CC BY
50
Электронный журнал Cloud of Science. 2015. T. 2. № 2
http:/ / cloudofscience.ru ISSN 2409-031X
Выявление периодичности и прогнозирование временных рядов в экономике1
В. Н. Петрушин, С. А. Дроздов, Г. О. Рытиков
Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова, 127550, Москва, Прянишникова, 2А
e-mail: petrushinvn@mail.ru
Аннотация. Рассмотрены некоторые аспекты анализа и прогнозирования «алфавитных» социально-экономических временных рядов, предложена и апробирована методика определения периода циклической компоненты эконометрической модели средствами MS Excel и представлен пример, позволяющий в некоторой степени оценить трудности прогнозирования реальных социально-экономических временных рядов, степень удобства предложенного алгоритма обработки данных и степень достоверности полученных результатов.
Ключевые слова: социально-экономические временные ряды, эконометри-ческий анализ.
1. Введение
Анализ и прогнозирование временных рядов, описывающих социально-экономические процессы, является мощным и хорошо развитым направлением экономико-математического анализа данных [1-9]. Вообще говоря, основной задачей экономико-математического прогнозирования является построение такой вероятностно-статистической модели временного ряда, чтобы последующие наблюдения подтверждали спрогнозированные значения с заданной точностью. В такой постановке эта задача может вообще не иметь решения, поскольку экономические процессы обычно не являются детерминированными. В ослабленной формулировке задачей прогнозирования можно считать построение модели, обеспечивающей прогноз на определенный временной интервал при условии сохранения действующих в исследуемой экономической системе тенденций и внутренних связей с указанием достоверности прогноза и величины его возможной ошибки.
При построении экономико-математических моделей обычно выделяют трендо-вую, сезонную, циклическую и случайную составляющие временного ряда (см., например, [10-15]). Трендовая и циклическая компоненты призваны описывать соответственно основную непериодическую и основную периодическую тенденции в ди-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-02-01074.
намике рассматриваемого временного ряда. Это может иметь не только экономическое, но и управленческое значение. Традиционно под трендовой компонентой понимают непериодическую (полиномиальную, логарифмическую, показательную или др.) функцию, связывающую исследуемую величину с переменной времени, а под циклической компонентой — соответствующую синусоиду или линейную комбинацию синусоид. Сезонная компонента, по большому счету, выделяется из семейства циклических процессов в отдельный блок исключительно в силу экономической природы исследуемых процессов и явлений, характеризуется заданным периодом времени (кварталом) и наибольшую роль играет при прогнозировании результатов финансовой отчетности. В том случае, если рассматривается выборка данных, не имеющая заведомо жесткой привязки к сезону, выделение сезонной компоненты может быть нецелесообразным. С другой стороны, можно обобщить понятия сезонной и циклической компонент, придав одной из них смысл высокочастотных, а другой — низкочастотных периодических колебаний в динамике исследуемых социально-экономических процессов. Наконец, случайная компонента — то, что остается необъясненным после исключения трендовой, сезонной и периодической компонент, и характеризуется каким-либо законом распределения с нулевым математическим ожиданием. Вообще говоря, определить заранее, какие компоненты доминируют в том или ином временном ряду невозможно [12, 14], если неизвестны доминирующие факторы и их временное развитие.
Безусловно, существует множество временных рядов, в которых трендовая составляющая является четко выраженной, а остальные оказываются сравнимыми со случайной компонентой. Однако не меньше существует и временных рядов, в которых четко выраженной оказывается циклическая компонента с тем или иным периодом (или набором периодов), а трендовая компонента несущественно отличается от случайной. И, наконец, наиболее «неприятным» с точки зрения математического анализа случаем является сопоставимый вклад трендовой и циклической компонент в динамику исследуемого временного ряда. Возникают две стратегии построения модели временного ряда: сначала выделить трендовую составляющую, а затем циклическую [17, 18], или наоборот, сначала выделить периодическую компоненту, а затем — трендовую.
Более того, компоненты модели могут быть скомбинированы в аддитивный или мультипликативный (или любую комбинацию, по крайней мере, из этих вариантов) временной ряд [4]. Поскольку природа социально-экономических процессов зачастую не поддается детерминистическому описанию, далеко не во всех случаях можно предположить, каков истинный характер связей между компонентами соответствующей модели. То есть, для увеличения достоверности, при построении прогноза
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
потребуется рассмотреть, по крайней мере, несколько наиболее часто встречающихся и простых в описании и интерпретации вариантов модели.
Сначала обсудим традиционные трендовые функции [10]. Для решения задачи прогнозирования в узком смысле наиболее пригодными являются простые тренды с наименьшим количеством управляющих параметров, так как для них проще всего производить расчеты и интерпретировать полученные результаты (что отражено, например, в MS Excel). Недостатком таких моделей является заведомая потеря адекватности модели по мере удаления от области, в которой представлены экспериментальные данные. Более того, сама логика социально-экономических процессов предполагает конечное число значений исследуемой величины, из чего следует обязательная корректировка простых трендов по мере поступления новых экспериментальных данных, т. е. «автоматически» требуется переход к адаптивным моделям прогнозирования той или иной степени сложности. По сути дела традиционное выделение тренда — это и есть адаптивно-статистическое прогнозирование с окном сглаживания, совпадающим со всем имеющимся набором экспериментальных данных.
С точки зрения социально-экономических процессов наиболее адекватными были бы ограниченные сверху и снизу тренды двух типов: определенные на конечном множестве значений аргумента для описания процессов с четко заданным началом и концом, и определенные на всей числовой прямой для описания теоретически бесконечных во времени процессов. Эти тренды суть радикал-содержащие выражения вида sj1 -12, обратные тригонометрические функции (arcœs(0, arctg(O), функции вида exp(—t2) и им подобные. При определенных значениях управляющих параметров на ограниченном наборе значений независимой переменной все эти выражения с той или иной степенью адекватности описываются классическими трендами за счет возможности разложения этих выражений в ряд Тейлора, при этом являясь более обоснованными с точки зрения логики социально-экономических процессов. Заметим также, что каждому из этих трендов можно однозначно сопоставить некоторое распределение, особенно в том случае, если наблюдения ведутся более или менее через одинаковые промежутки времени. Однако вопрос адекватного выделения трендовой составляющей социально-экономических рядов в этой работе мы рассматривать не будем.
Рассмотрим циклические составляющие по теории Эллиотта [4]. Во-первых, синусоиды с большими периодами вычислительно неотличимы от полиномов, но гораздо более логичны с точки зрения экономики. Во-вторых, можно провести спектральный анализ экспериментальных данных, разложив их в ряд Фурье [20]. Однако экспериментальные данные не являются непрерывной функцией, а разложение в ряд требует, чтобы функция на заданном интервале была хотя бы кусочно-непрерывной.
Значит, если идти по этому пути, надо как-то «сшивать» экспериментальные наблюдения — прямыми, параболами, экспонентами, логарифмами и т. д. На этом этапе уже будет внесено большое количество вычислительных ошибок. Далее при попытке разложить в ряд с помощью того или иного программного средства «выяснится», что основная масса программных пакетов реализует FFT (Fast Fourier Transformations) [21], а значит на непрерывной функции нужно будет выделить кратное степени 2 количество точек, а сделать это можно бесконечным количеством способов — добавятся еще ошибки.
При построении экономико-статистической модели наибольший интерес представляет низкочастотная область спектра. Фактически — требуется оценить параметры разложения в линейную комбинацию не очень большого количества синусоид (и косинусоид) с кратными частотами (при этом каждой значимой синусоиде желательно найти экономическое обоснование).
Определение основного периода колебаний на данном этапе исследования становится основной задачей. При частотном анализе с помощью FFT мы задаем этот период неявно выборкой из 2" значений, но он вовсе не обязан быть именно кратным 2", а описанный выше пересчет через введение промежуточной непрерывной функции не дает никаких указаний на то, какой период выбрать.
Согласно определениям [22-24], функция называется периодической, если существует такое число T > 0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство f (t) = f (t + T). С формальной точки зрения для поиска периода T непрерывной функции достаточно последовательно перебрать все значения T, проверяя тождество-определение. Однако, во-первых, это невозможно сделать, так как период может быть достаточно большим, а представленный набор экспериментальных данных — недостаточно большим, а во-вторых, экспериментальные данные представлены набором значений, а не непрерывной функцией, т. е. требуется аппроксимация, описанная выше, со всеми вытекающими негативными последствиями. Более того, в случае с аппроксимацией точного равенства может и не получиться, а значит, возникает дополнительная вероятность ошибок с определением периода. При реальной оценке периода по экспериментальным данным можно построить гистограмму зависимости суммы квадратов отклонений
от значения параметра m, кодирующего количество интервалов времени между соседними измерениями. Здесь /к — уровни исследуемого ряда. Если периодическая зависимость присутствует, то локальные минимумы соответствующей гистограммы будут указывать на возможные значения периодов. Однако достоверность в опреде-
(1)
к=1
m<n-к
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
лении периода указанным способом требуется подтверждать еще каким-либо методом.
Предлагаем следующую идею: если функция периодическая (или содержит существенную периодическую компоненту), то распределение наблюдений по одному периоду должно совпадать с распределением по всем наблюдаемым периодам. Можно представить себе такие данные, для которых это не будет соответствовать действительности, поэтому обсуждаемое условие является необходимым, но не достаточным. (То есть, после формирования гипотезы о минимальном периоде необходимо проверять ее стандартными эконометрическими методами на всей доступной совокупности экспериментальных данных).
Таким образом, для практической реализации предлагаемого метода необходимо построить эмпирическую функцию распределения, характеризующую весь набор экспериментальных данных, эмпирические функции распределения, характеризующие отдельные части выборки, и сравнить полученные функции распределения между собой (например, используя соответствующие модификации критериев Пирсона и Колмогорова-Смирнова). Часть выборки, для которой распределение будет соответствовать порогу статистического разрешения относительно распределения, построенного по всей выборке, и будет задавать наиболее вероятное значение периода.
2. Оценивание периода
Рассмотрим пример формирования гипотезы о наиболее вероятном значении периода. В графическом виде на рис. 1 представлены экспериментальные данные, о природе которых мы заранее почти ничего сообщать не будем, кроме того, что это реальные данные о динамике некоторого социально-экономического процесса.
Рисунок 1. Экспериментальные данные (по вертикали отложены значения баллов, в которых измеряется исследуемый показатель, а по горизонтали — номер измерения)
Вообще говоря, визуальный анализ позволяет предположить наличие периодичности в рассматриваемом временном ряду, однако, во-первых, видно, что амплитуда колебаний меняется со временем, что может привести к искажению значения периода, во-вторых, видно, что разброс наблюдаемых значений маскирует этот период, а в-третьих видно, что задавать кусочно-непрерывную функцию (для последующего Фурье-анализа) по представленным экспериментальным данным весьма неудобно.
Сначала оценим период следующим образом: построим гистограмму зависимости суммы квадратов отклонений (1) от значения параметра m, кодирующего количество интервалов времени между соседними измерениями рис. 2.
6000 5000 4000 3000 2000 1000 0
1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235
Рисунок 2. Зависимость суммы квадратов отклонений (1) от значения параметра m, кодирующего количество интервалов времени между соседними измерениями (здесь I m и п
выбраны так, чтобы количество участвующих в анализе точек было одинаковым)
Из рис. 2 видно, что первый наблюдающийся локальный минимум находится в диапазоне значений от 140 до 150, т. е. наиболее вероятный период должен находиться также в этом диапазоне. Более того, видно, что локальные максимумы наблюдаются при значениях п близких к 75 и 220, что косвенно подтверждает наличие периода в указанном диапазоне значений (так как локальный максимум должен соответствовать нечетным полуцелым значениям периода).
Осуществим проверку этой гипотезы методом построения и сравнения эмпирических распределений. Если разделить выборку пополам, построить гистограмму для распределения целиком и для каждой половины (рис. 3), а потом с помощью критерия Пирсона сравнить результат, то гипотеза об идентичности обоих распределений базовому должна быть принята с вероятностью не менее чем 95%.
Если разделить выборку на четыре части (гистограмма рис. 4), то гипотеза об идентичности всех четырех распределений базовому может быть принята уже только с вероятностью 66% (рис. 5).
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
0,4 0,3 0,2 0,1 0
Ж
А
лй
□ BASE
□ P1
□ P2
3 4 5 6 7
Рисунок 3. Исходное эмпирическое распределение: для выборки (BASE) и двух ее половин (Р1 и Р2)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
М
JM
□ BASE
□ PA
□ PB
□ PC
□ PD
JkJ
[k
HOL
Рисунок 4. Распределение для исходной выборки BASE и четырех ее частей соответственно РA, PB, PC и РD
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
Рисунок 5. Проверка идентичности распределения четырех частей исходному с помощью критерия Пирсона: А — 96%; В — 94%; С — 87% и Б — 66%
2
8
0
2
3
4
5
6
7
8
A
B
с
D
Далее, разделив выборку на восемь частей, убедимся, что блоки С, Б, Н характеризуются распределениями, существенно отличающимися от базового, т. е. такое разбиение по всей видимости слишком «частое» (см. рис. 6 и рис. 7).
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
А
Ш
ii
и
□A
□ B
□ C
□ D
□ E
□ F
□ G
□ H
□ BASE
lllnrL
I..
3456
Рисунок 6. Распределение для исходной выборки BASE и восьми ее частей
1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0
1
2
7
A
B
C
D
E
F
G
H
Рисунок 7. Проверка идентичности распределения восьми частей исходному с помощью критерия Пирсона
Поскольку разбиение на четыре блока не обладало вышеуказанным недостатком, логично предположить, что возможно разбиение исходной выборки на шесть частей («середина» между четырьмя и восемью) будет обладать этим свойством. Видно, что при таком разбиении в представленной выборке могло бы «уместиться» чуть более пяти периодов некоторой периодической функции.
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0
■
Ш
□ БАБЕ
□ А
□ Б
□ С
□ О
□ Е
□ Р
234
Рисунок 8. Разбиение выборки на шесть частей
0
5
6
7
1
0,8 -
0,6 -
0,4 -0,2
0 -
А Б С О Е Р
Рисунок 9. Проверка идентичности распределения шести частей исходному с помощью критерия Пирсона
Однако проверка разбиением на шесть и на пять компонент (рис. 8, 9 и 10, 11) не позволяет подтвердить это предположение, так как последние блоки данных (рис. 9 и 11) характеризуются недостаточно большой вероятностью совпадения парциального и базового распределений.
Таким образом, полагая 50%-м порогом доверия, можно предполагать, что в представленной выборке от четырех до пяти периодов. Причем ближе к концу выборки, по всей видимости, наблюдается изменение трендовой составляющей. Здесь надо отметить, что визуальный анализ рассматриваемых данных позволяет сделать эти же предположения без привлечения какого-либо математического анализа, однако задачей данной работы является построение части алгоритма автоматизации обработки социально-экономического временного ряда БЕЗ участия эксперта.
Теперь проверим гипотезу с помощью критерия Колмогорова-Смирнова. Для этого построим эмпирические функции распределения для всех рассмотренных разбиений выборки и осуществим сравнение d-статистик с критическим, рассчи-
танным для распределения по всей выборке. Результаты сравнения представлены в таблице.
0,5000 0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0,0000
0 1 2 3 4 5 6 7
Рисунок 10. Разбиение выборки на пять частей 1
0,8 -0,6 -0,4 -0,2
0--
А В С О Е
Рисунок 11. Проверка идентичности распределения пяти частей исходному.
Таблица. Значения d-статистик, полученных при сравнении парциальных эмпирических распределений с общим
2 4 8 6 5
0,0123 + 0,0123 + 0,0156 + 0,0236 + 0,0161 +
0,0123 + 0,0221 + 0,0116 + 0,0119 + 0,0185 +
0,0241 + 0,0581 - 0,0119 + 0,0187 +
0,0465 + 0,0153 + 0,0206 + 0,0149 +
0,0274 + 0,0222 + 0,0581 -
0,0262 + 0,0581 -
0,0433 +
0,0581 -
□ А
□ В
□ С
□ О
□ Е
□ ВАвЕ
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
Примечание к табл. В первой строке — количество частей, на которые разбивается исходная выборка, а ниже представлены значения d-статистик (сравнения эмпирических распределений для полученных частей с эмпирическим распределением для всей выборки в целом). Знаком «-» выделены блоки данных, распределение в которых значимо отличается от исходного согласно критерию Колмогорова-Смирнова.
Таким образом, предположения, выдвинутые на предыдущем этапе анализа, подтверждаются: наиболее вероятным представляется наблюдение четырех или пяти периодов квазипериодической функции.
3. Формирование регрессионной модели
На следующем этапе исследования необходимо осуществить разложение в ряд Фурье, осуществить высокочастотную фильтрацию и смоделировать динамику исследуемого процесса. Проведем разложение в ряд Фурье исследуемой функции формально. Всего наблюдалось 734 точки. Максимальным значением периода является 183.5 точки (четыре периода); условно наиболее вероятным — 146.8 (пять периодов); минимальным — 122.3 (шесть периодов).
Подготовимся к разложению в ряд Фурье с периодом в 184 точки. Для того чтобы иметь возможность применять FFT, необходимо, чтобы количество точек было равно 2n. Если задавать функцию внутри одного периода, то от первоначального объема должно остаться примерно 70% точек, либо должно появиться на 40% точек больше, чем есть. Разумнее в качестве периода выбрать 512 точек и отбросить разницу в 40 точек (1844 = 552), так как при этом будет потеряно всего 8% точек. В результате такого разложения доминируют третья, четвертая и седьмая гармоники, т. е. периоды 512/3 = 171, 512/4 = 128 и 512/7 = 73 с весами 1.64; 1.29 и 0.89 соответственно.
Теперь осуществим примерное разложение в ряд Фурье по наиболее вероятному периоду. Для этого подберем ближайшую кратную ему степень двойки: (147 - 128)/128 = 15%. Доминируют первая, вторая и четвертая гармоники, т. е. периоды 128, 64 и 32 с весами 1.90; 1.23 и 0.85 соответственно. Для минимального периода это же разложение является наиболее вероятным.
Таким образом, предварительные оценки показывают, что для описания динамики циклической компоненты рассматриваемого временного ряда в первом приближении достаточно трех гармоник для периода из диапазона от 122 до 184 с наиболее вероятными значениями периодов гармоник в этом интервале.
В программе Microcal Origin есть возможность аппроксимировать экспериментальные данные произвольной нелинейной кривой с параметрами за счет подбора этих параметров методом Левенберга-Маркуарта. Возьмем с избытком сразу де-
сять гармоник для периода в 147 точек и аппроксимируем экспериментальные данные. Результат показан на рис. 12.
Шм
яш ш тш
-i -\ i | i | i | i | i | i | i | i | i |
-1» О 100 200 J00 *00 SCO 600 700 800
X
Рисунок 12. Разложение Фурье до десятой гармоники (сплошная кривая).
Здесь, как и на рис. 1, а также на рис. 13-15 по оси Х — номер измерения, по оси Y — значения баллов наблюдавшейся величины
Из рисунка видно, что все характерные особенности отражены, однако не хватает тренда, который бы увеличил все амплитуды в начале выборки и уменьшил бы их в конце. Если общим множителем к получившейся функции выбрать, например, параболу, то получится кривая, показанная на рис. 13 «синим цветом».
Ясно, что прогностическая сила при использовании полиномиального тренда невелика, однако качество аппроксимации экспериментальных данных сразу становится приемлемым с точки зрения коэффициента детерминации. Заметим, что коэффициент детерминации параболического тренда без периодической составляющий не превышал значения 0.19, т. е. был категорически не приемлем, и не мог вызывать особого доверия как компонент модели. В то же время вклад циклической компоненты параболического тренда характеризовался коэффициентом детерминации на уровне 0.62, что также не достаточно, но позволило объяснить гораздо более существенную долю дисперсии экспериментальных данных. То есть «правильной» стратегией в данном случае оказалось именно первичное выделение циклической компоненты, и лишь затем — формирование непериодической трендовой составляющей.
Построим прогноз «влево» и «вправо» рис. 14.
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
00 0 1 00 200 300 400 5 СЮ 600 700 800
X
Рисунок 13. Разложение Фурье до десятой гармоники (красная сплошная кривая) и амплитудная модуляция (синяя сплошная кривая)
-4 Н-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
-200 -100 О 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
X
Рисунок 14. Экстраполяция полученной кривой «влево» и «вправо» на один период
Видно, что качество прогноза «вправо» вызывает большие сомнения, так как отрицательных значений баллов в представленной выборке не наблюдалось ни разу, а «влево» — качество прогноза можно признать удовлетворительным. Чтобы снять проблему с отрицательными значениями надо вспомнить самое начало этой
статьи: для социально-экономических рядов тренды не должны быть полиномиальными. Используя ту же мультипликативную модель, но заменяя параболу на квадрат косинуса с параметрами «амплитуда», «период» и «начальная фаза», получим синюю кривую (и соответствующий прогноз на один период «влево» и «вправо» от экспериментальных данных) рис. 15.
■200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
X
Рисунок 15. Экстраполяция полученной кривой «влево» и «вправо» с использованием в качестве модулирующей кривой в мультипликативной модели функции квадрат косинуса
На этот раз отрицательных значений не прогнозируется (в силу естественных ограничений на область значений выбранной трендовой функции), а модельный коэффициент детерминации достигает значения 0.91, превышая традиционно применяемый в эконометрическом анализе пороговый уровень 0.8.
4. Заключение
В заключение отметим, что рассмотренные данные — выраженные в баллах значения среднего уровня загруженности дорожной сети в городе Москве (первичные данные заимствованы с сервиса «пробки» службы yandex) за несколько дней — со вторника по субботу. Прогноз вправо — воскресенье, а влево — понедельник. Качество прогноза можно признать удовлетворительным: в понедельник пробки не всегда достигают своего максимума, а в воскресенье трафик заметно снижается. Следует также отметить, что компьютер «ничего не знал» про период неделя, одна-
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
ко подобрал период тренда правильно и достаточно качественно предсказал динамику пробок на один день на основании информации всего только о пяти днях. Улучшить качество прогноза можно: анализируя большее количество данных; выбрав более качественный тренд; используя априорную информацию о природе исследуемых данных.
Литература
[1] Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т. 2. — М. : ЮНИТИ, 2002.
[2] Доугерти К. Введение в эконометрику. — М. : ИНФРА-М, 2004.
[3] Никульчев Е.В. Геометрический подход к моделированию нелинейных систем по экспериментальным данным : монография. — М. : МГУП, 2007.
[4] Елисеева И. И. Эконометрика. — М. : Финансы и статистка, 2004.
[5] Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М. : Дело, 2008.
[6] Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика : учебник для вузов / под ред. проф. Н. Ш. Кремера. — М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2006.
[7] Бабешко Л. О. Основы эконометрического моделирования : учеб. пособие. — М. : Ко-мКнига, 2006.
[8] Голинков Ю. П., Даровских Ю. Е., Ходак Е. А., Шелудченко А. Г. Минимаксная модель реинжиниринга сетевого бизнес-процесса // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2014. № 6. С. 105-115.
[9] Петрушин В. Н., Рытиков Г. О., Королев Д. А. Моделирование жизненного цикла книжной продукции // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2014. № 2. С. 160-167.
[ 10] http://www.parusinvestora. ru/systems/book_meladze/book1_gl2_p 1. shtm
[11] http://www.aup.ru/books/m202/13_2.htm
[12] https://escholarship.org/uc/item/9jv108xp
[13] Голинков Ю. П., Даровских Ю. Е., Дацко Т. Г. Регрессионный анализ экономических показателей с применением нейросетевых технологий // Вестник Московского государственного университета печати. 2010. № 10. С. 63-69.
[14] Голинков Ю. П., Шелудченко А. Г. Регрессионный анализ стоимости изготовления книг // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. 2008. № 11. С. 88-92.
[15] Rytikov G. O., Ulianov M. V., Petrushin V. N. Double Smoothing in Time Series Formaliza-tion // 2014 International conference on computer technologies in physical and engineering
applications (ICCTPEA) Editor: E. I. Veremey. S.-Petersburg State University; IEEE Publ., 2014. P.150-151.
[16] Петрушин В. Н., Рытиков Г. О. Формализация временного ряда методом двойного сглаживания // Cloud of Science. 2014. Т. 1. № 2. С. 230-238.
[17] Петрушин В. Н., Рытиков Г. О. Адаптивно-вероятностная модель прогнозирования временных рядов // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2013. № 5. С. 125-140.
[18] Kcyncs J. M. Professor Tinbergen's Method [Электронный документ] http://institutiones. com/personalities/621 -metod-pofessora-tinbergena.html)
[19] Шмойлова Р. А. Общая теория статистики : учебник. — М. : Финансы и статистика, 2002.
[20] Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа: пер. с англ. — М. : Мир, 1983.
[21] Cooley J. W., Tukey J. W. An Algorithm for Machine Calculation of Complex Fourier Ser1ies // Mathematics of Computation. 1965. Vol. 19. No. 90. P. 297-301.
[22] Периодическая функция [Электронный документ] http://ru.wikipedia.org
[23] Периодическая функция [Электронный документ] http://slovari.yandex.ru
[24] Периодическая функция [Электронный документ] http://dic.academic.ru
Авторы:
Петрушин Владимир Николаевич — кандидат физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Центра научных исследований (ЦНИ) Московского государственного университета печати имени Ивана Федорова
Дроздов Сергей Анатольевич — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и моделирования систем Московского государственного университета печати имени Ивана Федорова
Рытиков Георгий Олегович — кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладной математики и моделирования систем Московского государственного университета печати имени Ивана Федорова
СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
Identifying the Frequency and Time Series Forecasting in Economics
V. N. Petrushin, S. A. Drozdov, G. O. Rytikov
Moscow State University of Printing Arts, 127550, Pryanishnikova st.,2A, Moscow, Russian Federation
e-mail: petrushinvn@mail.ru
Abstract. Some aspects of analysis and forecasting "alphabetical" socioeconomic time series are investigated. We propose and test a method of determining the period of the cyclic components of the econometric model by means of MS Excel, and provides an example that allows to some extent to assess the difficulties of forecasting the real socio-economic time series, the degree of convenience of the proposed data processing algorithm and the degree of reliability of the results.
Keywords: socio-economic time series forecasting, econometric modeling.
Reference
[1] Aivazyan S. A. (2002) Applied statistics. Foundations of econometrics, vol.2. Moscow, YuNI-TI. (In Rus)
[2] Dougherty C. (2004) Introduction to econometrics. Moscow, INFRA-M, 2004. (In Rus)
[3] Nikulchev E. V. (2007) Geometricheskij podhod k modelirovaniju nelinejnyh sistem po jeksper-imentalnym dannym : monografija. Moscow, MGUP. (In Rus)
[4] Eliseeva I. I. (2004) Econometrics. Moscow, Finance and statistics. (In Rus)
[5] Magnus J. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. (2008) Econometrics. Moscow, Delo. (In Rus)
[6] Kremer N. W., Putco B. A. (2006) Econometrics: a Textbook for high schools. Eds: prof. N. W. Kremer. Moscow, UNITY-DANA. (In Rus)
[7] Babeshko L. O. (2006) Foundations of econometric modeling: a tutorial. Moscow, Komkniga, (In Rus)
[8] Golenkov Yu. P., Darovskikh J. E., Hodak E. A., Sheludchenko A. G. (2014) Isvestia vuzov. Problemypoligrafii i isdatelskogo dela, 6, 105-115. (In Rus)
[9] Petrushin V. N., Rytikov G. O., Korolev D. A. (2014) Isvestia vuzov. Problemy poligrafii i is-datelskogo dela, 2, 160-167. (In Rus)
[ 10] http://www.parusinvestora. ru/systems/book_meladze/book1_gl2_p 1. shtm
[11] http://www.aup.ru/books/m202/13_2.htm
[12] https://escholarship.org/uc/item/9jv108xp
[13] Golenkov Yu. P., Darovskikh J. E., Dacko T. G. (2010) Bulletin of Moscow State University of Printing Arts, 10, 63-69. (In Rus)
[14] Golenkov Yu. P., Sheludchenko A. G. (2008) Novye informacionnye tehnologii v avtomatiziro-vannyh sistemah, 11, 88-92. (In Rus)
[15] Rytikov G. O., Ulianov M. V., Petrushin V. N. (2014) Double Smoothing in Time Series Formalization // 2014 International conference on computer technologies in physical and engineering applications (ICCTPEA) S.-Petersburg State University; IEEE Publ., 150-151.
[16] Petrushin V. N., Rytikov G. O. (2014) Cloud of Science, 1(2), 230-238.
[17] Petrushin V. N., Rytikov G. O. (2013) Isvestia vuzov. Problemy poligrafii i isdatelskogo dela, 5, 125-140. (In Rus)
[18] Kcyncs J. M. Professor Tinbergen's Method. Available: http://institutiones.com/personalities/ 621-metod-pofessora-tinbergena.html)
[19] Shmoylova R. A. (2002) General theory of statistics: Textbook. Moscow, Finances and statistics. (In Rus)
[20] Bendat J. S., Piersol A. G. (1883) Engineering applications of correlation and spectral analysis. Moscow, Mir. (In Rus)
[21] Cooley J. W., Tukey J. W. (1965) An Algorithm for Machine Calculation of Complex Fourier Ser1ies. Mathematics of Computation, 19(90), 297-301.
[22] Periodic functions (http://ru.wikipedia.org)
[23] Periodic functions (http://slovari.yandex.ru)
[24] Periodic functions (http://dic.academic.ru)
