Иерархические схемы в задачах эрмитовой интерполяции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.632.4

Г.Я. ТУЛУЧЕНКО, Т.А. СЕЛУЯНОВА, Н.В. СТАРУН

Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет

1еРАРХ1ЧН1 СХЕМИ В ЗАДАЧАХ ЕРМГГОВО1 1НТЕРПОЛЯЦП

В cmammi проведено nopieHMMbHuu анал1з властивостей ттерполяцтних полiномiв, що будуються за ieрcрхiчною схемою Ермта та за методом базисних елементiв. Показано, що iнтерполяцiйнi полтоми, яК отриман за методом базисних елементiв, e окремим випадком ieрархiчних ттерполяцтних полiномiв, як отриман за схемою Ермта. Доведено, що на однакових стках та при однакових степенях iнтерполяцiйних полiномiв ц два тдходи приводять до побудови тотожних полiномiв.

Ключовi слова: ттерполяцтний полтом, ермiтова iнтерполяцiя, метод базисних елементiв.

Г.Я. ТУЛУЧЕНКО, Т.А. СЕЛУЯНОВА, Н.В. СТАРУН

Херсонский национальный технический университет

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СХЕМЫ В ЗАДАЧАХ ЭРМИТОВОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

В статье выполнен сравнительный анализ свойств интерполяционных полиномов, построенных на основе иерархической схемы Эрмита и по методу базисных элементов. Показано, что интерполяционные полиномы, полученные методом базисных элементов, являются частным случаем иерархических интерполяционных полиномов, полученных по схеме Эрмита. Доказано, что на одинаковых сетках и при одинаковых степенях интерполяционных полиномов эти два подхода приводят к построению тождественных полиномов.

Ключевые слова: интерполяционный полином, эрмитова интерполяция, метод базисных элементов.

H.Ya. TULUCHENKO, T.A. SELUIANOVA, N.V. STARUN

Kherson National Technical University

THE HIERARCHICAL SCHEMES IN THE PROBLEMS OF HERMITE'S INTERPOLATION

In the article the comparative analysis for the properties of interpolation polynomials, which are constructed on the basis of Hermite's hierarchical scheme and on the method of basis elements is completed. It is shown that the interpolation polynomials, which are obtained by the basis element method, are a special case of hierarchical interpolation polynomials, which are obtained by the Hermite's scheme. It is proved that on the identical grids and with the same degrees of interpolation polynomials, these two approaches lead to the construction of an identical polynomials.

Keywords: interpolation polynomial, Hermite interpolation, the method of basic elements.

Постановка проблеми

У лггератур1 з обчислювальних метод1в вщзначаеться занадто гром1здкий вигляд загального виразу штерполяцшного полшома за схемою Ермгта для його практичного застосування [11]. В той же час ввдом1 прийоми на основ1 застосування матричного числення для переходу в1д класично! схеми ермгтово! штерполяци до И 1ерарх1чно! модиф1кацп. Отримуваш при цьому штерполяцшш полшоми е тотожними, але розкладеними за р1зними базисами у простор! полшом1в не вище фжсованого степеня [9-10]. Отже, юнуе несшнченна множина базис1в, що складаються 1з 1ерарх1чних функцш, за якими може бути розкладений штерполяцшний полшом у схем1 Ермгта. Реал1зац1я модифжованих схем Ермгта при застосуванш 1ерарх1чних базис1в характеризуеться суттевим зменшенням об'ем1в виконуваних арифметичних операцш.

Таким чином, при розробщ штерполяцшних схем без використання апарату матричного числення !х 1дентиф1кац1я стосовно належносп до 1ерарх1чних схем ермгтово! штерполяци е не завжди очевидною.

Аналiз останшх дослвджень i публiкацiй

В численних роботах Дикусара Н.Д. [1-8] розробляеться метод базисних елеменпв (МБЕ), який на початку свого створення був ор1ентований на ошгашзацш алгоритму штерполяци функци одного змшного на заданому в1др1зку. Надал метод був узагальнений для розв'язання задач кусочно-полшом1ально! апроксимаци у р1зномангтних постановках. Метод базисних елеменпв позицюнуеться розробником як такий, що мае переваги по оцшкам точносп, приводить до зниження складносп розрахункових алгоршшв стосовно ввдомих метод1в, тощо.

Алгоритм реал1заци ермгтово! штерполяци описаний практично в уах поабниках з чисельних метод1в. Розрахункова схема на основ! використання блочних матриць для побудови 1ерарх1чних штерполяцшних полшом!в обгрунтовуеться в робоп [11].

Мета дослвдження

Метою дослщження е доведения тотожносп штерполяцшних полiномiв рiвних степенiв, що будуються на однакових стках за методом базисних елеменпв та за класичною схемою штерполяци Ермiта.

Викладення основного матерiалу дослiдження

Розглянемо задачу побудови ермишо! штерполяци на трьохточковiй сiтцi Д1^ : ха < Хд < хь . Не зменшуючи загальностi отриманих результатiв, будемо вважати, що Хд = 0 .

1нтерполяцшний полiном Дикусара Н.Д.. У МБЕ iнтерполяцiйний полiном рв (х) (iндекс обрано за прiзвищем розробника метода) для функци /(х) (яка е диференцшованою потрiбну к1льк1сть разiв) шукаеться у локальнш системi координат на вiдрiзку \ха; хь ] у виглядг

т т

Рв (х) =1 ьт • rj = £в' • • Г,

7=0 >0

де Г] = (г'а; Г'ь; Гу0 ) - вектор невщомих шуканих коефiцiентiв; w = (м^; ^з ) - вектор базисних елеменпв у виглядi полiномiв другого степеня:

(1)

м>\ = -

Ах - хЬ ) ,

I (хЬ — ха )

="

(Х-Ха) _ (х - ха )(х - хЬ ) .

хЬ

(хЬ ха)

^3 =

хахЬ

в = (х - ха ) • х • (х - хь ) - допомiжна "зануляюча" кубiчна парабола

Особливютю полiнома (1) е те, що вш мае найстарший степiнь виключно (3т + 2). Невiдомi коефiцiенти Г] знаходяться iз вимоги рiвностi значень iнтерполяцiйного полiнома та значень його похвдних в вузлах сики iз вiдповiдними значеннями функци, що iнтерполюеться, та И похiдних:

(/ (х) -рв (х)р = о, у=0т.

х = ха , хЬ, х0

(2)

Особлива структура полшома (1) призводить до того , що кожне рiвняння системи (2) мiстить пльки один невiдомий коефiцiент iз вектора Г].

Звернемо увагу на те, що вимоги (2) ствпадають iз вимогами до iнтерполяцiйного полшома Ермгга РЕ (т) з тими ж вузлами {ха, х0, хь }.

Iнтерполяцiйний полшом Ермiта. Розглянемо класичну схему Ермгга для побудови iнтерполяцiйного полiнома, як i у попередньому випадку, степеня (3т + 2) на спщ Д3 . Полiноми степеня не старше (3т + 2) утворюють лiнiйний простiр iз стандартним базисом, що складаеться з мономiв {х7},

7 = 0;3т + 2 . Отже, дослiджуваний лшшний простiр мае вимiрнiсть 3 • (т +1).

При реалiзацil класично! штерполяцшно1 схеми за Ермггом у кожному вузлi штерполяци мають бути вiдомi значення функци, що тдлягае наближенню, та значення и похвдннх. Для нашо1 дослщжуванох сiтки з трьома вузлами будемо мати 3 • (т +1) базисш функци:

N = (щ х), N2 (х),..., Мкт+1)( х))т,

як! утворюють iнтерполяцiйний полiном за правилом:

де

( *Уа1 |

* (7)

]Уа!

/(7)(ха) /(1)(хь) /(7)(0)

РЕ (х) = ( /Уа1

(1) Уа1

* (2)

■>УаI

г (т)

■'Уа!

г (1) ■>УаI

(7)

(0/

* (2) ■>Уа1

г (т)

■>Уа1

N,

(3)

- блочний вектор-рядок !з (т+1) блоков з! значеннями функци, що штерполюеться, та и похвдних до порядку т

\аЬ

в вузлах с!тки Д3 ;

- вмют 1-ого блоку, 7 = 0; т.

х

В статп [10] показано як, знаючи стандартний базис лшшного простору i сггку вузлiв штерполяцп, можна побудувати множину базисних функцш, як1 асоцiйованi з вузлами Стки:

Е3• (ш+1)х3-(т+1) - С3 • (т+1)х3• (т+1) ' [ ХУа1 \ ХШ

X,

(2) Уа1

... X,

(т) Уа!

Де Сз • (т+1)х3 • (т+1) - матриця розмiрностi 3(т +1) х 3(т +1) коефiцieнтiв базисних функцш Ы; Ез' (т+1)х3 • (т+1) - одинична матриця аналопчно! розмiрностi;

X-

Уа!

X,

(1) Уа!

у (2) лУа!

Xval ) - блочна матриця розмiрностi 3 • (т +1) х 3 • (т +1),

аЬ

Xya! - транспонована матриця Вандермонда для вузл1в атки А3 розмiрностi 3 • (т +1) х 3;

Xyal - мaтрицi значень /-их похвдних вiд функцiй стандартного базису в вузлах стки А3' рOЗмiрнOCтi 3 • (т +1) х 3.

Очевидно, що

аЬ

С - Е [ X;

-Уа!

X,

(1) Уа!

Г (2) лУа!

у(т) лУа!

-[ X

Уа!

X

(1) Уа!

X (2) лУа!

у(т) лУа!

-1

Тодi бaзиснi функци можуть бути знайдеш так:

N-I Xyal | X

(1) Уа!

X

(2) Уа!

X

(т) Уа!

-1

•X.

де Xe - вектор-стовпець iз функцiй стандартного базису;

Твердження. 1нтерполяцшш полiноми рiвних степешв, як1 отримaнi за методом базисних елеменпв (1), та iнтерполяцiйнi полшоми, як1 отримaнi за схемою Ермгга (3), на однакових сiткaх е тотожними.

Доведення.

Частина I. Позначимо за В матрицю коефiцiентiв базисних функцш для полшома Дикусара Н.Д.:

В - ^2 ^3 Qwl Qw2 в^3... Q Q W2 Q Wз Г .

(4)

Як показано дат (у частит II) визначник матриц В не дорiвнюе нулю при виконанш умов задача Це означае, що функци (4) утворюють базис лшшного простору полiномiв степеня не старше (3т + 2). Отже, юнуе матриця переходу Т ввд базису ермггово! штерполяцп до базису полiномiв Дикусара Н.Д.:

Т •1 ^а! I X

(1) Уа!

X

(2) Уа!

X

(т) Уа!

-1

- В.

(5)

Тодi вектор вагових коефiцiентiв iнтерполяцiйного полшома Дикусара Н.Д. може бути отриманий iз вектора вагових коефiцiентiв штерполяцшного полiномa Ермiтa за допомогою формули:

(г0а Г0Ь г00 ... гта гтЬ гт0)-( ¡Уа! | ¡ш ¡Уы - ¡УЬ!^ )' Т 1

(6)

Частина II. Нехай т - 0, тодi базис лiнiйного простору штерполяцшного полшома Дикусара Н.Д. складаеться iз трьох полiномiв {wl, W2, Wз }. Матриця В в цьому випадку мае вигляд:

1

Б

т = 0

0 -

\хЬ ха У хь хЬ + ха

хЬ ' ха

II визначник дорiвнюe

Б

т = 0

( _ )

Х^Ь ха '' ха х^Ь ха)' ха

(хЬ ха)' хЬ ^Ь хоТ хЬ

хЬ ' ха у

хахЬ (хЬ ха )

тобто е вiдмiнним вiд нуля.

Нехай тепер т = 1, тодi базис лшшного простору iнтерполяцiйного полiнома Дикусара Н.Д. складаеться iз шести полiномiв {м^, ^2, ^3, 0щ, 22, 3}. Матриця Б в цьому випадку мае вигляд:

(

Б

т = 1

*Ь ' а 0

1Ь а

Розiб'емо матрицю Б ведому формулу [12, С. 57]:

_ 1

(хЬ - ха )' ха (хЬ _ ха )' ха

ха 1

Л

Ьа 1

Ьа х2

хи х, ха

Ьа 2

2ха + х, ' х,

V а_+ Ь Ь ( '_ )'Ь т^г

Ь _ а ' а Ь _ а ' а Ь _ а '

1

а +2 Ь

1ха + 2х,

_2

Ь _ а

'( а + Ь)

Ь _ а ' Ь

(2 2 ха + 4 хЬ ' ха + хЬ

Ь а) ла 2 ха + хЬ

ха)' х Ь 1

\ЛЬ . ла) ЛЬ ) _ 2 '(ха + хЬ )

Ьа

а 1 -\Ь) Ь ' а

'

Ьа

т = 1

на чотири квадратш блоки та застосуемо для обчислення II визначника

Б11 0

Б21 Б22

=1Ы 'I ы.

Очевидно, що Бц =

б22 е також вiдмiнним ввд нуля:

Б

т = 0

Ф 0. Безпосередшм обчисленням пересввдчуемося, що визначник

Отже,

Б

т = 1

Ы1=—.

хах ЬуЬ ха) Ф 0. Кожна наступна матриця Б

т

коефщенпв полiномiв

^2, ^з, 0^\, Qw2, Qwз, ..., 0т^1, 0т^2, 0тЩ} утворюеться iз попередньо1 Б

т _ 1

1

х

0

1

х

1

1

1

X

0

0

0

0

0

0

0

0

Ь

Ь + а

1

0

0

0

0

а

X

а

0

0

0

додаванням до не! трьох рядшв i3 коефщентами пол1ном1в

iB Qmwx, Qmw2, QmW3}.

Тод1 визначник

D

m

також можна розбити на чотири блоки, де Шц =

D

m -1

Ф 0, а у визначнику D22 кожний рядок

складаеться i3 трьох коефщенпв при старших степенях полшом1в QmW1, QmW2, QmW3}. Пропускаючи не складнi, але надзвичайно громiздкi перетворення, запишемо вигляд визначника блока D22 при довiльному значенш m е N:

1

D22

m

xa xb (xb xa )2

^2m(m - 1K2 + m(m + 1)xaxb + 1m(m + 1)x2 j (mxa + (m +1)xb ) 1

^ 1 m(m + 1)xa2 + m(m + 1)xaxb +1 m(m - 1)x2 j ((m + 1)xa + mxb ) 1

^ 2 m(m + 1)xa2 +(m + 1)2 xaxb + 2 m(m +1)x2 j ((m + 1)xa +(m + 1)xb ) 1

xaxb

(xb - xa )

Ф 0.

Таким чином, доведено, що система полiномiв

w2, ^з, О^ъ Qw2, Qwз, •••, Qmwl, Qmw2, О^з}

утворюе базис лшшного простору полiномiв степеня не бшьшого за 3т+2•

Висновки

У статп доведено, що iнтерполяцiйнi полшоми, якi побудованi за схемою Ермгта (3) та за методом базисних елеменлв (1), е тотожними на однакових сiтках. Формули (5-6) описують зв'язок м1ж базисами, що використовуються в цих двох випадках. Розрахункова схема, що запропонована д.ф.-м.н. Н.Д. Дикусаром, е за своею природою iерархiчною i, вiдповiдно, бiльш ефективною при проведенш уточнюючих дослiджень. Матричний шдхвд, що застосований авторами дано! публжацп, вимагае виконання значно бшьшо! кiлькостi арифметичних операцiй для побудови штерполяцшного пол1нома, але дозволяе запропоноване доведення зробити наочним.

Ввдповвдно для обох дослвджених у статтi форм штерполяцшного полшома мае мiсце однакова поточкова оцшка похибки штерполяцп:

max f (3m+3)( x)

f (x)x)| (3m+3)

(x - xa )m+1(x - xo )m+1(x - xb )

,m+1

x е x.

[xa; xb 1

1

Список використаиоТ лггератури

1. Dikoussar N.D. Function Parametrization by using 4-point Transforms / N.D. Dikoussar // Computer Physics Communication. - 1997. - Vol. 99. - PP. 235-254.

2. Дикусар Н.Д. Кусочно-кубическая аппроксимация в режиме автоматического слежения / Н.Д. Дикусар, Ч. Торок. - Дубно: ОИЯИ, 2004. - 19 с. - (Препринт / Объединенный институт ядерных исследований; P11-2004-187).

3. Dikoussar N. D. Four-Point Transformation Methods in Approximation and the Smoothing Problems / N.D. Dikoussar // Physics of Particles and Nuclei Letters. - 2008. - Vol. 5, № 3. - PP. 317-323.

4. Дикусар Н.Д. Метод базисных элементов / Н.Д. Дикусар // Математическое моделирование. - 2010. -Т. 22. - № 12. - С. 115-136.

5. Дикусар Н.Д. Разложение полинома по кубической и квадратичным параболам / Н.Д. Дикусар // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2010. - № 3(2). - С. 93-100.

6. Дикусар Н.Д. Кусочно-полиномиальная аппроксимация шестого порядка с автоматическим обнаружением узлов / Н.Д. Дикусар // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26. - № 3. - С. 3148.

7. Дикусар Н.Д. Полиномиальная аппроксимация высоких порядков / Н.Д. Дикусар // Математическое моделирование. _ 2015. _ Т. 27. _ № 9. _ С. 89-109.

8. Дикусар Н.Д. Оптимизация решения в задачах в задачах кусочно-полиномиальной аппроксимации / Н.Д. Дикусар. _ Дубно: ОИЯИ, 2016. _ 14 с. _ (Препринт / Объединенный институт ядерных исследований; Р11-2016-85).

9. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. _ М.: Мир, 1986. _ 318 с.

10. Пинежанинов Ф. Базисные функции для конечных элементов [Электронный ресурс] / Ф. Пинежанинов, П. Пинежанинов. _ Режим доступа: http://old.exponenta.ru/soft/mathemat/pinega/a1/a1.asp

11. Утешев А.Ю. К задаче полиномиального интерполирования с кратными узлами / А.Ю. Утешев, Г.Ш. Тамасян // Вестник Санкт-Петербургского университета. _ 2010. _ Серия 10. _ Вып. 3. _ С. 76-85.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 5-е изд. / Ф.Р. Гантмахер. _ М: ФИЗМАТЛИТ, 2010. _ 560 с.