Оценка точности алгоритма идентификации и синтез оптимальной моделирующей функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62.83.52

В. А. Селиванов, канд. техн. наук, доц., Ю. В. Селиванова

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМА ИДЕНТИФИКАЦИИ И СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЙ МОДЕЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрена оценка точности алгоритма идентификации и синтез оптимальной модулирующей функции для систем управления электроприводами. Корректное решение задачи идентификации получается при условии хорошей обусловленности системы уравнений. Следовательно, передаточная функция оптимальной модулирующей функции имеет вид инерционного звена, обеспечивающего минимум среднеквадратичной ошибки. Параметры синтезированной оптимальной модулирующей функции зависят от уровня помехи и постоянной времени объекта. Определение частотных характеристик может быть как аналитическим, так и графическим методами.

Задача идентификации относится к классу некорректных. При наличии полной информации о входном и выходном сигналах и отсутствии помех практически необходимым условием параметрической идентифицируемости является знание порядка дифференциального уравнения объекта [1, 2].

Однако не всегда имеется полная информация о входном и выходном сигналах, которые искажаются помехами, присутствующими при промышленных измерениях. Кроме этого существует ряд погрешностей, обусловленных конечностью длины реализаций наблюдаемых процессов, ошибками округления, технической реализацией.

Корректное решение задачи идентификации может быть получено, если система уравнений (1) хорошо обусловлена и ошибка в оценках неизвестных параметров в основном определяется помехой и технической реализацией. Рассмотрим причины возникновения некорректности результатов идентификации систем электропривода в промышленных условиях методом модулирующих функций [3].

Контролируя сигналы входа и выхода одномерного разомкнутого объекта формируем систему алгебраических урав-

нении вида

(1)

где С - невырожденная квадратная матрица порядка п:

С =

С С С

^00 '-"01 ••• ^0

С С С

10 11 1

С С С

0 ^]1 ■■■

С С С

]п

а - вектор-столбец неизвестных параметров в вещественном и-мерном пространстве Яп:

а =

ап

а

а

и - вектор-столбец свободных членов:

и =

и

Примем в качестве модулирующей функции Ф(', т) импульсную переходную функцию (п + 1) последовательно соединенных апериодических звеньев:

Ф.*.г) = (2)

и!

где и - п-й порядок импульсной функции Пуассона; С - положительное вещественное число.

Следует заметить, что и-я им-

пульсная функция Пуассона является импульсной характеристикой для (и + 1) ячейки фильтра, который имеет (и + 1) ячейку с передаточными функциями (р + С )-1 . Использование в качестве модулирующей функции экспоненциального ряда (2) эквивалентно в комплексной области введению фильтра ^р+С^, что соответствует случаю регуляризации и-го порядка гладкости и делает задачу идентификации корректной [4]. Применение только ортогональных модулирующих функций часто безуспешно из-за слабой регуляризации.

Рассмотрим систему уравнений (1). Такая матрица представляет взаимно однозначное отображение Яи в Яи и имеет

одинаковую обратную матрицу. Значит система имеет единственное решение а, которое можно записать в форме С~1и. Предположим, что исходные данные (элементы С и и) в некоторой степени неопределенны, и необходимо знать, как эта неопределенность сказывается на решении а. Если сделать предположение, что матрица С имеет неопределенность, которая обусловлена технической реализацией алгоритма

(і) = (-1)'+*■] у (т)

дг+ЛФ (і, т)

дт

:+л

ёт,

а вектор и точно известен, тогда имеем а + 5- а = (С + 5- С )-1 ■ и

или

5 ■ а =

(С + 5С )-1 - С -

и.

(3)

(4)

Если В = С + 5С в тождестве

В- - С- = С-1-(С - В)- В Л (5)

найдем из (4)

5-а = -С-1 -(5- С)-(С + 3 С)-1 и =

= -С1-(3 С)-(а + 3 С). (6)

Перейдем в (6) к нормам, используя неравенство Коши-Шварца-Буняковского:

||5- а|| < |С_1| ■ ||5-С|М|а + ■ а|| • (7)

И окончательно

■

а

а + 5■ а

<

С-ч5$. (8)

Аналогично имеем, если матрица С известна точно, а вектор и с некоторой неопределенностью.

Имеем и + 5 ■ и другую правую часть, близкую к иС ■ (а + 5 ■ а) = и + 5 ■ и , и, предполагая и = 0, имеем

II5'

а

<

а

С

и

и

(9)

Для любой невырожденной матрицы С определим число обусловленности [Сопё(С)] как произведение ||С||- С- .

Следовательно, число обусловленности зависит от используемой нормы. Исходя из Евклидовой нормы следует

Сопё (С ) =

с-1

Из неравенств (8) и (9) получим:

5

а\ ||5-С||

—— < Сопё(С)■•!!----------11 •

а + 5 ■ а

15'а 15'

11 11 < Сопё(С) ■11

и

а

(11)

(12)

Исходя из вышеизложенного,

М и 15С1

—П—П— и —„—П—

можно интерпретиро-

вать как меру относительной неопределенности в задании вектора и или матрицы С.

Неравенства (11) и (12) означают, что Соий(С) ограничивает сверху отношение относительной неопределенности решения а к относительной неоп-

и

ределенности матрицы С или вектора и. Так как согласно (10) Соиё(С) > 1, эта граница не может быть меньше единицы. Необходимо отметить следующее: нельзя дать более точную оценку, чем (11) или

(12) для произвольных векторов и матриц независимо от их величины.

Чувствительность решения линейной системы алгебраических уравнений (7) к формируемым коэффициентам вида

Сл (і) = (-1)'+Л І ут

д'+ЛФ (і, т)

і -Т

і

дт

'+Л

ёт;

= (-1У+Л | У(Т-

'-т

играет роль шумового фона. Бесполезно считать решение а более правильным, если оно выражено с большей точностью, чем то, которое гарантирует область неопределенности. Значения Соиё(С) являются более важным критерием трудности решения линейной системы С -а = и , чем малость йе'(С) либо громадность порядка и.

Если известно, что ||С|| = 1, то очевидно, что Соий(С) = С- . Если элементы матрицы ||С|| находятся в области от

0,1 до 1,0, то обусловленность С определяется величиной элементов С-1. Таким образом, если матрица масштабирована так, что ее элементы близки к единице, надежным признаком плохой обусловленности С является то, что некоторые или все элементы С-1 велики. В этом частном случае целесообразно предварительно «нормировать» алгебраическую систему и затем для определения обусловленности сравнивать величину полученного определителя А н С ± 1.

Задача синтеза, а также проектирования системы идентификации методом скользящих модулирующих функций заключается в таком выборе вида модулирующей функции, параметров и способа ее технической реализации, при котором требуемая точность оценки неизвестных параметров обеспечивается путем приме-

нения простых и надежных технических средств.

Норма вектора ошибки в оценке неизвестных параметров ограничивается сверху неравенством (8), (12). При ограничении сверху Соий(С) максимальная ошибка прямо пропорциональна норме вектора ||г0||, наличие которого обусловлено влиянием помех, и обратно пропорциональна норме матрицы определяемой выражением

к=1 '=0

X

ЇК Г =ХП Г = 1

V '=0

Отношение

к=1

(13)

СИ

при остальных

равных условиях определяется видом и параметрами оператора модулирующей функции.

В случае одномерного объекта, описываемого в динамике дифференциальным уравнением

-п ёу

X аг--77 = Х(і),

'=0 ш

(14)

требование максимума ||С|| при фиксированных а{ соответствует максимуму

и

^ (о), так как сумма

к=1

X X ^ И ■ а=X яик ОХ (15)

'=0 к=1

к=1

где

Sdl(о) = X,(о)-фк(р)|2;

Suk (о) = X, (о). |фк (р )|!.

При параллельном способе формирования системы алгебраических уравнений относительно неизвестных

параметров ик и ик+1 отличаются на оператор дифференцирования, поэтому при равенстве коэффициента усиления по каналам формирования С'к и ик при входном сигнале, спектральная плотность которого ограничена частотой о < 1 , идеальный преобразующий оператор

Ф° (Р) = 1 і , а при о > 1 идеальный пре-Р "

образующий оператор модулирующей Ф (р) = 1. Это соответствует идеальному интегрированию, или дифференцированию. Практическая реализация таких операторов затруднительна.

В современных автоматизированных электроприводах спектр сигналов находится в области частот о»1, поэтому идеальный преобразующий оператор Ф (р) = 1. Наличие помех ведет к увеличению нормы вектора ошибок:

X т1- •/ Я, (о) ■ Ф (р)Г ёо. (16)

к=12 - -ад

Предъявляемые требования (13) и (16) противоречат друг другу.

В общем случае при случайных воздействиях, когда спектры частот полезного сигнала и помехи налагаются друг на друга, для синтеза оптимальной модулирующей функции применим способ Винера [1].

Имеются случаи идентификации параметров объекта, когда на выходной сигнал исследуемого объекта аддитивно наложена помеха и корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует. Структурная схема невязки в сформированном алгебраическом уравнении вследствие наличия в выходном сигнале аддитивной помехи и(') приведена на рис. 1. Проведя структурные преобразования, получим схему, соответствующую задаче статистического сглаживания или фильтрации (рис. 2). В этом случае уравнение оптимальной передаточной функции имеет вид [1]:

Ф° О о) =

1

2-^(І^о)

ад ад о /у-чЛ

<[є-1оійі■ І ф ) ■е°йо, (17)

0 -ад и

где

Я*(о) = Яцх (о) = Н (] о (о). (18)

Бф(о) = Ях (о) + Яп

^( Р)

(19)

у С =¥(]■ о)х ху( j■ о) = 8ф(о). (20)

Предположим, что входной сигнал х(і) сохраняет постоянное по величине абсолютное значение а, среднее число перемен его знака в единицу времени равно V . Спектральная плотность такого сигнала определяется выражением

Я (о) =

2-а V

о2 +4^V2

(21)

В качестве помехи принимаем «белый шум», т. е.

Я, (о) = С \

(22)

Выберем коэффициенты а и V в выражении (21) для простоты таким образом, чтобы можно было записать

Я: (о) =

1

о2 +1

(23)

Передаточная функция исследуемого объекта

^( Р) =

1

т ■ р+1

(24)

где Т - неизвестный параметр.

Выражение (20) приведем к общему знаменателю:

ч (1+С2)+С2-(1+Т2)-о2 + С2-Т•о4 (25) -------------------------------■ ()

X

2

ад

Рис. 1. Структурная схема невязки в алгебраических уравнениях при наличии в выходном сигнале аддитивной помехи

Рис. 2. Структурная схема статистического сглаживания или фильтрации

Найдя корни числителя у1,у2,...,у и знаменателя Л1, Л2,..., Л выражения (25) и отобрав те из них, которые расположены в верхней полуплоскости, получим

С . Т. ( т — V ) . (/! — V )

, (26)

где

Ух = і-

Т

Ї2 = ]

т'\

)=—1 (о- ])

1(1 + Т2) + ^ Т2 (1 -Т2)2 -4-С-

2

(1+т 2)-]і Т2 (1 -Т2)2 -4- —

= ]-Гх\

= ]-Ї2-

Отобрав корни числителя и знаменателя, расположенные в нижней полуплоскости, найдем

¥. (]. а) = С-Т-(о + П)<о + П) (27)

(о + ])

Тогда

^ О) =_______________1____________

V (]-о) С-Т-(о-])-(о+Гі)-(+72)

. (28)

Разложив (28) на простые дроби, найдем функцию

В + (]-о) = £

а

1 °-Пг -1

с-т-(1 + г* )-(1 + г* )-О-гУ

где

а =

^ (о)

V*(]- о)

о=П

-1

а=

1 С-Т-(1+ /*)- (1+ Г*)'

(29)

(30)

(31)

Поделив (29) на (26), получим выражение искомой функции Ф (]- о) :

Ф° (]- о) =

В + С/ -о)

¥(] -о)

а

С-Т-(°-у1)-(°-у2)

К

С/- ТФ1 -О +1) (] -Тф 2 -О +1)5

(32)

где

К1 =

К2 =

С-Т-(1+г; )2

*

/2 .

С-Т-(1+ ^ )2;

Т = —.

^Ф1 *5

/1

Т = —

±Ф 2 - •

У2

(33)

(34)

(35)

(36)

Исходя из вышеизложенного, передаточная функция оптимальной модулирующей функции, которая обеспечивает минимум среднеквадратичной

ошибки Тц$ инерционного звена, равна

двум последовательно включенным апериодическим звеньям с параметрами (33)-(35). Параметры синтезированной оптимальной модулирующей функции зависят от уровня помехи С и постоянной времени Т объекта. Если диапазон параметров объекта неизвестен и нестационарен уровень помехи, целесообразно провести адаптацию блока формирования коэффициентов в процессе идентификации.

Если спектральные плотности Sф(o) и SMф(o) заданы в виде кривых,

аналитические выражения которых неизвестны, то более удобным может оказаться графоаналитический метод определения оптимальных частотных характеристик [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. Н. Попов. - СПб. : Профессия, 2003. - 752 с. : ил.

2. Александров, А. Г. Оптимальные и адаптивные системы / А. Г. Александров. - М. : Высш. шк., 1989. - 263 с. : ил.

3. Куропаткин, П. В. Оптимальные и адаптивные системы / П. В. Куропаткин. - М. : Высш. шк., 1980. - 287 с.

4. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1974. - 230 с.

Белорусско-Российский университет Государственный политехнический колледж Материал поступил 28.12.2007

V. A. Selivanov, J. V. Selivanova Accuracy rating of the identification algorithm and synthesis of the optimal modulation function

Accuracy rating of the identification algorithm and synthesis of the optimal modulation function for electric drive control systems are examined in the article. The proper solution of the identification task is obtaining on condition that system of equations are well conditioned. Therefore, the transfer function of the optimal modulation function is given in the form of inertial link, providing mean-square error. Parameters of the synthesized optimal modulation function depend on the noise level and time constant of the object. Frequency characteristic determination can be made both with the help of analytic and graphic methods.