CC BY
55
Александр Николаевич Тырсин
Кандидат технических наук, доцент кафедры математики и информатики Уральского социально-экономического института
ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО СОВПАДАЮЩИХ МОДЕЛЕЙ АВТОРЕГРЕССИИ
Одной из актуальных и наименее формализованных проблем анализа экономических процессов является идентификация типа модели [1].
При решении многих задач в экономике и технике, в частности при прогнозировании различных показателей, широко используют представление нестационарных процессов в виде ограниченного набора трендовых моделей [2]. Обычно анализируемый процесс представляет собой ряд равномерно дискретизированных значений показателя ук = у) = у(кА) , где А -интервал дискретизации. Данный процесс называют временным рядом.
При этом в зависимости от наличия или отсутствия механизма формирования анализируемого процесса, стабильных во времени причинноследственных связей используют:
модели авторегрессии, учитывающие взаимосвязь членов временного
ряда;
модели прямой экстраполяции, использующие различные трендовые модели.
Если анализируемый процесс носит сложный характер, то его предварительно раскладывают на главную тенденцию (тренд), сезонные колебания и случайную составляющую.
Данные группы моделей применяют отдельно друг от друга, теряя при этом многое из их достоинств. Так, авторегрессионные методы обладают универсальностью - практически любой временной ряд экономических показателей может быть представлен в виде модели авторегрессии АР(р):
р
Ук =2 аУ- + £к ,
I = 1
где аь а2, ..., ар - коэффициенты авторегрессии;
Ук — значение динамического ряда показателя в к-й момент времени;
£к - случайное отклонение;
Р - порядок модели авторегрессии.
Расчет коэффициентов авторегрессии модели (1) основан на использовании стандартной процедуры метода наименьших квадратов и решения системы линейных уравнений р-го порядка. Недостатком данных методов является отсутствие экономической интерпретации полученных результатов - значений АР-коэффициентов, что очень важно в задачах прогнозирования
и диагностики экономических показателей. При этом, как правило, решают лишь частные вопросы идентификации - выявляют наличие нестационарности, проверяют два нестационарных тренда на коинтеграцию и т.д. [3].
Методы прямой экстраполяции используют достаточно большой набор конкретных трендовых моделей [4]. Необходимо определять параметры (коэффициенты) одновременно для всех моделей, а затем по одному из критериев выбрать оптимальную модель. Данный подход имеет следующие недостатки:
для каждой модели анализируется лишь одна выборочная реализация с наилучшими (в некотором смысле) параметрами, т.е. по параметрическим моделям делается «непараметрический» вывод о моделях в целом;
традиционно используемый ^-критерий не позволяет выбрать лучшую из значимых моделей разного функционального вида.
Предлагаемый метод основан на одновременном использовании экстраполяционных и авторегрессионных моделей. Он позволяет построить модель авторегрессии трендового экономического процесса, учитывающую его структуру [5].
В основе метода построения АР-моделей трендовых процессов лежит 2-преобразование временного ряда.
Рассмотрим метод на примере наиболее простого случая - линейного тренда:
у = А + Bt. (2)
Для временного ряда модель линейного тренда (2) примет вид
ук = А + В(кА) = А + ВАк, (3)
где А - интервал времени между отсчетами ряда (интервал дискретизации);
к - номер отсчета, к = 0,1, ., ^ 1;
N - объем выборки (количество отсчетов временного ряда).
Применив к последовательности отсчетов (3) 2-преобразование [6], получим в области изображений
Y(2) = У (А + ВАк)г к = А--------------+ ВА-
к=0 г -1 I
г А + (ВА - А) г-1
к=0 г — 1 (г — 1)2 1 — 2г 1 + г 2
5 а+1В
где г = е = е .
Откуда, умножив последнее выражение на знаменатель правой части, получим
Y (2 )(1 — 2 г— + г ~2) = А + (ВА — А) г—1.
Выполнив далее для последнего уравнения обратное 2-преобразование, получим в области оригиналов разностную схему
Ук = 2ук—1 — Ук—2 + А^(к) +(ВА — А)5(к — ^ (4)
где 5 (к) - символ Кронекера:
Г1, к = 0, 8(к) = {’
|0, к ф 0.
Начиная с к = 2, 8 (к) = 8 (к — 1) = 0, тогда формула (4) примет вид
Ук = 2 Ук—1 — Ук—2. (5)
Применив данный подход для основных типовых трендовых моделей экономических процессов, получим табл. 1 [5].
Таблица 1
Соответствие трендовых и авторегрессионных моделей
Трендовая модель Авторегрессионная модель
Ук = А Ук = а1Ук—^ а1 =1
Ук = А + Вк = А + ВкА Ук = а1Ук—1 + а2Ук—2 , а1 = 2 а2 = —1
Ук = А + ВЦ + а2к = А + ВкА + С(кА)2 Ук = а1Ук—1 + а2 Ук—2 + а3 Ук—3, а1 = 3, а2 = —3, а3 = 1
Ук = А+Вгк + а2к + Dtl = А+ВкА+ С (кА)2 + D(kА)3 Ук = а1Ук—1 + а2 Ук—2 + а3 Ук—3 + а4 Ук—4, а1 = 4, а2 =—6, а3 = 4, а4 =—1
Ук = ах ВС,к = ах ВСкА пСА Ук = а1Ук—^ а1 = В
Ук = А +ах ВС,к = А + ах ВСкА Ук = а1Ук—1 + а2 Ук—2, а1 = 1 + В°А , а2 =—ВСА
Ук = акВС,к = акАВСкА . ^ т>СА т>СА Ук = а1Ук—1 + а2 Ук—2 , а1 = 2В , а2 =—В
Ук = А + оЛкВС,к = А + акАВСкА У к = а1У к—1 + а2У к—2 + а3У к—3, а1 =1 + 2В°А, а2 = —(2Вса + В2СА), а3 = В2СА
1 1 Ук = = А + В,к А + ВкА ик =—, ик = А + В,к = А + ВкА Ук и к — ацЛк 1 + а^и к 2, а1 — 2, а 2 — 1
1 1 Ук А + ахВС,к А + ахВСкА , ик =—, ик = А + В■ СтА Ук ик = а^к—1 + а^ик—2, а1 = 1 + 2ВСА, СА а2 — —В
А В . В Ук = А +— = А + , ,к кА ик = Ук,к, ик = В + А,к = В + АкА ик — а^ик 1 + а^ик 2, а1 — 2, а2 — 1
,к Ук = А + Вк ’ ик = —, ик = А + В, к = А + ВкА Ук и = а1и —1 + а2и —2 , а1 = 2, а2 = —1
Из табл. 1 видно, что между коэффициентами авторегрессии существует вполне определенная взаимосвязь, зависящая от вида трендовой модели. Это делает возможным использовать АР-модели для решения задачи идентификации трендов.
Важной особенностью данного подхода является возможность учета сезонной составляющей. Действительно, приняв в качестве сезонной составляющей повторяющуюся с некоторым периодом компоненту, ее можно разложить в ряд Фурье в виде суммы кратных гармоник (синусоид). В [7] получен ряд АР-моделей для различных гармонических процессов. В частности, для обычной синусоиды
Ук = А $,т(2ж[Ак + р)
справедлива АР-модель
Ук = 2соз2л/Ах Ук—1 — Ук—2.
Расчет АР-коэффициентов производится путем решения задачи минимизации:
(al,...,ар) = а^тт У
а '^, г=1,р к=р+1
у
Ук —У агУк—
(6)
а
Показатель степени а в (6) может принимать любые положительные значения. При а = 2 получаем традиционную задачу метода наименьших квадратов, при а = 1 имеем минимизацию по методу наименьших модулей.
Особый интерес представляет случай, когда 0 < а <1. Как было установлено в [8], оценки коэффициентов модели приобретают в этом случае свойство сверхустойчивости к различным выбросам и аномалиям, которые часто присутствуют в трендах экономических показателей.
Идентификацию трендов по значениям АР-коэффициентов можно осуществить на принципах теории распознавания образов [9]. Образы классов представим в виде векторов, компоненты которых являются АР-коэффициентами.
Построение систем распознавания, основанных на реализации данного принципа, использует взаимное пространственное расположение отдельных кластеров. Если кластеры, соответствующие различным классам, разнесены достаточно далеко друг от друга, то применяется такая схема распознавания, как классификация по принципу минимального евклидового расстояния, т.е. по правилу, которое относит классифицируемый образ к классу, к которому принадлежит его ближайший сосед.
Рассмотрим табл. 2, определяющую для конкретных трендовых моделей область допустимых значений (ОДЗ) в евклидовом векторном пространстве, координатами которого являются АР-коэффициенты.
Таблица 2
Область допустимых значений в евклидовом векторном пространстве
Трендовая модель Замена переменной АР-модель Область допустимых значений АР-коэффициентов
Ук = А + В{ к - 7 к і т к Ук II к Точка (2, -1)
Ук= А+Вгк+ ск у к II У к 1 У к і У к = 2у к-1 - У к-2 Точка (2, -1)
„ в с Ук = А + + —2 гг2 к 1к у к = ук{к - ук-і{к-і -2 ¿у 1 -1 ¿у II Точка (2, -1)
. в Ук = А +— гк У к = уЛ -2 ¿у 1 -1 ¿у II Точка (2, -1)
1 Ук = А+Вгк 1 Ук = — Ук -2 ¿у 1 -1 ¿у II Точка (2, -1)
гк Ук = А+Вк Ч Ук = — Ук -2 ¿у 1 -1 ¿у II Точка (2, -1)
А+В Ук =е 4 У к = к1п Ук У к = 2у к-1 - У к-2 Точка (2, -1)
N Ук = 1п Ук -2 ¿у 1 -1 ¿у II Точка (2, -1)
у к = В + СеА,к - У к = а1 У к-1 + а2 У к-2 Прямая а - $2 = 1
В Ук = D + СеА,к 1 Ук =— Ук У к = а1 У к-1 + а2 У к-2 Прямая - $2 = 1
Ук = С,кеВ,к Ук = 1п УЧ -2 ¿у 1 -1 ¿у II Точка (2, -1)
Ук = 1п( А + В,к) ук = еУк У к = 2у к-1 - У к-2 Точка (2, -1)
Замены переменных подбирались таким образом, чтобы минимизировать количество и размеры ОДЗ коэффициентов авторегрессии различных трендовых моделей. Наилучшей моделью признаем ту, для которой расстояние от расчетной точки (вычисленные значения коэффициентов авторегрессии) до соответствующей ОДЗ будет минимальным. Таким образом, минимальное расстояние от параметров модели авторегрессии до множества допустимых значений идентифицирует тренд.
Отметим, что приведенный в табл. 2 набор моделей, для которых можно построить указанное соответствие, не полный. При необходимости его можно увеличить.
Основная идея метода заключается в том, чтобы множеству всех возможных кривых каждого вида поставить в соответствие некоторую область допустимых значений, не зависящую от конкретных параметров модели
(в частности, одну точку) в евклидовом векторном пространстве, базисом которого являются коэффициенты авторегрессии. Например, для линейных трендов это схематично можно изобразить в следующем виде (рис 1).
Ук = а\Ук - 1 + а2Ук - 1 =>
Рис. 1. Соответствие семейства линейных трендов и точки пространства Оа1а2
Идентификацию осуществляем по принципу минимального расстояния, т.е. по правилу, которое относит классифицируемый образ к ближайшему классу.
Проиллюстрируем данный метод на примере временного ряда, взятого из [10] (рис. 2).
140 120 100
80
Iк
0 5 10 15 20
♦ *
♦ ♦
Рис. 2. Пример временного ряда
Результаты расчета приведены в табл. 3.
Таблица 3
Результаты идентификации вида модели
Вид модели ai ai Расстояние до ОДЗ
Прямая 2,221 -1,221 0,312
Парабола 1,706 -0,559 0,530
Экспонента 2,091 -1,090 0,128
Экспонента + Const 2,221 -1,221 1,726
Экспонента х Время 1,566 -0,574 0,608
Логистическая 2,009 -1,012 1,429
Обратная 2,009 -1,012 0,015
Гипербола 1,918 -0,887 0,140
Видим, что наилучшей для исходного временного ряда оказалась обратная модель
1
Ук ~ ~Л + БГ~к '
Отличительным достоинством рассмотренного метода идентификации трендов является то, что он непараметрический - преобразования не учитывают конкретных значений параметров модели. Это позволяет говорить о выборе наилучшей модели среди заданного набора типовых трендовых моделей.
Результаты можно использовать при решении задач моделирования, диагностирования и прогнозирования различных экономических показателей.
Литература
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование. М.: Финансы и статистика, 2001.
3. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов // Экономический журнал ВШЭ. 2003. № 1. С. 79-103.
4. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2001.
5. Тырсин А.Н. Построение трендовых моделей экономических процессов // Проблемы позиционирования российских регионов в мировом экономическом пространстве: Сб. науч. ст. междунар. практ. семинара-конферен-ции. Киров, 2002. С. 490-493.
6. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и 7-преобразования. М.: Наука, 1971.
7. Семенычев В.К., Тырсин А.Н. Определение параметров
испытательных гармонических сигналов на основе разностных схем // Автометрия. 1991. № 3. С. 95-98.
8. Тырсин А.Н., Семенычев В.К., Мозгунов А.Н. К вопросу о повышении точности определения динамических характеристик элементов турбомашин в частотной области // Проектирование и доводка авиационных газотурбинных двигателей: Межвуз. сб. науч. тр. Самара: Самарский авиационный институт, 1992. С.121-127.
9. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978.
10. Hipel K.W., McLeod A.I. Time Series Modelling of Water Resources and Environmental Systems. Amsterdam: Elsevier, 1994.
