Информационные поля:моделирование данных в теории сложных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.233 Ю. Г. Марков

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№9)

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПОЛЯ:

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДАННЫХ В ТЕОРИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Теория сложных систем относится к наиболее интенсивно развивающимся научным направлениям. Понятие сложной системы широко используется в современной науке, но отношение к нему неоднозначно. Поэтому полезно выделить то общее в теории сложных систем, что может быть полезно в различных областях науки. Необходимо также указать на опасности, возникающие при некорректном использовании методов этой теории.

Целью науки является поиск относительно небольшого числа неизвестных фундаментальных законов, которые таятся за неисчерпаемым разнообразием природы. Уверенность в возможности достижения этой цели сформулировал Иоганн Кеплер: «Ум человеческий никогда не будет испытывать недостатка в свежей пище — столь велико разнообразие явлений природы и столь обильны эти скрытые небесами сокровища, особенно в том, что касается порядка». Используя современную терминологию, можно сказать, что целью научного исследования является построение проекции информационного поля исследуемого явления или процесса на информационное поле определенной логической структуры (модели явления или процесса). Эта цель всегда ставилась в естественнонаучных исследованиях, хотя пути для ее достижения заметно менялись и совершенствовались, менялось отношение ученых к понятиям детерминизма и случайности, порядка и хаоса, к концепции логической полноты и замкнутости математики.

Исторический путь, приведший к современной теории сложных систем, начинается с исследований моделей колебательных химических реакций, задач генетики, эволюции популяций, моделей формирования общественного мнения и т. д. Начало этих исследований относится к 20-м годам XX века. При этом математические модели для задач естествознания формулировались в виде нелинейных дифференциальных уравнений (или динамических систем в современной терминологии). Стремление формулировать математические модели задач естествознания в виде дифференциальных уравнений объяснялось очарованием успехами, достигнутыми в применение этого подхода. Работы Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера, Даниила и Иоганна Бернулли, Джеймса Клерка Максвелла и других выдающихся математиков и физиков подтверждали, как казалось, что запись модели в виде дифференциальных уравнений позволяет увидеть основные закономерности (силы, взаимодействия и т.д.), определяющие эволюцию системы.

Эти исследования не прерываются до сих пор и особенно интенсивно проводятся последние 40 лет. Выбор направления исследований (и применяемых методов) объясняется уровнем развития математики, господствующей модой в математическом моделировании задач естествознания и убежденностью в логической полноте математики.

Использование предположения о логической полноте математики в данном контексте означает следующее. Математические модели для конкретного класса задач естествознания (например, колебательных химических реакций) применимы для описания широкого класса задач (например, периодических процессов в биологии или экономике) в силу убежденности математиков в том, что сформировавшиеся в ходе развития

© Ю.Г.Марков, 2003

математики методы являются согласованными, непротиворечивыми и допускающими полное логическое обоснование.

Основой этой убежденности была надежда на построение окончательной формы математики, объемлющей все ее разделы, истинность которой основывалась бы на внутренней согласованности ее постулатов. Этой убежденностью и объясняется применение математических моделей, построенных для конкретных задач естествознания, для описания биологических, экономических, социальных или политических процессов. Поскольку математика внутренне согласована, как верили исследователи, то полученные модели отражают общую логику разнообразия явлений природы и применимы вне зависимости от специфичности (структурной, пространственной, временной и т.д.) явления. Результаты исследований, полученные при таком подходе, сформировали классическую теорию сложных систем. Этот подход, таким образом, основан на использовании аналогии явлений.

При очевидной логической необоснованности такого подхода на этом пути было получено много интересных результатов, проливающих свет на природу сложных нелинейных процессов, описывающих конкретные задачи естествознания. В качестве примеров можно привести работы публикуемые в журнале "Advances of Chemical Physics", выходящим под редакцией И. Р. Пригожина с 1958 г. Эти результаты составили заметную часть арсенала математических методов современной теории сложных систем. В качестве своеобразных вех на этом пути можно указать результаты по исследованиям автоколебаний и автоволн, динамического хаоса и странных аттракторов, солитонов и уединенных волн и т. д. Достигнутые успехи стимулировали интерес к теории нелинейных динамических систем и вызвали поток работ по применению методов этой теории в задачах из различных областей физики, химии, биологии, экономики, социологии.

Однако, одновременно с успехами проявились и негативные следствия такого подхода: модели, как правило, давали только качественное согласие с экспериментальными данными по исследуемым явлениям (например, модельные скорости химических реакций на порядки расходились с реальными). Более существенным недостатком этих моделей являлось то, что они не позволяли предсказывать новые явления или типы поведения систем в биологических, социальных, экономических или политических задачах, а позволяли только качественно описать уже известные явления или процессы.

При таком подходе возникают трудности с интерпретацией структуры уравнений модели: переменных, коэффициентов, управляющих параметров и т. д. Например, лет 25 тому назад возникло широкое увлечение моделями, основанными на уравнениях типа «реакция + диффузия», порожденными задачами химических реакций (в частности, горения). Эти уравнения содержали анзац «диффузия», описывающий процессы переноса «частиц» (атомов, молекул, генов, особей и т.д.), и анзац «реакция», описывающий взаимодействия. В ряде задач горения или химических реакций в разреженных средах структурные параметры таких уравнений удавалось интерпретировать в терминах исходной химической задачи. В задачах физики поверхности, биологии развития, генетики, экономики, социологии провести такую интерпретацию для всего диапазона параметров реальной системы не удавалось.

Это делало применяемые модели непрозрачными, поскольку ученый (не математик) не мог проследить логическую связь между переменными и параметрами реальной задачи, сформулированной на языке его области науки, и переменными и параметрами математической модели.

Как отмечено выше, объяснение этих негативных следствий связано с верой авторов моделей во внутреннюю согласованность математики. Поэтому модели, разработанные

для описания физических или химических процессов, переносили в другие области науки без должного обоснования, руководствуясь интуитивными или феноменологическими представлениями о сходстве изучаемого процесса с реальным прообразом исходной модели. В соответствии с этим подходом понятие сложности связывается с нели-нейностями математических моделей исследуемых процессов, а под сложной системой обычно понимается система нелинейных дифференциальных уравнений (нелинейная динамическая система).

Авторы таких моделей могли бы избежать этих негативных следствий, обратив внимание на роль теорем Курта Геделя о неполноте, представленных им в 1930 году перед Венской Академией наук. Теоремы Геделя показали, что даже в случае арифметики, сравнительно простой формы математики, доказательство любого набора нетривиальных положений может основываться лишь на предположении, не включенном в этот набор. Развитие исследований явлений природы в духе теорем Геделя о неполноте привело к широкому междисциплинарному сотрудничеству (как внутри математики, так и между математикой и другими областями науки) и к появлению современной теории сложных систем.

В современной теории сложных систем понятие сложности не связывается с определенной математической структурой (системой уравнений, неравенств и т.д.). Считается, что отличительной чертой сложности системы является способность к переключению системы в процессе ее функционирования между различными типами поведения при изменении внешних условий. Примерами являются фазовые переходы, адаптация живых существ, способность к обучению, выживание в условиях конкуренции, политическая борьба и т. д. Понятие динамики связывается при этом с некоторой переменной. Это либо действительно время, измеряемое в определенном масштабе, либо другая переменная (так называемый индексный параметр), например, деньги в ряде экономических и финансовых задач. Для успеха решения задачи необходимо, чтобы модель была адекватна задаче, то есть необходимо выбрать подходящие переменные, описывающие состояния исследуемой реальной системы (функции состояния) и параметры, управляющие поведением системы.

Опыт работы по моделированию реальных систем показывает, что необходимо соблюдать два условия, соответствующие двум этапам исследования.

1. Сделать достаточно ясное и полное описание задачи в терминах соответствующей области естествознания. Это означает, что надо описать некоторое (неявное) информационное поле. Оно включает цель исследования, пространственные, временные и компонентные структуры системы, основные переменные и параметры системы, основные процессы взаимодействия внутри системы и процессы взаимодействия между системой и средой.

2. Исходить из того, что система описывается на вероятностном языке с помощью случайных величин и стохастических процессов. При этом предполагается создание модели (например, системы уравнений или неравенств), которая позволит найти вероятности Р(£) для переменных системы и их максимумы. Эти максимумы обычно соответствуют получаемым в эксперименте величинам.

Заметим, что термин «стохастический процесс» употребляется, когда аргументом случайной величины, задающей этот процесс, является время. Если независимая переменная другой природы, то говорят о случайном процессе.

На первом этапе может быть полезной некоторая дополнительная информация, полученная предыдущими исследователями изучаемого явления или процесса. При этом типичными являются три ситуации:

а) имеется феноменологическая модель в виде системы уравнений (детерминированных или стохастических);

б) имеется временной ряд данных (в многомерном случае — случайное поле), полученный при исследовании процесса с полностью контролируемыми параметрами, допускающими варьирование с заданной точностью и контролируемое повторение эксперимента;

в) имеется одиночная реализация временного ряда или случайного поля, причем для контрольных параметров известны в лучшем случае некоторые гипотетические оценки и точное воспроизведение эксперимента невозможно в силу природы системы.

Ситуация а) чаще всего встречается в физических задачах, ситуации б) и в) наиболее часто встречаются в биологии, климатологии, социологи, политологии и экономике. Поэтому на этом этапе необходимо сделать достаточно полное описание информационного поля реальной системы в соответствии с целью исследования.

На втором этапе, используя это информационное поле, можно вывести математическую модель системы. Поскольку стохастический процесс общего вида — слишком сложное понятие, полезно ограничиться более простыми (с точки зрения математики) стохастическими процессами, именно: одношаговыми и одноактными процессами.

Одношаговый стохастический процесс описывается такой схемой [1]. Предполагается, что система может принимать дискретное число состояний с вероятностями Рп(£), где п — номер (идентификатор) состояния, £ — время. Система эволюционирует переходя из состояния п в состояние п — 1 с вероятностью перехода гп или в п +1 с вероятностью перехода дп. При этом изменение вероятностей (или, более строго, функций распределения вероятностей) Рп (£) можно описать системой уравнений так называемого балансного типа

^ = (1)

ттг

где —— скорость изменения вероятности состояния п, УУ+ описывает «приток вероятности» в состояние п, — отток вероятности.

Подставив в уравнение (1) вероятности перехода, получим систему уравнений вида

ИРп

= гп+1Рп+1 + д„-1Р„-1 - (г„ + дп)Рп, (2)

где коэффициент гп —вероятность перехода из состояния п в п — 1, а дп —вероятность перехода из п в состояние п + 1.

Одноактный процесс описывается по аналогичной схеме. Система принимает состояния п с вероятностями Рп(£). Изменения этих вероятностей описываются с помощью аналогичной (1) системы уравнений, в которую входят вероятности перехода ^п'п из состояния п в п' и ^пп' из п' в п:

ИР

-г^ = Е ^п'Рп' - Шп,пРп. (3)

п' п

Различие между этими двумя типами процессов состоит в следующем. В одношаго-вых процессах предполагается, что вероятности переходов между несоседними состояниями пренебрежимо малы по сравнению с вероятностями переходов между соседними состояниями. В одноактных процессах предполагается, что вероятности одновременного осуществления двух и более переходов пренебрежимо малы по сравнению с вероятностью одного перехода.

Описание на языке одношаговых процессов удобно использовать в тех случаях, когда можно не учитывать детали пространственной структуры изучаемой реальной системы.

Описание с помощью одноактных процессов позволяет учесть детали пространственной или пространственно-временной структуры системы.

Уравнения типа (1)—(3) называются управляющими уравнениями (master equations).

Аппарат одноактных процессов можно применять также в случаях, когда состояния системы меняются не дискретно, а непрерывно, и идентифицируются с помощью скалярной x или векторной переменной X. В этом случае соответствующие master equations имеют вид

где Р(X; ^ — функция распределения вероятностей состояния X моделируемой системы, Ш(X', X), Ш(X, X') —вероятности перехода из состояния X' в X и из X в X', соответственно. Функция Р(X,t) может быть определена некоторым начальным распределением Р (0^).

При выводе уравнений (1)—(4) основная трудность заключается в обосновании применимости аппарата одношаговых или одноактных процессов и в получении выражений для вероятностей переходов.

После того, как получены уравнения модели, можно исследовать и решать эти уравнения, используя арсенал математических методов, разработанных в теории динамических систем.

С помощью этих уравнений можно либо найти функции распределения вероятностей Pn(t) или Р(X,t) явно или численно, либо получить уравнения для средних значений, дисперсий и других моментов искомых случайных величин. Важным преимуществом при этом является прозрачность модели. Связь между переменными и параметрами исходной задачи естествознания и соответствующими характеристиками математической модели прослеживается и контролируется с требуемой точностью на всех этапах построения модели.

При исследовании уравнений (1)—(4) полезно провести анализ матрицы составленной из вероятностей переходов. Допустим, что математическая модель, описывающая функционирование системы со средой, сформулирована в виде системы уравнений

где Р — вектор плотностей вероятностей комплекса «система + среда», Ш — матрица переходных вероятностей.

Рассмотрим два характерных случая структуры матрицы Ш.

1. Матрица состоит из двух квадратных блоков, не имеющих общих элементов. В этом случае система и среда независимы.

2. Матрица состоит из двух квадратных блоков, соответствующих переходам в системе и в среде. Дополняющие матрицу прямоугольные блоки, содержащие вероятности взаимодействия системы и среды ненулевые. В этом случае имеется взаимодействие системы и среды. Анализ этих прямоугольных блоков позволяет контролировать взаимодействие системы и среды и их взаимное влияние.

dP (X; t)

возрастание вероятности — уменьшение вероятности =

dt

(4)

Этими двумя случаями не исчерпывается разнообразие матриц Ш, встречающихся в моделях. Важное преимущество подхода, основанного на анализе матриц переходных вероятностей в том, что он позволяет оценить сложность информационного поля комплекса «система + среда», структуры взаимодействий системы и среды.

Анализ матриц переходных вероятностей удобно применять также для моделей, сформулированных в терминах одношаговых процессов, особенно при исследовании образования упорядоченных структур, соответствующих стационарным состояниям уравнений для рп(£) в этих моделях. Пусть система уравнений для рп(£) имеет вид

= гп+1рп+1 + д„-1Р„-1 - (гп + дп)рп-Введем оператор шага Е:

Ер„ = р„+1, Е-1р„ = р„_1.

Тогда

= (Е - 1 )гпрп + (Е^1 - 1)д„р„,

от

где 1 — единичный оператор. Заметим, что в случае —то < п < +то оператор Е можно рассматривать как настоящий оператор в функциональном пространстве. В случае, когда имеются одна или две границы, его лучше считать обозначением для сокращения записи. Стационарное состояние системы определяется условием

Фп _0

Л

или

0 = (Е — 1)г„рП + (Е-1 — 1)£„й = (Е — 1)[г„ К — Е-^й]-

Выражение в квадратных скобках не зависит от п:

[г„ рП — Е-15„рП] = —

где J — результирующий поток вероятности из состояния п в п — 1. Для модели с бесконечным числом состояний —то < п < +то, J > 0, и стационарное решение зависит от J, определяемого потоком вероятности через границы системы и среды. Эта зависимость при п > 0 выражается так:

» -1

Рп =--

Гп

1 _1_ 9п—19п—2 дп-1~-91

гп-1 Г„_1Г„_2 Гп_1...Г1

Г„....Г2 Г1

Аналогичное выражение можно написать для случая п < 0.

Другим полезным следствием использования одношаговых процессов является возможность дальнейшего прояснения природы динамического хаоса. Обычно это явление связывают с чувствительностью нелинейных динамических систем к вариациям начальных условий. Динамические системы при этом записаны, как правило, в виде дифференциальных уравнений или точечных отображений. Суть явления, как известно в том, что при малейших изменениях начальных условий новая траектория может сильно отличаться от первоначальной. Но среди одношаговых процессов существует

подкласс так называемых вырожденных процессов (или процессов с неполной вероятностью). Они описываются так:

-тг = гп+1Рп+1 + дп-1Рп-1 ~ (гп + дп)Рп-аЬ

где пРп(Ь) < 1. В свое время была доказана теорема С^РеПег, 1940) [2]. Теорема. Пусть имеется процесс (чистого размножения)

Ирп

—тг = дп-1Рп-1 - дпРп, аЬ

Иро

~л = ~доРо>

тогда для выполнения условия ^прп(Ь) = 1 необходимо и достаточно, чтобы ряд

г*

'расходился.

Разность 1 — ^п Рп(Ь) < 1 можно интерпретировать как вероятность того, что за конечное время осуществится бесконечно много переходов. В этом случае говорят, что система уходит в бесконечность. Однако, X БооЪ отметил (1945 г.), что чисто математически можно ввести следующее предположение. Когда система уходит в бесконечность, она мгновенно возвращается в состояние «0» (или в любое конечное состояние, в зависимости от реализации процесса). Процесс продолжается дальше, но возникают траектории нового типа. Если система при Ь = 0 была в состоянии 0, а при Ь > 0 в состоянии п, то она могла сделать либо п переходов, либо бесконечно много переходов, уходя в бесконечность и возвращаясь в конечные состояния один или более число раз.

Это очень напоминает сценарий развития динамического хаоса. Поэтому возникает задача: исследовать одношаговые процессы с нелинейными вероятностями переходов дп и гп параллельно с соответствующими им динамическими системами, у которых обнаружен динамический хаос. Возможно при этом удастся прояснить суть понятия нелинейности в динамических системах.

Рассмотрим некоторые примеры моделей со стохастическими процессами. В качестве первого примера, иллюстрирующего описанный подход, приведем вывод модели о росте популяции.

Пусть п — число особей в популяции определенного вида, такой как, например, колония эмигрантов. Каждая особь за единичное время (один такт) с вероятностью а может уехать, а с вероятностью в — породить добавочную особь (например, пригласив кого-либо из родственников). Предположим, что величины а и в фиксированные. Тогда гп = ап и дп = вп. Используя уравнение типа (1)

Ирп(Ь) аЬ

и введя граничные условия, соответствующие конечной численности популяции, типа

Ирм

а(0) = /3(-1) =0, 1)^-1 - а(ЛГ)РДг,

получим уравнение для среднего значения (п)

Л{П) -~Ип)> + (/3(п)). (5)

Л

Учитывая вид а и в, уравнение (5) можно записать в виде

¿(п)

(в — а)(п). (6)

Уравнение (6) выражает закон Мальтуса экспоненциального роста при в > а. Дисперсия а2 = (п2) — (п)2 удовлетворяет уравнению

Лг2

— = 2(/3 - а)а2 + (/3 - а)(п),

возрастая экспоненциально.

В качестве следующего примера рассмотрим более сложную модель — модель формирования мнения в группе людей. Пусть имеется группа испытуемых численностью п, причем каждый испытуемый может выбрать вариант ответа «1» или «2» по предложенному вопросу. Предположим, что п1 испытуемых предпочитают вариант «1», а п2 испытуемых предпочитают вариант ответа «2». Предположим, что выбор варианта ответа испытуемым зависит от численности группы, сделавшей тот же самый или другой выбор. Обозначим через р(п1,п2; 4) плотность вероятности того, что в момент 4 имеется п1 человек, выбравших вариант «1», и п2, выбравших вариант «2». Чтобы описать динамику изменения численности групп, введем переходные вероятности и>1 (п1,п2) и и>2(п1,п2) для изменения выбора с «1» на «2» и наоборот, соответственно. Тогда для р(п1,п2; 4) можно записать уравнение

^р{п1,п2',ь) = («4 + 1)гУ1(п1 + 1,П2 - 1)р(п1 + 1,П2 -

+ (п2 + 1)^2^1 — 1,п2 + 1)р(п1 — 1,п2 + 1; 4) — — [п1^1 (п1, п2) + п2^2(п1,п2)]р(п1,п2; 4).

В общем случае определение переходных вероятностей достаточно трудоемкая задача. Поскольку данный пример имеет иллюстративный характер, то выберем для них правдоподобные выражения, не проводя дополнительного обоснования. Именно, предположим, что переходные вероятности и>1 и и>2 имеют вид

( (кт + Н) 1 ( (кт + Н) гУ1(п1,п2) = г/ехр --—-^ , ад2(пьп2) = г/ехр -|--—-

где к — параметр, характеризующий адаптабельность к мнению окружения, Н — параметр предпочтения (Н > 0 означает, что выбор «1» предпочтительнее, чем выбор «2»), Т — параметр, характеризующий «коллективный климат» в группе, т = (п — п2)/2п, п = п1 + п2, V — частота смены выбора. Величина т дает относительное превосходство выбора «1».

Эти примеры показывают, что явные решения уравнений легко найти только для достаточно простых вероятностей переходов (например, линейных). В общем случае приходится использовать весь спектр методов исследования динамических систем.

Имеется обширный арсенал современных методов исследования динамических систем. Это методы нелинейной динамики, особенно теории колебаний и автоколебаний, теории бифуркаций или теории ветвления решений, методы функций Ляпунова, методы, развитые в теории диссипативных нелинейных систем (стандартный пример — теория солитонов и уединенных волн), методы анализа временных рядов и случайных полей, теория катастроф, исследования фазовых переходов (в том числе индуцированных шумом), восстановление динамики по экспериментальным данным, методы перехода от дискретного описания системы к непрерывному, методы скейлинга — выделения характерных масштабов (радиусов корреляций) пространственных и временных изменений переменных в системе и в окружающей среде, методы теории динамического хаоса (вычисление фрактальных размерностей траекторий системы, обобщенных энтропий Реньи) и т. д.

Используя эти методы, надо учитывать следующее обстоятельство. Опыт работы по созданию и исследованию моделей сложных систем в физических и биологических задачах показывает, что нет подробных универсальных рецептов построения моделей для описания реальных систем. Зато есть некоторые универсальные критерии, которыми можно руководствоваться при построении моделей сложного поведения реальной системы, независимо от того предметом какой науки является изучение этой системы. Даже краткое и схематичное описание этих критериев, проведенное выше, является, на наш взгляд, полезным и необходимым, так как позволяет продвинуться по пути синтеза естественнонаучных и гуманитарных знаний.

Описанный подход, основанный на использовании уравнений для функций распределения вероятностей (типа (1)—(4)), позволяет переходить от информационного поля реальной модели, сформулированной в биологии, экономике и т. д., к информационному полю математической модели, контролируя соответствие уровней сложностей моделей и полноту описания реальной системы в терминах математической модели. Полезным следствием такого подхода является возможность придания точного смысла понятию информационного поля реальной системы (исходной задачи естествознания).

Дело в том, что выведенные таким путем математические модели допускают естественную интерпретацию в терминах теории информации. Структура системы характеризуется с помощью информационной энтропии Шеннона и соответствующей обобщенной (в общем случае фрактальной) информационной размерности траектории, а взаимодействия (связи, отношения и т.д.) в системе описываются с помощью корреляционной энтропии (так называемого корреляционного интеграла) и корреляционной размерности (также обычно фрактальной). Поэтому исследование обратной связи математического образа с его естественнонаучным прообразом является эффективным средством для уточнения и модификации исходной задачи, анализа экспериментальных данных и прогнозирования.

Это важное преимущество, поскольку поведение сложных систем в природе обусловлено пучком мотивов, специфичных для этих систем. Уместно говорить о своего рода «психологии» поведения сложных систем.

В классической теории сложных систем, основанной, как отмечено выше, на использовании аналогии явлений, сложность системы связывается с нелинейной зависимостью функций состояний от пространственных и временной переменных и от управляющих параметров, определяемых окружающей средой. Считается, что сложное поведение характерно для открытой системы (в теории сложных систем это так называемые дисси-пативные системы). Существенную роль играет влияние случайности и взаимодействие между случаем и внешними ограничениями (влиянием окружающей среды), между

флуктуациями и необратимостью. С точки зрения классической теории сложных систем усложнение поведения означает бифуркации, т.е. появление ветвей траекторий. Это происходит в силу чувствительности системы к флуктуациям в точках ветвления траекторий и потери устойчивости стандартных состояний (аттракторов) из-за нелинейной зависимости функций состояния от независимых переменных и управляющих параметров.

Все эти особенности поведения сложных систем, описанные в классической теории, сохраняются и в современной теории сложных систем. Но в современной теории сложных систем эти особенности и критерии поведения, сформулированные в рамках математических моделей, получают точный смысл. Точность в данном случае означает возможность установить контролируемые соотношения этих критериев с параметрами реальной задачи. Контроль точности можно проводить с помощью достаточно хорошо разработанных методов теории обобщенных энтропий и размерностей. В частности, с помощью упомянутых выше информационной и корреляционной обобщенных размерностей (обобщенных размерностей или размерностей Реньи).

Обобщенная размерность — размерность Реньи определяется так [3]. Предположим, что траектория системы покрыта кубиками с ребрами длины ej < е, где е > 0 —заданное число. Пусть общее количество этих кубиков равно N(е). Обозначим г-й кубик символом ej. Вероятность попадания точки аттрактора в кубик ej предполагается известной и равной pj. Тогда обобщенная размерность Реньи (порядка q) определяется выражениями

°<=-н'-ё< ^äV'fl^}' (7)

Вероятности Pj находятся при этом как решения уравнений типа (1)—(4), соответствующих рассматриваемой задаче.

Полезность формул (7) в том, что с их помощью получается весь спектр фрактальных размерностей траекторий системы. Так фрактальная размерность De, называемая емкостью траектории, получается из выражения (7) предельным переходом q ^ 0, q > 0, информационная размерность аттрактора DR — предельным переходом q ^ 1, корреляционная размерность аттрактора D2 получается при q = 2.

Заметим, что использование уравнений типа (1)—(4), позволяет поставить задачу об исследовании всего спектра обобщенных размерностей и энтропий (q = 0,1, 2,...) для анализа моделей сложных систем.

Необходимо также исследовать и классифицировать сложное поведение систем для трех характерных групп динамических систем. Имеется в виду классификация по типам аттракторов.

1. Типа аттрактора Эно (Henon, 1976):

xn+1 1 + yn axn,

Уи+1 = bxn, a =1.4, b = 0.3,

хаотический и фрактальный аттрактор (странный).

2. Типа аттрактора Фейгенбаума (Feigenbaum, 1978):

f (x) = ^x(1 - x), /л e (0,4],

фрактальный, но не хаотический аттрактор. 3. Типа аттрактора Тома (Thom, 1978):

x„+i = in + Уп, modi,

Уп+i = in + 2yn, mod 1,

хаотический, но не фрактальный аттрактор (аттрактор — весь тор).

Как отмечалось выше, одна из главных трудностей при формулировке моделей на языке стохастических процессов — определение переходных вероятностей для их анализа и для моделирования данных можно использовать так называемые обратные уравнения. Они формально получаются из систем (2) или (4), если в качестве матрицы переходных вероятностей взять транспонированную. Эти уравнения также называют «обращенными в прошлое». Для одношагового процесса их можно записать так:

= rnpn-1 + д„р„+1 - (г„ + дп)Рп-

Исследуя эти уравнения и используя найденные ранее (для ситуаций в прошлом) вероятности pn(t), можно корректировать вероятности переходов.

Другим полезным следствием использования аппарата стохастических процессов по описанной выше схеме является возможность выделения характерных масштабов и получения реалистичных скоростей процессов (например, времен перехода к стационарным состояниям). В качестве примера приведем модель роста многослойного адсорбата на поверхности твердого тела [4].

В рамках принятой модели будем описывать распределение адатомов по ячейкам а с помощью функции распределения

0(a,t) = 0i(R, t); 0 < 0(a,t) < 1,

где 0(а, t) есть вероятность нахождения адатома в ячейке а (заполненность), эволюция которой описывается уравнением

dt0(a,t) = М(0) + AD(j, 0).

В этом уравнении M, AD операторы миграции частиц по пространственной решетке и адсорбции—десорбции, соответственно.

Знание 0(а, t) дает возможность определить локальную толщину адсорбата (профиль пленки) h(R, t) по формулам (в единицах высоты монослоя hi = л/ст, где а — площадь ячейки)

h(R,t) = Ni(R,t)/No(R,t), Ni = ^l0i, No = 1 + X)0i.

i>1 i>2

В рамках модели для неоднородного адсорбата, допускающего наличие террас, ступеней и т. д., для латеральных взаимодействий предполагаем

eD'a(a|0) = ef'a(R|0i) = eD'a(a) = ef'a(R) ^ e?'a, l ^ то.

Предположение о зависимости е^ (R) от l и R является обобщением БЭТ-приближения на случай неравновесных (неоднородных) состояний многослойного адсорбата. В приближение обычной БЭТ-модели следует положить

ef'a(R) = eD'a(R), l =1; ef'a(R) = ef'a, l > 2,

Уравнения модели можно записать в приведенной ниже форме, где использовано приближение Ван-дер-Ваальса:

д40(а, ^ = ^ М(а, а'|0) [Вв(а'|0') - Вс(а|0)] +А(а|0) [ехр(^) - Ва(а|0)] = М(0)+АО(.?,

Вв'а(а|0) =ехр [^'а(а|0)]

9(0)

ф ехр

ф(1 - 0) +

9(0)

, /г Па Г Да/ м V ехр

'Ф = -ехр[-е^а(а)], = -- и па = —,

[ехр \\hvi]] 5

М(а, а'|0) = т(а, а|0)д(0)д(0') = а|0)9(0)9(0'),

А(а|0) = ^1а(а|0)д(0), в = 1, 2,

/

а'|0) = 1; ш(а, а'|0) = ш(а', а|0),

а

9(0) = 1 - 0(а), I = 1, а = (I, И), 9(0) = [1 - 0(а)]0(а_), I > 2 а_ = (I - 1, И), 9(0') = 9(0(а')),

= 1п

VI '

В этих уравнениях V1J2 есть частоты колебаний адатомов в адсорбционной ячейке в нормальном и касательном направлениях; ^1,2(а, а|0) —соответствующие симметризо-ванные и нормированные на единицу вероятности диффузионных скачков а ^ а'; а(а|0) —вероятность адсорбции в ячейку а; 9(0) —функция, эффективно учитывающая отталкивательные латеральные взаимодействия адатомов в модели; ф — среднее значение поля притяжения, действующее на адатом со стороны его окружения; па — плотность адатомов; Ма —число центров адсорбции; Б — площадь подложки; Н — постоянная Планка; т — масса адатома; все энергетические величины измеряются в единицах кТ, где к —постоянная Больцмана. Величины ^С'а(а|0) играют роль неравновесных значений химических потенциалов ячеек адсорбата по отношению к процессам миграции адатомов по решетке (О) и процессам адсорбции—десорбции (а); с точностью до постоянной совпадает с химическим потенциалом газовой фазы.

Отметим, что в приближении непрерывной диффузии и непрерывной адсорбции— десорбции для описания динамики роста адсорбата получается единое нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных для функции 0(г, И, £) = 0(г, ¿). Это уравнение записывается в следующей форме:

д40(М) = дг [О(г|0)дгВ°(г|0)] + А(г|0) [ехр(^с) - Ва(г|0)].

Уравнение имеет структуру модели типа «диффузия + реакция» и при определенных значениях управляемых параметров (ф и ехр[^с + еа]/ф) задает динамическую систему триггерного типа. Такая ситуация возникает при описании взаимодействия адатомов в приближении среднего поля при ф > 4, а при использовании приближения Ван-дер-Ваальса для описания взаимодействий при ф > 6.75. Интересно, что при этом коэффициент диффузии имеет вид

О(1 - ф0 + ф02)

)

0

а

для приближения среднего поля (Д — постоянная величина) и

Д(1 - фв + 2фв2 - фв3)(1 - в)-1

для приближения Ван-дер-Ваальса. Как можно видеть, коэффициент диффузии становится отрицательным при приближении значений заполненности в к стационарным значениям. Таким образом, диффузия также способствует образованию стационарной структуры (ускоряя этот процесс). Это реалистичная картина и заметим, что она противоречит характерному для теории систем «реакция + диффузия» утверждению о влиянии диффузии как фактора диссипации. Вблизи стационарного состояния это не так: диффузия действует как фактор, ускоряющий образование структуры.

Возвращаясь к общим уравнениям для функций распределения вероятностей типа (1)—(4), заметим, что необходимо при исследовании комплекса «система + среда» проводить полный анализ модели. Исследование только уравнений для средних значений, уравнений для дисперсий и других моментов или приближений типа уравнения Фоккера—Планка недостаточно, и вот почему. Состояние системы описывается случайной величиной Х(. Распределения вероятностей для этой величины задаются уравнениями модели, которые содержат всю информацию о ее эволюции. Мнение о том, что случайную величину Х( можно полностью охарактеризовать моментами, основано на опыте исследования систем с внутренними флуктуациями, которые макроскопически малы. Некритическое распространение понятий, развитых для замкнутых систем (или систем с аддитивным внешним шумом) затрудняет ясное понимание процессов в комплексе «среда + система».

Рассмотренные подходы соответствуют идеологии теории сложных систем, так как основным объектом моделирования является взаимодействие «частиц», т.е. моделирование обмена информацией между состояниями системы во всем пространстве состояний. Основной величиной, характеризующей состояние системы, является функция распределения вероятностей (для состояний системы). При этом в математической модели с контролируемой точностью учитывается специфичность моделируемой реальной системы. Таким образом, при данном подходе мы приходим к задаче модельного описания с контролируемой точностью информационных полей в сложных системах. Суть такого подхода можно выразить, если назвать его использованием метода проекции информационного поля исходной задачи естествознания на информационное поле математической модели.

В рамках этого подхода можно проводить эффективный пересмотр ранее разработанных моделей, их модификацию, устанавливать логически обоснованные аналогии между моделями. Установление таких аналогий позволяет реально продвигаться по пути синтеза естественнонаучных и гуманитарных знаний, так как при этом методами современной теории сложных систем можно строить модели в каждой конкретной области знания, а фундаментальные результаты из этих областей знаний позволяют модифицировать теорию сложных систем с целью ее большей гибкости и адаптабель-ности к реальным задачам.

Необходимым условием при этом является выбор терминологии при формулировании задач и владение логикой различных фундаментальных наук. Дальнейший прогресс в теории сложных систем и ее приложениях на наш взгляд возможен только в рамках междисциплинарного сотрудничества представителей различных наук, объединенных общей идеологией современной теории сложных систем. Данная работа представляет сжатое изложение нашего понимания основ этой идеологии, сформировавшееся на основе опыта выполнения междисциплинарных научных программ.

Summary

Markoff Yu. G. The information fields: modelling data for complex systems theory. The description of a sufficiently general scheme for constructing the models of physical and biological systems is given. The scheme enables to constract realistic models with controlled account of experimental data. The described approach permits to carry out the boundary conditions which are adequate for a real system. The algorithm for finding stationary states for open systems is also described. The models are used in the full range of control parameters, and under any deviations of the solutions sought from equilibrium states.

Литература

1. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М., 1990.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М., 1952.

3. Eckman J.-P., Ruelle D. // Rev. Mod. Phys. 1985. Vol. 57, N 3. Pt. 1. P. 617-656.

4. Марков Ю.Г. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 2 (№9). С. 49-56.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.