* ({а2 }) + а* ({а2, а5, а6 }) - а* ({а, а3}) +
+а1* ({а1}) •а** ({а4, а5, а6 }) = 0.134 • 0.184 + 0.269 • 0.184 + 0.403 • 0.245 + 0.134 • 0.306 = 0.214.
Рассчитаем комбинированные массы вероятности выделенных подмножеств альтернатив по критериям Q1 и Q2 на основе правила Демпстера [5]:
п п ({а1})•а**({а1,а2}) + а1*({а1})•а*({А}) 0.068
т12 ({а1})=--л—-= 0.08/;
1 - к12 0.786
т ({а }) = а ({а2,а5,а6})• а2*({а2}) + а*х ({А})•а**({а2}) = 0.11 = 014 ; т12 2}) 1 - к12 0.786 . ;
т12({а3}) = а ({а3,а4}) •а**({а1,а3}) = ^ = 0.084 ; 12 3 1 - к12 0.786
т12({а4}) = а ({а3,а4})•а**({а4,а5,а6}) = ^ = 0^ 12 4 1 - к12 0.786
„ а; ({А}) •а** ({д, а3}) 0.048
т12 ({аl, а3})=--=^7 = а061;
1 - к12 0.786
т12 ({а4, а5, а6 }) = а1({А}) а* ({а4, а5, а6}) = 0,059 = 0.075
1 - к12 0.786
,^ ..¿(^^^(А») = Щ = а09;
1 - k12 0.786
m12 ({02, а5, a6 }) = . ({a2, ^ff . ({А}) = ^ = 0.136;
1 - k12 0.786
({05 , }) = ({а2 , а5 , а6})({а4, а5 , а6}) = = 0.157;
12 1 - k12 0.786
¿1 ({А}) . ({А}) 0.052
m12 ({А}) = —---=-= 0.066 ;
12Vl " 1 - k12 0.786
9
Е «12 (4 ) + «12 (А) = 1.
i=1
По комбинированным массам вероятностей m12 (Ai ) вычислим значения функции доверия Bel({Ai}) и правдоподобия Pl({Ai}) [5] для каждой исходной альтернативы:
Bel ({о1}) = m12 ({о1}) =0.087;
Pl ({а1}) = m12 ({о1}) + m12 ({о1, а3}) + m12 (А) =0.087+0.066=0.214; Bel ({а2 }) = m12 ({а2 }) =0.14;
Pl ({а2 }) = m12 ({а2 }) + m12 ({а2, а5, а6 }) + m12 (А) =0.14+0.136+0.066=0.342; Bel ({а3}) = m12 ({а3}) =0.084;
Pl ({а3}) = m12({o3}) + m12 ({о1, а3}) + m12 ({а3, а4 }) + m12 (А) =0.084+0.087+0.09+0.066=0.301; Bel ({а4 }) = m12 ({а4}) =0.104;
Pl ({а4 }) = m12({o4 }) + m12 ({а4, а5, а6 }) + m12 ({а3, а4}) + m12 (А) =0.104+0.075+0.09+0.066=0.335; Bel ({а5}) = 0;
Pl ({а5}) = m12 ({а2, а5, а6 }) + m12 ({а4, а5, а6 }) + m12 ({а5, а6 }) + m12 (А) =0.136+0.075+0.157+0.066=0.434; Bel ({а6}) = 0;
Pl ({о6 }) = m12 ({а2, а5, а6 }) + m12 ({а4, а5, а6 }) + m12 ({а5, а6 }) + m12 (А) =0.434.
Для определения степени превосходства исходных альтернатив введем коэффициент пессимизма Y е [0,1] и рассчитаем результирующие значения:
У{а1}) = y Bel ({а1}) + (1 - y)PI ({а1}) = 0.1378 ; Y {а, }) = Y Bel ({а2 }) + (1 - Y)Pl ({а2 }) = 0.2208 ; 7{а3}) = YBe^^ }) + (1 - y)PI ({а3}) = 0.1708; 7{а4 }) = YBel({а4 }) + (1 - y)PI({а4}) = 0.1964 ; Г{а5}) = 7{а6 }) = YBel (^}) + (1 - y)PI ({а5}) = 0.1736.
Из полученных результатов видно, что наибольшее значение функций Bel и Pl имеет вторая альтернатива, следовательно, она является оптимальной (наиболее приемлемой) по выбранным критериям
Qt и Q3 .
При этом, итоговая ранжировка альтернативных иерархических структур имеет вид:
а2 У а4 У {а5 ~ а6 } У а3 У а1 (4)
Выводы. Основным достоинством рассмотренного подхода по сравнению с классическими МАИ является то, что в нем отсутствует несогласованность матриц попарных сравнений групп альтернатив. Это связано с тем, что выбранные экспертом или ЛПР группы альтернатив, соответствующие одному критерию, не пересекаются.
Метод МАИ/ТДШ целесообразно применять, когда отсутствует информация о предпочтительности каждой отдельной альтернативы по тому или иному критерию. Вместе с тем, данный метод требует более тщательного подхода к подбору экспертов, которые должны быть высокопрофессиональными специалистами в конкретных предметных областях, и обладать способностями выделять и оценивать только те группы альтернатив, по которым они могут определить предпочтения по отношению к другим альтернативам.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Айзерман М.А. Динамический подход к анализу структур, описываемых графами (Основы графодинамики)//Автоматика и телемеханика, 1977. - .№7. - С.135-151; 1977. - .№9. - С.123-136.
2. Бурков В.Н. Введение в теорию управления организационными системами/ В.Н. Бурков, Н.А.
Коргин, Д.А. Новиков. - М.:ЛИБРОКОМ, 2009. - 264 с.
3. Коваленко И.И. Графодинамическое моделирование структур организационных систем: Препринт // И.И. Коваленко, М.В. Донченко, А.В. Швед, И.А. Кобылинский. — Николаев: Илион, 2012. — 59 с.
4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: «Радио и связь», 1993. - 278 с.
5. Beynon M.J. The Dempster-Shafer Theory of evidence: an alternative approach to milticriteria decision modeling/ M.J. Beynon, B. Curry, P. Morgan // Omega, 2000. - vol.28, №1. - pp.37-50.
6. Shafer G.A. A mathematical theory of evidence /G. Shafer. - Princeton: Princeton University Press, 1976. - 297 p.
КОВАЛЕНКО Игорь Иванович - д.т.н., профессор кафедры программного обеспечения автоматизированных систем Национального университета кораблестроения им. Макарова, г. Николаев
Научные интересы: методы анализа данных, прикладной системный анализ, теория оптимальных решений, системы поддержки принятия решений.
ШВЕД Алена Владимировна - аспирантка кафедры интеллектуальных информационных систем Черноморского государственного университета имени Петра Могилы, г. Николаев.
Научные интересы: методы анализа данных, математическое моделирование, информационные технологии, системы поддержки принятия решений.
ПУГАЧЕНКО Екатерина Сергеевна - аспирантка, старший лаборант кафедры программного обеспечения автоматизированных систем Национального университета кораблестроения им. Макарова, г. Николаев.
Научные интересы: управление проектами, моделирование организационных структур.
