Красота фракталов: какова ее цена? Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.233

Б. В. Киселев, Ю. Г. Марков

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 3 (№17)

КРАСОТА ФРАКТАЛОВ: КАКОВА ЕЕ ЦЕНА?

Теория фракталов и фрактальная геометрия относятся к интенсивно развивающимся научным направлениям. Понятие фрактала широко используется в современной науке, но отношение к нему неоднозначно. Поэтому полезно выделить то общее в теории фракталов, что может быть полезно в различных областях науки. Необходимо также указать на опасности, возникающие при некорректном использовании методов этой теории.

Понятие фрактала для нерегулярных множеств и функций было введено математиком Бенуа Мандельбротом. Абсолютно точного определения фрактала нет. Однако, главным в любом определении фрактала является то, что фрактал это самоподобное множество с нецелочисленной размерностью Хаусдорфа — Безиковича.

Сам Мандельброт связывал свой первоначальный интерес к фракталам с изучением множеств Жюлиа и теорией итераций рациональных отображений комплексной плоскости. Хотя, возможно, более правильно говорить о теории точечных отображений или о теории функциональных уравнений. Примеры многочисленных фрактальных структур показывают, что техника их построения хорошо разработана в этих областях математики.

Одной из отличительных особенностей фрактальных структур считается чрезвычайная визуальная нерегулярность («извилистость» траекторий). В связи с этим полезно заметить, что начало исследования фрактальных структур можно датировать, по крайней мере, от известного примера Вейерштрасса непрерывной функции, не имеющей производной (1895 г.):

/(х) Ьпсоз(аппх),

П>0

где 0 < а < 1, аЬ > 1. Другие примеры кривых, имеющих крайне нерегулярную структуру, построенные позже (Харди, 1916 г., Ван-дер-Варден, 1930), модели, использующие фрактальную терминологию (логистическое отображение, отображения Тома, Эно, Чи-рикова и т. д.) преследовали те же цели, именно, построение математических моделей крайне нерегулярных с геометрической точки зрения структур. Важно подчеркнуть, что основной целью этих работ было получение именно таких крайне нерегулярных структур и исследование их геометрических свойств.

Эти исследования не прерываются до сих пор и особенно интенсивно проводятся в течение последних примерно 20 лет. Выбор этого направления исследований (и применяемых методов) объясняется уровнем развития математики, господствующей модой в математическом моделировании задач естествознания и убежденностью в логической полноте математики.

Использование предположения о логической полноте математики в данном контексте означает следующее. Математические модели применимы для описания задач естествознания в силу убежденности математиков в том, что сформировавшиеся в ходе развития математики методы являются согласованными, непротиворечивыми и допускающими полное логическое обоснование.

© Б. В. Киселев, Ю. Г. Марков, 2003

Поскольку математика внутренне согласована, как верили исследователи, полученные модели отражают общую логику разнообразия явлений природы и применимы вне зависимости от специфичности (структурной, пространственной, временной и т.д.) явления. Результаты исследований, полученные при таком подходе, сформировали теорию фракталов.

При очевидной логической необоснованности такого подхода на этом пути было получено много интересных результатов, проливающих свет на природу сложных нелинейных процессов, описывающих конкретные задачи естествознания. На этом пути были разработаны изящные и тонкие методы исследования нерегулярных структур. Можно упомянуть методы вычисления таких фрактальных характеристик как емкость, информационная и корреляционная размерности.

Однако, одновременно с успехами проявились и негативные следствия такого подхода. Дело в том, что методы фрактальной геометрии ориентированы на исследование множеств и геометрических структур. Обоснованность применения этих методов для анализа экспериментальных данных (множеств или кривых) вызывает сомнение. Экспериментальная кривая, полученная в натурном или численном эксперименте является реализацией некоторого стохастического процесса и, следовательно, содержит зависимость представленных данных от времени (или другого индексного параметра).

Здесь уместно привести аналогию с траекториями и орбитами дифференциальных уравнений. Орбита — геометрический объект, являющийся образом всего решения; траектория содержит зависимость от времени и состоит из изображающих решение точек, каждая из которых соответствует определенному моменту времени.

Аналогичная, но более сложная ситуация возникает при использовании методов теории фракталов для анализа экспериментальных кривых. Каждая такая кривая является реализацией некоторого (как правило, a priori неизвестного) стохастического процесса. Целью исследования является определение типа и характеристик этого процесса. Сделать это методами фрактальной геометрии возможно в сравнительно редких случаях, например, когда нет зависимости от времени и предметом интереса исследователя является чисто геометрическая структура данных.

Применение методов теории фракталов к анализу экспериментальных кривых в предположении, что стохастический процесс стационарный, тоже не улучшает ситуацию. Во-первых, многие физически значимые процессы не являются стационарными (например, процесс Винера). Во-вторых, даже для стационарного процесса зависимости от времени нет только у среднего значения, которое можно было бы рассматривать как геометрический (или теоретико-множественный) объект. Однако, математическое ожидание является репрезентативной величиной только для замкнутых систем, которым обычно соответствуют симметричные распределения вероятностей. В общем случае экспериментальным данным соответствуют экстремумы вероятностей.

Поэтому для адекватной реальному процессу интерпретации экспериментальных данных нужна дополнительная информация. Ее можно получить, если написать некоторую гипотетическую модель процесса. Для этого удобно использовать аппарат стохастических одношаговых или одноактных процессов.

Опыт работы по моделированию реальных систем показывает, что необходимо соблюдать два условия, соответствующие двум этапам исследования.

1. Сделать достаточно ясное и полное описание задачи в терминах соответствующей области естествознания. Это означает, что надо описать некоторое (неявное) информационное поле. Оно включает цель исследования, пространственные, временные и компонентные структуры системы, основные переменные и параметры системы, основные

процессы взаимодействия внутри системы и процессы взаимодействия между системой и средой.

2. Исходить из того, что система описывается на вероятностном языке с помощью случайных величин и стохастических процессов. При этом предполагается создание модели (например, системы уравнений или неравенств), которая позволит найти вероятности P(t) для переменных системы и найти их максимумы. Эти максимумы обычно соответствуют получаемым в эксперименте величинам.

Одношаговый стохастический процесс описывается следующей схемой [1]. Предполагается, что система может принимать дискретное число состояний с вероятностями Pn(t), где n — номер (идентификатор) состояния, t — время. Система эволюционирует переходя из состояния n в состояние n — 1 с вероятностью перехода rn или в n +1 с вероятностью перехода gn. При этом изменение вероятностей (или, более строго, функций распределения вероятностей) Pn(t) можно описать системой уравнений так называемого балансного типа:

dP^ = W+ - W-, (1)

dt + ’ w

dPn (t) т ж т

где —-^-L скорость изменения вероятности состояния п, И/+ описывает «приток вероятности» в состояние n, W— — «отток вероятности».

Подставив в уравнение (1) вероятности перехода, получим систему уравнений вида

dPn

7~ = ^n+1-Pn+l 9п—\Рп—\ (гп Яп)Рп: (2)

dt

где коэффициент rn —вероятность перехода из состояния n в n — 1, а gn —вероятность перехода из n в состояние n +1.

Одноактный процесс описывается по аналогичной схеме. Система принимает состояния n с вероятностями Pn(t). Изменения этих вероятностей описываются с помощью аналогичной системе уравнений (1) системы уравнений, в которую входят вероятности перехода Wn'n из состояния n в n' и Wnn' из n' в n:

dP

(3)

n' n

Различие между этими двумя типами процессов состоит в следующем. В одношаговых процессах предполагается, что вероятности переходов между несоседними состояниями пренебрежимо меньше, чем вероятности переходов между соседними состояниями. В одноактных процессах предполагается, что вероятности одновременного осуществления двух и более переходов пренебрежимо меньше вероятности одного перехода.

Описание на языке одношаговых процессов удобно использовать в тех случаях, когда можно не учитывать детали пространственной структуры изучаемой реальной системы.

Описание с помощью одноактных процессов позволяет учесть детали пространственной или пространственно-временной структуры системы.

Уравнения типа (1)—(3) называются управляющими уравнениями (“master equations”).

Аппарат одноактных процессов можно применять также в случаях, когда состояния системы меняются не дискретно, а непрерывно и идентифицируются с помощью

скалярной x или векторной переменной X. В этом случае соответствующие “master equations” имеют вид

где P(X; t) —функция распределения вероятностей состояния X моделируемой систе-

соответственно. Функция Р(Х,Ь) может быть определена некоторым начальным распределением Р (0,4).

При выводе уравнений (1)—(4) основная трудность заключается в обосновании применимости аппарата одношаговых или одноактных процессов и в получении выражений для вероятностей переходов.

После того, как получены уравнения модели, можно исследовать и решать эти уравнения, используя арсенал математических методов, разработанных в теории динамических систем.

С помощью этих уравнений можно либо найти функции распределения вероятностей Рп(Ь) или Р(Х,Ь) явно или численно, либо получить уравнения для средних значений, дисперсий и других моментов искомых случайных величин. Важным преимуществом при этом является прозрачность модели. Связь между переменными и параметрами исходной задачи естествознания и соответствующими характеристиками математической модели прослеживается и контролируется с требуемой точностью на всех этапах построения модели.

В качестве примера, иллюстрирующего описанный подход, приведем вывод модели о росте структуры на поверхности твердого тела.

Большая камера содержит газ, состоящий из молекул с практически постоянной плотностью р. Молекулы могут адсорбироваться на поверхности, имеющей N центров адсорбции. Если п — число адсорбированных молекул, то гп = ап, дп = /З^ — п). Основное кинетическое уравнение имеет вид

Сравнивая выражение для стационарного решения с распределением рП, заданным равновесной статистической механикой, получим

где Z — функция распределения внутренней энергии молекулы, т — масса молекулы, к — постоянная Больцмана, Т — температура поверхности.

dP (X; t)

возрастание вероятности — уменьшение вероятности =

dt

J {W(X', X)P(X'; t) - W(X, X')P(X; t)}dX',

(4)

мы, W(X',X), W(X,X') —вероятности перехода из состояния X' в X и из X в X',

^ = а(Е- 1)пРп + р{Е-1 - I)(N - п)Рп

Стационарное решение имеет вид

Этот пример показывает, что явные решения уравнений легко найти только для достаточно простых вероятностей переходов (например, линейных). В общем случае приходится использовать весь спектр методов исследования динамических систем.

Используя уравнения моделей для функций распределения вероятностей Рп(Ь) можно исследовать траектории реализаций стохастических процессов в фазовом пространстве. В этом случае можно проследить связь фрактальных размерностей с параметрами моделируемого реального процесса. При этом получаемые фрактальные размерности используются лишь как числовые характеристики процесса. Придавать им какой-либо геометрический смысл не обязательно.

При описанном подходе, основанном на использовании уравнений для функций распределения вероятностей (типа (1)—(4)), можно переходить от информационного поля реальной модели, к информационному полю математической модели, контролируя соответствие уровней сложностей моделей и полноту описания реальной системы в терминах математической модели. Полезным следствием такого подхода является возможность придания точного смысла понятию информационного поля реальной системы (исходной задачи естествознания).

Дело в том, что выведенные таким путем математические модели допускают естественную интерпретацию в терминах теории информации. Структура системы характеризуется с помощью информационной энтропии Шэннона и соответствующей обобщенной (в общем случае фрактальной) информационной размерности траектории, а взаимодействия (связи, отношения и т.д.) в системе описываются с помощью корреляционной энтропии (так называемого корреляционного интеграла) и корреляционной размерности (также обычно фрактальной). Поэтому исследование обратной связи математического образа с его естественно-научным прообразом является эффективным средством для уточнения и модификации исходной задачи, анализа экспериментальных данных и прогнозирования.

Точность в данном случае означает возможность установить контролируемые соотношения этих критериев с параметрами реальной задачи. Контроль точности можно проводить с помощью достаточно хорошо разработанных методов теории обобщенных энтропий и размерностей. В частности, с помощью упомянутых выше информационной и корреляционной обобщенных размерностей (обобщенных размерностей или размерностей Реньи).

Обобщенная размерность - размерность Реньи определяется так [2]. Предположим, что траектория системы покрыта кубиками с ребрами длины е* < е, где е > 0 — заданное число. Пусть общее количество этих кубиков равно N(е). Обозначим г-й кубик символом е*. Вероятность попадания точки аттрактора в кубик е* предполагается известной и равной р*. Тогда обобщенная размерность Реньи (порядка д) определяется выражениями

Вероятности Р* находятся при этом как решения уравнений типа (1)-(4), соответствующих рассматриваемой задаче.

Полезность этих формул для обобщенных размерностей заключается в том, что с их помощью получается весь спектр фрактальных размерностей траекторий системы. Так, фрактальная размерность, называемая емкостью траектории, Ос получается предельным переходом д ^ 0,д > 0, информационная размерность аттрактора —

предельным переходом q ^ 1, корреляционная размерность аттрактора D2 получается при q = 2.

Рассмотренный подход соответствует физической идеологии, так как основным объектом моделирования является взаимодействие «частиц», т. е. обмен информацией между состояниями системы во всем пространстве состояний. Основной величиной, характеризующей состояние системы, является функция распределения вероятностей (для состояний системы). При этом в математической модели с контролируемой точностью учитывается специфичность моделируемой реальной системы.

В рамках этого подхода можно проводить эффективный пересмотр ранее разработанных методов теории фракталов, их модификацию, строго обосновывать эти методы.

Необходимым условием при этом является выбор адекватной терминологии в формулировках задач. Так, на наш взгляд, сам термин размерность в применении к фрактальным структурам не является необходимым при анализе экспериментальных данных в задачах естествознания. Геометрическая терминология в данной ситуации нецелесообразна по двум причинам. Во-первых, в общем случае экспериментальная кривая (или временной ряд данных) не является геометрическим объектом или множеством в строгом смысле. Во-вторых, сама так называемая фрактальная геометрия не настолько развита, чтобы давать весомые преимущества при использовании геометрического стиля рассуждения при анализе данных в задачах естествознания.

Резюмируя следует отметить, что методы теории фракталов могут быть полезными математическими инструментами в задачах естествознания при условии их адекватного применения. Адекватность означает прежде всего обоснование применимости этих методов в каждой конкретной задаче. Такое обоснование пока не сделано для большинства классов задач естествознания. В связи с этим возникают две задачи (или два класса задач). Использовать более полно возможности теории случайных процессов для анализа образования фрактальных структур (в том числе, хаотических). Дело в том, что полезным следствием использования одношаговых процессов является возможность дальнейшего прояснения природы динамического хаоса. Обычно это явление связывают с чувствительностью нелинейных динамических систем к вариациям начальных условий. Динамические системы при этом записаны, как правило, в виде дифференциальных уравнений или точечных отображений. Суть явления, как известно, в том, что при малейших изменениях начальных условий новая траектория может сильно отличаться от первоначальной. Но среди одношаговых процессов существует подкласс так называемых вырожденных процессов (или процессов с неполной вероятностью). Они описываются так:

Т~ = Гп+lPn+l Qn-lPn-1 (гп 9п)Рт dt

где pn(t) < 1. В свое время была доказана теорема (W. Feller, 1940, [3]).

Теорема. Пусть имеется процесс (чистого размножения)

dpn dpo

7, — 9n—iPn—i 9пРп-> j, — 9оРо•

dt dt

Для выполнения условия npn(t) = 1 необходимо и достаточно, чтобы ряд

Е1

и 9п

расходился.

Разность 1 —^2nPn(t) < 1 можно интерпретировать как вероятность того, что за конечное время осуществится бесконечно много переходов. В этом случае говорят, что система уходит в бесконечность. Однако, J.Doob отметил (1945 г.), что чисто математически можно ввести следующее предположение. Когда система уходит в бесконечность, она мгновенно возвращается в состояние 0 (или в любое конечное состояние, в зависимости от реализации процесса). Процесс продолжается дальше, но возникают траектории нового типа. Если система при t = 0 была в состоянии 0, а при t > 0 в состоянии п, то она могла сделать либо п переходов, либо бесконечно много переходов, уходя в бесконечность и возвращаясь в конечные состояния один или более число раз.

Это очень напоминает сценарий развития динамического хаоса. Поэтому возникает задача: исследовать одношаговые процессы с нелинейными вероятностями переходов gn и rn параллельно с соответствующими им динамическими системами, у которых обнаружен динамический хаос. Возможно при этом удастся прояснить суть понятия фрактальности для аттракторов нелинейных динамических систем.

Второй класс задач связан с необходимостью исследовать и классифицировать сложное поведение систем для трех характерных групп динамических систем. Имеется в виду классификация по типам аттракторов, именно [4]:

1. Тип аттрактора Эно (Henon, 1976)

xn+1 1 + yn axn:

Vn+1 = bxn, a =1.4, b = 0.3, хаотический и фрактальный аттрактор (странный).

2. Тип аттрактора Фейгенбаума (Feigenbaum, 1978)

f (x) = fi,x(1 — x), ¡л € (0,4],

фрактальный, но не хаотический аттрактор.

3. Тип аттрактора Тома (Thom, 1978)

xn+1 = xn + yn, mod 1,

Уп+1 = xn + 2yn, mod 1, хаотический, но не фрактальный аттрактор (аттрактор — весь тор).

Решение задач из этих двух классов позволит продвинуться в понимании математической природы фракталов и, по сути, является дальнейшим развитием идей, выраженных в работах Вейерштрасса, Харди, Жюлиа, Ван-дер-Вардена, Мандельброта и других ученых, внесших свой вклад в теорию фракталов.

Поэтому, возвращаясь к названию, заметим, что цена красоты фракталов может оказаться неоправданно завышенной, если придавать методам теории фракталов универсальное значение в задачах естествознания. С другой стороны, эта цена будет соответствовать значимости этих методов, если их использование сделать достаточно прозрачным в контексте решаемой задачи.

Один из возможных путей достижения такой прозрачности основан на использовании этих методов в математических моделях, выведенных с помощью аппарата стохастических марковских процессов, как описано выше.

При этом дальнейший прогресс в теории фракталов и ее приложениях на наш взгляд возможен только в рамках общей идеологии современной теории сложных систем. При этом, на наш взгляд, полезно учесть некоторые особенности применения теории фракталов в моделировании физических задач. Они сформулированы в приведенном ниже резюме.

РЕЗЮМЕ:

1. Теория фракталов имеет позитивное значение для развития математической техники. В частности, в таких областях, как теория функциональных уравнений, рекуррентных отображений, теории итераций, некоторых разделов теории множеств и геометрии и т. д. Эти исследования могут служить стимулом для развития математического аппарата. Так можно указать на связь известных примеров непрерывных функций, не имеющих производных, построенных Вейерштрассом (1895) и Ван-дер-Варде-ном (1930) с теорией wavelet-преобразований. Но в настоящее время все позитивное в теории фракталов связано только с развитием математической техники.

2. Применение теории фракталов для исследования открытых систем в естествознании пока практически не обосновано. Состояния открытой системы описываются случайными процессами. Наблюдаемым в эксперименте величинам соответствуют экстремумы плотности вероятностей для этих процессов. Для замкнутых систем они совпадают со средними значениями. В открытых системах с мультипликативным внешним шумом это не так. Поэтому исследовать открытые системы надо в рамках теории случайных процессов. Предположение о том, что фракталы однозначно идентифицируют состояния системы требует ответа на вопрос: будут ли прообразы состояний (фракталов) измеримыми множествами в соответствующей а-алгебре, т. е. существует ли событие для данного фрактала? Ответ на этот вопрос можно дать только применяя методы теории случайных процессов. Пока такой ответ не получен нельзя считать, что применение фракталов для описания открытой системы обосновано.

3. На то, что применение фракталов для интерпретации статистических данных (временных рядов) пока не обосновано, указывают также следующие факты. Известными примерами фракталов являются множества и геометрические объекты. Временной ряд данных в общем случае не попадает в эти категории. Интерпретация статистических данных и соответствующего фрактала как предельного распределения вероятностей для случайного процесса, описывающего явление, во-первых, требует обоснования,

а, во-вторых, не улучшает ситуацию по следующей причине. Как показал В. Феллер на примере задачи о ложном заражении, хорошее согласие наблюдений с одним и тем же распределением вероятностей может быть истолковано двумя различными способами, диаметрально противоположными как по своей природе, так и по практическим последствиям. Т.е. может существовать много фракталов, хорошо описывающих одно и то же явление.

4. Поэтому необходимо для обоснованного применения теории фракталов при анализе экспериментальных данных в открытых системах развить эту теорию, используя аппарат и идеологию теории случайных процессов. Это означает, что надо всегда иметь модель и, работая с ней, развивать методы теории фракталов. При этом полезно в моделях с полной вероятностью одновременно использовать прямые (обращенные в будущее) и обратные (обращенные в прошлое) уравнения. В моделях с неполной вероятностью полезно использовать прямые неравенства (обращенные в будущее) и обратные уравнения в соответствии с подходами, развитыми Феллером, Дубом, Колмогоровым, Ван Кампеном и другими учеными. Такой подход к применению теории фракталов для анализа реальных процессов особенно эффективен, поскольку направление динамики природных процессов и динамики алгоритмов построения фракталов, как правило противоположны.

5. Необходимость использования методов теории фракталов именно в рамках теории случайных процессов обусловлена также следующим обстоятельством. Фракталы несут в себе «слишком много» информации. В них все слито воедино: и вклад систе-

мы, и влияние среды, тренды, периодические составляющие, внутренние флуктуации и флуктуации внешнего шума. Выделение этих компонент из фрактала возможно только методами теории случайных процессов при наличии адекватной модели. Вывод такой модели достаточно трудная задача, но без ее решения использование фракталов становится чисто формальным упражнением в математической технике.

6. Высказанное выше не означает отрицания полезности методов теории фракталов как математического инструмента для диагностики физических процессов. Но сейчас успех применения фракталов в качестве такого инструмента полностью обусловлен интуицией, высокой квалификацией исследователя и, как правило, многолетним опытом изучения процессов данного класса. Примеры успешного использования методов теории фракталов это подтверждают. Чтобы сделать теорию фракталов надежным инструментом исследований, необходимо дальнейшее развитие этой теории в контексте теории случайных процессов.

Summary

Kiselev B. V., Markoff Yu. G. The beauty of fractals: what does it cost?

The usage of fractal theory methods for the analysis of experimental data is analyzed. The principal restrictions of used fractal methods for investigation of open systems are indicated. Some ways of developing fractal theory are suggested.

Литература

1. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. М., 1990.

2. Неймарк Ю. М., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М., 1987.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М., 1952.

4. Eckman J.-P., Ruelle D. Rev. Mod. Phys. 1985. Vol. 57. No3. Pt. 1. P. 617-656.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.