Игровые задачи наведения для собственно линейных интегро-дифференциальных систем вольтеррас управляющими воздействиями под знаком интеграла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ НАВЕДЕНИЯ ДЛЯ СОБСТВЕННО ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРА С УПРАВЛЯЮЩИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА

В.Л. Паси кое1

Изучаются некоторые игровые ситуации сближения-уклонения для управляемых динамических объектов, эволюция которых описывается собственно линейными интегро-дифференциальными и интегральными системами Вольтера с управляющими воздействиями под знаком интеграла, что наделяет управляемую систему новыми существенными особенностями по сравнению с управляемыми обыкновенными дифференциальными системами. Вводится новое определение позиции игры, для вычисления которой, в каждый момент прицеливания, требуется использовать полную память по управляющим воздействиям. Для решения этих задач используются предлагаемые автором некоторые модификации известных экстремальных конструкций академика Н.Н. Красовского.

Ключевые слова: интегро-дифференциалъная система; задача наведения; управляющее воздействие; программный максимин; позиция игры.

В предлагаемой работе исследованы задачи наведения в пространстве Rn объектов, динамика которых описывается собственно линейными интегро-дифференциальными и интегральными системами типа Вольтера с управляющими воздействиями под знаком интеграла. Такие задачи здесь трактуются как динамические игры с полной памятью по управлениям при подходящем выборе пространства позиций. Приведен модельный пример. Работа примыкает к исследованиям [1-5].

1. Эволюция динамического объекта описывается собственно линейной интегро-дифференциальной системой Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла

t t

x(t) = ppt) + A(t)x(t) + IK(t, s)x(s)ds + IB(t, s) f (s,u(s), v(s))ds , (1)

0 0

x(0) = x0,u e U с R\ve V с Rri, здесь x - п - мерный фазовый вектор; u,v - управляющие воздействия первого и второго игроков соответственно, их реализации u [ t], v[t] на [0, в ], в > 0 , измеримые по Лебегу вектор-функции, U,V - компакты; A (t) - матрица n X n с непрерывными элементами при 0 < s < t <0, p(t) - измеримая по Лебегу с ограниченной вариацией на [0, в] функция - вектор внешних воздействий; f (t,u (t) ,v (t)) - п - мерная вектор-функция, непрерывная при каждом t e[0,0] по совокупности переменных u, v, а при фиксированных значениях u,v - функция f измерима по t, интегралы понимаются в смысле Лебега.

Согласно [6, с. 9] система (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию x(0) = x0.

Это можно показать и непосредственно. По плану доказательства теоремы 27 [7], проинтегрируем (1) по Лебегу по переменной t

t t t Т t Т

x(t) = x0 + |p(s)ds + |A(s)x(s)ds + |[|k(т,s)x(s)ds]dT+ |[|b(t,s) f (s,u(s),v(s))ds]dT,

0 0 0 0 0 0 меняем порядок интегрирования по формуле Дирихле [7, с. 38]

t t Т t t

x(t) = x0 + |p(s)ds + |[A(s) + |K(т,s)dT]x(s)ds + |[|B(t,s)dT]f (s,u(s), v(s))ds . (2)

0 0 0 0 s

l Пасиков Владимир Леонидович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра естественно-математических дисциплин, Орский филиал Оренбургского государственного института менеджмента.

E-mail: pasikov_fmf&mail.ru

Пасиков В.Л.

Игровые задачи наведения для собственно линейных интегро-дифференциальных систем Вольтерра ...

Обозначим Q(t, я) = А (я) + |К (т, я)Ут, тогда (2) является линейным интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода с непрерывным ядром Q(t, я), которое согласно [8, с. 132] имеет единственное абсолютно-непрерывное решение, а, следовательно, система (1) имеет единственное абсолютно непрерывное решение, удовлетворяющее условию х(0) = х0. Получим теперь по схеме из [7] формулу состояния системы (1) в момент t є [0,0] с начальным условием х(і0) = х0.

Положим к(і) = х(і) - А (і)х(і), тогда решение уравнения Х(і) = к(t) + А (і)х(і), х(0) = х0 записывается по формуле Коши [1]

і

х(і) = X(і,0)х0 + |х(і,я)к(я)Уя. (3)

0

Здесь Х(і, я) - матрица Коши однородной системы х(і) = А(і)х(і); подставляем к(і) и х(і) из (3) в

(1) и меняем порядок интегрирования:

і і і і

к (і) = р(і) + ІК (і,т) X (т,0)Ут- х0 + |[|К (і,т) X (т, я)Ут]к (я)Уя + |В (і, я) / (я, и(я), v(s))ds. (4)

0 0 я 0

Теперь обозначим ^(і) = р(і) + Ф(і,0)х0, у/(0) = р(0) и подставим в (4)

і і к (і) = ^(і) + |В(і, я) / (я, и(я), v(s))ds + |Ф(і, я)к (я)Уя . (5)

00 Равенство (5) относительно к(і) является линейным интегральным уравнением Вольтерра 2-

і

го рода, пусть Я(і, я) - резольвента матрицы Ф(і, я) и ^(і, я) = Е + |R(t,т)dт, Е - единичная мат-

я

рица, тогда согласно [8, с. 133] получаем решение (5) в следующей форме

і я

к (і) = ¥(і,0)р(0) + |¥(і, .^[^(я) + |—(я,т) / (т, и(т), v(т))dт],

меняя здесь порядок интегрирования имеем

І Б І

к (і) = ¥(і,0)р(0) + |¥(і, я)У^>) + |[¥(і, я) В(я, я) + |¥(і,т) ^-^^Ут]/(я, и(я), v(s))ds , (6)

0 0 я дт

г д—(т я)

обозначим ^(і, я) = ¥(і, я)—(я, я) + |—./ Ут , подставляем в (6) и для к(і) получаем формулу

дт

$

і

к(?) = ¥(?,0)^>(0) + {¥(?, 5)й^(,у) + \х(т, 5)/(5,и(^), v(s))ds , подставляем к(?) в (3), тогда

0 0

т т т

х(?) = X (т,0) Х0 + |X (?, 5)^(5,0)^5-^(0) + |[|X (т, 5)¥(т, З^Т^у(5) +

0 0 5

т т

+1[ IX(т, т)х(т, 5)аТ] / (5,и(5), v(s))ds. (7)

0 5

В (7) положим

в в в

х(в, т0) = X (т0,0) х0 + IX (в, 5,)¥(5,0^5' -^(0) + I[IX (в,т)¥(т, s)dт]d^(s) +

0 0 5

*0 в

+1 [ IX (в,т)х(т, s)dт] / (5, и(5), v(s))ds,

0 5

тогда состояние системы (1) в момент ? согласно (6), (7) определяем формулой

т в

х(в, ?) = х(в, т0) + I [ IX (в, т)х(т, 5^т] / (5, и(5), v(s))ds,

Іл я

и

т.е. полагаем, что после момента ? /(т,и(т), v(г)) = 0.

2. Игра будет рассматриваться на отрезке [0, в] и плата у будет изображаться равенством

7 =11 х(в) ||, (8)

где ||*|| - символ нормы в евклидовом пространстве. Программный максимин [1] записывается в следующей форме, согласно (8):

в в

£0(?0,х(в,?0)) = шах{/х(в,т0) + IштшахЦ(/'X(в,т))х(т,5^т]/(5,и^)^} . (9)

|/|=1 иеП veV

10 5

Отметим, что здесь /0X(в, ?) - решение дифференциальной системы а = -Л(()а с краевым условием /0, где /0 - решение задачи (9) [1]; обозначим /'0X(в,!) = ае (!), штрих означает транспо-

в

нирование. Далее обозначим хе (?) = (т)%(т, ?^т, тогда (9) переписывается в следующей

форме:

в

£0(t0,x(0,t0)) = max{/x(0,t0) + [minmaxxe(s)f (s,u(s),v(s))ds .

||/||=1 J ueU veV

t0

Пусть t0 - начало процесса управления, t0 e [0,0).

Определение 2.1. Позицией игры называется пара p = {t,x(0,t)} в каждый момент t прицеливания, p0 = {t0, x(0, t0)} - начальная позиция.

Определение 2.2. Допустимой стратегией первого (второго игрока) называется правило, по которому каждой реализовавшейся позиции p = {t,x(0,t)},te [t0,0) ставится в соответствие ограниченное, замкнутое, полунепрерывное сверху по включению при изменении t и x множество U(t, x) с U(V(t, x) с V), эти множества также называются стратегиями.

Аналогично [1, с. 83] можно сформулировать три игровые задачи наведения.

Задача 2.1. Среди допустимых стратегий U(t, x)первого игрока требуется найти оптимальную минимаксную (экстремальную) стратегию Ue (t, x), которая удовлетворяет условию ||x(0)|| < £0(t0,x(0,t0)) при любой допустимой стратегии второго игрока.

Задача 2.2. Среди допустимых стратегий V(t, х) второго игрока найти оптимальную макси-минную (экстремальную) стратегию Ve (t, x) , которое удовлетворяет условию ||x(0)|| > £0(t0,x(0,t0)) при любой допустимой стратегии первого игрока.

Задача 2.3. Среди допустимых стратегий U(t, x) и V(t, x) требуется найти пару оптимальных (экстремальных) стратегий Ue (t, x) и Vе (t, x), которые определяют седловую точку игры

||x(0)|| = £o(to, x(0, t0)).

Определим экстремальные стратегии обоих игроков.

Для того, чтобы рассматриваемые задачи решались в чистых стратегиях, будем предполагать, что функция f (t,u(t), v(t)) удовлетворяет условию седловой точки в «маленькой игре» [2]

на [0,0] min max /f (t, u, v) = max min / f (t, u, v), / - произвольный n-мерный вектор.

ueU veV veV ueU

Определение 2.3. Пусть п-мерный вектор /0 в каждый момент te[t0,0), t0 e[0,0) доставляет наибольшее значение правой части (9), тогда, если позиция p = {t, x(0, t)} такова, что £0(t,x(0,t)) > 0, то с этой позиции будем сопоставлять множество всех векторов Ue (t, x(0, t)) с U(Vе (t, x(0, t)) с V), которые удовлетворяют условию

xe (t) f (t,ue (t),ve (t)) = minxe (t) f (t,u, ve (t)), (xe (t) f (t,ue (t), ve (t)) = max xe (t) f (t,ue (t), v).

ueU veV

В работе рассматривается регулярный случай, т.е. в (9) наибольшее значение достигается на единственном векторе /0 .

t

Пасиков В.Л. Игровые задачи наведения для собственно линейных

интегро-дифференциальных систем Вольтерра ...

Теорема 2.1. В регулярном случае, при выборе первым игроком своей экстремальной стратегии Vе = Vе(і,х(0,і),і є [і0,0),і є [0,0), ему будет гарантирован результат игры

||х(0)|| < £0(і0, х(0, і0)) при любом допустимом способе управления второго игрока. Доказательство. Введем в рассмотрение функцию

£(т,х(в,т)) = /0х(в,т0) + Iшаххе(5)/(5,ие(5),v(s))ds + Iхе(5)/(5,ие(5),v(s))ds . (10)

*0 ^ '

Здесь £(т0,х(в,т0)) =|х(в)|| в случае, когда первый игрок применяет свою экстремальную стратегию, а второй произвольную допустимую; £(в,х(в,в)) - значение программного максимина (9). Вычисляем в (10) производную Яр

— = шах хе (т)/(т,ие (т), V) - хе (т)/(т,ие (т), v(t)) > 0 ,

dt veV

и, таким образом, при замене в (10) произвольной стратегии второго игрока на экстремальную, значение £(т, х(в, т)) может только увеличится, отсюда £(т0, х(в, т0)) < £(т0, х(в, в)) = £0 (т0, х(в, т0)). Теорема доказана.

Теорема 2.2. В регулярном случае, при выборе вторым игроком своей экстремальной стратегии Vе = Vе (т, х(в, т), т е[т0,в), т е[0,в), ему будет гарантирован результат игры || х(в) ||> £0(т0,х(в,т0)) при любом допустимом способе управления первого игрока.

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию

т в

£(т, х(в, т)) = ^0 х(в, т0) + [ шт хе (5)/ (5, и(«), Vе (5))^? + [хе (5) / (5, и(«), Vе (5))^?. (11)

■' иеП ■'

т0 т

Здесь £0(т0,х(в,т0)) = ||х(в)|| - в случае, когда второй игрок применяет свою стратегию, а первый

произвольную допустимую; £(в,х(в,в)) - значение программного максимина (9). Вычисляем в

(11) производную

Яр

— = штхе (т)/(т,и, Vе (т)) - хе (т)/(т,и(т), Vе (т) < 0,

dt иеП

и, таким образом, при замене в (11) произвольной допустимой стратегии первого игрока на экстремальную значение £(в, х(в, т)) может только уменьшаться, тогда

£(т0, х(0, т0 )) > £(т0, x(в, в)) = £0 (т0, x(в, т0 )).

Теорема доказана.

Прямым следствием теорем 2.1 и 2.2 является теорема о седловой точке игры.

Теорема 2.3. Если в регулярном случае игры функция /(т,и, V) удовлетворяет условию седловой

точки, то экстремальные стратегии игроков Пе(т,х(в,т) и Vе(т,х(в,т),те[т0,в), те[0,в) доставляют седловую точку игры, причем || х(в) || = £0(т0, х(в, т0)) .

Пример. Пусть движение объекта описывается скалярным уравнением,

і і

і(і) = е' + | 2(я)Уя + |[и2 (я) + (^2 (я))]Уу, 2(0) = 1.

00

Здесь р(і) = е , К (і, я) = 1, —(і, я) = 1, А(і) = 0, | и | < 1, | v |< 1, / (і, и(і), v(t)) = и2(і) + (-г2(і)). Соответствующая однородная дифференциальная система имеет вид 2 = 0, в качестве фундаментальной матрицы выбираем Z(і) = 1, матрица Коши имеет вид Z(і,я) = Z(і^-1^) = 1, Z(і,0) = 1.

22

Функция /(і, и, v) = [и (і) + (—г (і))] имеет седловую точку и = 0, v = 0; шіпшах / = шахшіп / = 0. Вычисляем матрицу

иеП vєV vєV иеП

і і

Ф(і, я) = |К (і, т) X (т, я)Ут = |Ут = і - я, Ф(і, 0) = і,

я я

резольвента этой матрицы определяется формулой R(t, я) = вЬ(і - я) [9, с. 22], тогда

/(т, 5) = 1 + ^(т-т)dт=(1 - сИ(т-т) )|Т_; = сИ(т - 5).

Отсюда х(т, 5) = сИ(т - 5), далее записываем г(т),

г^) = 1 + IсИ sds + I[ IсИ(т - s)dт]esds + I[ IСа(т - 5)От] [и2 (5) + (-V2 (^)]^5.

0 0 5

Вычисляем интегралы [ сИ sds + эИ 5 0 = эИ т,

•5

I сИ(т - .^Т = эИ(т - 5)

= 21(ет - е-*2” )* = 2

Т = 5 = ^(т - 5), 18И(т - s)esds = I'

т т-5 -т+5

е - е 5 ,

----------е ОУ =

ет5

1 т 1 т 1 -т 1 т ,

= — те-----------е +— е = — те - эИ т,

2 2 2 2

тогда

(т) = 1 + эИ т +1 тет - эИ т + |вЬ(т - 5) и2(х) + (-V2 (5))

2

или г'

1 Г 1

(т) = 1 +—тет + IвЬ(т-5) и2(5) + (—V2(5)) 05, здесь г(0) = 1, обозначим

2 0

+ .

1 +1 ве0 +

(в,т0) = 1 + — ве° + IэИв-5) и2(5) + (—V2(5)) Оя,

это позиция игры, далее определяем программный максимин:

в

£0(т0,2(в,т0)) = шах{/г(в,т0) + [штшах/'эЬ(в-т)[и2(т) + (-v2(t))]dt}.

||/||=1 •' иеП vеV

т0

Теперь рассматривается система двух скалярных уравнений:

х(1 ) = ет + Iх(5)0? + |[и 2(у) + (-г2^))^, х(0) = 1, 0

у (т) = ее + Iу(5)0? + I[и 2(«) + (-г2^))^, у(0) = 1.

(12)

■+ I и (5) + <

00

Из формулы (12) получаем начальное положение системы - точку (1,1), экстремальный вектор 10 направлен по прямой у = х от начала координат, движение осуществляется от точки (1,1) к началу координат прямой у = х , что иллюстрирует доказанные теоремы.

3. Пусть теперь динамика объекта описывается интегральным векторным уравнением Вольтерра

т т

х(т) = р(т) + IА(т, 5) х(5)0? + I£(т, 5) / (5, и(«), v(s))ds. (13)

00

Здесь х - я-мерный вектор; А(т, 5) - матрица я X я, В(т, 5) - матрица я X г, непрерывно дифференцируемые по первому аргументу и непрерывные по второму при 0 < 5 < т < в; р(т) -абсолютно непрерывная на [0, в] функция; /(т,и, V) - я-мерная вектор-функция, непрерывная при каждом т е[0,в] по совокупности переменных и, V, а при фиксированных и, V функция измерима по т, интегралы понимаются в смысле Лебега.

Согласно [10] состояние системы (13) в момент т е [0,в] определяется формулой т т0 т

х(т) =Ф(т,0)р(0) + IФ(т,5)Ор(5) + IX(т,5)/(5,и[5],v[s])ds + IX(т,5)/(5,и(5),v(s))ds. (14)

г

2

0

0

г

0

0

0

0

Пасиков В.Л. Игровые задачи наведения для собственно линейных

интегро-дифференциальных систем Вольтерра ...

Здесь и[і], v[і] - реализация допустимых управлений на [0,і0]; и(і), v(і) - пока не

определенные управления при і > і0 после момента і полагаем и = 0 , V = 0 .

В (14), аналогично [10],

Ф(і,5) = Е + \я(і,т)сіт, Ф(в,і) = Е + |Ф(в,s)* Л(х,і)Ж, *Л(х,і) = Л(х,х) + |дЛs^)da,

Б і І

Е - единичная матрица, умножив теперь Ф(0,і) вектор I, получаем, как и в [10], интегральное уравнение

в

+ Jz

t

сопряженное с уравнением

(t) = /' + Jz(s) * A(s, t)ds, z(t) = /'Ф(в, t),

x(t) = p(t) + JA(t, s)x(s)ds ,

0

решая которое можно получить z(t) , причем z(0) = /',

в

X(в, t) = Ф(в, t)B(t, t) + JФ(в, s) dB^ds .

ds

t

Записываем величину

в t0

x(в, t0) = Ф(в, 0)p(0) + JФ(в, s)dp(s) + J X (в, s) f (s, u[s], v[s])ds.

0 0

Для системы (13) решаем задачи аналогичные (8)-(10). Позиция игры определяется аналогично , p = {t,х(в,t)}, p0 = {t0,x(Q,t0)}. В каждый момент прицеливания позиция является начальной.

Программный максимин для начальной позиции определяется равенством

в

£0(t0,х(в,t0)) = шах[/х(в,t0) + [minmax{/'X(в,s)f (s,u(s),v(s))ds}. (15)

||/||=1 ^ ueU veF

k

Обозначим /0X(в, t) = xe (t), где /0 - единственное решение задачи (15) в каждый момент te[t0,6), t0 е [0,в).

Определение 3.1. Пусть я-мерный вектор /0 в каждый момент tе[t0,в), t0 е[0,в) доставляет наибольшее значение правой части (15), тогда, если позиция игры p0{t,х(в,t0)} такова, что £0(t0,х(в,t0)) > 0, то этой позиции поставим в соответствие множество Ue (t0, х(в, t0)) , (Vе (t0, х(в, t0))) всех векторов ue eU (ve е V), которые удовлетворяют условию шах хе (t0) f (t0,ue, v) = min max хе (t0) f (t0,u, v), (minхе (t0) f (t0,u,ve) = max minхе (t0) f (t0,u, v)).

veV ueUveV ueU veVueU

Множества Ue (Vе) называются экстремальными стратегиями первого (второго) игроков аналогично [1, 2] можно показать, что стратегии Ue (Vе) допустимы.

По плану доказательств аналогичных теорем из [1, 2], а также теорем настоящей работы можно проверить справедливость следующих утверждений.

Теорема 3.1. В регулярном случае при выборе первым (вторым) игроком стратегии Ue (Vе) ему будет гарантирован результат игры ||х(в)|| < £0(t0,х(в,t0))(||х(в)|| > £0(t0,х(в,t0))) Ue(Vе) при

любой допустимой стратегии управления второго(первого) игрока.

Теорема 3.2. В регулярном случае, при выборе обоими игроками своих экстремальных стратегий Ue и Vе или будет гарантирован результат игр ||х(в)|| = £0(t0,х(в, t0)).

Литература

1. Красовский, Н.Н. Игровые задачи о встрече движений / Н.Н. Красовский. - М.: Наука, 1970. - 420 с.

2. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. - М.: Наука, 1974. - 456 с.

3. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А.И. Субботин, А.Г. Ченцов. - М.: Наука, 1981. - 287 с.

4. Осипов, Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием / Ю.С. Осипов // ДАН СССР. - 1971. - Т. 196, № 4. - С. 779-782.

5. Субботин, А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью / А.И. Субботин // ДАН СССР. - 1972. - Т. 206, № 3 - С. 211-213.

6. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985. - С. 224.

7. Ландо, Ю.К. Элементы математической теории управления движением: учебное пособие / Ю.К. Ландо. - М.: Просвещение, 1984. - 88 с.

8. Цалюк, З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра / З.Б. Цалюк // Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1977. - Т. 15. - С. 199-266.

9. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и упражнения / М.Л. Краснов,

A.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М.: Наука, 1976. - 216 с.

10. Пасиков, В.Л. Экстремальное прицеливание в игре линейных систем Вольтера /

B.Л. Пасиков // Дифференциальные уравнения. - 1986. - Т. XXII, № 5. - С. 907-909.

Поступила в редакцию 27 марта 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics” _________________2014, vol. 6, no. 3, pp. 42-49

GUIDANCE GAME PROBLEMS FOR LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL SYSTEMS OF VOLTERRA TYPE WITH CONTROL ACTION UNDER THE INTEGRAL SIGN

V.L. Pasikov'

The paper is focused on pursuit-evasion game situations for controlled dynamic objects, the development of which is described by linear integro-differential and integral systems of Volterra type with control action under the integral sign. As a result, the control system has new essential features that are not obtained by traditional controlled differential systems. The author formulates a new definition of game position, the calculation of which requires the total memory of control action in a moment of aiming. Well-known extreme constructions by an academician N.N. Krasovsky modified by the author are used to solve these problems.

Keywords: integro-differential system; guidance problem; control action; program maximin; game position.

References

1. Krasovskii N.N. Igrovye zadachi o vstreche dvizhenii (Motion game problems). Moscow, Nauka Publ., 1970. 420 p. (in Russ.).

2. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Pozitsionnye differentsial’nye igry (Position differential games). Moscow, Nauka Publ., 1974. 456 p. (in Russ.).

3. Subbotin A.I., Chentsov A.G. Optimizatsiia garantii v zadachakh upravleniia (Guarantee optimization in control problems). Moscow, Nauka, 1981. 287 p. (in Russ.).

4. Osipov Yu.S. DANSSSR. 1971. Vol. 196, no. 4. pp. 779-782. (in Russ.).

5. Subbotin A.I. DAN SSSR. 1972. Vol. 206, no. 3. pp. 211-213. (in Russ.).

1 Pasikov Vladimir Leonidovich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Natural and Mathematical Disciplines, Orsk branch of the Orenburg State Institute of Management.

E-mail: pasikov_fmf@mail.ru

Пасиков В.Л.

Игровые задачи наведения для собственно линейных интегро-дифференциальных систем Вольтерра ...

6. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'yu (Differential equations with diffuse right member). Moscow, Nauka Publ., 1985. 224 p. (in Russ.).

7. Lando Yu.K. Elementy matematicheskoi teorii upravleniia dvizheniem: uchebnoe posobie (Elements of a mathematical motion control theory: study guide). Moscow, Prosveshchenie Publ., 1984. 88 p. (in Russ.).

8. Tsaliuk Z.B. Itogi nauki i tekhniki. Ser. Matematicheskii analiz. Moscow, VINITI Publ., 1977. Vol. 15. pp. 199-266.

9. Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Integral'nye uravneniya. Zadachi i uprazhneniya (Integral equations. Tasks and exercises). Moscow, Nauka Publ., 1976. 216 p. (in Russ.).

10. Pasikov V.L. Differentsial'nye uravneniia. 1986. Vol. 22. no. 5. pp. 907-909. (in Russ.).

Received 27March 2014