Импульсно-скользящие режимы в системах с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

We denote some assumptions, which guarantee the application of the topological method of Vazhevskii in Caratheodory conditions.

Key words: topological method of Vazhevskii; retract theory; Caratheodory condition; quasi-differential functions.

УДК 517.977

ИМПУЛЬСНО-СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ В СИСТЕМАХ С

ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© Н.И. Желонкина, А.Н. Сесекин

Ключевые слова: динамические системы с разрывными траекториями; импульсное управление; позиционное импульсное управление; системы с запаздыванием.

Для нелинейной системы управления с запаздыванием и импульсным управлением определено понятие импульсно-скользящего режима, порожденного позиционным импульсным управлением специального вида. Формализовано понятие траектории импульсно-скользящего режима как некоторого предельного элемента сети «ломаных Эйлера», порожденной дискретной аппроксимацией импульсного позиционного управления. Получены уравнения, описывающие импульсно-скользящий режим.

Рассматривается динамическая система с импульсным управлением, имеющая вид

х(ь) = /(ь,х(г),хь(-)) + в(ь,х(г))п, +у(ь) ь е [ь0, #],

с начальным условием

х(Ь) = ф(Ь), t е [Ьо - т,Ьо].

Здесь функция /(•, •, •, •) со значениями в Еп, матрица-функция В(•, •) размерности т х п. Элементы / и В непрерывны по совокупности переменных в рассматриваемой области и удовлетворяют в ней условиям, обеспечивающим существование и продолжимость решений при любых суммируемых п(Ь) и у(Ь), хг(-) — функция-предыстория х^) = {х(Ь + в); —т ^ в < 0}.

Аналогично [1], под импульсным позиционным управлением будем понимать оператор t,xt(•) —> и(Ь,х(Ь),хц()), отображающий расширенное фазовое пространство t,x(t),xt(•) в пространство т вектор-распределений [2] по правилу

и(Ь, х(Ь),х^)) = г(Ь, х(Ь),х^)) St.

Здесь т(Ь,х(Ь),х^)) — вектор функционал, размерности т, заданный на пространстве позиций, 5t — импульсная функция Дирака, сосредоточенная в точке t.. Реакцию системы на позиционное импульсное управление и(Ь, х(Ь),х^)) (импульсно-скользящий режим) определим как сеть «ломаных Эйлера» хн(), Н = швх(Ь^+1 — ) множеству разбиений Ьо <

< Ь\ < ... <Ьр = §.

«Ломаная Эйлера» хн() строится как непрерывная слева функция ограниченной вариации, являющаяся решением уравнения

хН(ь) = / (ь,х(ь),х11() + ^ (-))5и

г=1

2511

с начальным условием x(t) = ф(Ь), t € [to — т, to] • Решение последнего уравнения понимается в смысле работы [3]. Согласно [3], «ломаная Эйлера» будет удовлетворять уравнению

xh(t) = ф{к>)+ ( f (C,xh(^)) ^ S{и,х%.{•),r(ti,xtii{•)),

■'to ti<t

а функции скачков определяются уравнениями:

S(ti,xh(ti),r(ti,xhi(•))) = z{!) — z(0), z(0 = B(t, z(^))r(ti, ^{•)), z(0) = xh(ti)•

Рассматриваются асимптотические свойства сети {xh( )}^ Будем предполагать, что справедливо равенство

r(t,x(t)+ S (t,x%()) = 0^

Это равенство означает, что после действия импульсного воздействия на систему в момент t позиция x(t),xT( ) окажется на многообразии r(t,x(t),xt(^)) = 0^

Получены достаточные условия, обеспечивающие сходимость сети {xh( )}^ Предел будет непрерывной на (to,$] функцией. С помощь метода эквивалентного управления получено уравнение, описывающее предел сети {xh( )}^

ЛИТЕРАТУРА

1. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсно-скользящие режимы в нелинейных динамических системах // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 5. С. 790-799.

2. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.

3. Сесекин А.Н., Фетисова Ю.В. Функционально-дифференциальные уравнения в пространстве функций ограниченной вариации // Труды Института математики и механики УрО РАН. Т. 15. № 4. 2009. С. 227-233.

4. Финогенко И.А., Пономарев Д.В. О дифференциальных включениях с позиционными разрывными и импульсными управлениями // Труды института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург. 2013. Т. 19. № 1. С. 284-299.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ № 13-01-00304 и программой фундаментальных исследований Президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при участии УрО РАН (проект 12-П-1019).

Zhelonkina N.I., Sesekin A.N. IMPULSE-SLIDING REGIMES IN SYSTEMS WITH TIME DELAY

We define the concept of impulse-sliding regimes generated positional impulse control of a special type for non-linear control systems with time delay and impulse control. The concept of a trajectory of impulse-sliding regimes is formalized as a certain limit network element «Euler lines» generated by the discrete approximation of the impulse position control. The equations describing the impulse-sliding regimes is obtained.

Key words: dynamical systems with discontinuous trajectories; impulse control; positional impulse control; time-delay system.

2512