CC BY
46
УДК 539.3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ НАГРУЗКИ, ВОЗДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА СОСТАВНУЮ БАЛКУ
Е.Г. Янютин, профессор, д.т.н., НТУ «ХПИ», Г.А. Г натенко, аспирант, ХНАДУ
Аннотация. Рассматривается обратная задача теории упругости для механической системы в виде составной балки, участки которой выполнены из разных материалов. Описаны решения прямой и обратной задач. Приведена методика определения временной зависимости неизвестной функции нагружения, основанная на применении регуляризирующего алгоритма А. Н. Тихонова. Представлены численные результаты.
Ключевые слова: составная балка, импульсная нагрузка, обратная задача, идентификация.
1ДЕНТИФ1КАЦ1Я НАВАНТАЖЕННЯ, ЩО Д1С НА СКЛАДЕНУ БАЛКУ
С.Г. Янютин, професор, д.т.н., НТУ «ХП1», Г.А. Г натенко, асшрант, ХНАДУ
Анотаця. Розглянуто обернену задачу теорИ пружност1 для мехамчног системи у вигляд1 складеног балки, дтянки яког виготовлем iз р1зних матер1ал1в. Описано розв ’язання прямог i оберненог задачi. Приведено методику визначення часовог залежностi невiдомог функцп навантаження, що базуэться на використант регуляризуючого алгоритму А. М. Тихонова. Наведено числовi результати.
Ключов1 слова: складена балка, iмпульсне навантаження, обернена задача, iдентифiкацiя.
LOAD IDENTIFICATION ACTING ON COMPOUND BEAM
E. Yanyutin, Professor, Doctor of Technical Science, NTU «KhPI»,
G. Gnatenko, Post-graduate student, KhNAHU
Abstract. The inverse problem of elasticity theory for compound beam sections of which are made of different materials, is considered. The direct and inverse problems solution approaches are showed. The methods based on A. Tikhonov’s regularization algorithm for determining the time dependence of unknown action function are obtained. The numerical results are presented.
Key words: compound beam, pulse loading, inverse problem, identification.
Введение
В машиностроении существует тенденция к применению конструктивных элементов, изготовленных из различных материалов. В этой связи широкое распространение получили многослойные и составные конструкции, часто встречающиеся в современных машинах, приборах и аппаратуре. Поэтому возникает необходимость в разработке методов решения на статическую и динамическую прочность соответствующих задач.
Анализ публикаций
Вопрос деформирования многослойных и составных конструкций в достаточной степени изучен в области решения прямых задач [1, 2]. Практически не изучены вопросы решения обратных задач для составных элементов конструкций, в особенности вопросы решения обратных нестационарных задач. Далее будет изложен способ решения обратной задачи для составной балки конечной длины.
Цель и постановка задачи
Рассматривается механическая система в виде однопролетной балки постоянного поперечного сечения, состоящей из двух жестко скрепленных участков, изготовленных из разных материалов. На систему воздействует нестационарная поперечная нагрузка, равномерно распределенная по участку длиной 2ЬР (рис. 1) с законом изменения во времени Р(0. Под воздействием прикладываемой нестационарной нагрузки составная балка совершает колебания. Достаточно подробная схема составной балки и воздействующих на неё нагрузок представлена на рис. 1. Разные участки балки разделяет на схеме точка О. В торцах балка предполагается шарнирно-опертой. Укажем сразу, что выбор таких граничных условий не является обязательным и они могут быть иными, которые относятся к естественным граничным условиям. В настоящей работе выбор более сложных граничных условий не рассматривается.
l
A
xP
s
2bp
P(t)
O S
Xo
Xs
B
Рис. 1. Схема исследуемой системы
Задача идентификации внешней нагрузки состоит в отыскании неизвестной функции временной зависимости P(t) по данным параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) или по данным кинематических параметров, например, прогибам некоторой точки S балки, регистрируемым в процессе колебаний.
Задача о нестационарном деформировании составной балки
Решение задачи произведем с применением метода фиктивных нагрузок, а также некоторых специальных приемов, базирующихся на условной замене каждой из частей составной балки однопролетными балками.
Вводимые однопролетные балки представляют собой части рассматриваемой составной балки, дополненные участками некоторой длины и опорой. Характеристики материала каждой из балок принимаем в соответствии с характеристиками материалов рассматриваемых участков составной балки. Взаимодействие частей составной неоднородной балки моделируется с помощью сосредоточенных фиктивных нагрузок, описываемых функциями времени Rj(t) (силы, воздействующие перпендикулярно к осям балок) и М'(0 (сосредоточенные внешние моменты), прикладываемых к каждой из введенных однородных балок на некотором расстоянии е ^ от точки О (рис. 2).
l
A
Ж
2bp
P(t)
O
B
A!
Ж
2 bp
P(t)
X1O
11
A2
M(t)
Ж
R 2(t)
A-
R i(t)
%
B1
Mi(t)
B2
Ж
X
P
X
x
x
O
z
x
IP
z
X
z
x
2
2
x
l
2
z
На первом этапе решения обратной задачи рассмотрим соответствующую прямую задачу, которая заключается в отыскании неизвестных функций, характеризующих деформирование объекта.
Рис. 2. Схема замены составной балки двумя однородными
На основе приведенной схемы задачу о колебаниях одной составной балки сводим к решению задачи о колебаниях системы двух однородных балок, к которым приложена
возмущающая нагрузка Р(0 и неизвестные функции реакций ЯД!) и М(0, с последующим осуществлением их контакта путем соответствующего подбора фиктивных сил и моментов.
Дальнейшее решение задачи производится последовательно для каждой из однородных балок, колебания которых моделируются системой уравнений (1), согласно теории С. П. Тимошенко [3]
( а) + С) I1 ) + Ь) +(- 1) '^к •
Выражение для определения функции w2(xj,t) аналогично.
3 2w,.
IР- к'и„ы -"эХГШге) = (-t’
^ ж 3 w,■
ш
3 2у) I гг 3 х2
-Р
= т,(х,t),
(1)
где —Х)-^) и т,)) - законы распределения поперечной и моментной нагрузок.
Решение системы уравнений (1) будем искать в предположении нулевых начальных условий путем разложения искомых функций в тригонометрические ряды, соответствующих условиям опирания балок.
Выражение для функций прогиба одной из балок, полученное с применением интегрального преобразования Лапласа по времени, приводится далее
Указанная методика позволяет получить выражения и для функций углов поворота поперечного сечения у/х^О, функций изгибающего момента Ы]1зг(х),() и перерезывающего усилия Qj(Xj,t), возникающих в сечениях балок. Последние находятся следующим образом:
М- = - Е1 ^; Q = ку(^ - у )Ш. (3)
3 х 3 х
Условие жесткого скрепления участков составной балки соответствует совпадению динамических прогибов однородных балок, углов поворота сечений, изгибающих моментов и перерезывающих усилий в точке О, разделяющей участки составной балки, т.е. в точке контакта должны выполняться четыре контактных условия.
Приведем одно из четырех получаемых уравнений на основе приравнивания прогибов
к = 1
1к
ГтР(г)е (-1)'стsinиы(t-х)л +
0 г= 1
2 г
+ —- е «п 11к (хю +е 1) ^п 11кх1 г
Р 1Р!1 к = 1 t 2 г
г Т Я1 (г) е (- 1Г с1.к sin и 1* (t - г) 4 г +
0 г= 1
2а ^
+ —^ е 11кcos 11к (хю + е 1)sin 11кх1г Р 1 1/1 к= 1
, \ 1 2 I sinи1гк (t- г) ,
Г тМ1 (г) е (- 1) -----—---------^г,
к р
где 1 ¡к = у; а, = —
К
к 'G, к
---------------- • Ь, =----------------
? -
)
Р/
Т Я1 (г) К (t - г) 4 г + тМ1 (г) К2 (t - г) 4 г + 00 t t + т Я2 (г) К3 (t - г) 4г + тМ2 (г) К4 (t - г) 4г (4)
+ тР(г)К5(t- г)4г = 0,
0
(2) где К1 (t ) = —^- е ^п 11к (хю +е 1) sin 11кхюг Р 1^ 11 к = 1
2 2а г
ге (-1) 'стsin и lгkt; К2(11 ) = р“17 е 11кГ
г= 1 р 1111 к = 1
Гcos 11к(хю +е 1)^п 11кхюе (-1)1 ^пу•
г= 1 и 1гкАк
2 (
К3 ( t) = _е sin 1 2к ( Х2О - е 2 ) ^П 1 2кХ2О Г
Р 2 ¥12 к = 1
2 2а (
Ге (- 1) 'С2гк Sin И ъ! К4 ( t )=-^ е 1 2к Г .= 1 Р 2112 к = 1
2
г= 1
Г ^ 1 2к ( Х2О - е 2 ) Sin 1 2кХ2О е (- 1)г ^^Т';
г= 1 И 2гк^к
4 еГ sin 1 1кХ1Р Sin 1 1кЬР Sin 1 1кХ1О г
К5 ( t ) =
Р 1^1
к = 1
1
1к
ге (- 1)гс1гкsinи 1г1л
г= 1
Форма остальных трёх уравнений аналогична. Входящие в уравнение интегралы заменим интегральными суммами, применив кусочнопостоянную аппроксимацию функций времени и сетку с равномерным шагом на исследуемом промежутке времени. После чего перепишем уравнение (4) в матричном виде
А11Ч^ + А12 ЧR2 + А13 ЧМ1 + + А14 ЧМ2 + А15 ЧР = 0,
(5)
где А11...15 - интегральные операторы, соответствующие ядрам К1. 5(0; Rj, Mj - неизвестные векторы, соответствующие функциям сосредоточенных усилий и моментов Я() и М(0; Р - вектор, соответствующий нагрузке Р(0.
Дальнейшее решение прямой задачи сводится к отысканию неизвестных функций параметров НДС балки с промежуточным отысканием неизвестных функций сосредоточенных фиктивных нагрузок. Возмущающая нагрузка, в случае решения прямой задачи, предполагается известной. Укажем, что построение решения прямой задачи в настоящей статье имеет вспомогательное значение, вносящее большую ясность в решение соответствующей обратной задачи. В принципе может представлять самостоятельный интерес построение только прямой задачи.
Для решения обратной задачи дополним систему применяемых уравнений еще одним, отражающим условие задания прогиба W (t) , например, на втором участке балки в точке
Т Я2 ( ^ ) К52 ( t ^ ) +
0
t
+ тМ2 (г) К54 (t - г) 4г = Т (t).
(6)
где
К6 ( t) = е ЯП 1 2к ( Х2О - е 2 ) sin 1 2kX2S Г
Р 2 ^12 к = 1
2 2а Г
Ге (-1)г С2гкsin и ; К7(11 ) = :^ е 12кГ
г=1 Р 2112 к= 1
Г C0S1 2к ( Х2О - е 2 ) Sin 1 2kX2S ^ (- 1)г ^ПИ^.
г= 1 И 2г^2к
На завершающем этапе решения обратной задачи приходится исследовать систему из пяти уравнений, причем их дискретизированный вариант во времени анализируется либо с помощью метода Крамера, либо с помощью обобщенного алгоритма Гаусса. Причем возникает необходимость применения регуляри-зирующего алгоритма. Использовался регу-ляризирующий алгоритм А. Н. Тихонова [4].
Далее опишем численные результаты по восстановлению импульсных нагрузок, вызывающих колебания составной балки.
12
8
и
Я
^ /7\ 3->/ V Г\
\ Л
хЛу / \
2 .
40
20
0
-20
а
С
-40
0.006 0.012 0.018 0.024
Время 1, с
Время 1, с
Рис. 3. Численные результаты
Моделирование производилось для балки, состоящей из стальной части (р1=7850 кг/м3; £1=2-1011 Па; G1=8,1•1010 Па) и части, изготовленной из титана (р2=4600 кг/м3; £2=11011 Па; G2=4,3•1010 Па). Координаты точек: хР=0,5 м; хО=0,6 м; х^=0,7 м. Высота поперечного сечения балки h=0,05 м, поперечное сечение балки - квадрат (к'=6/5); ЬР=0,05м; /=1 м. Результаты численного моделирования приведены на графиках (рис. 3). На двух приведенных рисунках представлены два варианта идентификации поперечного нагружения.
4
0
0
Кривая 1 на рис. 3 соответствует исходным значениям прогиба в точке х^ кривые 2 и 3 -нагрузка, задаваемая при решении прямой задачи с помощью метода конечных элементов, и нагрузка, идентифицированная в процессе решения обратной задачи соответственно. Отметим эффективность разработанной методики идентификации внешних нагрузок, воздействующих на составные балки конечной длины, что выражается в удовлетворительном согласовании кривых 2 и 3.
Выводы
В настоящей статье приведены способ решения прямой и обратной нестационарных задач теории упругости для деформируемых объектов в виде составных балок. Интересно указать, что при решении описанных задач приходится использовать регуляризирующие алгоритмы как на этапе построения решения прямой, так и на этапе построения обратной задач. Возможно дальнейшее развитие разработанной методики и обобщение её на случай деформирования составных балок, состоящих из трех и более участков различного материала.
1. Нестационарные колебания многослойных
пластин и оболочек и их оптимизация: монография / А.Н. Шупиков, Я.П. Бузько, Н.В. Сметанкина, С.В. Угримов. -Харьков : Изд-во ХНЭУ, 2004. - 252 с.
2. Луговой П.З. Нестационарная динамика
неоднородных оболочечных
конструкций : монография /
П.З. Луговой,
В.Ф. Мейш, Э.А. Штанцель. - К. : Полигр. центр «Киевский ун-т», 2005. -537 с.
3. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном
деле: монография / С.П. Тимошенко, Д.Х. Янг, У. Уивер. - М. : Наука, 1967. -444 с.
4. Тихонов А.Н. Методы решения некоррект-
ных задач : учебное пособие для вузов / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М. : Наука, 1986. - 288 с.
Рецензент: М. А. Подригало, профессор,
д.т.н., ХНАДУ.
Литература
Статья поступила в редакцию 8 апреля 2010 г.
