Идентификация стационарных колебаний на основе линейных дискретных моделей в условиях аддитивного шума Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51.015 Тырсин Александр Николаевич,

д-р техн. наук, в. н. с. НИЦ «НиР БСМ» УрО РАН, г. Екатеринбург, тел.: 89097432227

Соколов Лев Александрович, аспирант, Челябинский государственный университет, г. Челябинск, тел.: 89085708253

ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ АДДИТИВНОГО ШУМА

A.N. Tyrsin, L.A. Sokolov

IDENTIFICATION OF STATIONARY VIBRATIONS BASED ON LINEAR DISCRETE MODEL IN CONDITIONS OF ADDITIVE WHITE NOISE

Аннотация. Описывается алгоритм, позволяющий оценивать параметры колебательных процессов при наличии аддитивного белого шума. Оценивается величина смещения оценок параметров процессов.

Ключевые слова: колебательный процесс, аддитивный шум, авторегрессия, параметры колебательных процессов, смещение оценок.

Abstract. The algorithm allowing to calculate parameters of oscillating processes in the cases when there is additive noise is described. The bias of estimations of the parameters of the processes is shown.

Keywords: oscillating process, additive noise, autoregression, parameters of oscillating process, bias of estimations.

Введение

Во многих приложениях случайные колебания описывают системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [1]

MY(t) + KY(t) + CY(t) = X(t) , (1)

где M, K, C - симметричные mxm матрицы коэффициентов инерции соответственно, демпфирования и жесткости; Y(t), X(t) - m-мерные векторы координат и действующих сил.

Одной из важных проблем анализа колебаний является определение параметров системы (1). Часто анализируемую систему представляют в виде линейной многомерной системы. При этом каждая форма колебаний считается независимой от других и характеризуется своими собственной частотой ш0 = 2%/T и логарифмическим декрементом 5 = hT = 2%h/ш0 , где T - период колебаний, h - коэффициент демпфирования.

В последние годы анализ экспериментальных данных, в частности случайных колебаний,

все более ориентируется на цифровую технику. Это приводит к использованию дискретно совпадающих моделей процессов. Одной из них является линейная дискретная модель авторегрессии (АР-модель) [2], имеющая вид

Г

У к = 2 -г + S

(2)

где аь a2, ..., ap - параметры модели авторегрессии АР(р); У/с - значение динамического ряда показателя в /-й момент времени; р - порядок модели авторегрессии; - стационарная случайная компонента, имеющая нормальный закон распределения N(0, с2).

В [3] найдено соответствие между коэффициентами модели АР(2) и собственной частотой и логарифмическим декрементом линейной одно-массовой системы

1

шп = — arccos 0 А

5 = —

ш0 А

1П(-а2 ) ,

(3)

(4)

где А - интервал дискретизации. На основе (3), (4) по оценкам коэффициентов авторегрессии модели АР(2) можно однозначно определить собственную частоту ю 0 и декремент 5 колебаний.

Известно [4], что наличие в анализируемом сигнале аддитивного шума приводит к смещению оценок коэффициентов а, причем с ростом 2

дисперсии с^ эти оценки стремятся к нулю. В этом случае вместо модели (2) имеем

У к =2 агУк-г +S к ,

г=1

zk = Ук + S к •

к

г=1

а

2

%

Современные технологии. Механика и машиностроение

24

= const.

- a

невязки

M {

zt aizk i a0z

2^ k-2

)]2 }

^ min,

где z. = , + \ ., получим

Л 5юпД / л ^ А

А — е 0 со82^Д

— е

cos ю0Д

cos2 ю0Д) ф cosю0Д,

. В

ш

где - белый шум; zк - фактически измеренные значения временного ряда.

Предложенный в [3] итерационный алгоритм оценки параметров при наличии аддитивного белого шума основан на том, что а

Минимизируя математическое ожидание квадрата

где А = (а2 + ©2)/©2 - отношение дисперсий измеренного процесса и полезного узкополосного сигнала.

Из последнего неравенства следует, что оценка собственной частоты также смещена, причем она зависит от дисперсии аддитивного шума.

Отметим также, что при росте дисперсии шума оценки коэффициентов а}- стремятся к нулю,

™ Г0"

и в (3) возникает неопределенность вида —

ское и широкополосное шумовое воздействие в режиме нормального функционирования.

Учет аддитивного шума обеспечивается следующим образом. Вводим в АР-модель дополнительные коэффициенты, число которых равно суммарному количеству присутствующих в колебательном процессе регулярных составляющих -гармоник и однокомпонентных случайных колебаний, представляющих собой отклик линейной системы с одной степенью свободы (одномерной системы) на белый шум.

Гармонический процесс Рассмотрим дискретизированный процесс, состоящий из смеси гармоники и шума:

гк = У к = ^т(шкЛ + ф) + . При отсутствии шума оценку частоты получают из АР-модели [5]

У к = а10 Ук-1 - Ук-2, (5)

1 «О п

где ш0 = — аrccos—. Однако при наличии адди-Л 2

тивного шума минимум математического

ожидания квадрата невязки

M {г

, ]2 } достигается при коэффи-

циенте a1, равном

А '

(6)

результате дисперсия оценки ю0 возрастает, и никакая сколь угодная большая выборка дискретизи-рованных данных не позволит статистически устойчиво определить собственную частоту. Более того, как показало моделирование, при достаточно

большой дисперсии а2 возникают ситуации, когда а2 > 0, что приводит к неопределенности формулы (3).

Предложенный там же алгоритм идентификации случайных и регулярных колебаний также носит ограниченный характер. Он имеет зону неопределенности и не рассчитан на «смешанный случай», когда в сигнале одновременно присутствуют и случайные, и регулярные колебания.

Основная идея метода

Рассмотрение стационарного узкополосного (или гармонического) колебательного процесса в условиях аддитивного белого шума свидетельствует о том, что появляется еще один неизвестный параметр - отношение «сигнал/шум», который должен быть учтен в модели. Получим далее решения, учитывающие смещение оценок для случаев откликов линейной системы на гармониче-

где А = (а2 +©2)/а2 - отношение дисперсий измеренного процесса и полезного гармонического сигнала.

Из (6) видно, что при отсутствии шума А = 1

и « = а°. Если же шум присутствует, то « < а° ,

т. е. возникает смещение оценки частоты колебаний, которое затем приводит к ошибочным значениям амплитуды и фазы.

Введем в модель (5) второй коэффициент а2 и минимизируем математическое ожидание квад-

;)Г }

^ min.

рата невязки

M {zk — a1 zk—1 + a2 В результате получим систему нелинейных уравнений второго порядка относительно неизвестных ю, А

[ a1A — a2 cos юД = cos юД, [a cosюД — a2 А = 2 cos2 юД — 1,

решив которую, имеем

ю = <

1

— arccos-Д

—, a = о,

2Д 1

в +

+ 8

4a1

-, a1 Ф 0,

a

х

о

a

a1 =

2

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

х =

1 + ап

-cosюА, а ^ о,

—, а = о,

где 5 = ах2 - а2 - а2.

Соотношение «сигнал/шум» г =с2/с2 определяется через коэффициент Я по формуле

1

r = -

(7)

Я-1

Бигармонические колебания

Рассмотрим модель колебаний в виде

2 к = У к + ^ к = 4 вт^М + ф1) +

+ ^2 §1П(Ю2кА + ф2) + 2,к • Сумме гармоник ук соответствует АР-модель

[5]

У к = 4 (Ук-1 + Ук -3 ) - а20 Ук-2 - Ук-4 , (8) где частоты выражаются через коэффициенты модели по формулам:

$-д/к )2 - 4(а0 - 2) _

ю, = — arccos-1 А

4

W(a0 )2 - 4(а0 - 2)

1 а0 +\1\а0 )- 4(а0 - 2) ю7 = — arccos-2 А 4

M \

Е (-1) V* -г

^ min,

^2/^2 а 2/аг

(1+а )и - + аАиъ = а, (1 + а )и - (1 - а4 U = а2,

(а + а4 )и - + и = а, + — ,

где и. =(ax2cosюх7А + а2cosю2.А)/аZ ; а

где yk - узкополосный однокомпонентный случайный процесс, являющийся откликом одномерной линейной системы на широкополосное случайное воздействие; - белый шум.

Добавив в модель АР(2) еще один коэффициент, получим

Ук = а1Ук-1 - а2 У к -2 + а3 Ук-3 +S к . Решив задачу минимизации

M {zt - а1Zt-1 + а2Zt-2 - а3 Zt-3 ]2 min ,

получим систему нелинейных уравнений относительно неизвестных ю0, h, X

аX - а2вЪА cosю0А + а cos2ra0A = \,

(а + а )eM cosю0А - а2X = 62,

ае2hА cos2ranA - а-,ем cosюА + аX = ,

где

6 = ehA cosю0А,

Ьп = е

2hА

cos2®0 А,

63 = еЗАА ео83ю0А. Решив эту систему, получим несмещенные значения динамических характеристик

юп = -

2А

arccos

h = -— ln

A2 +79 A2 -8 4(A - A2)

а3(1 - а2)(1 - 2 cos2 ю0А)

Введя в модель (8) два дополнительных коэффициента и минимизируя математическое ожидание квадрата невязки

X =

А [а3 (1 + а2 ) - а (а + а )]cos^а'

(1 + а2)ehA cosю0А + а3е2hA(1 -2cos2 ю0А)

где

получим систему нелинейных уравнений относи-

2/2

тельно неизвестных ю1, ю2, а1 / а z

а 2 -

дисперсии первого и второго гармонических сигналов, соответственно; с2 - общая дисперсия колебаний (7).

Нормальное функционирование В режиме нормального функционирования полезный сигнал представляет собой несколько однокомпонентных случайных колебаний и гармоник (дискретных составляющих). Вначале получим несмещенное решение для простейшего случая, когда сигнал имеет вид

^ = Ук +£к,

= а (1 + а2) - Д1 Д + аз )]Д - Д^) _ 1 Д3 (1 - а2) ,

- а (1 + а2) - дд

_ а^ДрО + Д2)-а1(а1 + Д3)]2 ^2 2 2 . Д3 (1 - Д2)

В общем случае сигнал z(t) может состоять из Ь дискретных составляющих, М однокомпо-нентных случайных колебаний и аддитивного шума. Согласно предлагаемому методу, в модель

0L+0

,Ук = 2 Д'Ук- +8к, I

2к=Ук+ £к

дополнительно вводим М коэффициентов а, и решаем задачу

{¡~ }= argmin

{аг}

N

к=2L+3M

2L+3M

- Е аг2 к -г

В результате получим некоторую систему нелинейных уравнений относительно искомых динамических характеристик, которую решаем, используя известные методы.

а

а

2

1

а

2

г=1

2

2

z

к

г=1

Современные технологии. Механика и машиностроение

а2 щ Щ2

0 2 1,999

0,01 1,660 2,054

0,04 3,516 1,937

0,09 5,283 1,924

0,16 - 2,074

0,25 - 1,914

0,36 - 1,937

В табл. 1 некоторые значения щ отмечены прочерком, поскольку вычисление значения оценки

1

а,

длящ0 по формуле щ = — агссо^-^ невозможно

в связи с тем, что в формуле (5) значение коэффициента « > 2 и лежит вне области определения функции арккосинуса. Следовательно, пример

ш

Пример

Рассмотрим пример, описывающий дискре-тизированный процесс, состоящий из смеси гармоники и шума:

2к = У к +%к = А ^п(щ0кЛ + ф) + %к , где А = 5, щ= 2, ф = 0,Л = 0,1, к = 150#(0,ст2). Как упоминалось выше, при отсутствии шума значение собственной частоты щ можно получить из формулы (5). Сравним оценки щ и щ2 для щ0,

полученные на основе формулы (5) с одним коэффициентом и формулы (5) с двумя коэффициентами при наличии аддитивного шума.

Таблица 1 Результаты вычислений частоты колебаний

подтверждает необходимость учитывать еще один неизвестный параметр (отношение «сигнал/шум») при построении модели, а также необходимость добавления дополнительных коэффициентов в АР-модель.

Выводы

1. Предложен метод оценивания моделей авторегрессии в условиях аддитивного шума.

2. Достоинством предложенного метода является высокое быстродействие за счет сокращения требуемой длительности реализации. Это обусловлено отсутствием операции вычисления корреляционной функции и учетом структуры процесса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. - М. : Машиностроение, 1987. - 288 с.

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М. : Мир, 1974. -Выпуск 1. - С. 408 с.

3. Кармалита В. А. Цифровая обработка случайных колебаний. - М. : Машиностроение, 1986. - 80 с.

4. Прохоров Ю. Н. Статистические модели и рекуррентное предсказание речевых сигналов. -М. : Радио и связь, 1984. - 240 с.

5. Семенычев В. К., Тырсин А. Н. Определение параметров испытательных гармонических сигналов на основе разностных схем // Автометрия. - 1991. - № 3. - С. 95-98.