CC BY
34
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.977
В. Л. Пасиков
СБЛИЖЕНИЕ ОДНОТИПНЫХ ОБЪЕКТОВ, ЭВОЛЮЦИЯ КОТОРЫХ ОПИСЫВАЕТСЯ СИСТЕМАМИ ВОЛЬТЕРРА
Аннотация.
Актуальность и цели. Рассматриваются некоторые вопросы оптимального управления, а именно теория динамических игр для случая, когда динамика игры описывается линейными интегральными и интегродифференциальными векторными уравнениями Вольтерра. Целью работы является решение задач оптимизации функционалов типа расстояния.
Материалы и методы. Для решения этих задач автором построена некоторая модификация известной экстремальной конструкции академика Н. Н. Красовского, разработанная для обыкновенных дифференциальных систем. Центральным элементом этой модификации является новое определение позиции игры, для вычисления которой требуется полная память по управляющим воздействиям, что существенно усложняет все исследование по сравнению со случаем обыкновенных линейных дифференциальных систем.
Результаты и выводы. В работе получены существенно новые результаты, которые дополняют и расширяют общую теорию динамических игр. Они заключаются в распространении классических методов академика Н. Н. Красовского на более сложные объекты - динамические системы Вольтерра. Таким образом, доказывается возможность расширения области приложения этих методов.
Ключевые слова: интегральное уравнение Вольтерра, интегродифферен-циальное уравнение Вольтерра, управляющее воздействие, оптимальная стратегия, измеримая функция, позиция игры.
V. L. Pasikov
APPROACH OF SINGLE-TYPE OBJECTS, EVOLUTION OF WHICH IS DESCRIBED BY VOLTERRA SYSTEMS
Abstract.
Background. The paper discusses some problems of optimal control, namely, the theory of dynamic games when the game dynamics is described by linear integral and integrodifferential vector Volterra equations. The aim of the article is to solve problems of optimization of distance-type functionals.
Materials and methods. To solve these problems, the author built a modification of the famous extreme construction of academician N. N. Krasovskiy developed for ordinary differential systems. The centerpiece of this modification is a new definition of the game position for which it is necessary to calculate the total memory to manage stress that greatly complicates the entire study compared with the case of ordinary differential systems.
Results and conclusions. The paper presents significant new results that complement and extend the general theory of dynamic games. They consist in the spread of classical methods of academician N. N. Krasovskiy on more complex objects -Volterra dynamic systems. Thus, the author has proved the possibility of extending the field of application of these methods.
Key words: Volterra integral equation, Volterra integrodifferential equation, control action, optimal strategy, measurable function, game position.
100
University proceedings. Volga region
№ 3 (35), 2015
Физико-математические науки. Математика
1. Пусть эволюция двух управляемых объектов описывается системами интегральных уравнений Вольтерра:
t t
у(t) = Л(t)+ Ja (t. 5) у (s )ds + Js (t. s )u (s )ds. (1.1)
0 0
t t
z(t) = Л (t) + Ja (t. s )z (s )ds + Js (t. s )v (s )ds. (1.2)
0 0
здесь y(t). z(t) - «-мерные фазовые векторы; f1(t). f2(t) - «-мерные абсолютно непрерывные на [0.0] вектор-функции внешних воздействий; A(t,s) - непрерывная при 0 < s < t <0 матрица «X«; B(t,s) - непрерывная при 0 < s < t <0 матрица « X r с интегрируемыми по Лебегу производными по первому аргументу на [0.0]. Управляющее воздействие u(t) формирует по ходу игры первый игрок - преследователь. управляющее воздействие v(t) формирует по ходу игры второй игрок - преследуемый. их реализации — измеримые по Лебегу функции и [t]. v [t] стесненные вложениями
Vt[0. 0]^ и(t)е P с Rr. v(t)е Q с Rr. (1.3)
P и Q - выпуклые. замкнутые и ограниченные множества; 0> 0 - фиксированный момент окончания игры. Интегралы понимаются в смысле Лебега. Согласно [1-3] каждая из систем (1.1) и (1.2) имеет единственное абсолютно непрерывное решение на [0.0] .
Как и в [4]. здесь и далее принимаем. что отношение размеров множества Р к соответствующим размерам множества Q равно числу в > 1. которое называется коэффициентом подобия. Отметим. что при рассмотрении процесса преследования одного объекта другим в динамической игре используется понятие прицеливания с использованием некоторого направляющего вектора l. если такой вектор определяется единственным образом. то такой случай называется регулярным.
Теорема 1. Если в условиях (1.3) в> 1. то в игре на сближение-уклонение однотипных объектов (1.1) и (1.2) имеет место регулярный случай.
Доказательство. Воспользуемся планом доказательства соответствующего утверждения из [4]; согласно [5] имеем
80 (.у (0. t0 ).z(0.t0 )) =
max i
НИ 1=1
J max [l 'Z (t. s)]v( s)ds
t veQ
J max\l'Y (0. s)] u( s)ds +1 [z(0. fy) — у (0. fy)]
^ ueP
0
0
(1.4)
если правая часть этого равенства положительная. иначе 80 ((. у (0. t0). z (0. t0)) = 0. Штрих означает транспонирование.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
101
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Приведем в связи с (1.4) обозначения из [5]:
6
Y (6, t) = Ф(6, t) B(t, t) + ]Ф(Г, s)
t
dB( s, t)
dt
ds = Z (6, t),
t
Ф (t, s ) = E + (t, T)d t,
s
где E — единичная матрица; R(t,s) - резольвента матрицы A(t,s);
6 to
y(6,to) = Ф(6,0Щ0) + |ф(6,s)dfi (s) + jY(6,s)u[s]ds,
0 0
6 t0
z(6, t0) = Ф(6,0)f (0) + |Ф (6,s)df2 (s) + jZ (6,s)v[s]ds,
0 0
где y (6, t0), z (6, t0) — состояния объектов (1.1) и (1.2) в момент t0 е [0,6]; (, у (6, t0), z (6, t0)) - позиции игры; решения систем определяются формулами [5]
t t
у(t) = у(6,t0) + jY(6,s)u[s]ds, z(t) = z(6,t0) + jZ(6,s)v[s]ds.
t0 t0
В рассматриваемом случае Y (6, s) = Z (6, s) = X (6, s); u[s], v[s] - реализации управляющих воздействий u(s), v(s) на соответствующих промежутках. Тогда получаем
6
80 ((, у (6, t0), z (6, t0)) = max [ max [/'Z(6, s)] v(s)ds —
\Щ=11 veQ
t0
6
max ['Y (6, s)]3v( s)ds + /'[z( 6, t) — y(6, t))] =
veQ
—j
t0
0
= max< (1 — p) jmax[IX(6,s)]v(s)ds — /'[x(6,t))] >
M=1 t veQ
I l0 J
80 (t0,x(6,t) )), (1.5)
где x(6, t0) = у (6, t0) — z(6, t0).
Отметим, что (1.5) получено в результате вычитания (1.1) из (1.2), при
этом
t t
x(t) = f (t) + jA(t- s )x (s )ds + jB (t, s )w (s )ds, (1.6)
0 0
102
University proceedings. Volga region
№ 3 (35), 2015
Физико-математические науки. Математика
где f (t) = f2(t) — fi(t), w eW - ограниченное, выпуклое, замкнутое множество.
Таким образом, задача сближения для объектов (1.1) и (1.2) трансформируется в задачу наведения на начало координат, в задачу минимизации функционала ||х(0)|| на траекториях (1.6). Требуется рассмотреть два случая: в = 1, в > 1. Пусть сначала в = 1, тогда в (1.5) в силу условия So (,((0,t0),z(0,to))>0 вектор x(0,t0) не может быть нулевым. В этом случае [4, с. 170] выражение /х(0,t), te [0, 0), достигает максимума на единственном векторе:
х(0, t) ||х(0, t)|| '
Пусть теперь в > 1. Проведем аналогично [4] доказательство от противного. Предположим, что максимум в правой части (1.5) достигается на двух различных векторах /1 и /2 . Обозначим
(1.7)
Из (1.5), (1.7) ясно, что не может быть /1 =-/2, так как из [4, с. 381] имеем р(0,0,/1) + р(0,0,/2)- р(0,0,/1 + /2), а тогда из (1.5) вытекает равенство
2е0 = (1 -в)[р(0/1)+ р(0/2 )] -- (1 -в)р(t0,0,/1 + /2 ) =(1 -в)р(t0,0,0) = 0 ,
которое противоречит условию £0 > 0.
Если теперь /1 Ф —/2 , то составляем новый единичный вектор
/3 = ^.
/1 + /2
Вычисляем правую часть (1.5) при / = /3, получаем
(1 - Р )р (t0,0, /3 ) + /3 х О0, t0 )
-
- J + / [р(t0,0,/1 ) + р(t0,0,/2 )] + /3хI0, t0 ) = II, +0 II Так как Ц + /21| < ||/Ц +1/21|, то из (1.8) следует неравенство
(1 -в)р tto, 0, /з)-/ х I0, t0 )>£0 (to, (I0, t0 ) z l0, t0)),
которое противоречит (1.5).
Теорема доказана.
(1.8)
Physical and mathematical sciences. Mathematics
103
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Пусть эволюция двух управляемых объектов описывается системами интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра с управляющими воздействиями вне интеграла
t
y (t)= f (t) + A (t) y (t) + JK (t, s) y (s )ds + u (t), y (0) = y0, (2.1)
0
t
z(t)= f2 (t) + A(t)z(t) + Jk(t,s)z(s)ds + v(t), z(0) = z0, (2.2)
0
где y (t), z(t) - «-мерные фазовые векторы; f (t), f (t) - n-мерные векторы-функции внешних воздействий, измеримые по Лебегу на [0,0]; A(t) -непрерывная на [0,0] матрица « X« ; K (t, s) - непрерывная при 0< s < t <0 матрица « X«; управление u (t) формирует первый игрок - преследователь, управление v (t) формирует второй игрок - преследуемый; их реализации -измеримые функции u[t], v[t] - стеснены вложениями
Vta [0,0] ^ u(t)a P с R«, v(t)a Q c R«, (2.3)
P и Q - выпуклые, ограниченные, замкнутые множества; интегралы понимаются в смысле Лебега.
Согласно [2, 6] каждая из систем (2.1), (2.2) имеет единственное абсолютно непрерывное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. Объект (1.1) преследует объект (1.2).
Теорема 2. Если в условиях (2.3) в > 1, то в игре на сближение-уклонение однотипных объектов (2.1) и (2.2) имеет место регулярный случай.
Доказательство. Воспользуемся планами доказательства соответствующего утверждения из [4, с. 169] и теоремы 1. Программный максимин
80 (, y (0, t0), z (0, t0)) при условии 80 > 0 определяется в произвольный момент t0, 0 < t0 <0, формулой [4, 7]
80 (, у У0, t0), z l0, t0 )) =
=max <
И 1=1
J max[/'z1 (0, s)]v( s)ds - J max[/y1 (s)]u( s)ds+1' [ z (0, t)) - y(0, t0
).(2.4)
В связи с (2.4) приведем обозначения из [7]: Y (t, s) - матрица Коши системы
y У ) = A У) y У);
Z (t, s) = Y (t, s) = X (t, s); R (t, s) - резольвента матрицы
t
L (t, s) = J K (t, t)Y (t, s )d t,
s
t
y1 (t, s )= Y (t, s) + J Y (t, t) R (t, s )d t = zj(t, s),
s
104
University proceedings. Volga region
№ 3 (35), 2015
Физико-математические науки. Математика
Mi( s) = L (s,0 )j0 + fi( s), M2( s) = L (s,0)z0 + f2( s).
Тогда решения систем (2.1) и (2.2) записываются по формулам [7] при Л ( s ) = ^i (t, s ) = xi (t, s):
У (t ) = Y (0,0) y0 + J xi(t ,s)Mi (s )ds + J xi(0,s $v[s]ds,
:(t) = Y (0,0) ^0 + J xi(t ,s )M2 (s )ds + J xi(0,s )v[s ]ds.
Далее обозначаем реализации в момент t0 (совместно с t0 -позицией
игры):
w -0
у (0, t0 ) = Y (0,0 )У0 + J xi(t, s) Mi (s )ds + J xi(0, s)^v[ s]ds,
0
0
z (0, t0) = Y (0,0 )z0 + J xi(t, s)M2 (s )ds + J xi(0, s )v[ s]ds, 0 0
отсюда получаем реализации в момент t е [t0,0]:
0
t t
у (0, t) = у (0, t0) + J xi(0, s)Pv(s)ds , z (0, t) = z (0, t0) + J xi(0, s)v(s)ds .
r0 k)
Тогда для рассматриваемого случая получаем программный максимин
[4, 7]:
0
80 (t0,У (0,s),Z(0,s)) = max Jmax[i'Z(0,s)]v(s)ds -
t0
0
max [l'yi (0, s)] Pv(s)ds +1'[z(0, t0) - у(0, fy)] =
veQ
- J
t0
0
= max <
И=i
(i-P) Jmax[xi (0,s)v(s)]ds-1x(0,t0)
t veQ
(2.5)
где x (0, t0 ) = у (0, t0)-z (0, t0).
Как и в предыдущем параграфе, рассматриваются два случая: в = i, в > i. Соотношение (2.5) полностью аналогично (i.5). Поэтому далее доказательство проводится дословным повторением доказательства теоремы i.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
105
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Рассматриваем теперь интегродифференциальные системы Вольтер-ра с управляющими воздействиями под знаком интеграла:
t t
У (t) = fi (t) + A(t)y (t) + Jk(t,s)y (s)ds + Jg(t,s)u (s)ds,y (0) = y0, (3.1)
0 0
t t
z(t) = f2 (t) + A(t)z(t) + jK (t, s) z (s )ds + Jb (t, s )v (s )ds, z (0) = z0, (3.2)
0 0
здесь fi (t) и f2 (t) - функции, измеримые по Лебегу на [0, 0]; реализации управляющих воздействий — измеримые по Лебегу функции u(t), v(t), стесненные вложениями
Vt[0, 0] ^ u(t)е P с Rr, v(t)е Q с Rr, (3.3)
В(t,s) - непрерывная при 0 < s < t <0 матрица n Xn с интегрируемой по Лебегу производной по первому аргументу. Согласно [2, 6, 8] каждая из систем имеет единственное абсолютно непрерывное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.
Решения систем (3.1), (3.2) имеют следующий вид [4] при условиях (3.3) [8]:
t
У (t ) = Y (t ,0) У0 + J Y (t ,s)¥(s,0)ds9i(0) +
0
+J
0
t
j Y (t, t)¥(t, s )d т
s
t
d 9i( s) + j
0
t
j Y (t, т)х(т, s )d т
u( s)ds,
s
:(t ) = Z (t ,0) Z0 + j Z (t ,s )^(s,0)ds92(0)
+
+j
j Z (t, t)¥(t, s )d т
d Ф2( s) + j
j Z (t, т)х(т, s )d т
v( s)ds.
Для рассматриваемого случая записываем программный максимин [4, 8]:
80 (( У I0, t0 ), z l0, t0 )) = ]
=1
max •{ max
veQ
jl'Z(0, т)х( t, s)dT
v( s)ds —
0
0
0 " 0 "
I max ueP k j l'Y (0, т)х( т, s)dT _ s _ u(s)ds + l'[y(0, fy) — z(0, t))]
Z (0, t) = Y (0, т) = X (0, t).
106
University proceedings. Volga region
№ 3 (35), 2015
Физико-математические науки. Математика
Полагаем, что е0 (,((0, t0),z(0,t0 ))> 0.
В связи с (2.4) приведем дополнительные обозначения из [5]:
t
у (t, s) = E + (t, T)d t,
s
где R (t, s) - резольвента матрицы
tt
Ф01,s) = JK(t,t)Y(t,s)dt, x(t,s) = у(t,s)B(s,s) + JV(t,T)dt,
ss
Ф1 (t) = f1 (t) + ф(t,0)^ Ф2 (t) = f2 (t) + ф(t,0)z0. Максимин переписываем в следующей форме [4, 8]:
80 (((I0, t0 )zl0, t0 )) =
= max {
И=1
0
(1 -В) Jmax
; veQ l0
0
J l'X( 0, t)x(t, s)dT
s
v(s)ds -l'x(0, t)) f,
(3.5)
x l0, t0 ) = У l0, t0)-z l0, t0).
Так как формула (3.5) формально аналогична (1.5), то очевидно следующее утверждение.
Теорема 3. Если в условиях (3.3) в> 1, то в игре на сближение-уклонение однотипных объектов (3.1) и (3.2) имеет место регулярный случай.
4. Рассмотрим решение задачи сближения-уклонения для двух однотипных объектов с динамикой (1.1) и (1.2). Вычитаем из (1.2) равенство (1.1), получаем
t t
x (t ) = f (t) + J A(t, s) x (t, s )ds + J no, s)w(s)ds . (4.1)
0s
Здесь x(t) = y(t) -z(t), w(s)e W. Ставится задача наведения объекта (4.1) на начало координат, т.е. задача минимизации функционала ||x(0)||. Она решается аналогично [4, 5]. Программный максимин определяется формулой
е0 I0,t0 )
= max <
И=1
0
I max\l'x1 (0,s)!w (s )ds -lx(0,t0) >,
weWL
(4.2)
здесь
0
x(0,t0 ) = Ф(0,0)f (0) + Jф(0,s)df (s), f (s) = f (s) = fj (s),
0
Physical and mathematical sciences. Mathematics
107
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
xe (t) = x (t)B(t,t) + Jx (5)—d ’ )ds,
t
e
x (t) - решение уравнения x (t) = l + lx (s)A (s,t)ds,
t
A* (s, t) = A(s,s) + J дАд(5') dx,
t
сопряженного с (4.1).
Тогда в каждый момент t е [0,0) экстремальный вектор l является решением задачи (4.2) и оптимальное управление we определяется из условия
xe (t)-we (t) = maxxe (t)w. (4.3)
weW
5. Рассматриваем решения задачи сближения-уклонения для двух однотипных объектов с управляющими воздействиями вне интеграла. Вычтем из системы (2.2) систему (2.1), получим
t
x (t ) = f (t) + A (t)x (t) + J* (t- s) x (s )ds + w (t), (5.1)
0
где x (t) = y (t)-z (t), f (t) = f (t)-fi (t), w eW c Rn - ограниченное, замкнутое, выпуклое множество. По способу получения системы (5.1) можно заключить, что эта система имеет единственное абсолютно непрерывное решение, удовлетворяющее начальному условию x(0) = xo . В этом случае задача сближения-уклонения для систем (2.1), (2,2) трансформируется в задачу наведения на начало координат, в задачу минимизации функционала ||x(e)||.
Наименьшее значение eo(to, x (e, to)), доставляемое оптимальным управлением w(t) е W, определяется равенством [4, 9]:
e
eo (to, x (e, t0 )) = max j- J "'=1 J
max[(e,s)w(s)ds]-lx(e,to) >, (5.2)
weW
l fo J
если его правая часть положительна, иначе eo (to, x (e, to)) = o .
Пусть l - решение задачи (5.2), обозначим xe (t) = lx1 (e,t), тогда
в каждый момент tе [to,e] экстремальное управление we(t) удовлетворяет условию
xe (t) - we (t) = maxxe (t)w.
weW
(5.3)
Отсюда получаем решение задачи (3.2), как это следует из [4, 6].
108
University proceedings. Volga region
№ 3 (35), 2015
Физико-математические науки. Математика
6. В случае, когда динамика объектов описываются системами (3.1), (3.2), вычитаем из (3.1) систему уравнений (3.2), тогда и имеем
t t
x (t ) = f (t) + A (t)x (t) + jK (t, s) x (s )ds + jS (t, s )w (s )ds. (6.1)
0 0
Обозначения аналогичны (3.1), система (6.1) имеет единственное абсолютно непрерывное решение с начальным условием x (0) = *о [1, 2, 5]. Программный максимин определяется равенством [4, 10]:
Во (x ( t0 )) =
max {
И=1
- Jmax Jl'[X(0,t)x(t,t)ldxw(s)ds -l'x(0,,) >. (6.2)
J weWJ
Обозначим
0
xe (t ) = JlX (0, t)(t, t )d t,
t
где Г - решение задачи (6.2), тогда экстремальное управление we (t) в каждый момент t е [t0,0] определяется условием
xe (t)we (t) = maxxe (t)w. weW
(6.3)
7. Из теорем 1, 2, 3 аналогично [4, с. 175] вытекает следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть в > 1 и в задаче сближения-уклонения для рассмотренных выше динамических объектов множество W в каждом случае подобно множеству V и одинаково с ним ориентировано, причем отношение размеров W к размерам V равно числу (в — 1). Тогда экстремальные стратегии игроков
задаются множествами Ue и Ve, которые получаются из множества We, определяемого при x = y — z, в каждом случае соотношениями (4.3), (5.3), (6.3), соответственно подобным преобразованиям с коэффициентами подобия
k1 ='
в
в-1
и k2 =
1
в-1
соответственно. Величина гипотетического рассогла-
сования [4] £0(t,y,z) равна величине £0(t,x).
Список литературы
1. Цалюк, З. Б. Интегральные уравнения Вольтерра / З. Б. Цалюк // Математический анализ. Итоги науки и техники. - М. : ВИНИТИ, 1977. - С. 131-198.
2. Ландо, Ю. К. Элементы математической теории управления движением / Ю. К. Ландо. - М. : Просвещение, 1984. - 88 с.
3. Винокуров, В. Р. Некоторые вопросы теории устойчивости интегральных уравнений Вольтерра. I / В. Р. Винокуров // Известия вузов. Математика. - 1969. -№ 6. - С. 24-34.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
109
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
4. Красовский, Н. Н. Игровые задачи о встрече движений / Н. Н. Красовский. -М. : Наука, 1970. - 420 с.
5. Пасиков, В. Л. Экстремальное прицеливание в игре линейных систем Воль-терра / В. Л. Пасиков // Дифференциальные уравнения. - 1986. - Т. XXII, № 5. -С. 907-909.
6. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью /
A. Ф. Филиппов. - М. : Наука, 1985. -224 с.
7. Пасиков, В. Л. Экстремальные стратегии в игровых задачах для линейных ин-тегро-дифференциальных систем Вольтерра. I / В. Л. Пасиков // Вестник Южноуральского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Физика. -2012. - Т. 7, № 34 (293). - С. 33-42.
8. Пасиков, В. Л. Задача сближения-уклонения для линейных интегро-дифференциальных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла / В. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2 (18). - С. 58-70.
9. Пасиков, В. Л. Экстремальные стратегии в игровых задачах для линейных интегродифференциальных систем Вольтерра. II / В. Л. Пасиков // Вестник Южно-уральского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Физика. - 2013. - Т. 5, № 1. - С. 55-62.
10. Пасиков, В. Л. Игровые задачи наведения для линейных интегродифференци-альных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла /
B. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2 (22). - С. 50-58.
References
1. Tsalyuk Z. B. Matematicheskiy analiz. Itogi nauki i tekhniki [Mathematical analysis. Results of science and technology]. Moscow: VINITI, 1977, pp. 131-198.
2. Lando Yu. K. Elementy matematicheskoy teorii upravleniya dvizheniem [Elements of mathematical theory of movement control]. Moscow: Prosveshchenie, 1984, 88 p.
3. Vinokurov V. R. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1969, no. 6, pp. 24-34.
4. Krasovskiy N. N. Igrovye zadachi o vstreche dvizheniy [Game problems on encounter of movements]. Moscow: Nauka, 1970, 420 p.
5. Pasikov V. L. Differentsial’nye uravneniya [Differential equations]. 1986, vol. XXII, no. 5, pp. 907-909.
6. Filippov A. F. Differentsial’nye uravneniya s razryvnoy pravoy chast’yu [Differential equations with discontinuous right part]. Moscow: Nauka, 1985, 224 p.
7. Pasikov V. L. Vestnik Yuzhno-ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika. Mekhanika. Fizika [Bulletin of South-Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics]. 2012, vol. 7, no. 34 (293), pp. 33-42.
8. Pasikov V. L. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 2 (18), pp. 58-70.
9. Pasikov V. L. Vestnik Yuzhno-ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matemat-ika. Mekhanika. Fizika [Bulletin of South-Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics]. 2013, vol. 5, no. 1, pp. 55-62.
10. Pasikov V. L. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 2 (22), pp. 50-58.
110
University proceedings. Volga region
№ 3 (35), 2015
Физико-математические науки. Математика
Пасиков Владимир Леонидович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра естественноматематических дисциплин, Орский филиал Оренбургского государственного института менеджмента (Россия, Оренбургская область, г. Орск,
Орское шоссе, 4)
E-mail: pasikov_fmf@mail.ru
Pasikov Vladimir Leonidovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of natural and mathematical disciplines, Orsk branch of Orenburg State Institute of Management (4 Orskoe highway, Orsk, Orenburg region, Russia)
УДК 517.977 Пасиков, В. Л.
Сближение однотипных объектов, эволюция которых описывается системами Вольтерра / В. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. -
№ 3 (35). - С. 100-111.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
111
