Инфлекционно-метрический гиперкомплекс прямых в четырехмерном пространстве Лобачевского Текст научной статьи по специальности «Математика»

О.В. Зацепина

ИНФЛЕКЦИОННО-МЕТРИЧЕСКИЙ ГИПЕРКОМПЛЕКС ПРЯМЫХ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

Дифференциальная геометрия линейных многообразий, в частности комплексов прямых, является важным разделом геометрии.

В настоящее время теория комплексов прямых интенсивно развивается. Появилось много работ как отечественных, так и зарубежных авторов, касающихся изучения комплексов прямых в аффинном, евклидовом и проективном трехмерных пространствах.

Однако комплексы прямых в неевклидовых пространствах до сих пор изучены недостаточно.

Одной из первых публикаций на эту тему явилась работа Б.А. Розенфельда [10]. Отдельные вопросы, касающиеся комплексов прямых в эллиптическом и гиперболическом 3-пространствах рассмотрены Н.И. Кованцовым [8; 9].

Автором изучаются новые классы комплексов прямых в пространстве S с помощью

отображения прямых комплекса в S на трехмерную поверхность, принадлежащую квадрике

Плюккера в P5. Находится геометрический смысл выбора канонического репера и кривизны

комплекса прямых в пространстве отображений 3^5 , вводится асимптотическая квадратичная форма комплекса прямых, показывается, что с каждой точкой квадрики Плюккера, изображающей луч комплекса, связаны три кривые второго порядка, которые названы метрической, асимптотической и плюккеровой индикатрисами. Показано, что собственные, идеальные, несобственные инфлекционные центры комплекса прямых в S изображаются точками пересечения асимптотической и плюккеровой индикатрис, лежащими соответственно внутри, вне, на метрической индикатрисе. Доказано, что плюккерова и метрическая индикатрисы неспециального комплекса прямых расположены строго определенным образом, а в зависимости от расположения асимптотической индикатрисы по отношению к плюккеровой и метрической выделяются различные виды комплексов.

В работе [7] изучаются комплексы прямых, все четыре инфлекционных центра которых изображаются точками, принадлежащими метрической индикатрисе. Такие комплексы названы инфлекционно-метрическими. Выяснено, что из шести возможных видов инфлекционно-метрических комплексов существует лишь комплекс одного вида, имеющий два действительных

C ■■

и два мнимо-сопряженных инфлекционных центра. Этот комплекс обозначен 11" . Найдены дифференциальные уравнения этого комплекса, доказано, что он существует с произволом в три по- _

- C й

стоянные, выделен частный класс таких комплексов 11 , существующих с произволом в одну

постоянную, выяснено строение таких комплексов [3].

В работе [4] рассмотрены комплексы прямых, инфлекционные центры которых удовлетворяют биквадратному уравнению. Такие комплексы названы бикомплексами; они

C

включают в себя инфлекционно-метрические комплексы 11" . Выяснено, что, кроме комплексов C

11" , существуют еще два вида бикомплексов: комплексы постоянной кривизны и бикомплексы, характеризующиеся условием, при котором для них двумерное голономное подмногообразие k -const совпадает с координатным. Доказано, что эти комплексы существуют с произволом в три функции одного аргумента [5].

В работе [6] изучаются полуспециальные комплексы прямых в пространстве 153, собственные центры которых описывают поверхность. Показано, что полуспециальные комплексы в S существуют с произволом в две функции двух аргументов. Среди

полуспециальных комплексов выделен класс, для комплексов которого собственный центр луча является инфлекционным центром. Доказывается, что возможны два вида таких комплексов: комплексы, для которых один из центров луча является двукратным инфлекционным центром, и комплексы, у которых оба центра луча являются инфлекционными и описывают поверхности. Для комплексов второго вида доказано, что они существуют с произволом в три функции от одного аргумента и расслаиваются на однопараметрическое множество линейных конгруэнций. Автором изучаются также гиперкомплексы прямых в1«^, рассматривается класс

гиперкомплексов в четырехмерном пространстве Лобачевского 1«4, являющийся обобщением

инфлекционно-метрических комплексов в 1«з.

Совокупность прямых в п-мерном проективном пространстве Рп образует (2п - 2) —

мерное многообразие (грассманово многообразие), которое можно определить С2 ^

(П2+ ,, Г(. п

квадратичными условиями на ( однородных плюккеровых координат прямых р,] [6. С.

328—334].

Рассматривая плюккеровы координаты прямых в пространстве Рп как однородные

(т + 1)

координаты точек проективного пространства РN (размерности N = ( ~ 1), получим

биективное отображение совокупности прямых пространства Рп на (2п - 2) - мерную поверхность (грассманиану, а при п = 3 квадрику Плюккера) пространства РN которую можно задать независимыми уравнениями:

po[ipae ] = 0 а; в = 2, 3... п. (1)

Гиперкомплексом прямых в пространстве Р„ (комплексом при п = 3) называется подмногообразие размерности (2п - 3) грассманова многообразия. Гиперкомплекс прямых в Рп изображается (2п - 3) — мерной поверхностью F2n-3, принадлежащей грассманиане.

В n-мерном пространстве 1Sn так же, как и в пространстве в 1^з, легко показать, что плюккеровы координаты прямых, касающихся абсолюта пространства 1^п, заданного уравнением

- (х0 )2 + (х1 )2 + 0 + (х )2 = 0, можно нормировать условием:

- ( pol) 2 - ( p02 ) 2 - 0- ( р0п ) 2 + ( p23 ) 2 + ( p24 ) + 0+ ( рп-1п ) = 0. (2)

Уравнение (3) в пространстве Pn задает квадрику индекса п, которая называется метрической. Пространство Pn с заданными в нем метрической квадрикой (3) и грассманианой (1)

п_обозначим H n и назовем пространством отображений

прямых из S

Система дифференциальных уравнений комплексов прямых в 1«з в каноническом репере, который является репером первого порядка, найдена в работе [8]. В статье [11] построен репер первого порядка гиперкомплекса прямых в 1«п. При этом используется отображение гиперкомплекса на грассманиану (1). Показано, что уравнение гиперкомплекса прямых в « в репере первого порядка можно привести к тому же виду, что и в 1«з:

Ш02 = &Ш13 . (3)

С помощью внешнего дифференцирования уравнения (3) и из геометрических соображений выяснено, что репер первого порядка при п > 4 не является каноническим. Построен репер второго порядка, являющийся каноническим и выяснен геометрический смысл его выбора. Найдена система дифференциальных уравнений гиперкомплекса прямых в 1 « в каноническом репере. При п = 4 эта система имеет вид

ш 2 = кШ13

0 ,

ш 01 + кш 23 = к11Ш12 + к21Ш 03 + к31Ш13 + к41Ш 04 + к51Ш14, - кш 01 + ш 23 = к12Ш12 + к22Ш 03 + к32Ш13 + кш 42 ш

04 + к52ш14, - dk = к13ш12 + к23ш 03 + к33ш13 + к43ш 04 + к53ш 14, ш 24 = к14ш12 + к24ш 03 + к34ш13 + к44ш 04 + к54ш14,

- кш 34 = к15ш12 + к25ш 03 + к35ш13 + к45ш 04 + к55ш14, (3' )

^ к у

где к — инвариант окрестности первого порядка, называемый кривизной гиперкомплекса пря '

мых, 1 — инварианты окрестности второго порядка, к, к" — аналитические функции.

При выяснении геометрического смысла выбора канонического репера гиперкомплексов прямых используется отображение, при котором каждой точке М прямой q гиперкомплекса прямых в Рп соответствует гиперплоскость qn-l, касающаяся гиперконуса, состоящего из прямых гиперкомплекса, проходящих через точку М вдоль прямой q. В работах [2] и [11] доказано, что совокупность гиперплоскостей qn-l, соответствующих всем точкам прямой q, образует пучок с (п

2) - мерной плоскостью qn 2 3 q. Таким образом, с каждой прямой гиперкомплекса инвариантно

связана (п - 2) - мерная плоскость ап-2, через нее проходящая.

В пространстве 1«4 с каждой прямой q гиперкомплекса инвариантно связаны двумерная

3 аа а'

плоскость а2 и трехмерная плоскость аз , где ^ — прямая, полярная для q2 относительно

абсолюта пространства 1«4. Уравнения (3') в пространстве 4«9 задают пятимерную поверхность

V5, принадлежащую грассманиане.

Прямые гиперкомплекса прямых в принадлежащие трехмерному пространству qз ,

V 3 отображаются на трехмерное

подмногообразие 3 квадрики Плюккера пространства . Так

т/з Т3 е Т5 Т3 Т5 Уз

V принадлежит грассманиане (1), то 3 5, где 3 и 5 — касательные плоскости к

как и поверхности

V5.

Поэтому с каждой точкой Е01 поверхности ^¥5, изображающей прямую ЕЕ гиперкомплекса прямых в 1^4, где — вершины канонического репера, связанного с прямой гипер-

i = 0,5)

комплекса прямых ( инвариантно связано трехмерное распределение, которое можно

задать в виде

Ш14 = Ш 04 = 0. (4)

Распределение (4) в общем случае не является голономным.

Двумерная плоскость Т2, являющаяся полярной для точки £01 в трехмерной плоскости Тз, пересекает грассманиану и метрическую квадрику по коникам, которые назовем плюккеровой

и метрическойиндикатрисами прямой гиперкомплекса прямых в 1<S,4.

В работе [11] найден квадратичный конус асимптотических направлений в каждой точке Е01 поверхности V5. Плоскость Т2 пересекает этот конус по конике, которую назовем асимптотической индикатрисой прямой гиперкомплекса прямых в 1<S,4. Плоскость Т2 в каноническом репере поверхности V задается уравнениями:

7 0 p01 = p 23 = pi4 = p 24 = p 43 = pi2 + kp03 = p04 = ,

а метрическая, плюккерова и асимптотическая индикатрисы в плоскости Т2 соответственно задаются уравнениями:

02 2 312 2 03

- (p) + (p) + (к -1) p = 0,

p02 • p13 - k(p03)2 = 0, (5)

bV2)2 + ¿2V)2 + ki(Py- ♦ ■ P» + 2*>p«p« + 2WY - 0

В зависимости от различных способов расположения коник (5) могут быть выделены различные виды гиперкомплексов прямых в ^

Для комплексов прямых в Рз вводится понятие инфлекционных центров [8. С. 27], которые, как доказано в [1], изображаются в пространстве отображений Р5 точками пересечения плюккеровой и асимптотической индикатрис. Будем говорить, что точки пересечения плюккеровой и асимптотической индикатрис прямой гиперкомплекса прямых в Н4 также изображают его инфлекционные центры.

Обобщим понятие инфлекционно-метрического комплекса в пространстве ^з на четырехмерное пространство

Определение. Гиперкомплекс прямых в ^ назовем инфлекционно-метрическим, если для него распределение голономно и все три индикатрисы каждой прямой гиперкомплекса принадлежат одному пучку, то есть инфлекционные центры каждой прямой гиперкомплекса изображаются точками, принадлежащими метрической индикатрисе.

Теорема. Инфлекционно-метрический гиперкомплекс прямых в1 общего вида не существует. Существует единственный особый класс таких гиперкомплексов с произволом существования в две постоянные.

Доказательство. Из условия голономности распределения ш о4 = Ш14 = 0 следует, что при

Ш 04 = Ш14 = 0

4 = Ы ¿ Л Ш 4 + 0) о А Ш 2 + (0 о Л ш 3 = к(1) 1 Л 4щ I + о ) +

Е>ь) 4 - ш ° л ш 04 + ш 1 л и 2 + и ,3 л ш з = ш I а (¿2 ш о + к*ш 3) + - (А:,5ш { + к\ш „) л ш ,3 =

k

k

k

к

то есть к14 = к42 = к4з = к51 = к52 = к5з = 0.

Из уравнений (5) следует, что индикатрисы принадлежат одному пучку тогда и только

тогда, когда Н + к\ = к3 - к\- 0, к\ - -к: (к2 - 1) - 2к ■ к\

Уравнения (3') для инфлекционно-метрического гиперкомплекса прямых принимают вид + кш\ - к\ш1 + к\ш\

- кш\ + со I = к\ш{ - к\ш ц

- ¿к= ^

4 7 4 4 7 5 4

ш 2 = К со 0 + кл со, 5

- кио* = Л4Ш0 + /с^ш

¿з3 = -к\(к2 - 1) - 2к[ ■ к (6)

Продолжая эти уравнения, получим:

йк{7)

кз • к5

л ш 3 = —4-ш 4 л ш 5

л ш + л ш = /г.ш' л

Л Ш 4 + ¿/¿5 А Ш 5 - Рук) ' К Ш '

к

p, + p,Jk + pk,J —

где * О,

p\\jk — - рк/Л , /, j,k = 1,4 и все различны, причем

р\4 = Р\ь = Р1 ^ Рз5 -- Ри = Рп -- О, рм = Рп - Ри = Р\ъ - Ргъ - Р34 -

_ 14 к^ ' к^ ~ (к^) ~ к^ * ~ 1

кзр, к

45

45 = к + ~ ~ : к4 ■ к2 + —— к4 • к5 (к4)2 к5рк, к к

к

Р453 =

5 ' к3

к (7')

Умножая внешним образом обе части первых двух уравнений системы (7) на ш 1 л ш 2,

третье уравнение этой системы — на Ш 3 получим, что необходимым условием существования инфлекционно-метрического гиперкомплекса прямых в пространстве ^ являются три равенства: р'45 р452 р453 0, то есть инфлекционно-метрический гиперкомплекс прямых в ^ общего вида не существует.

Из р453 — 0 следует: или к33 — 0, или клъ — 0. При к33 — 0 из (6) следует, что кривизна к гиперкомплекса постоянна. Гиперкомплекс прямых в этом случае так же, как в1^, назовем гиперкомплексом постоянной кривизны. Для инфлекционно-метрического гиперкомплекса

прямых непостоянной кривизны к54 0 и из последних двух уравнений системы (7) следует, что

Р154 — р254 — р145 — р245 — 0. Учитывая, что р145 — р154 - р145, р245 — р254 - р452 , получим 4 условия на

функции к кУ , необходимых для существования инфлекционно-метрического гиперкомплекса

к45 — 0:

Ь

р45 = -1 + к4 ■ - к4 ■ к1 - —^ • к2 -

к

р^ — к 4" ■ кд ■ к^ — к^ ■ к^ к^ ' к^ - 0

к к

= к 4—-(кI -к.к;)кА4 - к,

2 4 7. 4 7.5 1 1

к1 4 1 ......1/4 5 к2

к

к {к ■ к1 + к1 ,р\5

4

+ 1

Р254 = k2 + 1(к • к11 + kl2)k44 - k44 • к55 - к55 kllk-2k+ • 1^12 = 0.

(8)

Исключая произведение кл ' Из второго и третьего уравнений системы (8), получим

^ ^ k 4 к55

систему двух линеиных уравнении относительно 4 и :

1с к\(к\ - к ■ к;) + кЦк ■ к\ \ к2х) -- - к{к2 + 1)5 к- к", (.к} - к ■ к2) - ¿55(к ■ к\ + ) = - к{к2 + 1). (9)

При " ' + л ^ " из (9) следует, что . При ^ * 0, к ■ к\ + Ау 1 0 система

; к ■ к\ + ^ * 0

(8) не имеет решений, то есть гиперкомплекс такого класса не существует.

При ^' к1 + к[ - 0 из системы (9) получим км = - А1п, уравнение р\-л = 0 превращается в

кл

тождество, а из уравнения р254 = 0 следует, что либо (Ьф - 1 = 0 , либо к55 = 0. Из системы (6) следует, что при кл5 = k55 = 0 гиперкомплекс не существует, поэтому кп = ± 1.

Рассмотрим инфлекционно-метрический гиперкомплекс прямых, для которого

Ь .

-1

значит к'1 = к, к \ \ - 1. Докажем его существование. Продолжая уравнение с!к

лучим, что ёШ 13 0 то есть Ш13 — полный дифференциал некоторой функции и можно

положить, что Ш13 ё. Система дифференциальных уравнений (6) рассматриваемого гиперкомплекса примет вид

Ш 02 = кШ13, Ш 01 = - Ш

12,

Ш 23 = Ш 03, - ёк = - (1+ к2)^,

Ш 24 = Ш 04,

- кШ 34 = к55Ш 14.

(10)

Из четвертого уравнения системы (10) следует, что к = tg(t + с). Дифференцируя внешним образом последнее уравнение системы (10) и учитывая уравнения структуры пространства ^ и соотношения (10), получим дифференциальное уравнение к5 : Риккати относительно 5

и

5 1 + 5 (к;у л- £

общее решение которого ¿55 = tg(t + c)tg(t + С1), где С1 — постоянная.

Отсюда следует, что рассматриваемый класс инфлекционно-метрических гиперкомплексов прямых в ^ существует с произволом в две постоянные.

к =1

При 11 замкнутая система дифференциальных уравнений инфлекционно-

метрического гиперкомплекса прямых в ^ имеет аналогичный вид:

Ш 02 = кШ1з, Ш 01 = Ш 12 , Ш

23 = - Ш 03,

с1к = (1+ к 2 )с/1, с!к I

5 . / 7 5 \ 2 1

+ (к5) ■- + к)(11к Ш 24= - ш 04,

- кШ 34 = ¿55 Ш14.

Ее решение к = - tg(t + с), ¿55 = - tg(t + + с1). Отсюда следует, что существует

единственный класс инфлекционно-метрических гиперкомплексов прямых в 1^4. Выясним его строение.

Деривационные формулы канонического репера рассматриваемого гиперкомплекса в ^ имеют вид

¿Е, = н кЛЕ2 н ¡х?)Е3 н ^^Ел, (1Е1 z -о^Е0 Л^;Е2 н ЛЕ3

' ' 2 Е 3 Е 4 Е

1 Шо с3 н Шо с4 5 -1 -4.0^2 - к(

С/£2 м

¿У/Ц : 3 = О-0 -

dE^ : 4 : 1Л0 Х-

(11)

Ео - Е2

Из этого следует, что точка инвариантна и, следовательно, прямые (Е0Е2)

образуют связку прямых с центром в точке N абсолюта, а прямые Е1Е3 и точка Е4 принадлежат касательной гиперплоскости Тз к абсолюту в точке N. Прямые гиперкомплекса пересекают пары прямых (Е0Е2) и (Е1Е3).

3

1

На голономном многообразии Ш 04 Ш 14 0 формулы [10] и [11] в точности совпадают

с деривационными формулами и дифференциальными уравнениями инфлекционно-

с

метрического комплекса и" в ^ [3].

тт Ш 12 = Ш 03 = Л = 0 ёк = 0,

На негонономном подмногообразии 12 03 легко заметить, что

Dш 04 = DШl4 = 0 , и поэтому можно положить Ш 01 = ёх;Ш 14 = ёу. Формулы [11] принимают вид

0 0 0 0 0 0

ёЕ0 = ёхЕ4, ЛЕ1 = ёуЕ4, ёЕ2 = ёхЕ4, О 0 0 0 0 0 0

ёЕъ = - кёуЕ4, ЛЕ4 = ёхЕ0 - ёуЕ1 - ёхЕ2 + кёуЕъ, где к — постоянное число.

□ □ □

Отсюда видно, что точка ^ кЕ1 Е инвариантна, то есть прямые (Е1Е3) образуют

Т'

связку прямых в 3 - плоскости Т3, прямые (Е0Е2) образуют связку в 3 - плоскости 3 , полярной для точки Q, а точка Е4 перемещается в плоскости Т2 Т П Т .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акивис М.А. Конформно-дифференциальная геометрия // Итоги науки. Геометрия. М., 1965. Т. 3. С. 108—137.

2. Гринцевичюс К.И. О дифференциальной окрестности второго порядка луча комплекса в многомерном проективном пространстве // Литовский математический сборник. 1960. Т.

52. № 4. С. 991—1020.

3. Зацепина О.В. Инфлекционно-метрический комплекс прямых в пространстве Лобачевского / Ряз. гос. пед. ин-т, 1988. Деп. в ВИНИТИ. 20.09.88. № 7044—В 88.

4. Зацепина О.В. Бикомплексы прямых в ^ // Геометрия обобщенных пространств.

Пенза, 1992.

5. Зацепина О.В. Инволюционный бикомплекс прямых в пространстве Лобачевского / Ряз. гос. пед. ин-т, 1993. Деп. ВИНИТИ. 16.06.93. № 1657—В 93.

6. Зацепина О.В. Полуспециальные комплексы прямых в пространстве ^ // Сборник научных трудов Российской ассоциации «Женщины — математики». Нижний Новгород, 1993. Вып. 1.

7. Зацепина О.В. Классификация инфлекционно-метрических комплексов прямых в пространстве ^ // Современная геометрия и теория физических полей. Казань, 1997.

8. Кованцов Н.И. Теория комплексов: Киев: Изд-во Киев. у-та, 1963. 289 с.

9. Кованцов Н.И., Ильяшенко В.Я. Инфлекционно-параболические комплексы прямых в гиперболическом пространстве // Укр. геометр. сб. 1977. Вып. 20. С. 57—69.

10. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 548 с.

11. Розенфельд Б.А., Зацепина О.В., Стеганцева П.Г. Гиперкомплексы прямых в евклидовом и неевклидовых пространствах // Изв. вузов. Математика. 1990. № 3. С. 57—66.