Топологический метод Важевского в условиях Каратеодори Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД ВАЖЕВСКОГО В УСЛОВИЯХ

КАРАТЕОДОРИ

© В.К. Евченко

Ключевые слова: топологический метод Важевского; теория ретрактов; условие Кара-теодори; квазидифференцируемые функции.

Указываются предположения, гарантирующие применимость топологического метода Важевского в условиях Каратеодори.

Топологический метод польского математика Тадеуша Важевского опирается на теорию ретрактов, созданную другим польским математиком Каролем Борсуком. Напомним определение ретракта. Пусть и — топологическое пространство. Непрерывное отображение г : и ^ и называется ретрактным (идемпотентным), если г о г = г . В этом случае множество V = г (и) , которое всегда оказывается замкнутым, называется ретрактом множества и. Из теоремы Боля-Брауэра о неподвижной точке вытекает, например, что граничная сфера не может быть ретрактом объемлемого ею шара.

В известных описаниях топологического метода Важевского [1-3] (особенно, если речь идет о приложениях этого метода) всегда предполагается, что рассматривается система дифференциальных уравнений

х = /(Ъх) (1)

с непрерывной правой частью /(Ь, х) : П ^ М”, где П — некоторое открытое множество

точек (Ь, х) из М х М” , причем каждая начальная задача

х(Ьо) = хо, (Ьо, хо) € П (2)

не только имеет решение х(Ь, Ьо, хо) , но и оно единственно. Функция х(Ь, Ьо, хо) непрерывна

по совокупности переменных.

Важное место в приложениях топологического метода Важевского занимает теорема 3.1 [2, с. 335-336]. В ее формулировке особую роль играет открытое множество По в П , которое называется (и, у) -множеством в П относительно (1), если существует некоторое (произвольное) число непрерывных функций

щ(Ь, х),.. .,щ (Ь, х),Уг(Ь, х),.. .,Ут(Ь, х),

определенные на П и такие, что

По = {(Ь, х) : Uj(Ь, х) < 0, ук(Ь, х) < 0 для всех ] и к}

и если иа (а = 1,/), Vв (в = 1,т ) определены как множества из По , на которых иа(Ь, х) = = 0 и, соответственно, Ув(Ь, х) = 0 , то производные функций вдоль траекторий иа(Ь, х), Ув(Ь, х) определены на иа , Vв и таковы, что:

иа(Ь, х) = Нш 1(иа(Ь + Н, х + Н/(Ь, х)) - иа(Ь, х)) > 0, (Ь, х) € иа, (3)

о <Н^о Н

У в (Ь, х) = Нш ^(Ув (Ь + Н, х + Н/(Ь, х)) - у в (Ь, х)) < 0, (Ь, х) € Vв. (4)

о<н^о Н

2509

соответственно вдоль решений, проходящих через точку (t, x) [2, с. 335]. Через Q° и Q°e будем соответственно обозначать множество точек выхода и множество точек строгого выхода из области Q° [2, с. 332]. При выполнении этих условий формулируется и доказывается основная теорема [2, с. 336].

Представляется интересным с научной точки зрения, а также с точки зрения различных возможных приложений перенесение основных положений топологического метода Важевского, включая теорему 3.1 на системы (1), где f (t, x) удовлетворяет условиям Каратеодори: она измерима по t и непрерывна по x почти при всех t; кроме того, в некоторой окрестности U любой точки (to, xo) из Q можно указать такую неотрицательную измеримую суммируемую функцию M (t)= Mu (t) , что \f (t, x)| ^ M (t), (t, x) € U, (|-| — евклидова норма). Если дополнительно выполнено условие Липшица (локально) \f (t, x) — f (t, y)\ ^ ^ L(t)\x — y\, (t, x), (t, y) € U, где L(t)= Lu (t) — неотрицательная измеримая суммируемая функция, то начальная задача (1)—(2) не только имеет (абсолютно непрерывное) решение, но и оно единственно. Кроме того, переопределим множество Q° , заменив требования (3) и (4) на:

ua(t) = ua(t, x(t)), возрастающая, т. е. из t < s вытекает ua(t) < ua(s), (5)

ve(t) = ve(t, x(t)), убывающая, т. е. из t < s вытекает v@ (t) > v@ (s) (6)

(здесь x(t) — любое решение системы (1)). Тогда справедлива следующая

Теорема 1. Пусть векторная функция f (t, x) : Q ^ R™ удовлетворяет условиям Каратеодори и решение системы (1) однозначно определяется начальными условиями (2).

Пусть Q° — некоторое (u,v) -множество в Q относительно (1). Предположим, что S — некоторое множество из Q° U Q°e , такое, что множество S П Q°e не является ретрактом S, но является ретрактом Q°e . Тогда найдется хотя бы одна точка (t°, x°) € € S П Q° , такая, что интегральная кривая (t, x), проходящая через точку (t°, x°) лежит в Q° на всем своем правом максимальном промежутке существования.

Для проверки условий (5), (6) можно, например, предположить, что выполнены условия (3), (4), в которых производные ua(t, x), vв(t, x) удовлетворяют условиям Каратеодори. Тогда вдоль любого решения системы (1) можно написать

ua(t) = ua(t, x(t)) > 0 почти всюду; vв(t) = vв(t, x(t)) < 0 почти всюду.

Теория квазидифференцируемых функций [4] может быть также привлечена для проверки требований (5) и (6).

В приведенной выше теореме оказывается, что множество точек выхода Q° совпадает с множеством точек строгого выхода Q°e (Q° = Q°e).

Отметим, что многочисленные связи между топологическим методом Важевского и методом направляющих функций Красносельского и Перова обсуждаются в [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

3. Рессиг Р., Сансоне Дж., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

4. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

5. Перов А.И., Евченко В.К. Метод направляющих функций. Воронеж, 2012.

Evchenko V.K. TOPOLOGICAL METHOD OF VAZHEVSKII IN CARATHEODORY CONDITIONS

2510

We denote some assumptions, which guarantee the application of the topological method of Vazhevskii in Caratheodory conditions.

Key words: topological method of Vazhevskii; retract theory; Caratheodory condition; quasi-differential functions.

УДК 517.977

ИМПУЛЬСНО-СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ В СИСТЕМАХ С

ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

(С Н.И. Желонкина, А.Н. Сесекин

Ключевые слова: динамические системы с разрывными траекториями; импульсное управление; позиционное импульсное управление; системы с запаздыванием.

Для нелинейной системы управления с запаздыванием и импульсным управлением определено понятие импульсно-скользящего режима, порожденного позиционным импульсным управлением специального вида. Формализовано понятие траектории импульсно-скользящего режима как некоторого предельного элемента сети «ломаных Эйлера», порожденной дискретной аппроксимацией импульсного позиционного управления. Получены уравнения, описывающие импульсно-скользящий режим.

Рассматривается динамическая система с импульсным управлением, имеющая вид х(Ь) = /(Ь, х(Ь),Хь()) + В(Ь, х(Ь))и, +у(Ь) Ь € [Ьо, #], с начальным условием

х(Ь) = ф(Ь), Ь € [Ьо - т,Ьо].

Здесь функция /(•, •, •, •) со значениями в Еп, матрица-функция В(•, •) размерности т х п. Элементы / и В непрерывны по совокупности переменных в рассматриваемой области и удовлетворяют в ней условиям, обеспечивающим существование и продолжимость решений при любых суммируемых и(Ь) и у(Ь), Хг(-) — функция-предыстория х^) = {х(Ь + в); —т ^ 8 < 0}.

Аналогично [1], под импульсным позиционным управлением будем понимать оператор Ь,хг() —> и(Ь,х(Ь),хг(-)), отображающий расширенное фазовое пространство Ь,х(Ь),хг(^) в пространство т вектор-распределений [2] по правилу

и(Ь, х(Ь),хг() = г(Ь, х(Ь),хг() к-

Здесь г(Ь,х(Ь),хгО — вектор функционал, размерности т, заданный на пространстве позиций, — импульсная функция Дирака, сосредоточенная в точке Ь.. Реакцию системы на позиционное импульсное управление и(Ь, х(Ь), х^-)) (импульсно-скользящий режим) определим как сеть «ломаных Эйлера» хн(), Н = шах(Ьк+1 — Ьк) множеству разбиений Ьо < < Ь\ < ... <Ьр =

«Ломаная Эйлера» хн() строится как непрерывная слева функция ограниченной вариации, являющаяся решением уравнения

хк(Ь) = /(Ь,х(Ь),х11() + ^ В(Ь,хк(Ь))г(и,х(и),х11.(^6и

г=1

2511