CC BY
45
УДК 517.977
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ В ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРА, II
л
В.Л. Пасиков
Изучены задача наведения и игровая задача т лиц для случая равновесия системы функционалов (типа расстояния) в смысле Нэша. Для решения этих задач применяется известная экстремальная конструкция академика
Н.Н. Красовского, модифицированная для рассматриваемых ситуаций.
Ключевые слова: игровая задача, гштегро-дифференциачьная система, управляющее воздействие, позиции игры, программный максимин, равновесие в смысле Нэша.
Предлагаемая работа примыкает к работам [1-8] и является продолжением статьи [9]. Все понятия и обозначения, несопровождаемые ссылками и пояснениями, имеются в [9]. Нумерация параграфов и формул продолжает нумерацию [9].
3. Игровая задача наведения для линейных интегро-дифференциальных систем Вольтерра
Рассматривается конфликтно-управляемая линейная интегро-дифференциальная система Вольтерра
г
х(г) = / (г) + А(*)х(*) +1К (г, 5) x(s)ds + и (г) - у(*), х(0) = х0. (40)
0
Все понятия и ограничения аналогичны [9].
Игра рассматривается на заданном отрезке [0, в\, плата задана равенством
гИ=||{* И]
(41)
Первый игрок распоряжается выбором управления не Р и стремится минимизировать величину /[0] на траекториях х[7], 0 <t <6, системы (40), реализующихся под действием управлений и\11, 0 <t<в, не Р, в паре с любой интегрируемой реализацией у| /1, 0 <t<в, уеО, второго игрока. Цель второго игрока противоположна и состоит в максимизации величины (41).
^(5) = ф(5, 0)x0+/(s), где Ф(М) = \K{t,T)X{z,s)dz, X{t,s) - матрица Коши
систе-
мы x(t) = A(t)x(t).
Тогда решение системы (40) записывается в виде
x(t) = X(t, 0)x0 +1x(t, s)ty(s)ds +1 x(t, s)u(s)ds - jx(t, s)v(s)ds . (42)
0
t
x(t, s) = X(t, s) + jX(tt)R(t, s)dT,
Щ, 5) - резольвента матрицы Ф(/^, 5).
Предполагаем, что до момента ^ , 0 < /0 < в начала игры, оба игрока применяют некоторые допустимые реализации управлений и0[7], у0[7], 0<t<t0. Если п\7] = 0, у[7] = 0 после момента t, t0<t<в, то состояние системы (40) в момент в согласно (42) записывается по формуле
г г
х(в, г) = х0 (в) + | х(в, 5)и0 [5^5 + | х(в, .^и^^ - | х(в, 5)У0 [5^5 - | X(в, 5)у[5^5, (43)
0 *00 0 *0
1 Пасиков Владимир Леонидович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа и информатики, Орский гуманитарно-технологический институт (филиш Оренбургского государственного университета).
E-mail: pasikov [email protected]_________________________________________________________________________________________________
m
0
где
x,^) =X(в, 0)x0 +ї х(в, s)q(s)ds .
Определение 3.1. Пару р = {/. х( в. /)] будем называть позицией игры в момент /. 0<t <в\ р0 ={^0, x(#,f0)] - начальная позиция, где
t0 t0
x(в, t0) = x0 (в) + j x(в, s)u0 [s]ds - j x(в, s)v0 [s]ds , о 0
тогда состояние системы (40) с учетом (43) в момент в имеет вид
в в
x^) = x^, t0) +| х(в, s)u[s]ds +1 x(в, s)v[s]ds . (44)
t0 t0
Уточним постановки задач для обоих игроков в рассматриваемом случае наведения.
Задача 3.1. Среди допустимых стратегий U первого игрока найти стратегию U6, которая при любом допустимом способе управления второго игрока для любой начальной позиции p0 , 0 < t0 <9, гарантирует результат игры:
(l№\ 110, х{в, t0),Ue, v) < e(t0, х{в, t0)).
Задача 3.2. Среди допустимых стратегий V второго игрока найти стратегию Vе, которая при любом допустимом способе управления первого игрока для любой начальной позиции p0 , 0 <t0 <9, гарантирует результат игры:
(7{e'\\tQ,x(e,tQ),u,Ve)^.e(tQ,x(e,tQ)).
Задача 3.3. Среди допустимых стратегий U, V первого и второго игроков соответственно найти стратегии Ue ,Ve, которые для любой начальной позиции р0 , 0 <to<0, гарантируют результат игры (/[в] 110, x(в, t0)Ue, Ve) = є(tо, x^, t0)).
В рассматриваемом случае программный максимин є(ґ0, х{в, tQ)) для начальной позиции р0 , 0 < t0 < в согласно (43), (44) записывается в виде
г в в
I max l(в, s)v[s]}m ds -j max l(в, s)u[s]}m ds -1/{x(в, t0)}
є(^, x(в, t0)) = max
=1 ’t0 ^Q 't0 u-P
(45)
если правая часть этого равенства положительна, иначе є(ґ0, х(в, ґ0)) = 0 .
Здесь рассматривается лишь регулярный случай, когда максимум в правой части (45) достигается на единственном векторе і = і0 (іО, х(в, іО)), 0 < t0 < в.
в
{х(в, t)} = {і0X(в, t)} +1{Ох(в,т)}{т, t)dт = хе [t]. (46)
і
Определение 3.2. Пусть от-мерный вектор /0 в каждый момент ґ0 , 0 < < в, доставляет мак-
симум правой части (45). Тогда, если позиция р0 такова, что є0(і0, х(в, ґ0)) > 0, то с этой позицией будем сопоставлять множество £/е(^0, х(в, ґ0)) (Vе(ґ0, х(в, ґ0))) всех векторов и6 є Р
{Vе є О), для которых хе[/0]2*е[/0] = таххе[/0]2* (х®[70]у®[70] = таххе[70]у). В этом случае стратегіє Р \е.О
гия ие (Vе) называется экстремальной стратегией первого (второго) игрока.
/
Отметим, что здесь {/0 Х(в,ґ)}т - первые т координат решения системы х(і) = —А'(і)х(і) с краевым условием /0 [1, с. 117]. У вектора /0 после т-й координаты приписаны нули.
С использованием ранее приведённых фрагментов рассуждений по плану доказательства аналогичных теорем из [1, с. 153] доказывается следующее утверждение.
Теорема 3.1. В регулярном случае игры из задач 3.1 и 3.2 экстремальные стратегии Ue = Ue (t, x(Q, t)) и Vе = Vе (t, х(в, t)) 0 <to<t<0 доставляют решения этих задач. Они составляют пару оптимальных стратегий { Ue,Vе }, которые разрешают задачу 3.3 и доставляют седло-вую точку рассматриваемой игры, причём {у[д]\ t0,x(£),t0)Ue,Ve)=e(t0,x(£),t0)), то есть оптимальная плата игры ('y[0]\to,x(0,to)Ue,Ve) для всякой исходной позиции (t0,x($,t0)) равняется программному максимину £(t0, х(в, t0)).
Доказательство. Запишем следующую функцию:
в
£ t] = £(t, x(0, t)) = [max {/0 (5, х(в, s)х(в, s))} v[s]ds -
t
в t
-Jmax {/0 (s, х(в,s)х(в,s))} u[s]ds + J{/0 (s,х(в,s)х(в,s))} Vo[s]ds - (47)
t u& U t
t t0
t
- j {/0 (s, х(в, s) х(в, s))} }[ s]ds -{/0 (t0, х(в, t0), х(в, t0))} .
t0
Здесь ?/0[s], v’0|.v I. t0<s<t - допустимые управления, реализовавшиеся к моменту t. Аналогично [1] можно показать, что функция e(t, х{0. /)). t0 < t < в , 0 < /0 < в. абсолютно непрерывна по t
в области e(t, х{6, t)) > 0 и вектор /0 (t, х{в, t)) при дифференцировании не зависит от t, t0 - на-
чало процесса управления.
Производная от функции (47) существует почти всюду [1, с. 144] и имеет вид ds[t]
= max
{/0 (t, х(в, t)Х(в, t)} u - max{/0 (t, х(в, t)Х(в, t)} v +
dt u^p vzq
+{/0 (t, х(в, t)х(в, t)} v - {/0 (t, х(в, t)х(в, t)} u.
Отсюда согласно (46) получим
d£t] =-max хе [t]v + max хе [t]u + хе [t]v[t] -хе [t]u[t]. (48)
dt veQ u<EP
Если теперь первый игрок, начиная с момента t0 , применяет экстремальную стратегию Ue в течение всей игры, а второй - произвольную допустимую, то из (48) и определения 3.2 получаем
d£[t] = _mSKXe {t)v + хе {t)v <0 . Таким образом, положительная функция e\t] = e{t, х{9, t)) имеет
dt ver
почти всюду на |/0. в\ неположительную производную. Следовательно, функция еЩ на |/0. в\ не возрастает, а значит, е{в, х{в, в)) < e(t0, х{в, t0)), но из (47) вытекает, что
£(в, х(в,в)) =|{х[в]}/
Допустим, что второй игрок в течение всей игры применяет экстремальную стратегию Vе.
Тогда из (48) имеем = тах хе Щи -хс|/|?ф|. Отсюда > о . Таким образом, когда функ-
dt и&и dt
ция e\t] положительна, она имеет неотрицательную производную при почти всех te Сле-
довательно, функция s[t] на [^,0] не убывает. Значит, е{в,х{в,в)) > £(t0, x(0,to)).
Пусть теперь в регулярном случае оба игрока применяют свои экстремальные стратегии, тогда, как это следует из предыдущего, им будет гарантирован результат игры
||{х[в]}ш| =£0, х(в, t0)).
Пример. Рассмотрим модельный пример. Пусть задана система из двух скалярных уравне-
нии
х^) = еf + j х( s)ds + u(t) - v(t), (49)
здесь /(1) = е‘,К(1,.^) = 1, однородная дифференциальная система для (49) записывается в виде
•
х = 0. В качестве фундаментальной матрицы выбираем Х^) = \, тогда матрица Коши
г г
Х(^,5) =Х(0Х_1(5) = 1, Х(^,0) = 1; вычисляем 0(^,5) = |АГ(^,г)Х(г,5)б/г = |б/г = ^-5 , резольвен-
е*~в
та этой матрицы определяется формулой [10, с. 22] R(l.s) = эМ/ - .у) =-------------, тогда
х(г, 5) = 1 +1 сЬ(т - 5^Т = 1 + сЬ(т - 5)
т = г
= 1 + сЬ(г - 5) -1 = сЬ(г - 5).
Т = 5
Выбираем какое-либо ненулевое начальное условие, например х0=х(0) = 3, получаем
<Р(() = / (0 + Ф(^, 0)х0 = е* + Зг1.
Записываем состояние системы в момент t
г ~ г ~ г ~
х(г) = X (г, 0) х0 +1 х(г, 5)у>(5)ё5 +1 х(г )и (г )Ж -1 х(г )у(г )Ж =
0
= 3 + |сЬ(г - 5)(е5 + 35)^5 +1сЬ(г - 5)и(5)^5 -1сЬ(г - 5)у(5)d5.
0 0 0 Проведём вычисления:
|сЬ(г - 5)e5d5 +31сЬ(г - 5)5d5 =11(ег-5 + в~(г-5))e5d5 + — |(ег-5 + е~(г-5))5d5.
2* 20 0
первого слагаемого получаем
-1 (ег + е-г+25))d5 = -1 (ег5 + 1 е-г+25 ) 2 0 2 0 2
г 1 ft + 1 г 1 -г
= — ге +— е------------е ;
0 2 4 4
для второго слагаемого интегрированием по частям получаем
г ~ г
—ее Ге 55d5 +—е г Г(e55d5 = -(-г-1 + ег) + — (г-1 + е г).
2 J 2 ■’ 2 2
^ 0 0
Подставим в (1)
17 5 - г г
х(г) = — гег + — ег + — е г + I сЬ(г - 5)и(5^5 - I сЬ(г - 5)у(5^5 ,
2 4 4 0 0 нетрудно проверить, что х(0) = 3.
Будем теперь считать, что начало управления ^ = 0 , начальная точка находится в точке (3,3) координат, из элементарных соображений заключаем, что движение в плоскости Оху будет проходить по прямой у = х по направлению к началу координат. Полагаем, что управляющие воздействия стеснены ограничениями ие [0,1],уе [0,1]. Седловую точку определяют стратегии IIе,Уе, согласно которым в каждый момент t е [0, в) управляющие воздействия принимают значения
\_____1_
л/2 ’ л/2.
£(0,х(#,0)) = тах(-е х(#,0))=-(—!=-3—!='3) = -г= •-(= = Зл/2 , то есть сближения с началом
у12 у12 л/2 л/2
координат нет, в других случаях точка (3,3) будет либо приближаться к началу координат, либо удаляться.
и= 1, V = 1. При этих значениях экстремальный вектор /0 =<{—^=.—и согласно (45)
4. Игровая задача для интегро-дифференциальных систем в случае т лиц
Рассматривается управляемая система, эволюция которой описывается векторным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерра
*
х(*) = /(V) + А(*)х(*) +1К(V,5)х(5^5 + ^и((V), х(0) = х0 , (50)
0 /=1
здесь х - п -мерный фазовый вектор, /(О - и-мерная интегрируемая по Лебегу на [0,0] вектор-функция, 0 > 0 - фиксированный момент, АТ(7,я) - непрерывная на [0,0] X [0,0] матрица пхп, А(7) - непрерывная на [0,0] матрица пхп, и1(/),/ = \т - управляющие воздействия, стесненные ограничениями, м; е £/,,£/, - выпуклые компакты в Я" , а реализации управляющих воздействий м;[^],^е [0,0] - измеримые по Лебегу функции. Все интегралы понимаются в смысле Лебега. Как показано в [9], при таких ограничениях система (50) имеет единственное абсолютно непрерывное решение х[^], удовлетворяющее начальному условию х[0] = х0 .
Решение системы (50) записывается в виде (42):
* т *
х(*) = X(V, 0)х0 +1 хх(V, 5)^(5^5 + X(V, 5)иг- [5^ . (51)
0 ,=1 0
Пусть, как и в [8], задана система функционалов
О = {% | Г, (щит) = (р, (х[0]), г=Щ. (52)
Задача 4.1. Найти такие стратегии £7®,..., £7® , для которых выполняются соотношения (Рг (Xе [0]) ^ (р, (х' [0]), /' = 1, т .
Здесь хе[0] - точка реализовавшейся траектории х[7] системы (50), которая отвечает стратегиям Ц,..., ит ; X [0] - точка траектории х[7], 0 < ^ < 0, системы (50), соответствующая управлениям и11/|..... | /1, и 11/1, м®+11/|..... иет |/|, где и ® [7], j^Ф■i, у = 1, т , формируется на основе
£7®; м; [7] - реализация произвольного измеримого по Лебегу управления, стесненного условием иг- е Ц.
Если задача 4.1 разрешима, то набор стратегий £7® = {б^®,..., £7® | называется равновесным
зим случаи, когда
сг - х[0] , (53)
по Нэшу для игры (50), (52) [8]. Как и в [8], рассмот
У, ^ ..., ит ) =
где с' - заданные точки в Я" , / = 1, т .
Считаем, что до момента начала игры ^ , 0 < /0 < 0. все игроки уже реализовали некоторые
допустимые управления м;°|/1. 0 < / < /0 : далее до момента t, /0 < / < 0 . применялись некоторые допустимые управления согласно тем или иным соображениям игроков, а после момента t предполагаем, что и\11 = 0. Тогда в момент ( состояние системы (50) имеет вид
т * 0 т *0
х(0, ^ = х{6, *о) + 2] I 5)мД5]б/5 , где х(0, ^ ) =Х(в, 0)х„ + |х(0, 5)^?(5)б/5 + | х(0, 5)М;°[5]б/5 .
1=10 , =1 0
Следовательно,
т *
х(0, V) = х(0, ^0) + и х(0, 5)и,[5^5 . (54)
,=1 *0
Определение 4.1. Для /-го игрока, / = 1, /я, тройку = |^, х(0, 0, сг | будем называть позицией в момент ^, 0<t0<t<в , а р0 = |^0, х(0, ), с' | - начальной позицией.
Определение 4.2. Стратегией £/; для /-го игрока, / = 1, т, будем называть многозначное отображение, которое каждой реализовавшейся позиции р = {^, х(в, 0, с' }, t0<t<в, ()< /0 < 61. ставит в соответствие некоторое непустое множество и7 (, х(0, V), с1) ьи1 (, х(0, V), с1) С ) [1, с. 61].
Множества и, предполагаются выпуклыми замкнутыми и полунепрерывными сверху по включению при изменении позиции. Такие стратегии и соответствующие им управления называют допустимыми. Под движением системы (50) понимают решение линейного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра (54).
Будем решать задачу за к-то игрока, к = \,т . Введем в рассмотрение функцию
в т в £к(t0, х(0, !0), ск)=шах[/'(ск - х(0, !0))- [ шах(/'{х(0,5)икС?)}^5-V [ шш(/'{х(0, 5)иД5)}^], (55)
PH , икеЦк ,=1 , и1еи1
'0 '0
7Фк
если правая часть этого равенства положительна, иначе ек (/0. х(в, /0). ск) = 0 .
Аналогично предыдущему говорят, что имеет место регулярный случай, если для всех позиций , х(в, ^0), ск |, \< к < т. ()< /0 < в. которые могут встретиться в рассматриваемой игре и
для которых максимум в правой части (55) достигается на единственном векторе 1к =/д (^0, х(в, ^0), ск). Мы рассматриваем лишь регулярный случай. Предположим, что в момент ( = ^ известен экстремальный вектор /ц , доставляющий максимум правой части (55).
Определение 4.3. Пусть вектор /ц в каждый момент , 0<0, доставляет максимум правой части (55). Тогда, если позиция р0 = {^0, х{в, ^), ск } такова, что £к(^, х(в,^), ск )> 0, то с
этой позицией будем сопоставлять множество ик((0, х(в, ^0), ск), 1 <к<т, всех векторов
иек е ик , которые удовлетворяют условию |/0 \ис|/0 | = шах 4 |/0 \ик. где вектор-
ик^^к
строка хк [70 ] = |/(, х(в. /0 )| . Тогда стратегии IIск назовем экстремальными.
Замечание. Так как согласно (17), (18) х(/^,5) = Х(^,5) + |Х(^, т)Щт^)с1т , где Л(/^,5) - резольвента матрицы Ф(7,.у), то функция хк(^) является решением интегрального уравнения Воль-
0
терра второго рода хек(V) = {х(0,V)} +1Ф (т,г)xk (т)dт [11].
Аналогично [1] можно показать, что экстремальные стратегии допустимы.
Теорема 4.1. В регулярном случае экстремальные стратегии 11к, \<к<т, уравновешивают в смысле Нэша систему функционалов (53).
Доказательство. Запишем функцию
£к(V, х(0, V),ск) = 1к(ск -х(0, (0) -1{/0к'х(0,5)}ик(5к -
г0
0 ? т 0 т ,
- [шах{/0 х(0,5)}ик(5)ds - [^{/(к х(0,5)}ик(s)ds -[^шш{/к х(0,5)}и,(s)ds = (56)
икеРк ^ , * 7=1 и.еР
г к к ^o ,=1 ^ ,=1 1
7 Фк
, V 0 т 0
= 10 (ск - х(0, гo) - | хк (5)ик (5)ds - | хк (5)ик (5^ ^ | хк (5)ик (5^5.
^0 ^ 7=1,7 Ф к ^
Из этой формулы согласно определению 4.3 получаем, что £к(0) = Ук\и1 ,...,иет),
£к (70) = У к{и{,...,иек_х,ик,иек+х,...,иет), т.е. £к{6) - значение функционала Ук . когда все игроки
применяют свои экстремальные управления, а £к(^0) - значение функционала , когда к-й игрок применяет произвольное допустимое управление, а остальные игроки применяют свои экстремальные управления.
Вычисляем производную
£ ^) = -хк (Vи (V) + хк (V)ик (V) < 0,
dt
отсюда вытекает, что при замене в (56) игроком Рк произвольного допустимого управления на экстремальное функция (56) не возрастает, следовательно, получаем, что
Ук(и\\...,иет)< Ук{и^ ,...,11ек_х,11к,11ек+х,...,11ет).
Таким образом, теорема доказана.
Литература
1. Красовский, Н.Н. Игровые задачи о встрече движений / Н.Н. Красовский. - М.: Наука,
1970. - 420 с.
2. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. - М.: Наука, 1974. - 456 с.
3. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А.И. Субботин, А.Г. Ченцов. - М.: Наука, 1981. - 278 с.
4. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский. - М.: Наука, 1985.- 520 с.
5. Осипов, Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием / Ю.С. Осипов // ДАН СССР. - 1971. - Т. 196, № 4. - С, 779-782.
6. Осипов, Ю.С. Альтернатива в дифференциальной игре / Ю.С. Осипов // ДАН СССР. -
1971. - Т. 197, № 5. - С. 1023-1025.
7. Субботин, А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью / А.И. Субботин // ДАН СССР. - 1972. - Т. 206, № 3. - С. 211-213.
8. Гороховик, В.В. О линейных дифференциальных играх нескольких лиц / В.В. Гороховик, Ф.М. Кириллова // Управляемые системы: сб. науч. тр - Новосибирск, 1971. - Вып. 10. - С. 3-9.
9. Пасиков, В.Л. Экстремальные стратегии в игровых задачах для линейных интегро-дифференциальных систем Вольтерра, I / В.Л. Пасиков // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2012. - Вып. 6. - № 11(270). - С. 33-42.
10. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и упражнения / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М.: Наука, 1975. - 216 с.
11. Винокуров, В.Р. Некоторые вопросы теории устойчивости систем интегральных уравнений Вольтера, I / В.Р. Винокуров // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1969. -№6 (85).-С. 24-34.
EXTREME STRATEGIES IN GAME-THEORY PROBLEMS
FOR LINEAR INTEGRAL DIFFERENTIAL VOLTERRA SYSTEMS, II
V.L. Pasikov'
The problems of guidance as well as game situation of m individuals in case of composed functions balance (a distance) in terms of Nash theory are studied. To solve these problems a familiar extreme construction by an academician N.N. Krasovsky, modified for the considered situations, is used.
Keywords: game-theory problem, integral differential system, control action, game positions, program maximin, balance in terms of Nash theory.
References
1. Krasovskii N.N. Igrovye zadachi o vstreche dvizhenii (Motion game problems). Moscow: Nauka, 1970. 420 p. (in Russ.).
2. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Pozitsionnye differentsial'nye igry (Position differential games). Moscow: Nauka, 1974. 456 p. (in Russ.).
3. Subbotin A.I., Chentsov A.G. Optimizatsiia garantii v zadachakh upravleniia (Guarantee optimization in control problems). Moscow: Nauka, 1981. 287 p. (in Russ.).
4. Krasovskii N.N. Upravlenie dinamicheskoi sistemoi (Dynamic system control). Moscow: Nauka, 1985. 518 p. (in Russ.).
5. Osipov Yu.S. DANSSSR. 1971. Vol. 196, no. 4. pp. 779-782. (in Russ.).
6. Osipov Yu.S. DAN SSSR. 1971. Vol. 197, no. 5. pp. 1023-1025. (in Russ.).
7. Subbotin A.I. DAN SSSR. 1972. Vol. 206, no. 3. pp. 211-213. (in Russ.).
8. Gorokhovik V.V., Kirillova F.M. O linejnykh differencialnykh igrakh neskolkikh litc [Linear differential games of several individuals]. Upravlyaemye sistemy: sb. nauch. tr. [Controllable systems: Proceedings]. Novosibirsk, 1971. Issue 10. pp. 3-9. (in Russ.).
9. Pasikov V.L. Ekstremalnye strategii v igrovykh zadachakh dlya linejnykh integro-differencialnykh sistem Volterra, I [Extreme strategies in game-theory problems for linear integral differential Volterra systems, I]. Vestnik YuUrGU. Seriya «Matematika. Mekhanika. Fizika». 2012. Issue 6. no. 11(270). pp. 33-42. (in Russ.).
10. Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Integral'nye uravneniia. Zadachi i uprazhneniya (Integral equations. Tasks and exercises). Moscow: Nauka, 1976. 216 p. (in Russ.).
11. Vinokurov V.R. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenij. Matematika. 1969. no. 6(85). pp. 2434. (in Russ.).
Поступила в редакцию 15 апреля 2012 г.
1 Pasikov Vladimir Leonidovich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Mathematical Analysis and Information Service, Orsk Humanist and Technological Institute (Branch of Orenburg State University).
E-mail: pasikov [email protected]_________________________________________________________________________________________
02 Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»
