Импульсные самонастраивающиеся следящие системы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.51 В.А. Бейнарович

Импульсные самонастраивающиеся следящие системы

Изложена методика построения импульсных следящих систем с оптимальной самонастройкой по минимуму среднеквадратичной ошибки при отработке случайных стационарных полезных сигналов при наличии помехи «белый шум».

Задачей функционирования импульсных следящих систем обычно является воспроизведение случайного стационарного полезного сигнала у[пТ] с минимальной импульсной квадратичной ошибкой при наложении помехи типа белого шума Ы[иТ], где Т — интервал дискретности.

В непрерывных системах для воспроизведения полезного сигнала с минимальной квадратичной ошибкой при наложении помехи типа белого шума оптимальная передаточная функция основной замкнутой следящей системы определяется по методу Винера — Колмогорова в виде [1, 2, 5]

=

С(р)

YP(р, х) ^у+

Р

_у

С(-р)

(1)

где Yp (р, х) — желаемая передаточная функция основной разомкнутой САУ;

С(р) ■ С(-р) = ^ {У) + {Р] + ^ [Р] + [р] = ^ [р], (2)

(Р / У) — спектральная плотность полезного сигнала; (р/У) — спектральная плотность

помехи; (р/У) и (р / У) — изображения Фурье от взаимных корреляционных функций

полезного сигнала и помехи; С(р) имеет полюсы и нули в левой полуплоскости комплексной переменной р, а С(—р) — в правой полуплоскости комплексной переменной; символом [ ]+ обозначена часть оптимальной передаточной функции, которая имеет особые точки в левой полуплоскости комплексной переменной р; значком * здесь и далее обозначены оптимальные характеристики и оптимальные значения параметров следящей системы.

Отсутствие взаимной корреляции между сигналом и помехой упрощает выражение (1), где будут Yp(р) = 1 и (р / У) = 0. При этом спектральная плотность суммарной ошибки

ее (О = ¥(£) + N(0 - Ф(Ь) , где Ф(0 — выход системы, а Ы(Ь) — помеха типа белого шума на входе оптимальной системы при х = х*, определяется выражением, не зависящим от частоты [1, 5]:

SeC(<в) = |1 - YЗ(Ую)|2 ■ (<в) + SNN(<в)] = SNN(<в) = а2, (3)

где а — дисперсия помехи типа белого шума.

Из (3) с учетом (1) и (2) для оптимальной системы при х = х* получим

N \т\ л12 5еС(р/У)

1 - ЪЩ = С(рс -с(-р), (4)

откуда оптимальная передаточная функция системы запишется в виде

^ =1 - СО). <5)

При известных значениях отношения р уровней сигнал/помеха, спектральной плотности полезного сигнала (например, (<) = к2/ га2) с наложенной помехой типа белого шума с

(<) = а2 по выражению (5) можно определить оптимальную передаточную функцию замкнутой системы Ъз*(р) = х /(р + х), оптимальное значение параметра х* = р, спектральную плотность суммарной ошибки 5Е(ю) = а2[(х*)2 + <2]/[х2 + <2] и частную производную спектральной плотности

0 0 О ООО

суммарной ошибки по частоте Э5е(<)/ Э< = 2а2<[х2 - (х*)2]/(х2 + ю2)2 [5].

Изменение в процессе работы отношения р уровней сигнал/помеха на входе следящей системы приводит к изменению спектральной плотности Зес(ю) суммарной ошибки ес(£) и отклонению

1

коэффициента передачи х основной системы от оптимального значения параметра х*, рассчитанному по (5), что приводит к необходимости его самонастройки.

Измерить отношение р уровней сигнал/помеха невозможно [1, 2, 5]. Для определения оптимального значения х* = Др) по изменению спектральной плотности суммарной ошибки 5Е (ю) можно использовать дифференциальную схему датчика с двумя частотными фильтрами [5], в которой реализуется беспоисковое определение градиента функции Э5'Е (ю)/ Эю.

В импульсных следящих системах импульсную передаточную функцию, оптимальную по минимуму импульсной квадратичной ошибки, можно определить, пользуясь аналогом метода Винера — Колмогорова для импульсных систем [3, 4].

На рис. 1 приведена схема импульсной самонастраивающейся следящей системы с датчиком рассогласования с двумя частотными фильтрами, работающая при спектральных плотностях полезного

сигнала и помехи в виде функций круговой частоты (ю) = к2 / ю2 и (ю) = а2 и отсутствии

корреляции между ними, где суммарная и действительная ошибки имеют вид ес[пТ] = у[пТ] + Ы[пТ] - Ф[пТ] и е[пТ] = у[пТ] - Ф[пТ].

У[пТ\

Sww(rn)=k2/rn2 SNN(m)=a2

N(t) N[nT]

2 4 Pi

3 4 в2

Рис. 1. Импульсная самонастраивающаяся следящая система: 1 — основная система; 2, 3 — частотные фильтры;

4 — детектирование и сглаживание; 5 — усилитель и исполнительный элемент

При отсутствии корреляции между сигналом и помехой импульсная спектральная плотность суммарной ошибки запишется в виде [3, 4]

5ec(z) = |1 - Уз(z)|2 ■ [5W(z) + SNN(z)] = jX-Zj ^EW1, (6)

где Syy(z) — импульсная спектральная плотность полезного сигнала; Snn (z) — импульсная спектральная плотность сигнала помехи; Y^(z) — импульсная передаточная функция замкнутой системы; z = epT.

При оптимальном значении x = x* выражение (6) упрощается, и в случае помехи типа белого шума в оптимальной системе получим условие независимости импульсной спектральной плотности от частоты [3, 4]:

с V ч D(z) 2 /-7Ч

Sec (z) = ^т = a2. (7)

E(z)

При отклонении импульсной спектральной плотности ошибки от оптимального значения Sec (z) ^ Sec (z) = a2 изменится параметр x Ф x*, что потребует самонастройки импульсной системы аналогично непрерывным системам с использованием дифференциальной схемы датчика с двумя частотными фильтрами [5] для определения градиента dSec(ю)/ Эю и самонастройки параметра x системы на оптимальное значение x = x*.

При спектральных плотностях полезного сигнала Sw(ro) = k2/ro2 и помехи типа белого шума SNN(ro) = a2 и отсутствии корреляции между сигналом и помехой импульсная спектральная плотность суммарного входного сигнала может быть представлена в виде [3, 4]:

Smm(z)= Syy(z) + SNN(z)= -

T k2z (z - 1)2

■ + a2 = C(z)+ + C(z)_

где

C(z)+ = a

Г = 1 +

z - Г, z -1 '

p2t 2

1

z

C(z)_ = a-Г,

z-1

1 +

2

-1,

k

P = -. a

(8)

(9)

(10)

При этом согласно выражению (5) импульсная передаточная функция оптимальной следящей системы запишется в виде [3, 4]

V*(z) = 1 -

C(z)+

= 1 -

a(z -1) 1 - Г

a(z - Г) z - Г z - 1 + х

где

х = х* = 1 - Г =

1 +

p2t ^ 2

-1 -

p2t 2 '

(11)

(12)

Из (12) видно, что оптимальное значение параметра x* основной системы, в отличие от непрерывных систем, зависит не только от отношения р уровней сигнал/помеха [5], но и от интервала дискретности Т.

Система работает следующим образом. Дискретный сигнал суммарной ошибки ec [nT] (см. рис. 1) подается на частотные фильтры 2 и 3, выделяющие из его огибающей низкочастотную и высокочастотную составляющие, из которых после детектирования и сглаживания в устройствах 4

_2 _2

формируются сигналы среднеквадратичных отклонений Oj и о2 этих составляющих от среднего

_2 _2

значения суммарной ошибки. Сигналы Oj и О2 умножаются на коэффициенты bi и Р2 и взаимно

вычитаются так, что при оптимальной импульсной спектральной плотности суммарной ошибки

* , 2 * _2* _2* / \ * 2

Sec (ю) = a усредненное напряжение Us = PiOj - b2o2 = 0. При отклонении Sec (ю) ф Sec = a

появляется разность сигналов положительного или отрицательного знака, которая после усиления увеличивает или уменьшает коэффициент передачи x основной системы до x = x*.

Расчеты для конкретных полезных сигналов и помехи типа белого шума (см. рис. 1) показывают, что напряжение U^ на выходе датчика рассогласования в дискретные моменты времени определяется по формуле [1, 5]

US = ßxs2 -ß2ö2 = a2(x - х*)в(х, x*)C(a!, a2).

;=2

(13)

При полезном сигнале с (<) = к2/<2 и помехе с (<) = а2 и фильтрах в контуре

самонастройки в виде звеньев первого порядка с постоянными времени а1 и а2, в (13) получатся следующие выражения:

(х - 1)(х + х * -хх*)

Б(х, х*) = ■

(х * -1)(2 - х)х T T

C(«!, a2) = е a1 - е a2 = с.

(14)

(15)

линеаризованное уравнение статики датчика (16)

Для малых отклонений Дх[пТ] = х*[пТ] — х[пТ] рассогласования запишется в виде

иЕ [пТ] = а2 Г с {х* [пТ] - х [пТ]},

где Г — коэффициент линеаризации с учетом (11) — (14) Г = В (х*, х*) = 1.

Предложенная методика позволяет производить расчеты и построение импульсных самонастраивающихся следящих систем с частотными фильтрами в контуре самонастройки. Данный метод может быть обобщен на случаи: 1) помеха не является «белым шумом»; 2) имеются ограничения на координаты системы; 3) желаемая передаточная функция (р) Ф 1; 4) имеется корреляция между полезным сигналом и сигналом помехи.

Литература

1. Теория автоматического управления / Под ред. A.B. Нетушила. Ч. 2. — М.: Высшая школа, 1972. — 432 с.

2

a

х

2

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. — М.: Наука, 2003. — 752 с.

3. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. — М.: Машиностроение, 1962. — 684 с.

4. Ту Ю.Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. — М.: Машиностроение, 1964. — 703 с.

5. Бейнарович В.А. Самонастраивающиеся следящие системы с частотными фильтрами // Вестник Сибирского гос. аэрокосмич. ун-та имени академика М.Ф. Решетнева. СИСТЕМНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ: Специальный выпуск. — Красноярск: РИО Сиб. гос. аэрокосм. ун-та, 2006, С. 129—131.

Бейнарович Владислав Александрович

ГОУ ВПО «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники» Д.т.н., профессор кафедры КИБЭВС Эл. почта: [email protected].

V.A. Beynarovich

Pulse self-adjusted watching systems

The technique of construction of pulse watching systems with optimum self-adjustment on a minimum of a root-mean-square mistake at processing casual useful signals and presence of a handicap «white noise» is stated.