CC BY
1при выполнении ограничения (5). Это означает, что если под нормой вектора на фазовой плоскости Уъ У2 понимается max(|yi|, |y2|), то область достижимости системы (1), (2) с ограничениями на параметры (4) или (5) будет "наибольшей" при ß = ß~, ш = и "наименьшей" при ß = ß+ ш = Результаты численного моделирования подтверждают этот вывод.
Авторы приносят благодарность проф. В. В. Александрову за проявленное внимание к работе и ценные замечания.
Публикация подготовлена в рамках реализации Программы создания и развития научного центра мирового уровня "Сверхзвук" на 2020-2025 годы при финансовой поддержке Минобрнауки России (распоряжение Правительства РФ от 24 октября 2020 г. № 2744-р).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
2. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.
3. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.
4. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.
5. Александров В.В., Александрова О.В., Нриходько H.H., Темолтзи-Авила Р. О синтезе автоколебаний // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 41-44.
6. Пацко B.C., Федотов A.A. Аналитическое описание множества достижимости для машины Дубинса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. 26, № 1. 182-197.
7. Жермоленко В.Н. К задаче Б.В. Булгакова о максимальном отклонении колебательной системы второго порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1980. № 2. 87-91.
8. Овсеевич А.И., Тарабанько Ю.В. Явные формулы для эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 2. 33-44.
9. Allen R.E., Clark A.A., Starek J.A., Pavone M. A machine learning approach for real-time reachability-analysis // 2014 IEEE/RSJ Int. Conf. on Intelligent Robots and Systems. Chicago, IL, USA, 2014. 2202-2208.
10. Александров B.B., Бугров , LH.. Жермоленко В.Н., Коноваленко И.С. Множество достижимости и ро-бастная устойчивость возмущаемых колебательных систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2021. № 1. 67-71.
11. Sadovnichiy V.A., Alexandrov V.V., Lemak S.S., etc. Robust Stability, Minimax Stabilization and Maximin Testing in Problems of Semi-Automatic Control // Continuous and Distributed Systems II. Theory and Applications. Vol. 30. Springer, 2015. 247-265.
12. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: СУДПРОМГИЗ, 1962.
13. Харитонов В. Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. 14, № 11. 2086-2088.
14. Александров В.В., Бугров , LH.. Пилюгина С.К. Область достижимости линейной системы второго порядка с неопределенностью / / XII Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. 162-163.
Поступила в редакцию 22.10.2021
УДК 523
ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОПАСНЫМ АСТЕРОИДОМ В ОБЛАСТИ РЕЗОНАНСА 1:1
В. А. Прошкин1, А. С. Чура2
В работе исследуется возможность импульсного управления астероидом, сближающимся с Землей. Схема управления фиксирована — это двухимпульсный перелет с гравитационным маневром у Земли. Цель первого импульса — коррекция сближения с Землей.
1 Прошкин Владимир Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: proschkinQmail.ru.
2 Чура Антон Сергеевич — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anton4405antonQyandex.ru.
Proshkin Vladimir Alexandrovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
Chura Anton Sergeevich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
С помощью гравитационного маневра астероид переводится на оскулируюгцую гелиоцентрическую орбиту с периодом, близким к периоду обращения Земли вокруг Солнца. Цель второго импульса — перевод астероида на орбиту, период обращения по которой совершает долгопериодические колебания около периода Земли. Предложена приближенная методика оценки реализуемости перелета. Рассмотрены два примера — астероиды Апофис 2004 MN4 и Дуэнде 2012 DA14.
Ключевые слова: круговая ограниченная задача трех тел, резонанс, численное моделирование движения в планетной системе, импульсный перелет, гравитационный маневр, опасный астероид.
The paper investigates the possibility of pulsed control of an asteroid approaching the Earth. The control scheme is fixed — this is a two-pulse flight with a gravitational manoeuvre near the Earth. The purpose of the first pulse is to correct the approach to the Earth. With the help of a gravitational manoeuvre, the asteroid is transferred to an osculating heliocentric orbit with a period close to the period of the Earth's revolution around the Sun. The purpose of the second pulse is to transfer the asteroid to an osculating orbit, the period of rotation of which makes long-period fluctuations near the period of the Earth. An approximate method for evaluating the feasibility of a flight is proposed. Two examples are considered: the asteroids Apophis 2004 MN4 and Duende 2012 DAW.
Key words: circular restricted three-body problem, resonance, numerical simulation of motion in a planetary system, impulse flight, gravitational manoeuvre, dangerous asteroid.
1. Введение. Вопросы управления естественными небесными телами рассматриваются в научных публикациях с конца прошлого века. Обзор и сравнение различных методов управления можно найти в [1]. Современные технические возможности позволяют оказывать только очень слабые воздействия на движение таких тел. Но о решении некоторых задач говорить все-таки можно, например если требуется предотвратить какое-то конкретное столкновение [1, 2]. Разрушение тел с помощью взрывов может привести к новым опасностям. Вывод их за пределы Солнечной системы даже с помощью гравитационных полей крупных планет не всегда возможен. Поэтому вполне актуальна проблема перевода опасного для Земли тела на сравнительно безопасную орбиту так, чтобы оно могло по этой орбите двигаться сотни лет без дополнительного вмешательства, не угрожая Земле.
В настоящей работе рассматривается импульсная модель управления без конкретизации способа мгновенного изменения вектора скорости тела. Для предварительной оценки реализуемости управления и для построения первого приближения используются задача Кеплера и круговая ограниченная задача трех тел Солнце-Земля-астероид. Уточнение алгоритма производится с помощью численного интегрирования в модели, которая далее для краткости называется более сложной. В ней дополнительно учитываются гравитационные поля Юпитера и Луны, а также одна из моделей светового давления от Солнца [3]. Необходимая информация о движении всех планет и астероидов по их естественным траекториям взята на сайте https://ssd.jpl.nasa.gov/. Схема управления фиксирована. В терминах динамики космического полета рассматривается двухимпульсный перелет с гравитационным маневром в окрестности Земли. Численное интегрирование организовано в среде MATLAB с использованием информационной системы SPICE [4].
В круговой ограниченной задаче трех тел в системе координат, вращающейся вместе с Землей вокруг Солнца, есть два типа траекторий, которые называют подковообразными и "троянцами". Двигаясь по ним, астероид проходит через окрестности точек либрации L4, L3, L5, но в окрестность Земли, содержащую точки L\, L2, не попадает. В природе такие астероиды существуют. В системе Солнце-Земля — это YORP 2000 РН5, 2010 ТК7. Используем такие траектории как варианты сравнительно безопасных орбит. Они порождаются резонансом 1:1 между средними движениями планеты и астероида на оскулирующих кеплеровских эллипсах относительно Солнца. Для краткости оскулирующие кеплеровские гелиоцентрические орбиты и их параметры будем называть просто оскулирующими. Резонансный эффект состоит в том, что оскулирующий период обращения астероида вокруг Солнца совершает долгопериодические колебания около периода обращения Земли. В результате во вращающейся системе координат рождаются не только траектории описанных двух типов, но и орбиты, проходящие через окрестность Земли, в частности траектории квазиспутников [5]. Они небезопасны, но прикладное значение могут иметь [2].
Необходимым условием для реализации предлагаемой схемы управления является существование момента достаточно тесного сближения астероида с Землей на его естественной траектории. Первый управляющий импульс скорости Avi должен произвести такую коррекцию траектории сближения, которая в последующем пассивном движении исключит столкновение и обеспечит переход
астероида на орбиту с оскулирующим периодом Та, максимально близким к периоду Земли Тф. Второй импульс скорости Дv2 должен перевести астероид на орбиту одного из двух безопасных типов.
2. Перевод в окрестность резонанса. Будем предполагать, что
'^'-НГ4, (1)
Ы
rsj
где Vа — скорость астероида относительно невращающейся гелиоцентрической системы координат в момент сообщения ему импульса Дvl. Такой импульс не способен заметно изменить параметры оскулирующей орбиты, но, если его сделать заблаговременно, способен достаточно сильно сдвинуть момент сближения. Это позволяет в некоторых пределах управлять результатом сближения [1]. Для удобства описания используем сферу действия Земли [6]. Пусть V- — относительная (геоцентрическая) скорость входа астероида в сферу действия, а ^ — относительная скорость выхода, причем ~ IV-1, так как относительное движение внутри сферы действия приближенно описывается задачей Кеплера. Следовательно, гравитационное поле Земли поворачивает вектор v- на некоторый угол. Обозначим через V® скорость Земли на ее гелиоцентрической орбите, через рп — нижнюю границу расстояния от астероида до центра Земли. Тогда максимальный угол ап между векторами v- и возможный в таких условиях, вычисляется по приближенной формуле [2]
. 1
вт
2 1+ v-2/v 2:
п
где vn — скорость на геоцентрической круговой орбите радиуса рп. Эта формула получается в предположении, что векторы v_ и v+ — это скорости на бесконечности на геоцентрической кеплеровской гиперболе. Из элементарной геометрии следует, что если |v+1 ^ 2|v®|, то существует угол aR между векторами v+ и v®, при котором |v+ + v®| = |v®|, а именно cos скд = — . В этом случае астероид после сближения оказывается на резонансной оскулирующей орбите. Нетрудно понять, что необходимым условием возможности перевода на такую орбиту астероида является выполнение неравенства
laR - a— ^ an, (2)
в котором a_ — угол между v_ и v®. Нарушение этого условия означает нереализуемость перевода астероида в строгий резонанс. Неравенство (2) можно проверить заранее, так как при условии (1) Avi v_
Avi
сближения с Землей дает Ta = Тф. Он не является искомым, поскольку приводит к повторному тесному сближению через год, в результате которого может произойти сильное изменение оскули-рующего периода астероида или столкновение. Импульс, дающий минимальную разницу межу Ta и T® и исключающий столкновение, естественно искать в окрестности такого первого приближения.
В работе рассмотрены два конкретных примера: астероиды Дуэнде 2012 DA14 (сближение с Землей было в феврале 2013 г.) и Апофис 2004 MN4 (сближение предстоит в апреле 2029 г.). Для них условие (1) означает, что |Avi| ~ 1 м/с. Для Апофиса это находится на пределе реализуемости [1]. С помощью численного моделирования в более сложной модели в обоих примерах были найдены Avi
ния и которые после трех первых сравнительно тесных сближений с Землей переводят астероиды на орбиты с оскулирующими периодами, ближайшими к периоду Земли. Разрушение астероидов гравитационными силами при выполнении этого маневра маловероятно, так как минимальное расстояние от центра Земли для Апофиса оказалось равным приблизительно 200 тыс. км, для Дуэнде — 116 тыс. км, что на порядок больше, чем предел Роша [7] для типичных астероидов. В результате ближайшими к T® оказались в обоих примерах периоды Ta, приблизительно равные 360 суткам и 370 суткам. В первом случае Апофис, обгоняя Землю в относительном движении, в среднем удаляется от нее, а Дуэнде еще около двадцати лет появляется в ее окрестности, пересекая область орбит квазиспутников. Во втором случае все наоборот, причем оба астероида в среднем отстают от Земли. Отсюда следует, что для перевода астероидов на подковообразную орбиту или на орбиту "троянцев" для Апофиса более безопасным является импульс Avi, дающий Ta = 360 суток, а для Дуэнде — Ta = 370 суток.
| Avi |
| Avi |
времени между моментом сообщения импульса и моментом сближения с Землей.
3. Маневры в резонансной области. Первое приближение для импульса Av2, переводящего астероид на орбиту нужного типа, найдем с помощью круговой ограниченной задачи трех тел Солнце-Земля-астероид, осредненной с учетом резонанса 1:1. Осредненная система получается в результате некоторого набора канонических преобразований [8]. Опустив подробности, опишем лишь необходимые обозначения и приведем результат.
Как обычно в ограниченной задаче трех тел [9], единицы измерения будем считать выбранными так, что сумма масс Солнца и Земли, радиус орбиты Земли относительно Солнца и модуль скорости движения по ней равны единице. Массу Земли обозначим в выбранных единицах Л ^ 3 • 10"ь. Плоскость орбиты Земли примем за координатную плоскость Oxy невращающейся системы координат Oxyz с началом в Солнце. В ней же лежат и оси Ox и Oy системы координат Oxyz, вращающейся вместе с Землей. В выбранных единицах угол поворота равен t, а период Тф = 2п. Используем стандартные углы, определяющие положение оскулирующей орбиты и астероида на ней [10]: $ — истинная аномалия; g — аргумент перицентра; h — долгота восходящего узла, отсчитанная от неподвижной оси Ox в плоскости Oxy i — наклонение. Кроме того, обозначим через h долготу восходящего узла, отсчитанную от вращающейся оси Ox, и через 7 — угол между радиусами-векторами r и ri астероида и Земли. В качестве канонических координат используем элементы Делоне (l, g,h, L,G, H) [10]. Переход в окрестность резонанса сопровождается введением новых координат (q,g,h,p,G, H):
q=l+g+h— t, g = g, h = h — t, p = G = G — L + l, H = H — L.
л/U
Отметим, что координата p является нормированным отклонением от резонансного многообразия. Действительно, в нашем случае на оскулирующей эллиптической орбите астероида имеем [10]
ТА = 2тга3/2 = 2тг L3 = 2тг(1 + лfjipf.
Следовательно, многообразие резонанса 1:1 задается уравнением L = 1 или p = 0. Координата q может быть интерпретирована как разность средних долгот астероида и Земли на их орбитах [10]. Ее геометрический смысл проясняет формула для угла 7, которая получается из соответствующего сферического треугольника:
cos 7 = cos hcos(g + $) — cos i sinh sin(g + $) = cos($ + g + h — t) + 2sinh sin(g + $) sin2(i/2).
При малом наклонении 7 = q + $ — I + 0(i2), откуда получаем ^ /02?г(7 — q) di = 0(i2), так как
"уравнение центра" $(l) — l — это 2п-периодическая функция средней аномалии с нулевым сред-
q
7 r ri
Функция Гамильтона в новых координатах принимает вид
где Уд — возмущающая функция V [9] при Ь = 1 (на резонансном многообразии), V = ^ — |Г_!Г1| + (г, гх), симплектическая структура задается формой ^Дмйр А ^ + (Ю А г1д + с1Й А гШ. Осреднение по единственной быстрой переменной Л — каноническое преобразование, сохраняющее эту структуру. Оно отличается от тождественного добавками порядка ^Дь для координат (д,р), порядка ц для остальных координат и приводит гамильтониан к виду
2п
3 1 г
Н = -Н-11П^,р,д,0,Н) + О{^2), 1{ = -р2 + ]¥(д,д,0,Н), Ш = -—1УК(11.
о
Здесь обозначения координат оставлены прежними. Из соответствующих уравнений
^ = Р = +
9 = ¿ = + (3)
следует, что на интервалах времени порядка ~ 100 лет координаты (д,С,Н) и долгота восходящих) узла /г = /г + I в невращающейся системе координат с ошибкой порядка ^[¡1 сохраняют постоянные значения, т.е. положение оекулирующей орбиты астероида не изменяется, а положение орбиты относительно Земли и изменение периода Та описываются системой, которая получается из уравнений (3) отбрасыванием О(^), замен ой д,С,И на константы и введением медленной независимой переменной т = — \J~jlt-.
, dR , dR „ 3 2 „„ .
* = W P=~W R=2p+W{q)-
(4)
В каждый момент, когда в реальном движении или в численной модели можно определить значения (g,h, С,Й), а также Q = Qo, Р = Ро, определены функция W(q) и число ho = §й)2 + W(qo,g,G, H). Примеры графиков W(q) можно найти в [5]. На рис. 1 приведен построенный численно график этой функции для Аиофиса на момент, когда qo находится вблизи График W(q) для Дуэнде выглядит аналогично.
Функции W(q) 27г-периодичны, имеют экстремумы вблизи точек 0, ±-|, ±7Г, а также в точках —< q\ < 0, 0 < q-2 < §• Значения W(q) в точках экстремумов и в точке qo для обоих астероидов
приведены в табл. 1, причем для Аиофиса qi = —0.343, q2 = 0.348, q0 = 1.185 и h0 = 6.387 — соответствующее
значение константы интеграла 3
R = -p2 + W(q) = ho (5)
qi =
—0.061 q2 = 0.057, qo = —0.982, ho = 9.436. Тип траектории определяется qo ho
потенциальной яме на отрезках, кон-
q2
q1 + 2п или между q2 — 2п и q1, соответствуют подковообразным орбитам, колебания в локальных ямах около ±-| "троянцам". Есть еще опасные ho
W(qi) и W(q2), когда q проходит через q = 0, а астероид сближается с Землей, а также орбиты квазиспутников, на которых q совершает колебания около q = 0 и поэтому постоянно находится вблизи
Т а б л и ц а 1 Земли. Однако переходы на такие траектории в данной работе не рассматриваются.
В дальнейшем движении после перехода в окрестность резонанса и функция W(q), и число ho медленно меняются даже в рамках ограниченной задачи трех тел. Перестройки описаны в [5]. Дополнительные силы также вносят свой вклад в эти изменения. Поэтому всякие вы-
W(q)
проверки или уточнения на более сложной модели.
Найдем, используя приближенную модель, минимальный по модулю импульс Av2, обеспечива-
q
Aho ho
обеспечить. Из (5) найдем формулу для соответствующего приращения координаты p:
-п
Рис. 1. График осрсдненной возмущающей функции для Аиофиса поело ого перевода в окрестность резонанса 1:1
ч ^ я 71 0 41 <72 Чо
Апофис -0.437 0.474 1.922 4.453 10.278 -0.445
Дуэнде -0.497 0.505 5.933 8.031 6.451 -0.494
т = \íl
|Aho|
3 у/Но - IV(я) + л/Но + А/го
Из нее следует, что при заданном АИо наилучшая точка q для сообщения импульса — это точка локального минимума функции Ш(д) на интервале, соответствующем орбите нужного типа. Так, перевод на орбиту "троянцев" и на подковообразную орбиту выгоднее всего делать вблизи д = |.
Пусть теперь ^ и ДЛо фиксированы. Тогда импульс дающий нужное значение Ар, будет иметь наименьший модуль, если он коллинеарен скорости астероида и сообщен в перицентре его оекулирующей орбиты. Действительно, из формулы для полной энергии на кеплеровской траекто-1 в окрестности резонанса получаем (v,Дv2) = ^т = л/ДДр + Отсюда
v2 1
рии — - ]7| =
2L2
Ар
AV, м/с ДУТ AVTM дуь АУпм
Апофис 65 65 12 13
Дуэнде 87 88 18,5 15
находим приближенную формулу для модуля оптимального импульса min | ДV21 = \fßv {q) и оценку сверху для него AV = y/fiAp, имея в виду, что для сближающегося с Землей астероида модуль vn(q) скорости в перицентре его оекулирующей орбиты не меньше скорости Земли. Эту оценку будем называть первым приближением для модуля Av2. Имиульс Av2 изменяет не только константу ho, но и функцию W(q), однако эти изменения порядка ^/Ji и мы ими пренебрегаем.
Выбор Av2 уточним с помощью численного моделирования в более сложной модели. При этом q
же соображений, что и при получении первого приближе- Т а б л и ц а 2
ния, а модуль минимальным из тех, которые при моделировании дают траекторию нужного типа на интервале времени порядка ста лет. Результаты для астероидов Апофис и Дуэнде представлены в табл. 2. Числа AV с индексами T и П — это первые приближения для мо-Av2
подковообразную орбиты соответственно. Вторым индексом M снабжены модули Av2 для тех же переходов, полученные в результате численного моделирования. На рис. 2 во вращающейся системе координат Oxyz изображена проекция на плоскость орбиты Земли подковообразной орбиты Апофиса, полученной моделированием для импульса AVnM) указанного в табл. 2, на 250 лет вперед после первого импульса Avi. Солнце S и отрезок, по которому перемещается Земля E в течение этого времени, также отмечены на рисунке.
4. Заключение. Данные, приведенные в табл. 2,
Av2
дает достаточно точное представление о затратах, необходимых для перевода астероидов на сравнительно безопасные подковообразные орбиты и орбиты "троянцев". Однако те же данные говорят и о том, что рассмотренный двухимпульсный перелет для сравнительно крупных астероидов, таких, как Апофис, оказывается нереализуемым. Но если есть достаточное
количество времени, как, например, при переводе астероида на подковообразную орбиту, то один Av2
мальных точек ±-|.
Учет в численной модели влияния на движение астероидов других небесных тел, кроме Юпитера и Луны, ничего не меняет, так как при маневрировании в рассмотренных примерах тесных сближений с другими планетами нет.
Авторы приносят благодарность профессору В.В. Сидоренко за обсуждение результатов.
Рис. 2. Проекция подковообразной орбиты Апофиса на плоскость орбиты Земли во вращающейся системе координат
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивашкин В.В., Стихни К. А. О предотвращении возможного столкновения астероида Апофис с Землей // Астрон. вести. 2009. 43, № 6. 502 516.
2. Эйсмопт H.A., Боярский М.Н., Ледков A.A., Назаров 3.3., Данхем Д., Шустов Б.М. О возможности наведения малых астероидов на опасные небесные объекты с использованием гравитационного маневра /'/' Астрон. вести. 2013. 47, № 4. 1 9.
3. Мартюшева A.A., Петров H.A., Поляхова E.H. Численное моделирование воздействия светового давления на движение астероидов, в том числе сближающихся с Землей // Вести. СПбГУ. Матем. Механ. Астрон. 2015. 2 (60), вып. 1. 135 147.
4. Samokhina М.А., Samokhin A.S., Zapletin М.Р., Grigoriev I.S. Method of optimal trajectories design for a spacecraft with a jet engine of a large limited thrust in problems with the phasing condition // Adv. Astronaut. Sci. 2018. 161. 711-730.
5. Сидоренко В.В., Нейштадт А.И., Артемьев А.В., Зеленый Л.М. Формирование и разрушение квазиспутникового режима движения малых небесных тел // Докл. РАН. 2013. 450, № 3. 286-290.
6. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике М.: Наука, 1976.
7. Aggarwal H.R., Oberbeck V.R. Roche limit of a solid body // Astrophys. J. 1974. 191. 577-588.
8. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Едиториал УРСС, 2002.
9. Врюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990.
10. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975.
Поступила в редакцию 09.06.2021
