Застосування методів комбінування даних при класифікуванні супутникових зображень Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 528.06 С.1. АЛЬПЕРТ*

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОД1В КОМБ1НУВАННЯ ДАНИХ ПРИ КЛАСИФ1КУВАНН1 СУПУТНИКОВИХ ЗОБРАЖЕНЬ

Науковий Центр аерокосмiчних дослщжень Землi 1ГН НАН Украши, м. Ки!в, Украша

Анотаця. Розв 'язання р!зномамтних наукових задач \з використанням ггперспектральних космгч-них зображень, як правило, включае процедуру класифтування. Дана процедура е одмею з найбыьш важливих процедур у дистанцтному зондуванм. При цьому найбыьш точн результати на-дають методи контрольованого класиф1кування. Важлива тформащя отримуеться з р1зних спе-ктральних канал1в. Процес розв 'язку р^зномаштних наукових, еколог1чних та практичних задач 7з використанням г1перспектральних косм1чних зображень завжди мостить процедуру класифту-вання. В датй статт1 були розглянут1 методи класифтування зображень. Дат методи засновам на теорп св1дчень 7 можуть бути застосован до г1перспектральних та багатоспектральних зображень. Було зазначено, що комбтування конфлттних частин св1дчення е одшею з найбыьш складних задач. Були розглянут1 таю правила комбтування: правило Ягера, правило 1нагаю та правило комб1нування Жанга. Було показано, що дан правила комб1нування можуть працювати з неточною, неповною та невизначеною 1нформац1ею. Правило Ягера надае маси перетитв конфл¡-ктних множин, що в перетинг дають пусту множину, базов1й множим. Ненульова маса пустог множини в основному розподыяеться серед елемент1в фрейму розр1знення. Але взаемозв 'язок м1ж св1дченнями не враховуеться. Правило комб1нування Жанга враховуе перетин множин. Дане правило надае м1ру перетину множин. Дана м1ра визначаеться як в1дношення потужност1 перетину двох множин до добутку потужностей даних множин. Правило комб1нування 1нагам також дае спец^альну формулу для обчислення базових мас. Було зазначено, що правило 1нагам е узанальнен-ням правила Демпстера та правила Ягера. В дант робот1 були проанал1зован1 основн переваги даних метод1в. Також були розглянут1 приклади застосування даних правил комб1нування та тд-рахунку базових мас. Правило комб1нування Ягера, правило 1нагам та правило комб1нування Жанга можуть бути застосован при класифтуванн г1перспектральних косм1чних зображень та при виршенн! тематичних завдань.

Ключовi слова: класифтування зображень, гтерспектральне косм1чне зображення, правило комбтування Ягера, правило 1нагаю, правило комб1нування Жанга.

Аннотация. Решение различных научных задач с использованием гиперспектральных космических изображений, как правило, включает процедуру классификации. Данная процедура является одной из наиболее важных процедур в дистанционном зондировании. При этом наиболее точные результаты дают методы контролированной классификации. Важная информация поступает из разных спектральных каналов. Процес решения различных научных, экологических и практических задач с использованием гиперспектральных космических изображений всегда включает процедуру классификации. В данной статье были рассмотрены методы классификации изображений. Данные методы основаны на теории свидетельств и могут применяться к гиперспектральным и многоспектральным изображениям. Также комбинирование конфликтных частей свидетельства является одной из наиболее сложных задач. Были рассмотрены такие правила комбинирования: правило Ягера, правило Инагаки и правило комбинирования Жанга. Было показано, что данные правила комбинирования работают с неточной, неполной и неопределенной информацией. Правило Ягера присваивает массы пересечений конфликтных множеств, что в пересечении дают пустое множество, базовому множеству. Ненулевая масса пустого множества в основном распределяется среди элементов фрейма различия. Но взаимосвязь между свидетельствами не учитывается. Правило комбинирования Жанга учитывает пересечение множеств. Данное правило определяет меру пересечения множеств. Данная мера определяется как отношение мощности пересечения двух множеств к произведению мощностей данных множеств. Правило комбинирования Ина-гаки дает специальную формулу для вычисления базовых масс. Было отмечено, что правило Ина-гаки является обобщением правила Демпстера и правила Ягера. В работе были проанализированы

© Альперт С.1., 2019

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2019, № 2

основные преимущества данных методов. Были рассмотрены примеры использования данных правил комбинирования и подсчета базовых масс. Правило комбинирования Ягера, правило Инагаки и правило комбинирования Жанга могут применяться при классификации гиперспектральных космических изображений и при решении тематических заданий.

Ключевые слова: классификация изображений, гиперспектральное космическое изображение, правило комбинирования Ягера, правило Инагаки, правило комбинирования Жанга.

Abstract. Solution of different scientific problems using hyperspectral satellite images, generally includes a classification procedure. It is one of the most important procedures used in remote probing. The most accurate results can be provided with the help of controlled classification methods. Important information is obtained from different spectral channels. The process of solution of different scientific, ecological and practical problems using hyperspectral satellite images always includes a procedure of image classification. Image classification methods were considered in the paper. These methods are based on the theory of evidence and they can be applied to hyperspectral and multispectral satellite images. It was noted, that combination of conflicting evidence bodies is one of the most difficult problems.The following combination rules were taken into consideration: Yager's rule, Inagaki's rule and Zhang's combination rule. It was shown, that these combination rules can deal with imprecise, incomplete and vague information. The Yager 's rule assigns the masses of intersections of conflicting sets, which create an empty set in the intersection, to the base set. Non-null mass of the empty set is generally distributed among the elements of the frame of discernment. But a correlation among evidences is not taken into account. Zhang's combination rule considers intersection of sets and gives it a certain measure. This measure is defined as the ratio of the power of the intersection of two sets to the product ofpower of these sets. Inagaki's combination rule also provides a special formula for basic masses calculation. It was stated, that Inagaki's rule subsumes both Dempster's rule and Yager's rule. Main advantages of these methods were analyzed in the work. Some usage examples of the given combination rules and basic masses calculation rules are also considered in the work. Yager's combination rule, Inagaki's rule and Zhang's combination rule can be applied in hyperspectral satellite images classification and in the solution of thematic tasks.

Keywords: image classification, hyperspectral satellite image, Yager's combination rule, Inagaki's rule, Zhang's combination rule.

1. Вступ

Процес розв'язку актуальних наукових та практичних задач i3 використанням гшерспект-ральних космiчних зображень, як правило, включае в себе досить багато лопко-обчислювальних процедур, найголовшшою з яких е процедура класифшування. Часто вхь дна шформащя, яка необхщна для проведення класифшування, е неповною, неточною, су-перечливою i надходить вщ рiзних джерел (спектральних каналiв). Тому актуальною задачею залишаеться розробка ефективних методiв комбшування даних, отриманих вщ рiзних експертсв та джерел [1-3].

Мета дано'1 статп полягае в аналiзi та порiвняннi таких правил комбшування даних, як правило комбшування Ягера, правило Жанга та правило комбшування 1нагаю, яке, у свою чергу, е узагальненням правила комбшування Ягера та правила комбшування Демпс-тера. Також у статп будуть детально описаш числовi приклади застосування даних правил комбшування.

У робот буде показано, що правило Ягера може працювати за наявносп суперечли-вих джерел шформаци та досить великого значення коефщента конфлштносп.

Також буде наголошено на тому, що правило Жанга, на вщмшу вщ шших правил комбшування, враховуе мiру перетину множин, що, у свою чергу, дае бшьш точш результата при розв'язанш задач класифшування.

Слщ зауважити, що запропоноваш методи можуть бути використаш при розв'язанш рiзноманiтних природно-ресурсних, сшьськогосподарських та тематичних задач.

2. Ochobhí положення

Теорiя свiдчень е узагальненням теорп ймовiрностей. У теорп свiдчень основним поняттям е поняття "маси", яке е узагальненням класичного поняття ймовiрностi. "Маса" може ефе-ктивно описати незнания та вщокремити поняття вiдсутностi довiри вiд недовiри, тобто "маса" е мiрою довiри до пов'язано'' з нею гшотези [4-5].

Сукупнiсть вихiдних гiпотез вщносно стану об'екта та всi можливi 'х сполучення утворюють множину в, яка називаеться "основою аналiзу" (frame of discernment).

Якщо число базових гiпотез рiвно Q, то загальна кшькють пiдмножин у в складае

величину 2q (сюди входять пуста множина 0 i сама множина в).

Нехай A - обмежена множина, а A (i = 1,2,...) - його тдмножини, тодi базова

маса (базова ймовiрнiсть) визначаеться через функцiю m :

m(0) = 0,

X ш(Д.) = 1, (i = 0,1,2,...). ( )

Ai- с Ao

Слiд зауважити, що будь-яка пiдмножина A , для яко'' m(A) > 0, називаеться фока-льним елементом (focal set).

3. Правило комбшування Ягера

Розглянемо правило комбiнування Ягера, яке так само, як i правило Демпстера, припускае, що ш(0) = 0, але, на вщмшу вщ правила комбiнування Демпстера, не вщносить комбшо-ванi базовi маси пустих перетинiв фокальних елеменпв до пусто'' множини i не проводить процедуру 'х нормалiзацii, а використовуе ступеш незнання [6-12]. Базова маса за правилом Ягера визначаеться таким чином:

m(A) = Е П m¡ (B), A *0, в, (2)

B = A 1<i <n

де в - основа аналiзу (базова множина, фрейм розрiзнення), сукупнiсть вихiдних гшотез вiдносно стану об'екта та вс можливi 'х сполучення.

m(O) = Е П m> B) + K, (3)

B ^B2 r\...r^Bn =в 1<i <n

де

K = Е П m>(B). (4)

B t^B2 ^...<^Bn =01<i< n

Основна iдея правила комбiнування Ягера полягае у наданнi маси перетинiв конф-лiктних множин, що в перетиш дають пусту множину базовiй множиш. Тобто ненульова маса пусто! множини в основному розподшяеться серед елеменпв базово'1 множини. K означае масу, яка надаеться базовш множинi тсля процедури комбiнування. При цьому правило Ягера використовуе шформащю про конфлшт та незнання тiльки при обчисленш базових мас множини. Також слщ зазначити, що при комбiнуваннi неконфлштних свщ-чень, коли К = 0, правило Ягера буде ствпадати з правилом Демпстера.

Правило Ягера може працювати з суперечливими джерелами шформацп, але воно мае певний недолш дане правило не враховуе корелящю мiж рiзними джерелами шформацп (спектральними каналами) [13-14].

Приклад

Розглянемо на прикладi застосування методу комбшування Ягера. Нехай маемо два джерела свщчень, тобто два спектральних канали та три гшотези в = {В, ¥,Ж}.

Гiпотеза В означае, що полiгон належить до класу "Забудови".

Гiпотеза ¥ означае, що пол^он належить до класу "Лю".

Гiпотеза Ж означае, що пол^он належить до класу "Вода".

У даному прикладi основа аналiзу (фрейм розрiзнення) включае в себе три елементи в = {В, ¥ ,Ж}. На основi першого джерела свщчень призначеш такi базовi маси пщмно-жинам в :

ш1({В}) = 0,6; щ({Ж}) = 0,2; щ ({В, ¥}) = 0,2.

На основi другого джерела свiдчень призначенi таю базовi маси пiдмножинам в : щ ({Ж}) = 0, 1; щ ({В, ¥}) = 0,5; щ ({В, Ж}) = 0,4.

Тепер всi можливi перетини даних фокальних елементсв, отриманих iз двох незале-жних джерел, вiдобразимо у виглядi табл. 1.

Таблиця 1 - Комбшування за правилом Я гера

Базовi маси щ та щ щ ({В}) 0,6 щ ({Ж }) 0,2 щ ({В, ¥}) 0,2

т2 ({Ж}) 0, 1 0 0,06 {Ж } 0,02 0 0,02

щ2 ({В, ¥}) 0,5 {В} 0,3 0 0,1 {В, ¥} 0,1

щ2 ({В, Ж}) 0,4 {В} 0,24 {Ж } 0,08 {В} 0,08

Тепер за правилом Ягера розрахуемо комбшоваш значення мас для перетишв фокальних елемешив основи аналiзу в :

щ({В}) = 0,6 • 0,5 + 0,6 • 0,4 + 0,2 • 0,4 = 0,62 - базова ймовiрнiсть того, що полiгон належить класу "Забудови";

щ({Ж}) = 0,2 • 0, 1 + 0,2 • 0,4 = 0, 1 - базова ймовiрнiсть того, що пол^он належить класу "Вода";

т({В, ¥}) = 0,2 • 0,5 = 0,1 - базова ймовiрнiсть того, що пол^он належить до класу "Забудови" або до класу "Лс";

т ({0}) = 0,6 • 0,1 + 0,2 • 0,5 + 0,2 • 0,1 = 0,18.

Звщси, застосовуючи правило Ягера, ми отримуемо результат, де найбiльш вiрогiд-ним е те, що пол^он належить класу "Забудови", оскiльки базова ймовiрнiсть приналеж-ностi саме до цього класу е максимальною.

4. Правило комбшування Жанга

Правило комбшування Жанга враховуе стутнь перетину пщмножин, яю визначенi на ос-новi рiзних груп свiдчень i дае ощнку ступеня !х перетину [15-17]:

И _|Х пХ2|

•( Х„ X2 ) =

|Х,||Х2| |Х,||Х2| '

(5)

де X п Х2 = X, |Х| - потужшсть фокального елемента X.

Значення комбшовано! базово! маси результуючо! пiдмножини визначасться таким

чином:

т(Х) = к ■ ^ [ г (X, Х2) т1(Х1)т2(Х2}] = к • £

IX

И!X2l

т1( X1)m2( X2)

(6)

де к - константа нормалiзащi.

Слiд зазначити, що iснують iншi способи обчислення значення ступеня перетину пiдмножин, наприклад:

г (X X )=X'п X^

г (^X2 )=х!^ ■

(7)

Зауважимо, що у випадку, коли XI = 1X^X2|, правило комбiнування Жанга вщповь

дае правилу комбiнування Демпстера. Приклад

Нехай основа аналiзу включае в себе п'ять елементсв в = (Е, В, О, О, Е}.

Гiпотеза Е означае, що пол^он належить до класу "Поля".

Ппотеза В означае, що пол^он належить до класу "Забудови".

Гiпотеза О означае, що пол^он належить до класу "Зеленi насадження".

Гiпотеза О означае, що пол^он належить до класу "Листяний лю".

Гiпотеза Е означае, що пол^он належить до класу "Хвойний лю".

Тодi на основi першого джерела свщчень наданi такi базовi маси пщмножинам в :

т ((Е}) = 0,1; щ({О,О}) = 0,25; щ({О}) = 0,25; щ({Е,В}) = 0,4.

На основi другого джерела свщчень надаш такi базовi маси пщмножинам в : щ({О,О}) = 0,2; щ({Е,В}) = 0,3; щ({В,О}) = 0,1; щ({Е,О}) = 0,1; щ({Е,Е}) = 0,3.

Тодi всi можливi перетини фокальних елементiв iз двох незалежних джерел вщо-бразимо у виглядi табл. 2.

Таблиця 2 - Дат, отримат з двох джерел, та перетини

Базовi маси щ та щ щ({Е }) щ({Е, В}) щ({О}) щ({О, О})

щ^р, В}) {Е} {Е, В} 0 0

щ2{{¥, О}) {Е} {Е} {О} {О}

щ2({Г, Е}) {Е} {Е} 0 0

щШ О}) 0 {В} 0 {О}

щ2({О, О}) 0 0 {О} {О, О}

Розраховуемо комбiнованi значення базових мас для перетишв фокальних елементiв основи аналiзу в за правилом комбiнування Жанга.

Спочатку ощнимо потужностi (кiлькостi елемешив) вихiдних пiдмножин:

1 ^ 2

Г 2

1

\{B, D}\ = 2;

N=!;

|{G, D}| = 2.

{F}| =! |{F, B}\ = 2; |{F, G}| = 2; |{F, E}\ = 2;

Тепер розраховyeмо потyжноcтi вciх непycтих перетишв фокальних пiдмножин:

\{F}| = !; \{F, B} = 2; |{G}| = ! |{D}| = !

IB = !

|{G, D}| = 2.

Знаходимо значення cтyпенiв перетинy вiдповiдних пiдмножин:

I {F }^{F, B}| ! !

'({F} ,{F, B}) = J

|{F }||{F, B}| !• 2 2:

r ({F, B}, {F, B}) = ^ = !;

r ({F} ,{F, E})=^=2; r ({F,B}, {F,G}) = 2L = 4; r ({F,B}, {B,D}) = 2L = 4;

r ({G} ,{G, D})=^4

r ({G, D} ,{B, D}) = = -4;

r ({F} ,{F, G})=¿=2

r ({F, B} ,{F, E}) = = 4;

r ({G} ,{F, G})=^=2;

r (G D} ,{F, G}) = = 4; r ({G, D} ,{G, D}) = ^ = !.

Розраховyeмо промiжнi базовi маси за правилом комбiнyвання Жанга:

т

({р У) = 1•0,1.0,3 +1 • 0,1-0,1 +1 • 0,4 • 0,1 +1 • 0,1-0,3 +1 • 0,4 • 0,3 = 0,075;

\Л >) О О л о л

т ({5}) = 1 • 0,4 • 0,1 = 0,01;

т (О ) =1 • 0,25 • 0,1 +1 • 0,25 • 0,1 +1 • 0,25 • 0,2 = 0,04375; х ' 2 4 2

т ({О}) = 1 • 0,25 • 0,1 = 0,00625;

т

({р, ^}) =1 • 0,4 • 0,3 = 0,06;

т ({О, О}) = 1 • 0,25 • 0,2 = 0,025.

Тепер розраховуемо суму уах отриманих на попередньому крощ результуючих ба-зових мас:

т ({р}) + т ({5}) + т (О) + т ({О}) + т ({р, 5}) + т ({О, О}) =

= 0,075 + 0,01 + 0,04375 + 0,00625 + 0,06 + 0,025 = 0,22.

Покладемо, що константа нормалiзащi К знаходиться таким чином:

К = = 4,5455. 0,22

Тобто для знаходження константи нормалiзащi одиницю подiлимо на суму усiх отриманих результуючих базових мас.

Для розрахунку остаточних базових мас треба промiжнi базовi маси, отриманi на попередньому крощ, помножити на константу нормалiзацii К. Звщси маемо:

т* ({р}) = 0,075 • 4,5455 = 0,3409; т* ({5}) = 0,01 • 4,5455 = 0,0455; т (О) = 0,04375 • 4,5455 = 0,1989; т ({О}) = 0,00625 • 4,5455 = 0,0284; т ({р,5}) = 0,06• 4,5455 = 0,2727; т ({О,О}) = 0,025 • 4,5455 = 0,1136.

5. Правило комбшування ¡нагакч

Правило комбшування 1нагаю для будь-яко'1' непусто тдмножини X = X п Х2 мае вигляд

т (X) = [1 + kq(0]• q(X), X ^О, 0, (8)

де q( X) = X т,( Xl)m2( X2); (9)

^ ,, е2О x1 п X = X

q(0) - базова маса ймовiрностi по вах пустих перетинах фокальних елементiв; к - параметр для нормалiзацii, який задовольняе такш умовi:

0 < к <

l - q (0) - q(Q) Якщо X = Q, то тод1 мaeмо

m (Q) = [l + kq(0)] q(Q) + [l + kq(0) - k] q(0),

(10)

(11)

дe q(Q) - функщя бaзових мac 'мов'рноеп по bcíx нeпycтих пeрeтинaх фогальних eлeмeн-т1в.

Слщ зaзнaчити, що в зaлeжноcтi вщ знaчeння коeфiцieнтa к можуть врaховyвaтиcя чи да врaховyвaтиcя конфлшти нa множиш гiпотeз. При к = 0 прaвило комбiнyвaння 1да-

l

raKi cmвпaдae з прaвилом комбiнyвaння Ягeрa. При к = ■

прaвило Iнaгaкi cпiвпaдae

l - q(0)

з прaвилом комбiнyвaння Дeмпcтeрa [18-19]. Приклад

Heхaй оcновa aнaлiзy включae в ceбe тaкi eлeмeнти: в = { F, B, G}.

Гiпотeзa F ознaчae, що полiгон нaлeжить до клacy "Лю".

Гiпотeзa B ознaчae, що полiгон нaлeжить до Knacy '^будов^'.

Гiпотeзa G ознaчae, що полiгон нaлeжить до Knacy "Зeлeнi нacaджeння".

Тодi нa оcновi пeршого джeрeлa cвiдчeнь нaдaнi тaкi бaзовi мacи пiдмножинaм в ;

m ({F}) = 0,2, m ({G}) = o,5, m ({F, b}) = 0,3.

Ha оcновi другого джeрeлa cвiдчeнь нaдaнi тaкi бaзовi мacи пiдмножинaм в i

m ({G})=0, l, m ({F, b})=0,6, m ({F, g})=0,3.

Тодi ва можливi пeрeтини фо^льних eлeмeнтiв iз двох нeзaлeжних джeрeл вщо-брaзимо y виглядi тaбл. 3.

Тaблиця 3 - Дaнi, отримaнi iз двох джeрeл, тa ïx пeрeтини

Бaзовi мacи ml {{F}) ml (G}) ml ({F, B})

m тa m 0,2 0,5 0,3

m2 (G}) 0 {G} 0

0,1 0,02 0,05 0,03

m2 ({F, B}) {F } 0 {F, B}

0,6 0,12 0,3 0,18

m2 ({F, G}) {F } {G} {F }

0,3 0,06 0,15 0,09

1

Розрaxyeмо комбiновaнi знaчeння бaзовиx мac для пeрeтинiв фокaльниx eлeмeнтiв оcнови aнaлiзy в зa прaвилом Iнaгaкi при тaкиx знaчeнняx нормaлiзyючоï конcтaнти:

к i 0; l; l, 5385; 2.

Спочaткy комбiнyeмо бaзовi мacи:

m ({F}) = 0,2 • 0,6 + 0,2 • 0,3 + 0,3 • 0,3 = 0,27 - бaзовa ймовiрнicть того, що пол^он нaлeжить клacy "Лю";

m ({G}) = 0,5 • 0,l + 0,5 • 0,3 = 0,2 - бaзовa ймовiрнicть того, що пол^он нaлeжить клacy "Зeлeнi нacaджeння";

т ({р, 5}) = 0,3 • 0,6 = 0,18 - базова ймовiрнiсть того, що пол^он належить до класу "Лс" або до класу "Забудови";

т ({0}) = q ({0}) = 0,2 • 0,1 + 0,5 • 0,6 + 0,3 • 0,1 = 0,35 - сума базових мас для пустих

перетишв фокальних елементiв.

Тепер застосуемо правило 1нагаю: 1) к = 0:

т1 ({р}) = [1 + 0 • 0,35] • 0,27 = 0,27; т1 ({О}) = [1 + 0 • 0,35] • 0,2 = 0,2; т1 ({р, 5}) = [1 + 0 • 0,35]^ 0,18 = 0,18.

У даному випадку отримаш результати спiвпадають з результатами комбшування за правилом Ягера.

2) к = 1:

т2 ({р}) = [1 +1 • 0,35] • 0,27 = 0,3645; т2 ({О}) = [1 +10,35]^0,2 = 0,27; т2 ({р, 5}) = [1 +1 • 0,35] • 0,18 = 0,243.

Як ми бачимо, сума отриманих комбшованих мас буде

т2 ({р}) + т2 ({О}) + т2 ({р, 5}) = 0,8775 < 1, оскiльки взяте значення нормалiзуючоi конс-

танти к = 1 <-1-=-1-= 1,5385.

1 - q(0) 1 - 0,35

3) к =-1-= —1— = 1,5385:

1 - q(0) 1-0,35

({р}) = [1 +1,5385 • 0,35] • 0,27 = 0,4154; ({О}) = [1 +1,5385 • 0,35] • 0,2 = 0,3077; ({р, 5}) = [1 +1,5385 • 0,35] • 0,18 = 0,2769.

Отримаш результати ствпадають з результатами комбшування за правилом Демпс-тера, яке задаеться таким чином:

X т^ц^) т( А ) = ^ 1-с-,

де с = q(0) = X т (А )т (Ау) - коеф^ент конфлiктностi;

А пА2, =0

1г 2

С е [0,1].

Тобто, якщо значення к =-1- тдставимо у формулу (8) для обчислення ком-

1 - q(0)

бiнованих базових мас за правилом Iнагакi, то отримуемо формулу для знаходження комбшованих базових мас за правилом Демпстера:

тк (X ) = [1 + kq(0)]• q( X) =

1 + -

1

1 - q(0)

• q(0)

• q( X) =

1 - д (0) + д (0)

. 1 - q(0)

• q( X) =

1

1 - q(0)

X) =

1 -с

X), X 0.

Тобто у даному випадку формула для обчислення комбшованих мас за правилом 1нагаю спiвпадае з формулою для обчислення комбшованих мас за правилом Демпстера. 4) к = 2:

т4 ({р}) = [1 + 2 • 0,35] • 0,27 = 0,459; т4 ({О}) = [1 + 2 • 0,35] • 0,2 = 0,34; тл ({р, 5}) = [1 + 2 • 0,35] • 0,18 = 0,306.

Як

ми

бачимо,

сума

отриманих

комбшованих

мас

буде

т

({р}) + т2 ({О}) + т2 ({р, 5}) = 1,105 > 1, оскшьки взяте значення нормалiзуючоi конста-

нти к = 2 бшьше, шж к = ■

1

1

1 - q(0) 1 - 0,35

= 1,5385.

6. Висновки

У данш статтi було показано, що при розв'язаннi задач класифшування часто використо-вуються даш, отриманi з рiзних джерел, тому важливою залишаеться процедура об'еднання шформацп, отримано'1 з рiзних спектральних каналiв. У роботi були розглянутi таю правила комбшування: правило комбiнування Ягера, правило Жанга та правило комбшування Iнагакi [20-21].

Було показано, що правило Ягера, на вщмшу вщ iнших правил комбiнування, поля-гае у наданнi маси перетишв конфлiктних множин, що в перетиш дають пусту множину, базовiй множит. Тобто при застосуванш даного правила ненульова маса пусто'1 множини розподшяеться серед елементiв базово'1 множини (фрейму розрiзнення). Також при комбь нуванш неконфлiктних свiдчень, при нульовому значенш коефiцiента конфлiктностi, правило Ягера буде ствпадати з правилом Демпстера. Описане правило Ягера може працюва-ти з суперечливими джерелами шформацп, але воно не враховуе асощативний зв'язок мiж свщченнями, отриманими з рiзних джерел.

Було наголошено на тому, що правило Жанга враховуе мiру перетину множин, яка визначаеться як вщношення потужносп перетину двох множин до добутку потужностей даних множин. Також були описаш умови, за яких правило комбiнування 1нагаю збiгаеть-ся з правилом комбшування Ягера та правилом комбшування даних Демпстера. Наводила-ся формула розрахунку комбшованих мас за даним правилом. Зазначалося, що правило 1нагаю е певним узагальненням правил комбiнування Ягера та Демпстера.

У статп були наведеш приклади обчислення комбшованих базових мас за правилами комбшування Ягера, Жанга та 1нагаю.

Запропоноваш методи комбшування даних, отриманих iз рiзних джерел, можуть бути використаш при класифшуванш лiсiв, сiльськогосподарських земель, урбашзованих територiй, при пошуку корисних копалин та при оцiнюваннi еколопчного стану навколи-шнього середовища.

СПИСОК ДЖЕРЕЛ

1. Аковецкий В.И. Дешифрирование снимков. М.: Недра, 1983. 320 с.

2. Кузнецов А.В., Мясников В.В. Сравнение алгоритмов управляемой поэлементной классификации гиперспектральных изображений. Компьютерная оптика. 2014. Т. 38, № 3. С. 494-502.

3. Лурье И.К., Косиков А.Г. Теория и практика цифровой обработки изображений. М.: Научный мир, 2003. 356 с.

4. Chang C.I. Hyperspectral Data Processing: Algorithm Design and Analysis. Hoboken, NJ: John Willey & Sons, 2013. 1164 p.

5. Smets P., Henrion M., Shachter R.D., Kanal L.N., Lemmer J.F. Constructing the pignistic probability function in a context of uncertainty. Uncertainty in Artificial Intelligence. North Holland, Amsterdam. 1990. Vol. 5. P. 29-40.

6. Yager R. On the Dempster-Shafer Framework and New Combination Rules. Information Sciences. 1987. N 41. P. 93-137.

7. Gong P. Integrated Analysis of Spatial Data from Multiple Sources: Using Evidential Reasoning and Artificial Neural Network Techniques for Geological Mapping. Photogrammetric Engineering and Remote Sensing. 1996. Vol. 62, N 5. P. 513-523.

10. Попов М., Станкевич С. Методы оптимизации числа спектральных каналов в задачах обработки и анализа данных дистанционного зондирования Земли. Современные проблемы дистанционного зондирования земли из космоса. М.: ИКИ РАН, 2006. Т. 2, № 1. С. 61-63.

11. Renyi A. Probability theory. Amsterdam: North-Holland Pub. Co, 1970. 670 p.

12. Альперт С.1. Оцшка точносп класифшаци космiчних зображень на основi теори Демпстера-Шафера. 1стор1я розвитку науки, техтки та освти: зб. праць XI-о! мiжнар. молодiжноl наук.-практ. конф. (Ки!в, 25 квггня 2013 р.). Ки!в, 2013. С. 242-245.

13. Альперт С.1. Новий шдхщ до застосування основних мiр близькосп та методу Роккю при вир> шенш задач класифшування. Астрономгчна школа молодих вчених: зб. праць XX-о! мiжнар. наук. конф. (Умань, 23-24 травня 2018 р.). Умань, 2018. С. 120-121.

14. Альперт С.1. Удосконалений метод комбiнування даних на основi теори Демпстера-Шейфера за наявност суперечливих даних. Математичт машини i системи. 2018. № 2. С. 33-39.

15. Zhang L., Yager R.R., Kacprzyk J., Fedrizzi M. Representation, independence, and combination of evidence in the Dempster-Shafer theory. Advances in the Dempster-Shafer Theory of Evidence. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1994. P. 51-69.

16. Гарбук С., Гершензон В. Космические системы дистанционного зондирования Земли. М.: Изд-во А и Б, 1997. 296 с.

17. Альперт С.1. Новий удосконалений тдхщ до комбшування даних на основi теори Демпстера-Шейфера. 1дег та новацИ' в системi наук про Землю: зб. матерiалiв УП-о! Всеукр. молодiжноl наук. конф. (Ки!в, 25-27 жовтня 2017 р.). Ки!в, 2017. С. 26-27.

18. Inagaki T. Interdependence between Safety-Control Policy and Multiple-Sensor Schemes Via Demp-ster-Shafer Theory. IEEE Transactions on Reliability. 1991. Vol. 40, N 2, P. 182-188.

20. Shafer G. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1976. P. 875-883.

21. Альперт С.1. Новий модифшований метод класифшування пперспектральних космiчних зображень на основi теори Демпстера-Шейфера. Iсторiя розвитку науки, техтки та освiти: зб. праць XV-о! мiжнар. молодiжноl наук.-практ. конф. (Ки!в, 13 квггня 2017 р.). Ки!в, 2017. С. 97-99.

Стаття надтшла до редакцп 06.02.2019