Об уравнении импульсно скользящего режима Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911.5

ОБ УРАВНЕНИИ ИМПУЛЬСНО СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА

© Д.В. Пономарев

Ключевые слова: импульсно скользящий режим; эквивалентное управление; разрывное позиционное управление; дифференциальное включение.

В работе дается описание идеальных импульсно скользящих режимов с использованием обычных разрывных позиционных управлений релейного типа, которые обладают универсальной структурой (по отношению к правой части системы) и не зависят от постоянного действующего на систему возмущения.

Рассмотрим систему

X = /(Ь, х) + у(Ь) + и, х(Ьо) = х0, (1)

где V : I ^ Еп— возмущение, I = [£о,£о + Т] ; и— импульсное управляющее воздействие, которое «срабатывает» только в узлах некоторого разбиения Н отрезка I, и при этом величина воздействия определяется функцией р(Ь, х) . Под решением такого уравнения будем понимать функцию хн(Ь) вида

£

хн(Ь) = хо + р(Ьо,хо)+[ / (\,хн(\)) + у(Х)^ й\ + ^ р{Ьк,хн(Ьк)),

£0 £к Фо£)

где Ьк — узлы разбиения Н. Такие функции хн(Ь) в [1] называются ломанными Эйлера, а множество всех ломанных Эйлера — импульсно скользящим режимом. Последовательность решений {хн* (•) }г называется конфинальной, если й(Н{) ^ 0 при г ^ . Здесь через

й(Н) обозначается максимальная длина отрезка из разбиения Н. При выполнении определенных условий (леммы 1.1 и 1.2 из [1]) произвольная конфинальная последовательность содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой функции г(Ь) , удовлетворяющей условию Липшица и равенству р(Ь,т(Ь)) = 0. Эта функция и описывает т. н. идеальный импульсно скользящий режим.

В дальнейшем рассматриваются управления, которые после импульсного воздействия приводят систему на некоторое многообразие 5 = {(Ь,х) € I х Кп : а^(Ь,х) = 0,г = 1,т} . Величину импульсного воздействия зададим следующим образом:

р(Ь, х) = В(Ь, х)о(Ь, х), (2)

где B(t, х) — матричная функция размерности п х ш . При этом, как и в [1], предполагается выполнение условия сброса а(Ь, х + р(Ь, х)) = 0 .

Как было показано в [1, теорема 2.1], при определенных предположениях идеальный импульсно скользящий режим системы (1), (2) удовлетворяет уравнению

г = / (Ь,г) +у(Ь) + (ВОа)(Ь,г),г(Ьо) = хо + р(Ьо,хо). (3)

Здесь иод Оа понимается производная функции а(Ь,х) в силу системы (1) с тождественно нулевым управлением: Оа = а£ + ах(/ + у) .

Далее рассмотрим систему

х = / (Ь,х)+у(Ь)+В(Ь,х)и(Ь,х), (4)

где u(t,x) — векторное разрывное позиционное управление, определенное для всех (t,x) // S

равенством

ui(t,x) = Hisgnai(t,x),i = l,m. (5)

Здесь Hi — положительные константы, условия на которые будут даны ниже. После выпуклого доопределения по Филиппову получаем включение

r е f (t,x) +v(t) + B(t, r)U(t,r),r(to) = xo + p(to,xo). (6)

S

ме происходит под действием эквивалентного управления ueq = at + &x(f + v) . Данное движение может быть реализовано только при условии \ueq(t, x)\a(t x)=o ^ Hi

Теорема 1. Пусть векторные функции f (t, x), v(t) и матрица B(t, x) непрерывны, векторная функция a(t,x) непрерывно дифференцируема и матрица, ax(t,x) ограничена на, множестве S = {(t,x) : a(t,x) = 0} . Предположим, что выполняются неравенства

\ui(t,x)\a(t,x)=o < Hi,i = l,m,

где u(t,x) = at(t,x)+ax(t,x)f (t,x) и f удовлетворяет неравенству \\f (t,x)\\ ^C(1 + ||x||). Тогда, для, достаточно малой функции v(t) множество решений уравнения (3) и включения (6) совпадают и представляют собой движение по множеству S . Более того,

для решений включения (6) множество S является асимптотически устойчивым по начальным данным r(t0) = r0 и возмущающей функции v(t) .

Отметим, что даже при малых ошибках величины первого корректирующего импульса p(to,xo) решение включения (6) попадает на множество S за малый промежуток времени (чего нельзя сказать о решении уравнения (3)).

Отметим также, что разрывное позиционное управление (5) не зависит от правой части уравнения (1), в частности от возмущающей функции v(t) , в то время как любое эквивалентное управление для этого уравнения (в частности ueq(t,r) = (BDa)(t,r)) зависит, и, как указано в [1], при условии axv = 0 от этой зависимости нельзя избавиться.

Управление (5) зависит лишь от знака функций Gi(t,x) и обладает универсальностью в том смысле, что сохраняет свою структуру при любых функциях f (t,x) и v(t) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Завалищип С.Т., С'есекин А.Н., Дрозденка С.Е. Динамические системы с импульсной структурой. Свердловск: Сред.-Урал. кн. изд-во, 1983.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана СО РАН, интеграционный проект № 85 и Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 10-01-00132).

Ponomariov D.S. On equation of impulse sliding mode. In this article impulse sliding mode is described with the help of usual discontinuous feedback control. This kind of control has a universal structure (with respect to the right-hand part of the equation) and does not depend on constantly active perturbations.

Key words: impulse sliding mode; equivalent control; discontinuous feedback control; differential inclusion.

Пономарев Денис Викторович, Иркутский государственный университет, г. Иркутск, Российская Федерация, аспирант, e-mail: [email protected].