IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING UMUMIY TЕNGLAMASINI KANONIK SHAKLGA KELTIRISH Текст научной статьи по специальности «Математика»

IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING UMUMIY TENGLAMASINI KANONIK SHAKLGA KELTIRISH

1Jovliyev Aziz Ismanqul o'g'li, 2Eshtemirov Eshtemir Salim o'g'li

1DTPI o'qituvchi, 2DTPI o'qituvchi https://doi.org/10.5281/zenodo.11116885

Annatatsiya. Ushbu ishda ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tcnglamasi va ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tcnglamasidagi koeffitsentlar qanday bo'lganda ellipsni, giperbolani, parabolani ifodalashi o'rganiladi hamda ikkinchi tartibli chiziqning xarakteristik tenglamasi qaraladi.

Kalit so'z: ikkinchi tartibli chiziq.Xaraktristik tenglama.Reper.

Аннотация. В данной работе изучаются общее уравнение линий второго порядка и коэффициенты в общем уравнении линии второго порядка для выражения эллипса, гиперболы, параболы, а также рассматривается характеристическое уравнение линии второго порядка.

Ключевое слово: линия второго порядка. Характеристическое уравнение Репера.

Abstract. In this work, the general equation of the second-order lines and the coefficients in the general equation of the second-order line are studied to express the ellipse, hyperbola, parabola, and the characteristic equation of the second-order line is considered.

Keyword: second-order line. Characteristic equation. Reper.

chunki (1) tenglamada ап = —, a22 = —, a00 = — 1 bo'lib, qolgan barcha koeffitsientlar nol

bo'lsa, u ellipsning kanonik tenglamasi, shu shartlarda yana а22 =--^ bo'lsa, (1) tenglama

Tekislikda biror affin (yoki Dekart) repyerda koordinatalari anx2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 (1)

tenglаmаni qanoatlantiruvchi nuqtalar to'plami ikkinchi tartibli chiziq deb atalishi ma'lum. Bunda a11, a12, a22, a10, a20, a00 koeffitsientlar haqiqiy sonlar bo'lib,

i, ai2, a122

lardan kamida

bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon ax 2 + a122 + a222 Ф 0 ko'rinishida yozamiz). Bizga ma'lumki uchta chiziq: ellips, giperbola va parabola ikkinchi tartibli chiziqlardir,

T, a22 = 72 a b

I

b:

giperbolaning kanonik tenglamasi, a10 = p; a22 = 1 bo'lib, qolgan koeffitsientlar по1 bo'lsa, (1)

tenglama parabolaning kanonik tenglamasidir.

Quyidagi tabiiy savol tug'iladi: tekislikda ko'rilgan bu chiziqlardan boshqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga harakat qilamiz. Avvalo shuni ta'kidlaymiz bizga ma'lumki, chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining olinishiga bog'liq emas. Bundan foydalanib, koordinitalar sistemasini tegishlicha tanlash hisobiga barcha ikkinchi

tartibli chiziqlarni to'la geometrik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli у chiziq ft = (O, i , j)

dekart reperida (1) umumiy tenglamasi bilan ifodalangan bo'lsin. Shunday reperni tanlaymizki, unga nisbatan у chiziqning (1) tenglamasi mumkin qadar sodda - «kanonik» ko'rinishga ega bo'lsin, ya'ni

1) o'zgaruvchi koordinatalar ko'paytmasi qatnashgan had bo'lmasin;

2) birinchi darajali hadlar soni eng oz bo'lsin (iloji bo'lsa, ular butunlay qatnashmasin);

3) mumkin bo'lsa, ozod had qatnashmasin.

Agar (1) tеnglamada an * 0 bo'lsa, soddalashtirishni quyidagicha bajaramiz. 0 rеpеming o'qlarini O nuqta atrofida iхtiyoriy a burchakka burib, yangi 0' = (O, i' , j' ) dеkart rеpеrini hosil qilamiz. 0 rеpyеrdan 0' rеpеrga o'tish formulalari

x = x 'cosa - y' sin a,

y = x sin a + y cosa

(2)

dan x, y ni (1) ga qo'ysak va o'xshash hadlarini ixchamlasak, y chiziqning (1) tenglamasiga 0' repyerda ushbu ko'rinishni oladi:

bunda:

a[ jX' + 2a[2x 'y' + a'22y' + 2a1'0x' + 2a'20y' + a'00 = 0:

a[j = au cos2 a + 2an cosa sin a + a22 sin2 a,

(3)

(4)

t 2 ■ 2 ai 2 =_au sin a cos a + a12 cos a- an sin a + a22 sin acosa,

a'22 = ai sin2 a- 2an sin acosa + a22 cos2 a, ai o = a10 cosa + a20 sin a, a'20 = -a0 sin a + a20 cosa, a20 = a00 • (4) belgilashlardan ko'rinadiki, (3) tenglamadagi a'l j, a'l ^, a^ koeffitsientlar (1) tenglamadagi

i, a 2,

koeffitsientlarga va a burchakka bog'liq, shu bilan birga a[j, a[2, a'22 ning kamida biri noldan farqli, chunki

cos2 a

sin2 a

2 cos a sin a

22 s a-sin a

2sin acosa

sin2 a

22

sin acosa cos a-sin a sin acosa

cos2 a sin 2 a

— sin 2a cos 2a

2

1 0

cos2 a

sin2 a

-sin 2a 2

1

cos a

-sin 2a 2

sin 2a

sin2 a

1

sin2 a

cos 2a -sin 2a 2

sin 2a cos2 a

sin 2a 1

cos a

—sin 2a cos 2a 0 2

1 0 2

= 2 cos2 a cos 2a - cos 2a + sin2 2a = cos 2a(2 cos2 a- sin2 a- cos2 a)+ sin2 2a =

= cos 2a • cos 2a + sin2 2a = 1 * 0. aburchakning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni shunday tanlab olamizki, almashtirilgan (3) tenglamadagi a-2 koeffitsient nolga teng bo'lsin, ya'ni

r 2 • 2

a 2 =_au sin acosa + a2 cos a-an sin a + a22 sin acosa = = -(ai cosa + a2 sin a)sin a + (ai cosa + a2 sin a)cosa = 0

yoki

ai cosa + au sina ai cosa + a22 sina

(5)

cosa sina

(5) munosabatni biror l ga tenglab, uni quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

(an - K)cosa + a12 sin a = 0, a21 cos a + (a22 - K)sin a = 0.

(6)

Bu sistema bir jinsli, shuning uchun uning determinanti nolga teng, ya'ni

a j - я

a

a

12

"21

a22 -Я

= 0

yoki

K -(an + a22 )Я + (a xa22 - af2 ) = 0

(7)

bo'lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo'ladi. (7) tenglama y chiziqning хaraktеristik tеnglamasi deyiladi. (7) tenglamaning ildizlari:

K.

_(an + a22) (an + a22) - 4(а11ац - ^ _(ап + а22 ) ±4D

2

22; 2

a12 ± 0 bo'lgani uchun uning diskriminanti:

D = (а11 + а22) - 4(а11а22 - а12 ) = (а11 - а22) + 4а12 > 0 Demak, (6) tenglamaning K, K ildizlari turli va haqiqiydir. (5) dan

a j cosa + a12 sin a = Я cosa,

a21 cosa + a22 sin a = Ksin a

(8)

n

tengliklarni yoza olamiz. Ularning har birini cosa Ф 0 ga bo'lib, cosa = 0 ^ a = — va a'n = -(an cosa + a12 sin a)sin a + (a21 cosa+ + a22 sin a)cosa = G ^ a12 = G)

(ya'ni an azaldan G ga teng ekan) ushbuni hosil qilamiz:

tga

Я - an

a

21

a

12

Я - a

(9)

22

(9) munosabatga navbat bilan (7) xarakteristik tenglamaning K, K ildizlarini qo'yamiz:

(lG)

i i tga = ——11, tga =——11

a

12

a

12

Viyet teoremasiga ko'ra (7) dan

Я + K = an + ®22, KK = ®W®22 - a2Ц'

(ll) va (lG) formulalardan ushbuga ega bo'lamiz:

KK - ai(K + K) + a2ll

(ll)

tgal ■ tga 2 =

a 2l2

= -1 ^ a - a =

n 2

Shunga ko'ra tga Qx' o'qning ß dagi burchak koeffitsienti bo'lganda

/

tga2 = tg

v

n

а + —

12

Оу' o'qning shu repyerdagi burchak koeffitsienti bo'ladi. U holda Qx'

o'qning i birlik vektorining koordinatalari bo'lmish cosa, sin ax,

sin a =

tga\

i — i =, cosa = • i = Vl + tg2 al Vl + tg 2a

l

—*

formulalardan, Oy' o'qning j' birlik vektorining koordinatalari cosa, sina2

sin a = sin

a +—

^ , = cosa, cosa = cos a ■

v 2 J V 2 J

tengliklardan aniqlanadi. K = K bo'lganda (8) dan a i cos a + a12 sin a = K cos a, ai cosa + a22 sin a = K sin a,

u holda

a[j = (ai cosa + al2 sin a)cosa + (ai cosa + a22 sin a)sin a =

= k cosa cosa + K sin a sin a = k

(4) munosabatda 1- va 3- tengliklarni hadlab qo'shsak, = ai (sin2 a + cos2 a) + a2 (sin2 a + cos2 a) yoki a[ l + a22 = ai + a22 • (11) dan

+ a 22

= K + K va a2j =K ekanini hisobga olsak, a22 = K kelib chiqadi. Shunday qilib, koordinatalar sistemasini (10) formuladan aniqlanuvchi a = a burchakka ( bu yerda a yangi Ox' o'qning eski Ox o'qqa og'ish burchagi ) burish bilan 0 = (O,i, j) repyerdan shunday

0 =(o, i 2 , j 2 ) reperga o'tish mumkinki, unga nisbatan (1) tenglama soddalashib, ushbu ko'rinishga ega bo'ladi:

Kx'2 + K y 22 + 2a10x 2 + 2a20y ' + a00 = 0. (12)

f ^i-t i Agar Ox o'qning burchak koeffitsienti uchun tga2 =- ni qabul qilinsa, u

ai2

holda a[j = K , a22 = K ekanini aynan yuqоridagi kabi ko'rsatish mumkin. Shuni aytish lоzimki, agar (1) tenglamada an = 0 bo'lsa, koordinatalar sistemasini burish bilan almashtirishga hojat qolmaydi.

Endi 0' = (O, i 2 , j2 ) repyerdan shunday reperga o'tamizki, unga nisbatan y chiziqning

(12) tenglamasida birinchi darajali hadlar qatnashmasin. Bu ishni koordinatalar boshini ko'chirish bilan bajarish mumkin.

(12) tenglamada K, X2 koeffitsientlarning kamida biri noldan farqli, chunki agar

K = K = 0 bo'lsa, (12) tenglama birinchi darajali tenglamaga aylanar edi. Demak, bu yerda quyidagi uch hol bo'lishi mumkin:

1. K* 0, K* 0 (KK* 0)

Bu holda KK = ana2 - a2-2 ^aua2i ~ a2-2 * 0. (12) tenglamaning chap tomonidagi hadlarni x', y' ga nisbatan to'liq kvadratga keltiramiz:

a +—

sin a

K

t2 \ a n t a 10

J

x'2 + 2 • ^ x' +

+ K

í t '2 \ y2 + 2 • y + a 20

V 1 "i J V

bundan

K2 K>2

22 a 10 a 20

+ a00 = 0

'2

Я

, \

x' ч a-0

Á1

чЯ

, \ ' , a20

y ч

Я

ч a0o = 0

(13)

2J

bu yerda alo = a00

22 a 10 a 20

Я Á2

Endi (o,i i, jl) ni u quyidagi formula bilan aniqlanadigan parallel ko'chirishni bajaraylik:

(*)

X = x' ч a°,

Я

Y = y' +

Я2

U holda yangi (o, i ', j ') reper hosil bo'lib, chiziqning tenglamasi soddalashadi: яX2 !Á2Y2 ч al0= 0. (14)

2. Я= 0(Я * 0), al0 Ф 0 yoki Я= 0(Я Ф 0), alo * 0.

Bu hollardan birini ko'rsatish etarli; chunki >

x = y , >

y=x

almashtirish yordamida ularning birini ikkinchisiga keltirish mumkin. Birinchi holni qaraymiz:

Я = 0 (Я * 0) ni hisobga olib, (12) tenglamaning chap tomonidagi hadlarni y' ga

nisbatan to'liq kvadratga keltiramiz:

Я

2

/2 , o a20 ' a 20

V

yoki

f

y1 ч 2 y ч

Я

Я

ч 2al

10

2J

x ' чa00

2

a 20

2ai0 2al oÁ2

o,

я

2

' I a20

y ч

я

ч 2al 0( x i ч a ' ) = 0,

2J

bunda a

a

00

a a 20

2al Q 2al Q-^Á^

belgilashni kiritdik.

Ushbu

X = x i ч a i ,

Y = y ч

V Á2

formulalar bo'yicha koordinatalar sistemasini almashtiramiz, ya'ni koordinatalar boshi О

ni O

l nuqtaga ko'chiramiz. U holda hosil bo'lgan (o, i ', j') reperga nisbatan chiziqning

a ,

V ' Á2 J

tenglamasi ushbu sodda ko'rinishni qabul qiladi:

2

2

2

Я2У2 + 2awX = 0.

(15)

etarli.

3. \= 0, a'w = 0 yoki Л = 0, a20 = 0.

Bu hollar ham bir-biriga o'xshash bo'lib, shuning uchun ularning birini qarash

Birinchi holni qaraymiz. Л = 0, aj0 = 0 da (12) tenglama ushbu ko'rinishni oladi:

Л y 22 + 2a'20 y 2 + a00 = 0,

(16)

bu yerda Х2Ф 0 bo'lgani uchun (16) ni quyidagicha yozish mumkin:

Л

.'2 , о a20 ' a 20

V

yoki

/

У2 + 2y +

Л

22 a 20

Л

2 У

Л

+ a00 = 0

Л

.г V

' | a20

У +

Л

2 У

bunda

+ <0 = a

a00 a00

r2

a 20

Л

Ushbu <

X = x '

Y '_|_a20 formulalar bo'yicha (O, i ', j ') repyerdan O'

=У +Л

f л

a

20

0,

V Л2 y

nuqtaga

ko'chiramiz. Yangi repyerda y chiziqning sodda tenglamasi hosil bo'ladi:

t2

X2Y2 + a2'0 = 0.

(17)

Х ulosa. Agar ikkinchi tartibli y chiziq biror dekart repyerda (1) tenglama bilan berilgan bo'lsa, yangi dekart reperini tegishlicha tanlash bilan y ning tenglamasini (14), (15), (17) tenglamalarning biriga keltirish mumkin.

REFERENCES

1. Narmanov A.Ya. Analitik geometriya Т. 2008 y.

2. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan masalalar to'plami. Т., Universitet, 586 b., 2006 y.

3. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990.

4. Погорелов А.В. Аналитик геометрия. Т., Укитувчи, 1983.

5. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. М., Наука, 1983.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия М. Наука, 1981.

2