Идентификация неоднородных упругих свойств слоя с использованием метода квазилинеаризации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ СВОЙСТВ СЛОЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИИ*

© 2014г. А.О. Ватульян, О.В. Явруян, И.В. Жаворонкова

Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильча-кова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: vatulyan@math. sfedu. ru.

Явруян Оксана Вячеславовна - кандидат физико-математических наук, доцент, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: yavruyan@mail. ru.

Жаворонкова Ирина Владимировна - студент, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090.

Vatulyan Alexander Ovanesovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Elasticity Theory, Faculty of Mathematicians, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Mil'chakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: vatulyan@math.sfedu. ru.

Yavruyan Oksana Vjacheslavovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Faculty of Mathematicians, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Mil'chakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail:yavruyan@mail.ru.

Zhavoronkova Irina Vladimirovna - Student, Faculty of Mathematicians, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Mil'chakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia.

Исследована возможность применения метода квазилинеаризации при решении обратных коэффициентных задач теории упругости на модельном примере идентификации неоднородных свойств упругого изотропного слоя (в классе квадратичных функций) по данным акустического зондирования. Проведен анализ численных результатов для различных законов изменения восстанавливаемой функции. Определены наиболее эффективные для процедуры идентификации значения частотного параметра.

Ключевые слова: неоднородность, идентификация, изотропия, слоистая среда, упругость, метод квазилинеаризации.

The possibility of application of a quasilinearization method for the inverse coefficient problems of the theory of elasticity on a model problem of the isotropic inhomogeneously elastic layer properties identification (in the class of quadratic functions) according to acoustic sounding are investigated. A computer experiment is performed for different inhomogeneity layers, the effective frequency sounding regions for identification are revealed, and various aspects of numerical realization are discussed.

Keywords: inhomogeneity, identification, isotropy, layered medium, elasticity, method of quasilinearization.

Функционально-градиентные материалы (ФГМ) ворвались в нынешний век новых технологий. Одним из самых популярных способов описания свойств ФГМ является использование идей теории смесей и введение эффективных модулей, которые получаются гомогенизацией неоднородных механических свойств исследуемого тела. При этом, как правило, в качестве функций, описывающих неоднородные механические свойства объекта исследования, используют экспоненциальные и степенные законы. При таком подходе обратная коэффициентная задача по идентификации свойств материала сводится к задаче параметрической идентификации. Как правило, последняя решается сведением к проблеме минимизации функционала невязки в конечномерном пространстве. Ее реализа-

ция имеет свою специфику и может быть осуществлена на основе как градиентных методов, так и эволюционных алгоритмов.

На начальных этапах исследования задач идентификации неоднородных свойств материалов в зарубежной литературе была широко распространена постановка, в которой известны физические поля внутри исследуемого объекта. Задача в таком случае оказывается линейной и сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка или к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, с дальнейшей дискретизацией с помощью метода минимизации расширенного лагранжиана [1], регуляри-зованных методов обращения разностных схем [2, 3] и др.

*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований № 12-01-31501мол-а, № 13-0100196.

Если информацию о физических полях объекта исследования можно получить только на границе тела, то обратная коэффициентная задача является существенно нелинейной. В последнее время исследования связаны с более сложной постановкой, в которой известны (измерены) лишь граничные поля в некотором диапазоне изменения спектрального параметра (частоты колебаний зондирующего возмущения) [4]. В таком случае задача сводится к нелинейным операторным уравнениям, которые могут быть исследованы лишь на основе некоторых итеративных процедур, основные принципы построения которых опираются на метод линеаризации и слабую постановку [5, 6].

В работе представлен новый эффективный способ реконструкции свойств слоистых ФГМ, базирующийся на методе квазилинеаризации [7], и для ряда нелинейных задач [8]. Возможности применения данного метода в работе продемонстрированы на модельном примере решения обратной коэффициентной задачи о реконструкции свойств неоднородного изотропного слоя в классе квадратичных функций. Реконструкция производилась на основе данных об интегральных характеристиках компонент полей смещений, измеренных на верхней границе слоя.

Следует отметить, что предлагаемая методика определения свойств материалов может быть успешно применена для определения начального приближения восстанавливаемых функций в итеративных алгоритмах [5, 6], а также выступать в качестве самостоятельной схемы реконструкции неоднородных свойств в классе априори известных функций [8], например, квадратичных, которые охватывают широкий диапазон описания свойств многих функционально градиентных материалов (по теории смесей).

Постановка обратной коэффициентной задачи

Рассмотрим установившиеся колебания с частотой ю упругого изотропного неоднородного по толщине слоя, занимающего область

£ = {хц,Х2 е (—то,да), Х3 е [0,к]} в условиях плоской деформации.

Нижняя грань слоя жестко защемлена, на части верхней границы £20 приложены нагрузки, определяемые вектором ре~ш, где д = (¿1,0, дз) - двух-компонентный вектор.

В рамках рассматриваемой задачи ненулевыми компонентами вектора смещений являются

щ = «¡(хц, Хз)е юИ,из = из(х1, Хз)е 1ю1. После отделения временного множителя краевая задача принимает вид

(Х + 2М>1Д1 +Хиз,з! + (ц(и!,з + изд)),з +

2 А

+ рю «1 = 0,

((Х + 2М)из,зЬ + (^и1,1),з + (М(и1,з + из,1)),1+

2 п

+ рю из = 0,

и1 £ =01 =и

41+<»•+={0м; 11:,

мои+из,,)и,(1)

где X = Х(Хз), м = м(хз), р = р(хз) - упругие характеристики и плотность неоднородного слоя, которые являются произвольными положительными функциями координаты хз .

Замыкают постановку задачи условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения [9].

Обратная коэффициентная задача состоит в определении неизвестных функций X, характеризующих неоднородные свойства упругого изотропного слоя по дополнительной информации о полях смещений, измеренных на верхней границе

и1 (Х1, к, ю) = / (ю), 1 = 1,з. (2)

Сведение исходной задачи к одномерным обратным задачам [5]

Применяя интегральное преобразование Фурье по переменной Х1 к задаче (1), (2), после несложных преобразований [5] получаем две несвязанные краевые задачи относительно усредненных характеристик полей смещений и неизвестных функций, характеризующих неоднородные свойства слоя. Полученные краевые задачи идентичны по структуре задаче о продольных колебаниях неоднородного стержня

(Я(б)и'(б))' +к2 и(о) = 0, (3)

и(0) = 0, £(1)и'(1) = 1, ()

и(1, к) = /(к), к е[к1, к2].

Обратная задача сводится к определению пары функций и(х,к), g(х), удовлетворяющих дифференциальному уравнению второго порядка и граничным условиям, выполняющимся в некотором диапазоне изменения спектрального параметра к.

Метод квазилинеаризации

Задачу (3) можно привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка

5'( х) = —к 2и( х),

g (х)и'(х) = 5( х), (4)

и(0) = 0, 5(1) = 1,

и(1, к) = / (к).

Для определения неизвестных функций можно сформулировать итерационный процесс [5]. Однако стоит отметить, что точность восстановления неиз-

вестных функций во многом будет определяться выбором начального приближения. В работах [5, 6] предложены способы выбора начального приближения в классе линейных либо постоянных функций, параметры разложения которых определяются из условия минимума функционала невязки, представляющего собой норму разности между заданным и вычисленными значениями компонент полей смещения. При этом процедура минимизации имеет свои особенности сходимости к приближенному решению и представляют собой некорректную задачу.

В настоящей работе предложена новая схема решения обратной коэффициентной задачи (2), основанная на методе квазилинеаризации.

Будем искать неизвестную функцию g(х) в виде

> о

квадратичной функции g( х) = Ах + Вх + Б.

Согласно методу квазилинеаризации, восстанавливаемые параметры А, В и Б считаются функциями и рассматривается вспомогательная задача относительно функций 5, и, А, В и Б вида

5 ' (х) = —к 2и( х),

(Ах2 + Вх + П)п' (х) = 5(х),

А'(х) = 0, В'(х) = 0, Б'(х) = 0, (5)

и(0) = 0, 5(1) = 1,

А(1) = Ас, В(1) = В0, Б(1) = Б0,

и(1, к) = / (к). (6)

Произведём линеаризацию задачи (5), введя следующие представления:

и(х) = и0 (х) + 8и1(х) +..., 5( х) = 50 (х) + 851( х) + ..., А( х) = Й0 (х) + 8Й1( х) +..., В(х) = Ь0(х) + 8Ь1(х) +..., Б(х) = ^0(х) + 8Й*1 (х) +....

Выписывая операторные слагаемые при одинаковых степенях е, получим две задачи для нулевого и первого приближений неизвестных функций '2.

sQ + к Uq = 0,

(ÖQx + box + do)uQ -SQ = 0, aQ = 0, bQ = 0, d'0 = 0, a0 (1) = an, bo (1) = bn, do (1) = dn Uq(O) = 0, SQ(1) = P-

2 2 и'Цх + b^x + d1) + u1(öq x + b' x + d') - s = 0,

S + к 2u1 = 0,

a11 = 0, 1b1 = 0, d1 = 0,

ö1(O) = П2, ¿1(0) = П3, d1(0) = П4,

u1(O) = 0, s1(0) = nb

S® = 0,

(7)

(8)

где ап, Ьп, - начальные приближения восстанавливаемых параметров; п = (п1,по,П3,П4) - неизвестный вектор поправок относительно начальных приближений.

Таким образом, решение обратной коэффициентной задачи сводится к построению итерационного

процесса, на каждом шаге которого происходит уточнение восстанавливаемых параметров из последовательного решения краевых задач (7), (8).

Опишем основные этапы итерационного процесса.

Этап 1. Из системы (7) определим функции и0 (х), 50 (х), а0 (х), ^0 (х), do (х), задав начальные приближения ап, Ьп, dn .

Начальное приближение выбираем из условия минимума функционала невязки, который представляет собой норму разности экспериментальных значений

f(kj)]N=1 и решений задачи (7) \i0(kj)]^=1

в дис-

кретном наборе точек к у е [кь к2].

Этап 2. Для решения задачи (8) с найденными на первом этапе функциями

и0(х), 50 (х), а0(х), ¿0(х), do(х) применим численный алгоритм решения краевых задач, например, метод пристрелки. В результате найдем решение задачи (8), которое линейным образом зависит от неизвестных параметров-компонент вектора п .

Этап 3. Учитывая дополнительную информацию (6) и неиспользованное граничное условие задачи (8), а также найденные на первом и втором этапах решения систем (7)-(8), определим неизвестные параметры

П,I = 1..4 из условия минимума функции четырех переменных:

^ min ■

F (n) = Z| |u(1, kj, n) - f (kj )2 +1^(1, kj, n)|

к: V

Этап 4. Далее, определив значения компонент вектора поправок п , скорректируем начальные приближения для следующего шага итерационного процесса, задав их в виде

ап+1 = ап + n2, Ьп+1 = Ьп + n3, dn+1 = ^ + n4, а условия выхода из итерационного процесса могут быть самыми разными (по максимальному числу итераций, по норме добавок и т.д.).

Численные результаты

Составлена вычислительная программа, в которой реализован вышеописанный алгоритм восстановления неизвестной квадратичной функции g(x) для слоя толщиной И=1, с постоянной плотностью р=1. Значения частотного параметра выбраны из анализа амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) поля перемещения на верхней границе слоя. Стоит отметить, что для восстановления трех параметров, характеризующих квадратичную функцию, достаточно использовать информацию, измеренную при трех значениях частоты зондирующего сигнала.

Пример 1. Результаты вычислительных экспериментов в случае монотонно возрастающей функции

ф) = 1,5х2 — 0,1х+1.

Начальное приближение найдено в классе линейных функций в виде g = 2х + 0,5. Для процедуры восстанов-

2

n

0

8

ления дополнительная информация задана в дискретном наборе значений частотного параметра {0,1; 3,5; 4}.

Из рис. 1 видно, что неизвестная функция восстанавливается с погрешностью менее 1 % при точных входных данных задачи. Потребовалось т=13 итераций.

Проведен анализ зависимости точности реконструкции от степени зашумления входной информации. Как и следовало ожидать, с увеличением шума точность реконструкции ухудшается. Так, при уровне зашумления, равном 15 %, погрешность реконструкции превысила 12 %. Результаты приведены на рис. 2.

Анализ численных результатов позволил сформулировать некоторые практические рекомендации по

выбору зондирующих частот. Для восстановления неизвестной характеристики оптимальное количество частот равняется трём (при двух частотах необходимая точность не достигается (>15 %); при количестве частот, большем трёх, точность процесса восстановления улучшается незначительно).

Были проведены вычислительные эксперименты по восстановлению неизвестной характеристики для набора зондирующих частот, близких к резонансным, при этом не удалось достигнуть необходимой точности реконструкции.

восстановленная функция начальное приближение ■ точное решение к =[0.1,3.5,4]

Рис. 1. АЧХ в точке х=1 (слева) и результаты реконструкции функции g(x) = 1,5х2 — 0,1х +1 (справа)

Уровень шума, %

Рис. 2. График зависимости погрешности восстановления функции ф), 8 = 1 ^ (х) — gdшд (х))/gm (х)||100 % от уровня зашумления

На частотах, отличных от резонансных, наблюдается уверенное восстановление неизвестного параметра (погрешность восстановления менее 1 %). Процесс восстановления неизвестной характеристики сходится наилучшим образом, если взять одну частоту до первого резонанса и две - из интервала между первым и вторым резонансами. Не рекомендуется брать весь набор частот из одного интервала.

Пример 2. Результаты вычислительных экспериментов для монотонно убывающей функции §(х) = 4СО8(0,8Х) +1.

Начальное приближение найдено в виде: g = —0,5х + 4,8. Для процесса восстановления выбраны значения частотного параметр {0,1; 6,5; 7}.

Из рис. 3 видно, что погрешность восстановления - менее 1 %. Восстановленное значение: 2

g(x)=-1,12 х — 0,0714х + 5,01. Количество итераций т = = 15.

о восстановленная функция ■ ■ ■ начальное приближение — точное решение_к =[0.1,6.5,7]

Рис. 3. АЧХ в точке х=1 (слева) ирезультаты реконструкции функции g(x)=4cos (0,8х) +1 (справа)

ПримерЗ. Результаты вычислительных экспери- восстанавливаемой функции g(x)=3 вт(зх) + 0,5 ментов в случае немонотонного закона изменения

« восстановленная функция

■ ■ ■ начальное приближение

-точное решение к =[0.1,4,4.5]

Рис. 4. АЧХ в точке х=1 (слева) ирезультаты реконструкции функции g(x)=3 вт(зх) + 0,5 (справа)

Начальное приближение: g(x)=-6,8888x2 + 8,55555х + 0,з75, /Н0Д; 4; 4,5}. Неизвестная функция восстанавливается с погрешностью менее 1 %. Восстановленное значение: 2

g(x)=-11,05x + 11,514зх + 0,з75 . Количество итераций m=19.

Результаты вычислительных экспериментов подтверждают высокую эффективность метода квазилинеаризации, который успешно может быть применен для решения широкого класса обратных коэффициентных задач, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, что значительно рас-

ширяет возможности эффективного решения задач реконструкции свойств неоднородных упругих, вяз-коупругих и электроупругих материалов.

Литература

1. Zhiming Chen, Zou J. An augmented Lagrangian method for

identifying discontinuous parameters in elliptic systems, Siam // J. Control and Optimization. 1999. Vol. 37. P. 892910.

2. Jadamba B., Khan A.A., Raciti F. On the inverse problem

of identifying Lamе coefficients in linear elasticity // J. Computers and Mathematics with Applications. 2008. Vol. 56. P. 431-443.

3. McLaughlin J., Yoon J.-R. Unique identifiability of elastic

parameters from time-dependent interior displacement measurement // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 25-45.

4. Ватульян А.О. К теории обратных коэффициентных

задач в линейной механике деформируемого тела // ПММ. 2010. № 6. С. 911-918.

5. Ватульян А.О., Явруян О.В., Богачев И.В. Идентифика-

ция упругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Акуст. журн. 2011. Т. 57, № 6. С. 723-730.

Поступила в редакцию

6. Ватульян А.О., Явруян О.В. Богачев И.В. Идентифика-

ция неоднородных свойств ортотропного упругого слоя // Акуст. журн. 2013. Т. 59, № 6. С. 752-758.

7. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные

краевые задачи. М., 1968. 126 с.

8. Ватульян А.О., Сухов Д.Ю. Об одном методе определе-

ния параметров упругих потенциалов // Экол. вестн ЧЭС. 2012. № 4. С. 27-32.

9. Ворович И.И., Бабешко В.В. Динамические смешанные

задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1989. 320 с.

14 апреля 2014 г.