ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛИТЕЛЬНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ КОМПЛЕКСА РАБОТ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

DOI 10.36622/VSTU.2021.17.2.007 УДК 004.94

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛИТЕЛЬНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ КОМПЛЕКСА РАБОТ

С.А. Олейникова, И.А. Селищев

Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: статья посвящена разработке имитационной модели, позволяющей оценить вероятностно-временные показатели случайной величины, представляющей собой длительность выполнения комплекса последовательно-параллельных работ. В первую очередь, к таким показателям относятся закон распределения случайной величины (с точностью до параметров), вероятность завершения проекта в некотором временном интервале, а также математическое ожидание и дисперсия. Потребность в решении поставленной задачи возникает в случае, если длительности отдельных работ являются случайными величинами. В этом случае временные характеристики завершения комплекса работ необходимы не только для оценки вероятностно-временных характеристик, но и для простейшего планирования времени начала каждой из работ. В настоящее время существуют подходы к решению данной задачи, наиболее распространенным из которых является PERT (Program Evaluation and Review Technique, техника оценки и анализа проектов). Однако оценки метода базируются на центральной предельной теореме, основывающейся на предположениях, которые в условиях реального функционирования производственных или обслуживающих систем невыполнимы. В силу этого возникает необходимость в получении модели, позволяющей оценить требуемые характеристики в любых условиях. В результате получена имитационная модель, позволяющая получить вероятностно-временные характеристики случайной величины, представляющей собой длительность комплекса последовательно-параллельных работ и отличающейся повышенной точностью по сравнению с существующими аналогами. Для реализации модели выбрана среда AnyLogic

Ключевые слова: имитационная модель, управление проектами, вычислительный эксперимент, вероятностно-временные характеристики, PERT

Введение

Особенностью современных сложных обслуживающих или производственных систем является случайный характер величины, описывающей длительность выполнения комплекса последовательно-параллельных работ. В связи с этим возникают сложности при оценке вероятностно-временных характеристик этой случайной величины. Важнейшей характеристикой является время выполнения комплекса всех работ, поскольку именно эта величина является основой для расчета времени начала каждой из работ. Кроме того, для исполнителя чрезвычайно важно знать такие характеристики, как дисперсия и закон распределения случайной величины, которая описывает данную длительность. Наличие закона (с точностью до параметров) позволит оценить риски несвоевременного завершения проекта, а также вероятность его завершения в заданный временной интервал. Существующие подходы не во всех случаях позволяют точно оценить указанные выше характеристики. В связи с этим возникает необходимость в разработке имитационной модели, позволяющей для любых проектов выполнить эксперимент, в результате которого

© Олейникова С.А., Селищев И.А., 2021

получить вероятностно-временные характеристики, отличающиеся повышенной точностью по сравнению с существующими аналогами.

Особенности задачи и обзор методов ее решения

Рассматривается задача оценки вероятностно-временных характеристик проекта, представляющего собой множество последовательно-параллельных работ. Задача решается в предположении, что каждая работа имеет длительность, которая является случайной величиной, распределенной по закону бета. Известны параметры каждой работы (наименьшее, наибольшее и наиболее вероятное время выполнения). Необходимо оценить вероятностно-временные характеристики случайной величины, описывающей длительность всего проекта. В частности, требуется:

- оценить числовые характеристики исследуемой случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и т.д.);

- оценить закон распределения случайной величины, представляющей длительность проекта;

- оценить вероятность завершения проекта в заданном временном диапазоне.

Проанализируем существующие подходы к решению данной задачи.

Наиболее распространенным методом решения данной задачи является PERT [1-4]. Он основан на следующих предположениях:

- длительности всех работ распределены по закону бета с известными значениями наименьшего возможного времени выполнения а, наибольшего возможного времени выполнения b, а также наиболее вероятного времени выполнения (моды) m;

- дисперсии работ определяются по формуле:

- позволяет определить ожидаемую длительность проекта по формуле:

Мч = М41+М42 + - + М£к. (2) Дисперсия будет определяться формулой: D4 = DZ1+DZ2 + - + DZk. (3) Здесь ^i, - случайные величины,

описывающие длительности работ, стоящих на критическом пути.

Закон распределения случайной величины, описывающей длительность выполнения проекта, метод PERT предлагает аппроксимировать нормальным распределением с параметрами, определенными формулами (2) и (3). В основе данного предположения лежит центральная предельная теорема, утверждающая, что распределение суммы бесконечно большого числа одинаково распределенных случайных величин имеет нормальный закон.

Однако на практике для производственных и обслуживающих систем предположения центральной предельной теоремы не могут быть выполнены: количество работ, лежащих на критическом пути, как правило, невелико, а случайные величины, описывающие длительности самих работ, имеют разные параметры распределений. В связи с этим возникает необходимость в использовании других подходов к оценке вероятностно-временных характеристик проекта.

Структура имитационной модели

Рассмотрим процесс реализации имитационной модели, предназначенной для получения выборочных данных о длительности выполнения комплекса последовательно-параллельных работ с целью их дальнейшего анализа. Для реализации модели была выбрана среда AnyLogic. Основные ее преимущества для решения данной задачи описаны в [5].

В качестве исходных данных поступают:

- сведения о взаимной зависимости работ проекта;

- сведения о временных характеристиках длительности обслуживания каждой из работ.

На выходе каждого отдельного опыта необходимо получить длительность выполнения множества взаимно-зависимых работ.

В связи с этим, структура модели должна содержать следующие компоненты:

- объекты для имитации процесса выполнения работ;

- объекты для оценки временных параметров работ;

- компоненты для выгрузки выборки в файл Excel.

Рассмотрим данные компоненты подробнее. Поскольку проект включает в себя множество взаимно-зависимых работ, для его реализации необходимо смоделировать:

- собственно работы, которые выполняются случайное время, распределенное по закону бета;

- взаимную зависимость работ.

Для формирования взаимной зависимости, рассмотрим специфику графа, описывающего проект. Без ограничения общности его можно представить следующим образом (рис. 1).

А

6

Рис. 1. Схематичное представление процесса выполнения множества последовательно-параллельных работ

Как видно из данного рисунка, работа задается двумя событиями, обозначающими начало и окончание ее выполнения. Одно и то же событие может быть началом или завершением нескольких работ. В связи с этим в модели используются объекты, позволяющие создавать копию заявок (SPLIT) и объединять несколько заявок в одну (ASSEMBLER).

Среда AnyLogic имеет богатую библиотеку встроенных функций, позволяющих смоделировать случайное число, распределенное по одному из многочисленных законов распределения. В частности, имеется функция beta, позволяющая сгенерировать случайную вели-

чину, имеющую бета-распределения в интервале от min до max с параметрами p и q. В связи с этим возникает задача определения параметров бета-распределения по значениям a, b, M и D (математического ожидания, дисперсии, а также минимального и максимального из возможных значений).

В [6] были получены соответствующие зависимости, позволяющие определить соответствующие значения параметров:

(Ь-Мф)^(Мф-а)2-Оф(Мф-а)

Р

йф(Ь-а)

(Ь-Мф) 2 • (Мф- а)-Оф(Ь-Мф)

(4)

(5)

^ Оф(Ь-а)

Для задания данных свойств воспользуемся элементами системной динамики. Для каждой работы зададим параметры а, Ь и М (наименьшее, наибольшее и ожидаемое время выполнения работы), определим дисперсию по формуле (1), объявив ее с помощью динамической переменной, а также найдем значения динамических переменных р и q, которые будут выступать в качестве параметров распределения бета. Настройка свойств для параметра р некоторой работы приведена ниже (рис. 2).

Й Свойства

О р1 - Динамическая переменная

Имя:

pl

0 Отображать имя

□ Исключить П Отображается на верхнем агенте Видимость: С® да Цвет: По умолчани... V

П Массив П Зависимая П Константа р1 =

Важной составляющей имитационной модели является сбор статистики о времени выполнения проекта, структура которого была реализована средствами AnyLogic и выгрузка данных в Excel. Несмотря на то, что AnyLogic сам по себе является мощным средством для получения и обработки статистической информации, Excel на данный момент представляет более богатый инструментарий для решения соответствующих задач.

Для решения данной задачи будет использовать объект AnyLogic ExcelFile, позволяющий осуществлять обмен данными с заданным файлом Excel, а после завершения очередного прогона модели подсчитаем время проекта и занесем его в текущую ячейку файла Excel. Пример выполнение данных действий представлен на рис. 3.

{(bl-iril>*{r!tl-al)*(ml-al)-dl*(ml-a'i))/(cll*(bl-al))

Рис. 3. Определение времени проекта и занесение его в файл Excel

Таким образом, общая структура проекта будет иметь вид, представленный на рис. 4.

Рис. 2. Настройка свойства p

Рис. 4. Внешний вид проекта

44

и

В данном случае представлен проект, состоящий из трех параллельных работ.

Пример функционирования имитационной модели

Рассмотрим пример функционирования разработанной имитационной модели для анализа временных характеристик множества последовательно-параллельных работ. В частности, рассмотрим случай с одинаковыми параметрами времени выполнения работ. Зададим данные параметры следующим образом:

ai=a2=a3=3;

bi=b2=b3=7;

M1=M2=M3=3

Как видно из рис. 3, собирается выборка размера 10000. Выгрузив данные в Excel с помощью надстройки «Анализ данных», найдем все необходимые числовые характеристики (рис. 5).

Проанализировав числовые характеристики, видим, что в данном случае длительность проекта немного превышает длительность выполнения работ, каждая из которых фактически представляет собой критический путь.

А В

1 Столбец1

2

3 Среднее 5,38145993

4 Стандартная ош^ 0,00550411

5 Медиана 5,39202369

6 Мода #н/д

7 Стандартное о™ 0,55041079

8 Дисперсия выбо| 0,30295203

9 Эксцесс -0,34780229

10 Асимметричност! -0Д0816433

11 Интервал 3,42033256

12 Минимум 3,52802531

13 Максимум 6,94835787

14 Сумма 53814,5993

15 Счет 10000

Рис. 6. Гистограмма выборки

В целом, распределение в данном примере близко к нормальному закону. Однако если в модели изменить одни лишь значения математического ожидания с 5 на 6, сделав случайные величины, описывающие длительности работ, асимметричными, то результат будет уже далек от нормального распределения (рис. 7).

Рис. 7. Гистограмма выборки

Если анализировать описательную статистику, то можно сделать вывод, что полученное среднее значение уже будет существеннее отличаться от длительностей отдельных работ, которые метод PERT предлагает взять в качестве оценки математического ожидания.

Рис. 5. Описательная статистика

В целом, распределение симметрично (асимметричность равна -0.1) и немного плос-ковершинно относительно нормального распределения (эксцесс равен -0.35). Гистограмма выборки представлена на рис. 6.

А

1 Столбец!

2

3 Среднее 6,523535

4 Стандартная оши£ 0,00341

5 Медиана 6,592662

6 Мода #н/д

7 Стандартное откл< 0,340956

8 Дисперсия выборн 0,116251

9 Эксцесс 1,433099

10 Асимметричность -1,11549

11 Интервал 2,334882

12 Минимум 4,664821

13 Максимум 6,999703

14 Сумма 65235,35

15 Счет 10000

Рис. 8. Описательная статистика

Как видно из этого рисунка, у данной выборки существенно отклонились от 0 асимметрия и эксцесс, а также уменьшилась дисперсия.

Таким образом, разработана имитационная модель, предназначенная для оценки вероятностно-временных характеристик случайной величины, описывающей длительность проекта. Данная модель позволяет оценить необходимые характеристики с повышенной точностью по сравнению с существующими аналогами.

Выводы

Целью работы являлась разработка имитационной модели, позволяющей моделировать процесс выполнения множества последовательно-параллельных работ с целью получения вы-

борки о длительности выполнения проекта и дальнейшего анализа выборочных значений.

В результате были решены следующие задачи:

1. Проанализированы существующие подходы с целью получения вероятностно-временных характеристик проекта.

2. Спроектирована структура имитационной модели, позволяющей сформировать выборку, каждый элемент которой содержит длительность выполнения проекта, а также импортировать ее в файл Excel с целью дальнейшего анализа.

3. Рассмотрены примеры анализа вероятностно-временных характеристик для разных проектов. Кроме того, представлены результаты анализа выборочных значений, сделанные в Excel.

Литература

1. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. М.: Синтег, 1997. 188 с.

2. Голенко-Гинзбург Д.И. Стохастические модели планирования и управления разработками: монография. Воронеж: Научная книга, 2011. 284 с.

3. Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования и их применение. М.: Прогресс, 1968. 182с.

4. Project Management ToolBox:Tools and Technics for the practicing Project Manager, 2nd Edition. New Jersey: John Willey& Sons. 2016. 460 p.

5. Borshchev A. The Big Book of Simulation Modeling. Multimethod Modeling with AnyLogic 6 [Электронный ресурс] // AnyLogic.ru. URL: https://www.anylogic.ru/resources/books/big-book-of-simulation-modeling/.

6. Олейникова С.А. Математические модели и методы оптимизации функционирования сложных обслуживающих систем со стохастическими параметрами: дисс. ... д-ра техн. наук. Воронеж, 2016. 354 с.

Поступила 06.03.2021; принята к публикации 15.04.2021 Информация об авторах

Олейникова Светлана Александровна - д-p техн. наук, доцент, профессор кафедры автоматизированных и вычислительных систем, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: s.a.oleynikova@gmail.com; ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0333-2313

Селищев Иван Алексеевич - аспирант, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: selishcheviv@gmail.com

SIMULATION MODEL FOR ANALYSING PROBABILITY-TIME CHARACTERISTICS

OF THE DURATION OF A SET OF TASKS

S.A. Oleynikova, I.A. Selishchev Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: the article is devoted to the development of a simulation model that allows you to estimate the probabilistic-time indicators of a random variable, which is the duration of the completion of the complex of sequential-parallel works. First of all, such indicators include: the law of the distribution of a random value (with an accuracy of parameters), the probability of completing the project in some time interval, as well as a mathematical expectation and dispersion. The need for solving the task arises in the case if the duration of individual works are random values. In this case, the time characteristics of the completion of the work complex are necessary not only to assess the probabilistic-time characteristics but also for the simplest planning of the start time of each work. Currently, there are approaches to solving this task, the most common of which is PERT (Program Evaluation and Review Technique, an evaluation and project analysis technique). However, the estimates of the method are based on the central limit theorem based on assumptions that are impracticable in the real functioning of industrial or serving systems. Because of this, it is necessary to obtain a model that allows one to estimate the required characteristics in any conditions. As a result, a simulation model was obtained, which allows one to obtain the probabilistic-time characteristics of a random variable, which is the duration of a complex of sequential-parallel works and characterized by increased accuracy compared to existing analogues. For the implementation of the model, we chose AnyLogic medium

Key words: simulation model, project management, computational experiment, probabilistic-time characteristics, PERT

References

1. Burkov V.N., Novikov D.A. "How to manage projects" ("Kak upravlyat' proektami"), Moscow, Sinteg Publisher, 1997,

188 p.

2. Golenko-Ginzburg D.I. "Stochastic models of planning and development management" ("Stokhasticheskie modeli plani-rovaniya I upravleniya razrabotkami"), monograph, Voronezh, Nauchnaya kniga, 2001, 284 p.

3. Koffman A. Debazey G. "Network planning methods and its applications" ("Setevye metody planirovaniya i ikh prime-nenie"), Moscow, Progress, 1968, 182 p.

4. "Project Management ToolBox: Tools and Technics for the practicing Project Manager", New Jersey, John Willey& Sons, 2016, 460 p.

5. Borshchev A. "The big book of simulation modeling. multimethod modeling with AnyLogic", available at: https://www.anylogic.ru/resources/books/big-book-of-simulation-modeling/.

6. Oleynikova S.A. "Mathematical models and methods for optimizing the functioning of complex service systems with stochastic parameters" ("Matematicheskie modeli i metody optimizatsii functsionirovaniya slozhnykh obsluzhivaushchikh system so stokhasticheskimi parametrami"), Dr. Tech. Sci. diss., Voronezh, 2016, 354 p.

Submitted 06.03.2021; revised 15.04.2021

Information about the authors

Svetlana A. Oleynikova, Dr. Sc. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), e-mail: s.a.oleynikova@gmail.com

Ivan A. Selichshev, graduate student, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), e-mail: selishcheviv@gmail.com