Повышение достоверности диагностирования систем на основе робастного оценивания стохастических моделей временных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

ун-та, 2010. 127 с.

2. Коновалов Ю. В. Моделирование электромеханических процессов в синхронном двигателе // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 4(33). С. 84-89.

3. Дунаев М.П. Комплексный метод создания экспертных систем для наладки электрооборудования // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 4(29). С. 108-111.

m

4. Павлов В.Е. Моделирование нагрузок электроприводов типовых производственных механизмов с применением системы «Преобразователь частоты - асинхронный двигатель» // Вестник ИрГТУ. 2011. №9(56). С. 168-173.

5. Сыромятников И. А. Режимы работы асинхронных и синхронных двигателей. М. : Энергоатомиздат, 1984. 240 с.

6. Асинхронные двигатели серии 4А : справочник / А. Э. Кравчик, М. М. Шлаф, В. И. Афонин, Е. А. Соболенская. М. : Энергоиздат, 1982. 504 с.

УДК 519.237:519.711.3

Соколов Лев Александрович,

аспирант, Челябинский государственный университет,

тел. 89085708253

Тырсин Александр Николаевич,

д. т. н., в. н. с., научно-инженерный центр «Надежность и ресурс

больших систем машин» УрО РАН, тел. 89221007452

ПОВЫШЕНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ РОБАСТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

L.A. Sokolov, A.N. Tyrsin

INCREASING OF AUTHENTICITY OF DIAGNOSTICS OF SYSTEMS BASED ON ROBUST ESTIMATION OF STOCHASTIC TIME SERIES MODELS

Аннотация. Показано, что робастное оценивание параметров стохастических моделей временных рядов повышает достоверность диагностирования состояния системы. Предложен алгоритм оценивания дисперсии основного распределения ошибок. Это позволяет использовать робастные процедуры оценки параметров стохастических моделей временных рядов без априорной информации о величине дисперсии основного распределения ошибок.

Ключевые слова: диагностика системы, оценки коэффициентов авторегрессии, оценка дисперсии, робастный метод оценивания.

Abstract. This paper shows that robust estimation of parameters of stochastic time series models increases the authenticity of diagnostics of system status. An algorithm of estimation of the variance of the distribution of basic errors is described. This allows using robust procedures of estimation of parameters of stochastic time series models without a priori information about a variance of basic distribution of the

errors.

Keywords: diagnosis of system, estimations of coefficients of autoregression, estimation of variance, robust methods of estimation.

Введение

Процессы, протекающие во многих предметных областях, можно адекватно описывать с помощью стохастических моделей авторегрессии АР(р) [1-5]

yk =^ЛУк - i +гг ' (1)

i = 1

где a = (a1ap ) - вектор коэффициентов модели,

p - порядок модели, si - случайные ошибки, к = 1,..., n .

Использование соотношения (1) в виде диагностической модели позволяет решать задачи дефектоскопии, обнаружения неисправностей, контроля качества и профилактики брака [6-10]. Когда система работоспособна, значения параметров авторегрессионной модели (1) остаются стабильными и соответствуют области значений нормальной эксплуатации. Поэтому момент зарожде-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ния дефекта в системе соответствует резкому изменению параметров модели (1). Задача заключается в том, чтобы оперативно и достоверно распознать момент зарождения дефекта в системе и тем самым предотвратить ее выход из строя.

При распознавании состояния системы могут быть ошибки двоякого рода. Ошибки первого рода можно описать как преждевременное уведомление об изменении значений коэффициентов, или «ложную тревогу». В свою очередь ошибки второго рода показывают задержку в определении момента изменения коэффициентов, или «пропуск дефекта» [11]. Для того чтобы избежать вышеуказанных ошибок, необходимо проводить оценивание параметров модели с помощью устойчивых методов. Пусть Н0 - система работает в штатном режиме, тогда Н\ - альтернативная гипотеза.

В практических задачах закон распределения ошибок редко является «чисто» нормальным, чаще в наблюдениях могут появиться выбросы, например, из-за ошибок, контролирующих состояния системы приборов, которые могут повлиять на значение параметров модели. Поэтому целесообразно в качестве закона распределения случайных ошибок в модели (1) будем рассматривать модель засорения Тьюки - Хьюбера

Г (х) = (1 -у) Г (х) + уН (х), (2)

где Гв(х) - функция распределения случайных ошибок в, обладающая «хорошими» свойствами (как правило, нормальностью); Н(х) - функция распределения засорений, имеющих вид выбросов, как по уровню, так и по дисперсии; у - вероятность появления выброса. Модель (2) фактически означает, что распределение случайных ошибок состоит из смеси устойчивой средней части распределения погрешностей однократных измерений, характеризующих их обычные составляющие, и растянутых хвостов, которые учитывают относительно редкие выбросы или промахи. Иначе говоря, делается вероятностное предположение об однородности гипотетической генеральной совокупности, в которой допускается возможность появления погрешностей высокого уровня.

Следовательно, если чувствительность метода оценивания к выбросам будет велика, то может привести к ошибке первого рода, т. е. основная гипотеза Н0 (система работоспособна) будет отвергнута, хотя система функционирует нормально. С другой стороны, если метод не будет чувствителен к выбросам, то может появиться ошибка второго рода, т. е. Н0 принимается, хотя система вышла из строя.

Методика проведения исследований

Одним из таких эффективных методов является робастный метод оценивания (РМО), основанный на минимизации выпукло-вогнутой функции потерь. В качестве функций потерь здесь используют функции вида [12-14]:

( ( , / ^Л

р1 (х) = А

1 - ехр

р2 (х) = й агс^

Г а Л

х

с

V /

Рз(х)=

11 х

2 [с

х с

//

а >1,

х < с,

(з)

(4)

(5)

--с , х > с.

2

Основным затруднением, ограничивающим использование функций потерь вида (3)(5) является присутствие неизвестных параметров (А, с, с, й). Их необходимо или задавать на основе априорной информации, или каким-то образом оценивать. Отметим, что преимуществом асимптотически ограниченных функций потерь вида (3) или (4) перед (5) является то, что получаемые на их основе оценки параметров модели (1) имеют меньшее смещение при несимметричных, односторонних засорениях. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать функции потерь (3) и (4).

Алгоритм оценивания коэффициентов авторегрессии

Для функций потерь (3), (4) введем соответствующие целевые функции

к =1

1 - ехр

1

г

У к -Е агУк -

//

г

Х( Ук- аУ -)

(6)

Тогда для нахождения коэффициентов а = (а*,..., а р) необходимо решить задачи

а1,..., а*р = а^шт Ц(а)

а1,..., а*р = а^шт ^(а)

а1,...,ар

(7)

соответственно.

Рассмотрим решение данных задач на примере задачи (7). Из необходимого условия существования экстремума следует, что градиент искомой точке должен быть равен 0, 'У^(а) = 0 . Вы-

числим первую производную по элементу а ^

и

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

502

да.

= аС 2

( ( р ^ (-ук-у)&& ук -2ал-

1

р

Ук -2 ал

Ук -2 ал -

'-Л

Следовательно, для нахождения экстремумов функции потерь (6) необходимо решить следующую систему уравнений:

да.

= 0, у = 1,2,..., р.

(8)

Каждое из уравнений системы является не-

линейным относительно а

и нахождение

аналитического решения системы является трудоемкой задачей. Поэтому воспользуемся численными методами для решения задачи (7). Найденные решения системы (8) необходимо подвергнуть дальнейшему исследования, чтобы определить, какое из них является точкой минимума, что, в свою очередь, требует вычисления вторых производных функции (6) и определения знака определителя матрицы Гесса.

Рассмотрим алгоритм нахождения минимума для вогнутой функции потерь [13]. Проверим его работу для целевой функции (6) и модели авторегрессии вида ук = а* ук-1 + вк, где вк имеет вид (2), а1 = -0,3, а2 = 0,81, дисперсия засорения а2 = 20, п = 30 . С помощью перебора узловых точек [13] получили следующую оценку параметра а[ : а1 = -0,279 , а минимум функции находится в точке -0,287. Это говорит о том, что для выпукло-вогнутых функций потерь минимум целевой функции не лежит в узловых точках.

С помощью метода Монте-Карло было установлено, что узловая точка, в которой функция потерь принимает наименьшее значение, лежит в окрестности глобального минимума. Поэтому одним из способов решения задачи минимизации (7) является градиентный спуск из «наилучшей» узловой точки. В качестве начальной точки можно взять оценку, найденную методом наименьших модулей (МНМ).

Алгоритм оценивания дисперсии основного распределения ошибок

Имеем модель авторегрессии вида (1), для которой ошибки имеют закон распределения вида (2). Для оценивания вектора коэффициентов a воспользуемся РМО с функциями потерь р! и р2. Сначала необходимо вычислить значения пара-

метров а, Я, С для функций р! и р2. Для оптимального выбора этих параметров найдем оценку а среднего квадратического отклонения а основного закона.

Найдем оценки коэффициентов авторегрессии методом, который более устойчив к выбросам, чем метод наименьших квадратов (МНК), например МНМ [16]. Обозначим вектор МНМ-оценок как a'= (а',...,а'р). Вычисляем остатки авторегрессии ё = О?,..., еп)

р

ек = у к -2 а'Ук.

.=1

Далее решим систему относительно в:

Гр(а - да) = Х0 5-Р ,

1Р(а + Ча) = Х0,5+р .

Вычтем из второго уравнение первое

Р(а + да) - Р(а - да) = Р { | х - а | < да} =

1

а + да

е 2а2сИ = 2Ф0(д).

л/2ла а-да

= 2Ф0(д) и р = Ф0(д).

Упорядочим вектор остатков ё, например, по возрастанию и найдем среднее квадратическое отклонение основного закона распределения как

а = <?(0,5+р)д - <?(0,5-р)д

Отсюда Х0,5+р - х0,5-р

/ 2д .

Вычислив среднее квадратическое отклонение основного закона распределения, введем целевые функции:

( ( \2 ^

* / ч

0 (а) = 2 Я 1 к = 1

1 - ехр

1

(

2а2

ук ~2ла.ук-. .=1

//

(

* ✓ ч

(а) =

2 С аг^

к = 1

а

Р 2

. = 1

У, - 2 а.у, 'к л .к -.

а

Для оценки коэффициентов модели (1) также можно применить МНК. Поскольку регрессоры относятся к предыдущим моментам времени, а в. -белый шум, то корреляция регрессоров со случайным возмущением в. отсутствует. МНК не дает несмещенных оценок, но дает состоятельные оценки, несмотря на то, что присутствует стохастический регрессор. Если дополнительно белый шум является гауссовым, то значения ук распределены нормально, а МНК-оценки коэффициентов состоятельны и асимптотически нормальны. Поскольку нормальность оценок достигается только асимптотически и закон распределения ошибок, описываемый моделью вида (2), представляет собой нормальное распределение с «тяжелыми хвостами», то можно считать нормированные функ-

1=1

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ции 01 и 02 близкими к квадратичным при малых отклонениях. Тогда параметры а, А, й можно определить, решив задачи:

т

1

0

(

х2 -А

1 - ехр

( 2 Л Л

х

V

йх-> ш1п ,

А

т

/ (й, а)= / 2 0

х2 - й arctg (|х|а

йх-

->Ш1П . й, а

Были рассмотрены три случая, в которых функции минимизировались на отрезках [0; 1], [0; 1,5], [0; 2] и для каждого отрезка были найдены соответствующие а, А и й:

1. [0; 1]: ш1п(/1) = 0,00052; А = 2,368, ш1п(/2) = 0,00015; й = 1,219; а = 2,307.

2. [0; 1,5]: ш1п(/1) = 0,0183; А = 2,852,

ш1п(/2) = 0,0163; й = 1,456; а = 3,183.

3. [0; 2]: ш1п(/1) = 0,2075; А = 3,557,

ш1п(/2) = 0,3345; й = 1,867; а = 3,458.

Был проведен сравнительный анализ оценок, полученных с помощью РМО, в зависимости от длины отрезка, на котором график функции потерь должен быть наиболее близок к графику квадратичной функции. Для моделирования процесса авторегрессии АР(2) использовался метод статистического моделирования Монте-Карло, где ошибки в, имеют распределение (2).

Результаты моделирования показали, что наименьшая дисперсия оценок получается тогда, когда для выбора констант функций потерь рассматривается отрезок [0; 1].

Анализ методов оценивания параметров авторегрессии

Сравним методы МНК, МНМ и РМО с помощью метода Монте-Карло на примере модели авторегрессии АР(2). Рассмотрим пример. Зададим: а1 = 0,8, а2 =-0,2, с2 = 0,81, с? = 20, п = 70, у = 0; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3, М = 2500 — число испытаний. Для функции потерь Хьюбера (5) выберем значение константы с,

используя правило «трех сигм», в качестве оценки

"2 2

с? дисперсии с возьмем теоретическое значение дисперсии основной части закона распределения. Результаты статистического моделирования -оценки коэффициентов а1 , а2 и их дисперсии

уаг2 (а1) , уаг2 (а2) приведены в табл. 1, 2.

Т а б л и ц а 1

У Метод а1 уаг2 (а1)

0,1 МНК 0,783 0,0126

МНМ 0,790 0,0094

РМО с р3 0,786 0,0090

РМО с р! 0,794 0,0114

РМО с р2 0,793 0,0091

0,2 МНК 0,792 0,0133

МНМ 0,797 0,0071

РМО с р3 0,794 0,0080

РМО с р! 0,798 0,0058

РМО с р2 0,798 0,0057

0,3 МНК 0,787 0,0130

МНМ 0,793 0,0054

РМО с р3 0,790 0,0075

РМО с р! 0,794 0,0049

РМО с р2 0,793 0,0051

Т а б л и ц а 2

У Метод а2 уаг2 (а2)

0,1 МНК 0,201 0,0118

МНМ 0,199 0,0091

РМО с р3 0,201 0,0084

РМО с р! 0,202 0,0107

РМО с р2 0,201 0,0085

0,2 МНК 0,206 0,0123

МНМ 0,203 0,0066

РМО с р3 0,204 0,0073

РМО с р! 0,202 0,0054

РМО с р2 0,203 0,0053

0,3 МНК 0,205 0,0123

МНМ 0,201 0,0052

РМО с р3 0,203 0,0070

РМО с р! 0,201 0,0048

РМО с р2 0,201 0,0049

На основе приведенных в таблице результатов можно говорить, что РМО-оценки с р1 и р2 имеют меньшее смещение относительно исходного значения и меньшую дисперсию.

Диагностика системы

Как уже было отмечено раннее, при диагностике системы необходимо отслеживать появление ошибок первого и второго рода. Ошибки первого рода можно описать как преждевременное уведомление об изменении значений коэффициентов, ошибки второго рода показывают задержку в определении момента изменения коэффициентов. Таким образом, сравнение методов, применяемых для диагностирования, может быть основано на сравнении количества ошибок первого и второго родов или на сравнении вероятностей их появления.

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение.

Сравнение методов проводилось на примере системы, описываемой моделью авторегресии вида (1) с порядком модели р _ 2:

Га у к-1 +°2 у к-2 + 8к , к

к К Ук-1 +ь2 У к-2 +8к, к >т

где к _ 1,...,п ; т - момент изменения значений коэффициентов (изменение процесса) (т < п).

В качестве законов распределения ошибок рассматривались:

- сумма двух нормальных законов, с различными дисперсиями вида (2);

- сумма нормального и равномерного законов - (1 - у)N(0, а2) + уЛ[а ь], уе [0; 1];

- сумма нормального закона и закона Лапласа - (1 - у) N(0, а2) + уД а, 0), уе [0; 1];

Тогда ошибками первого рода можно считать отклонения от теоретических значений, больших заданного значения 5, при нахождении коэффициентов а1 и а2. Их вероятности обозначим как Р а1 -а^ >5) и Р (|а2 -а2| >5) . Соответственно, ошибки второго рода - это отклонения от теоретических значений, больших заданного значения 5, при нахождении коэффициентов Ь и Ь2.

Их вероятности обозначим, как Р (Ь1 -Ь1 >5)

и Р ( Ь2 -Ь2 >5) . Значение 5 было выбрано равным 10 % от теоретического значения соответствующего параметра, взятого по модулю. Оценки ошибок первого и второго рода, полученные с помощью статистического моделирования, для указанных выше законов распределения ошибок приведены в табл. 35 соответственно.

Выводы

1. Показано, что робастное оценивание параметров стохастических моделей временных рядов повышает достоверность диагностирования состояния системы.

2. Предложен алгоритм оценивания коэффициентов авторегрессии, основанный на спуске из «наилучшей» узловой точки.

3. Предложен алгоритм оценивания дисперсии основного распределения ошибок. Это позволяет использовать робастные процедуры оценки параметров стохастических моделей временных рядов без априорной информации о величине дисперсии основного распределения ошибок.

Т а б л и ц а 3

Метод Р а1 -а^ >5) Р (|а2 -а2| >5)

МНК 0,65 0,48

МНМ 0,18 0,18

РМО с р1 0,15 0,20

РМО с р2 0,18 0,22

Метод Р ( ъ-Ь >5) Р ( Ь2 - Ь2 >5)

МНК 0,15 0,34

МНМ 0,08 0,97

РМО с Р1 0,07 0,12

РМО с Р2 0,01 0,12

Т а б л и ц а 4

Метод Р (| а1 -а^ >5) Р (|а2 -а2| >5)

МНК 0,69 0,74

МНМ 0,12 0,40

РМО с р1 0,05 0,05

РМО с р2 0,15 0,00

Метод Р ( ъ-ъ >5) Р ( Ь2 - Ь2 >5)

МНК 0,37 0,65

МНМ 0,11 0,21

РМО с р1 0,06 0,07

РМО с р2 0,06 0,08

Т а б л и ц а 5

Метод Р (|а1 -а^ >5) Р (|а2 -а2| >5)

МНК 0,59 0,38

МНМ 0,19 0,05

РМО с р1 0,10 0,05

РМО с р2 0,13 0,04

Метод Р ( ъ-Ь >5) р ( Ь2 - Ь2 >5)

МНК 0,24 0,24

МНМ 0,14 0,11

РМО с р1 0,10 0,09

РМО с р2 0,13 0,09

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. М. : Мир, 1974. 408 с. 2. Кармалита В. А. Цифровая обработка случайных колебаний. М. : Машиностроение, 1986. 80 с. 3. Бурмистров В. И., Калев О. Ф., Чернякова И. В. Математические модели в клинической кардиологии. Основы прогнозирования. Магнитогорск : МгТУ, 2005. 113 с. 4. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

разностных уравнений. М. : Машиностроение, 2009. 344 с.

5. Семёнычев В. К. Идентификация экономической динамики на основе моделей авторегрессии. Самара : АНО «Изд-во СНЦ РАН», 2004. 243 с.

6. Байков И. Р., Галлямов А. К. Математические модели в трубопроводном транспорте нефти и газа. Уфа : УНИ, 1991. 69 с.

7. Никифоров И. В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М. : Наука, 1983. 199 с.

8. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / под ред. М. Бассвиль, А. Банвениста. М. : Мир, 1989. 278 с.

9. Орлов А. И. Сертификация и статистические методы : обобщающая ст. // Заводская лаборатория. 1997. Т. 63, № 3, С. 55-62.

10.Panyukov A. V., Tyrsin A. N. Stable Parametric Identification of Vibratory Diagnostics Objects // Journal of Vibroengineering. 2008, vol. 10, № 2, Р.142-146.

11.Биргер И. А. Техническая диагностика. М. : Машиностроение, 1978. 241 с.

12.Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М. : Финансы и статистика, 1985. 488 с.

13. Тырсин А. Н. Робастное построение регрессионных зависимостей на основе обобщенного метода наименьших модулей // Записки научн. семинаров ПОМИ. 2005. Т. 328. С.236-250.

14.Хьюбер П. Робастность в статистике. М. : Мир, 1984. 304 с.

15.Соколов Л. А., Тырсин А. Н., Максимов К. Е. Использование робастных методов оценивания стохастических моделей временных рядов в задачах диагностики // Математика, ее приложения и математическое образование : материалы IV Междунар. конф. Ч.2. Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2011. С. 72-76.

16.Мудров В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки. М. : Радио и связь, 1983. 304 с.

УДК 621.002.56

Степанов Максим Александрович,

соискатель кафедры «Прикладная механика» ИрГУПС, (3952) 638-343, 338-343, e-mail: Stepanov_MA@irgups.ru

СПОСОБ МАГНИТНОЙ ДЕФЕКТОСКОПИИ ФЕРРОМАГНИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

M.A. Stepanov

METHOD OF MAGNETIC INSPECTION OF FERROMAGNETIC

STRUCTURES UNDER TENSION

Аннотация. Разработан способ магнитной дефектоскопии ферромагнитных конструкций, находящихся в напряженном состоянии. Может применяться на транспорте и в промышленности непосредственно в процессе эксплуатации конструкций, находящихся под нагрузкой, изготовленных из однородного ферромагнитного материала и имеющих симметричную форму профилей сечений.

Ключевые слова: магнитная дефектоскопия, напряженное состояние конструкций, ферромагнитные конструкции.

Abstract. The way of magnetic inspection of ferromagnetic structures that are in tension. Can be used in transport and industry directly in the operation of loaded structures made of a homogeneous ferromagnetic material and having a symmetrical shape profiles sections.

Keywords: magnetic particle inspection, the state of stress constructive functions, ferromagnetic structures.

Автором статьи в соавторстве был разработан способ магнитной дефектоскопии изделий в напряженном состоянии (в дальнейшем способ) и получен патент на изобретение РФ [1]. Основные предпосылки разработки способа и его суть можно изложить в следующем виде.

Способ относится к области магнитной дефектоскопии в промышленности и на транспорте, в частности может быть использован при дефектоскопии в процессе эксплуатации изделий, находящихся под нагрузкой, изготовленных из однородного ферромагнитного материала и имеющих симметричную форму профилей сечений, например рельсов, металлических профилей, осей, трубопроводов и т. д.

Известен способ магнитной дефектоскопии [2], заключающийся в определении дефектов, вызванных неоднородностью материала или нарушением формы профиля, возникших при изготовлении изделия или при его эксплуатации, при этом о дефекте изделия судят по величине и месторас-