CC BY
0
Logical Investigations 2024, Vol. 30, No. 2, pp. 111-131 DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-2-111-131
История логики
History of Logic
Х.К. Клдыг-оол Идеи неклассической логики Хью Макколла*
Хулербен Кок-оолович Кадыг-оол
Тувинский государственный университет.
Российская Федерация, 667001, г. Кызыл, ул. Колхозная, д. 125а. E-mail: hoolerben@yandex.ru
Аннотация: В рамках статьи предпринимается попытка относительно полно рассмотреть идеи неклассической логики шотландского логика, математика и философа Хью Макколла (1837-1909). Впечатленный идеями Дж. Буля, Макколл в 1877 г. предложил свой вариант логической системы, предвосхищая некоторые идеи современной логики. В 1880 г. шотландец указал на неадекватность понимания импликации как отношения следования, а также поставил задачу определить новую импликацию. В результате своих исследований Макколл определил импликацию с помощью оператора «необходимости», а также пришел к идее ограниченности двузначной логики, ввел новые значения, которые можно также трактовать как модальности, причем не только алетические. Еще одной интересной идеей шотландского ученого можно считать вероятностную трактовку истинности высказываний (1897 г.). Он указал на существование вероятных высказываний, принимающих истинностное значение из интервала между 1 и 0. Идеи Х. Макколла вызвали заметную дискуссию, в том числе обширную критику со стороны самых известных ученых-логиков того времени. Несмотря на то, что впоследствии его идеи были во многом забыты, тем не менее можно утверждать, что работы шотландского ученого предвосхитили некоторые значимые открытия в логике конца XIX - начала XX в. В частности, К.И. Льюис ссылался на работы Макколла, указывал, что его идеи основываются на исследованиях последнего, но в более поздних трудах уже не упоминает его. Относительную известность труды шотландца получают уже во второй половине XX в., прежде всего в англоязычной научной литературе, при этом в отечественных трудах по истории логики имя Макколла практически не упоминается.
Ключевые слова: Хью Макколл, история логики, неклассическая логика, строгая импликация, модальная логика, многозначная логика, Бертран Расселл, Готлоб Фреге, Николас Решер
* Автор выражает благодарность анонимному рецензенту за указание на важные, актуальные источники, посвященные анализу логических идей Х. Макколла. Их использование существенным образом повлияло на качество статьи. Также хотелось бы поблагодарить Н.Е. Томову за помощь в организационных моментах, без которой первый опыт публикации статьи в настоящем журнале мог превратиться в подлинное испытание.
Логические исследования 2024. Т. 30. № 2. С. 111-131 УДК 16
© Кадыг-оол Х.К., 2024
Для цитирования: Кадыг-оол Х.К. Идеи неклассической логики Хью Макколла // Логические исследования / Logical Investigations. 2024. T. 30. № 2. С. 111-131. DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-2-111-131
Введение
Шотландский ученый Хью Макколл (1837-1909) является одним из тех исследователей, чьи работы не были по достоинству оценены во время их появления, впоследствии были практически забыты (по крайней мере, на какое-то время), затем пережили своеобразный ренессанс.
Логическое наследие Макколла многогранно и обширно. Его основные идеи, которые могут быть связаны с некоторыми «неклассическими» разделами современной логики, были представлены в серии статей под общим названием «Символическое мышление» (всего 8 работ соответственно под номерами I-VIII) [MacColl, 1880; MacColl, 1897; MacColl, 1900; MacColl, 1902; MacColl, 1903; MacColl, 1905a; MacColl, 1905b; MacColl, 1906a], а также в книге «Символическая логика и ее приложения» [MacColl, 1906b] и некоторых других. Помимо исследований в области логики и математики, шотландский ученый также создавал труды по религиозной этике и был писателем.
В отечественной литературе, посвященной истории логики, имя Макколла упоминается довольно редко. Так, в классическом труде по истории математической логики Н.И. Стяжкина имеются весьма сжатые сведения о достижениях шотландского исследователя [Стяжкин, 1967, с. 356-357]. Более подробно некоторые аспекты (связанные с модальностями) были рассмотрены в диссертационном исследовании Х.К. Кадыг-оола [Кадыг-оол, 2013].
В англоязычной литературе исследования наследия Макколла заметно разнообразнее и обширнее. Следует отметить, что на рубеже XIX и XX вв. его идеи бурно обсуждались, но, скорее, в негативном ключе [Там же, с. 44-48]. Тем не менее во второй половине прошлого столетия многие его концепции были совершенно заслуженно оценены в заметно более позитивном контексте. Так, Н. Решер в своей классической работе «Многозначная логика» упоминает Макколла как одного из «отцов-основателей»1 многозначной логики, наряду с Ч.С. Пирсом и Н.А. Васильевым [Rescher, 1969, p. 4]. В 1998 г. его работам был посвящен отдельный номер «Северного журнала философии» [Nordic journal of philosophy, 1998], в него были включены материалы по итогам отдельной конференции «Хью Макколл и традиция логики» (29 марта - 1 апреля 1998 г.). При этом в одном из
1В оригинале — "the founding father".
наиболее фундаментальных трудов по истории логики Ю.М. Бохеньского [Bochenski, 1961], шотландский ученый упоминается лишь единожды в связи с относительно недавними (на момент выхода книги) исследованиями К.И. Льюиса [Ibid., p. 403]. В настоящее время интерес к идеям Макколла является более системным. В частности, была выпущена отдельная книга, которая не только содержит антологию важнейших работ, но и анализ его идей [Rahman, Redmond, 2007]. Наконец, в четвертом томе фундаментальной серии «Справочник по истории логики», посвященном британской логике XIX в., идеям шотландского ученого посвящен отдельный раздел [Rahman, Redmond, 2008]. Также невозможно не отметить еще один отдельный номер научного журнала, а именно — «Философии науки», целиком посвященный исследованиям наследия Хью Макколла [Philosophia scienti®, 2011].
Таким образом, неоднозначные оценки вклада Хью Макколла в дальнейшее развитие логики на протяжении первой половины и середины XX в., недостаточный интерес к его трудам в отечественных историко-логических исследованиях, на мой взгляд, обуславливают наличие научной проблемы в истории логики. Главная цель настоящей работы — относительно полное представление некоторых идей шотландского логика, связанных с разными направлениями современной неклассической логики. Прежде всего под этими идеями подразумеваются (i) анализ свойств «традиционной» импликации и отношения выводимости, а также вытекающее из него определение новой импликации, (ii) новации, связанные с многозначностью и модальностями. Следовательно, настоящая работа является исследованием по истории логики. Достижение указанной цели возможно прежде всего при поставленных задачах анализа всех основных научных работ-первоисточников шотландского логика, а также интерпретации некоторых результатов с помощью средств современной логики. Очевидно, также было необходимо изучить современные работы, посвященные анализу идей Хью Макколла. Некоторые из обозначенных идей шотландского ученого вызвали полемику и критику. Таким образом, еще одной задачей данной статьи стал анализ обозначенных научных прений.
Помимо методов историко-научного исследования, применялись методы формальной логики, в частности использовались элементы формализованных языков классической пропозициональной логики и пропозициональной алетической модальной логики. Определяются они стандартным образом. Иные требуемые определения приводятся по ходу изложения материала.
1. Логико-методологические основы исследований Макколла
Главным источником вдохновения для изысканий Хью Макколла стали работы выдающегося британского логика и математика Джорджа Буля. По мнению шотландского ученого, идеи последнего очистили логику от «джунглей трудностей» [MacColl, 1880, p. 47]. Также стоит отметить,
что сам Макколл прежде всего математик, что выражается во многих ас-
2
пектах его исследований: используемые символы, применение математических методов исследования (на тот момент он был одним из новаторов), аналогии с разными разделами математики и т.д. Из всего сказанного выше вытекает главный мотив его исследований — алгебраизация логики.
По мнению разных исследователей, Хью Макколл достиг выдающихся успехов в данном направлении. Так, Бертран Расселл в своей рецензии на одну из книг шотландца [MacColl, 1906b] указал на отличительную особенность подхода последнего: он анализировал высказывания целиком, в то время как все остальные опирались на анализ классов. В свою очередь, это позволяло Макколлу исследовать импликации высказываний, а не включение одних классов в другие [Russell, 1906, p. 255]. По мнению выдающегося британского ученого и философа, именно шотландский логик стал основателем теории символической пропозициональной логики и импликации, осуществив прорывные исследования [Ibid.].
В современных исследованиях данные тезисы были детализированы. Так, В. Пекхаус указал на признание Эрнстом Шредером первенства Х. Макколла в формулировке пропозициональной логики. Немецкий ученый употреблял термин «пропозициональная логика Макколла - Пирса» [Peckhaus, 1998, p. 20]. Ирвинг Анеллис в своих исследованиях указал на влияние работ шотландского логика на идеи Чарльза Пирса. Последний был хорошо знаком с работами Макколла [Anellis, 2011].
Макколл исследовал понятие «формальной логики», сформулировал следующее определение: наука о рассуждении с помощью репрезентирующих символов, данные символы используются как синонимичная замена более длинных выражений, которые часто требуются [MacColl, 1897, р. 493].
2По моему мнению, разработанная им система обозначений несколько громоздка и не совсем интуитивно понятна, в связи с чем в настоящей работе практически не будет использована, кроме некоторых единичных случаев, специально обозначенных. Схожей точки зрения придерживался В. Пекхаус, более того, он считал, что не совсем удачная система символов могла стать одним из факторов, негативно повлиявшим на дальнейшее распространение идей Макколла [Peckhaus, 1998, p. 31].
По мнению шотландского логика, логика делится на два направления: чистая и прикладная. Данная классификация также заимствуется из математики: чистая математика (геометрия, алгебра, дифференциальное исчисление и др.), прикладная математика (механика, оптика, астрономия и др.). В свою очередь, чистая логика — максимально абстрактная, общая наука, насколько это возможно, независимая от любого отдельного предмета исследования. Иными словами, ее принципы и правила рассуждения имеют постоянную силу вне зависимости от предмета исследования [MacColl, 1880, p. 48]. Так, прикладная логика является попросту применением описанных выше правил и принципов в разных отдельных науках и сферах, включая саму математику, а также физику, медицину, даже политику и повседневные обыденные ситуации [Ibid.].
В свою очередь рассуждение также может быть двух видов: ментальное и символическое. Первый вид не подразумевает использование каких-либо символов, часто является неосознанным, спонтанным и т.д. Второе связано с обращением к помощи разных символов с учетом того, что человеческая память естественным образом может быть несовершенной. Наконец, отсюда вытекает идея постоянных (логические термины) и временных терминов (переменные для высказываний) [Ibid., p. 49].
На мой взгляд, обобщенное описание логико-методологических принципов демонстрирует, как математический подход Макколла, говоря условно, «естественным» образом приводит к идеям неклассической логики, которые, в свою очередь, позволяют ему анализировать некоторые философские проблемы: детерминизм, суть дедуктивного (в логическом смысле) рассуждения и др. Таким образом, (относительно) строгие определения логических связок и исследование их свойств методами математики в некотором роде сами по себе наводят на ограниченность «классического» фрагмента логики. В связи с этим можно вспомнить знаменитое мнение Яна Лукасевича, согласно которому великие философские системы буквально распадаются при применении к ним требований современной математики. Поэтому «философию необходимо перестроить» и «подкрепить ее новой логикой» [Лукасевич, 1993, с. 191]. Я считаю, можно утверждать о более ранних попытках формализованного решения Макколлом некоторых философских вопросов. При этом применение его «неклассических» логических идей (т.е. той самой новой логики, по мнению Лукасевича) к указанным выше философским проблемам, по моему мнению, было весьма продуктивным.
2. Импликация и логическое следование
В исследованиях импликации и логического следования Макколла особенно важны следующие моменты: исследование т.н. парадоксов материальной импликации и попытки определить иную импликацию, а также последовавшая из данного анализа идея многозначности.
Прежде всего стоит отметить, что Макколл явно сформулировал проблему соотношения (материальной) импликации и логического следования. В некоторых случаях из истинных посылок требуется вывести заключение, т.е. предпринимаются попытки продемонстрировать, что заключение истинно в силу истинности посылок. Нечто отличное представляет собой ситуация, когда посылки не являются истинными. В таком случае мы не пытаемся вывести заключение (это невозможно ввиду неистинности посылок), а стремимся доказать высказывание: «Множество посылок имплицирует заключение» [MacColl, 1897, р. 494]. Соответственно, в первом случае представлено логическое следование, во втором — импликация. Данная связка имеет и важное методологическое значение, которое выражается в «законе импликации». Речь идет о том, что с ее помощью из накопленного опыта [MacColl, 1880, р. 52], который является антецедентным, получается новое знание (консеквент). На мой взгляд, данный «закон импликации» тесно связан с простейшим видом дедуктивного умозаключения modus ponens. Также Макколл утверждал, что субъект и предикат в простых высказываниях на самом деле связаны импликацией [Ibid.].
Наконец, шотландский логик выделил две разные логические связки (в оригинальной символике):
- «:» для обозначения импликации;
- «Л» для обозначения особой связки «следовательно» [Ibid., р. 55].
Определение последней: A л B = A(A : B), т.е. «A, следовательно, B» равно A Л (A — B). В данном определении можно еще более явно увидеть связь между отношением логического следования (выраженного у Мак-колла связкой «следовательно») и modus ponens. Несмотря на то, что работы, посвященные данным вопросам, отличаются хронологически, в целом очевиден единый подход при анализе проблемы соотношения логического следования и импликации.
Рассмотрим более детально определение «импликации» и несколько пояснений к данной логической связке в работе 1880 г. Определение:
- консеквент должен быть истинным в силу того, что истинен антецедент [Ibid., р. 51].
На мой взгляд, можно отметить, что, скорее всего, Макколл стремился определить «импликацию» как более адекватную для выражения отношения «следования».
Пояснения:
- если антецедент истинен, то консеквент должен быть истинным;
- всегда, когда антецедент истинен, консеквент также является истинным [MacColl, 1880, p. 51].
По моему мнению, первое пояснение можно выразить в соответствующем формализованном языке следующим образом: A — □ B.
Макколл утверждал о равносильности A — B и A = A Л B, что указывает на свойства материальной импликации, ложной в единственном случае, когда антецедент истинен, а консеквент — ложен. Также шотландский логик указывал на следующий факт: (A — B) — (—A V B) [Ibid., p. 53].
Последняя формула требует более детального рассмотрения. Макколл отметил, что между формулами можно поставить и знак эквивалентности. Но поскольку, как я отмечал выше, он по факту определял импликацию с помощью модальностей, указанная выше формула может быть лишь импликативной. Доказательство шотландского ученого: отрицание эквивалентных формул также, очевидно, должно быть эквивалентным. По мнению Макколла, результат отрицания импликации (A — B) может быть представлен следующим образом: (oA Л-DB) [Ibid., p. 54]. Подобное отрицание импликации выглядит, на мой взгляд, несколько спорно, но, скорее всего, оно связано с первым пояснением к определению импликации, рассмотренным немногим ранее. При этом результатом отрицания (—A V B), очевидно, является (A Л —B). Таким образом, по мнению Макколла, отрицание импликации приводит лишь к возможности (A Л —B), в то время как отрицание (—A V B) приводит к необходимости (A Л —B) [Ibid.]. Так, при рассмотренной интерпретации отрицания указанных двух формул не являются эквивалентными, соответственно, взятые без отрицания, они также не могут быть эквивалентными.
Исследуя дальше свойства импликации, Макколл, в частности, отмечал следующие важные факты: 0 — A = 1 (вне зависимости от истинностных значений A), 0 — 0 = 1. И что весьма важно, шотландец назвал приведенные факты «аномальными» [Ibid., p. 55], т.е. фактически указав на парадоксальность рассматриваемых утверждений.
Еще одно важное определение, которое будет далее использовано: импликации условных высказываний — импликации, антецеденты или консе-квенты которых являются сложными высказываниями [Ibid., p. 51].
Подводя промежуточный итог, отмечу следующее: в работах 1880 и 1897 гг. Макколл сформулировал важные проблемы, связанные с логиче-
скими и философскими свойствами импликации, и рассмотрел способы их формализованного анализа с помощью алгебры логики. Дальнейшие статьи показывают эволюцию его идей, которые приводят к еще более разнообразным и интересным результатам, напрямую связанным с основаниями современных многозначной и модальной логик. Очевидно, что рассмотрение свойств импликации также заметно коррелирует с основами релевантной логики.
Так, в работе 1902 г. Макколл привел определение импликации с использованием особой истинностной оценки (в системе Макколла, а фактически — это «невозможность», т.е. получается модализированная формула, см. след. параграф): А ^ В эквивалентно — о (А Л —В) [МасСо11, 1902, р. 364].
Наконец, в некотором роде окончательные определения приводятся в работе 1908 г.:
«"А — ложно или В — истинно" — необходимо истинно (во всех положениях дел)» [МасСо11, 1908, р. 453].
Эквивалентное определение (также приводилось ранее): «Невозможно, чтобы А Л —В».
Очевидным образом напрашивается сравнение последних определений логической связки со «строгой» импликацией К.И. Льюиса. Перед началом подобного анализа зафиксируем следующие факты:
- Х. Макколл сформулировал проблему соотношения импликации и отношения следования, обозначив, что это не одно и то же;
- шотландский ученый явным образом указал на парадоксальность некоторых свойств импликации, поставил цель определить импликацию таким образом, чтобы она более адекватно соответствовала понятию «следования»;
- для достижения указанной цели Макколл, скорее всего, первым разработал особый алгебраический аппарат (на основе разработок Дж. Буля), включавший многие инновационные идеи, связанные с разными разделами современной неклассической логики;
- шотландскому логику удалось сформулировать новую импликацию, лишенную парадоксов «традиционной» импликации.
В связи с последним тезисом следует непременно отметить, что сам же Макколл немедленно обнаружил возможность переноса парадоксальных свойств «традиционной» импликации на его импликацию. В частности, речь идет о формулах типа — о А ^ щВ. Но Макколл утверждал, что здесь нет парадокса, если применить его определение. Так, последняя формула по определению выражает следующий факт: «невозможно, чтобы — о А было истинным и □ В было ложным». Утверждения — о А = 1,
□B = 0 по отдельности являются невозможными. Очевидно, что их конъюнкция также является невозможной. Таким образом, получается очевидный факт: невозможное является невозможным, что, в свою очередь, есть необходимо-истинное высказывание [MacColl, 1903, p. 357].
Перейдем к сравнительному анализу идей Макколла и Льюиса. Американский логик был прекрасно знаком с работами Макколла (см. библ. [Lewis, 1918]). Льюис с прямыми ссылками на работы и многочисленными упоминаниями шотландца перенял множество идей из работы последнего «Символическая логика и ее приложения» [MacColl, 1906b]. В частности, американский исследователь использовал истинностные оценки Макколла. А определение строгой импликации и вовсе полностью совпадало с рассмотренным выше определением импликации шотландского логика. В оригинальной нотации: ~ (A — B), где «~» — невозможность, «—» — отрицание [Lewis, 1918, p. 293].
В упомянутом выше «Северном журнале философии» высказывалось мнение, что К.И. Льюис впоследствии предпринял немало усилий, чтобы исключить упоминания о влиянии работ Макколла на свои открытия. В частности, в переиздании работы 1918 г. была исключена целая треть книги. А в совместном труде с К.Г. Лэнгфордом 1932 г. «Символическая логика» ссылок на Хью Макколла уже не было совсем [Read, 1998, p. 59]. При этом, на мой взгляд, следует отметить, что именно американский логик, пусть и совершенно очевидно позаимствовав основы своей логики у шотландца, далее сформулировал системы модальной логики в духе идей Расселла - Уайтхеда (т.е. как формализованные синтаксические системы), чего не было у последнего. Таким образом, Льюис, вне всяких сомнений, совершенно заслуженно считается одним из пионеров модальной логики, но, как я считаю, каждый раз при упоминании об этом непременным должно быть указание на источник его вдохновения, а именно — на работы Хью Макколла.
Учитывая все вышеприведенное в настоящем параграфе, отмечу и отчасти повторюсь, что исследования шотландского ученого имели весьма важное, ключевое значение при постановке рассмотренных выше проблем и попытках их решить. В частности, В. Пекхаус особо подчеркивал тот факт, что Макколл за десятилетие до исследований Э. Шредера понимал и использовал пропозициональные формулы (включая импликацию) в заметно более прогрессивном, современном ключе [Peckhaus, 1998, p. 30].
Наконец, именно из анализа свойств импликации Макколл пришел к идее многозначности. Выше упоминались импликации условных высказываний. Приведем более точные определения для дальнейшего анализа в следующем параграфе. В статье 1902 г. шотландский логик
дал пояснения, рассматривая две схемы рассуждения: A Л B — C и ((A — B) Л (B — C)) — (A — C)3. Первая является схемой для индуктивного рассуждения, когда некоторое знание выводится из эмпирических данных (т.е. из конъюнкции простых высказываний). Стоит заметить, что все высказывания при подобном рассуждении — простые в том смысле, что в них непосредственно утверждается о некоторой ситуации в действительности. Импликация в подобном высказывании называется простой. В свою очередь, транзитивность состоит из нескольких простых импликаций, а главная связка в ней — импликация второго уровня. Ее (формулы) истинность уже не зависит от эмпирических данных, т.е. носит формальный характер [MacColl, 1902, р. 368].
3. Многозначность и модальности
Макколл впервые обозначил недостаточность двух истинностных оценок в 1897 г. [MacColl, 1897, р. 496]. Выше упоминалось, что Н. Решер обозначил его в качестве одного из отцов-основателей многозначной логики. Скорее всего, американский логик имел в виду следующее: Макколл был в некотором роде идеологом. Потому что далее в своем труде он (Решер) назвал подлинных пионеров многозначной логики — Я. Лукасевича и Э. Поста, которым удалось построить соответствующие формализованные системы [Rescher, 1969, р. 7-9].
Какой же конкретный вклад в формулировку и дальнейшее развитие идеи многозначности внес Макколл? Сразу отмечу, что многозначность в работах шотландского ученого тесно связана с модальностями, в связи с чем анализ данных направлений объединен в одном параграфе. Итак, шотландский ученый совершенно явно сформулировал положение об ограниченности использования в некоторых случаях лишь двух истинностных значений — истины и лжи. В ранее упомянутой статье Макколл указал на те случаи, когда двух значений не хватает: речь идет о формулах, когда антецедентом и консеквентом некоторой импликативной формулы, в свою очередь, являются импликативные формулы. Буквально утверждалось следующее:
«При работе с импликациями более высокого уровня (т.е. с импликациями импликаций) исчисление с двумя измерениями слишком ограниченно, таким образом, в подобных случаях мы должны принять трехчастную классификацию наших высказываний. Мы часто имеем случаи, когда требуется рассматривать не просто истинные или ложные высказывания, но
3Макколл в указанной статье утверждал, что впервые данная формула появилась именно в его работах.
также необходимые..., невозможные... и вероятностные» [MacColl, 1897, p. 496].
Известно утверждение Яна Лукасевича, что при создании первой системы многозначной логики именно он впервые указал (в 1920 г.) на наличие обособленного принципа в классической логике — двузначности, опираясь на логические идеи Аристотеля и стоиков [Лукасевич, 1959, с. 280-281]. Соответственно, при построении многозначной логики следует отказаться от него, т.е. речь идет о новом принципе: истинностных оценок может быть больше, чем истина и ложь. При этом вышеприведенный фрагмент из работы шотландского ученого наглядно демонстрирует, что Макколл фактически утверждал то же самое.
В упомянутом выпуске «Северного журнала философии» в одной из статей приводится точка зрения, согласно которой шотландский логик не может считаться «многозначником», в частности предпринимается попытка опровергнуть мнение Решера об «отцах-основателях» многозначной логики. Далее истинностные оценки Макколла рассматриваются как модальности, соответственно, делается вывод: последний не мог внести значимого вклада в развитие поливалентной логики [Simons, 1998].
Указанная точка зрения, на мой взгляд, имеет под собой веские основания. При этом автор статьи сослался лишь на одну работу шотландца. Я считаю, Макколл мог в некотором смысле естественным образом запутаться в своих идеях, одновременно нащупывая основы как современной модальной, так и многозначной логик. В любом случае, убежден, что приведенный выше фрагмент из его работы принципиально указывает на ограниченность приписывания высказываниям в качестве истинностных значений только 1 или 0. Как я уже говорил выше, скорее всего, именно в этом смысле Решер указывал на Макколла как на одного из своеобразных идеологов многозначной логики. При этом нетрудно убедиться, что, несмотря на некоторую путаницу, его идеи относительно многозначности были «технически» верными. К примеру, Макколл утверждал: при трех истинностных значениях («необходимо-истинно», «невозможно-истинно», «вероятностно-истинно»4) формула (A^B)^((C^A)^(C^B)) является логическим законом. При трактовке указанных истинностных значений как 1, / и 0 в трехзначной логике Я. Лукасевича L3 (см., напр., [Карпенко, 2007, с. 32]) приведенная формула является тавтологией. Шотландский логик утверждал, что в обратную сторону импликация не является логическим законом [MacColl, 1897, p. 496], что также подтверждается
4Данный перевод обозначений для терминов Х. Макколла является авторским, вторые части слов «-истинно» добавлены для подчеркивания того, что обсуждается идея многозначности.
в Ьз. Позволю себе подвести итог и одновременно несколько уточнить весьма важные идеи Х. Макколла относительно многозначности: формально-истинные высказывания (т.е. истинность которых устанавливается вне зависимости от эмпирических данных) не могут быть лишь истинными или ложными (в отличие от тех самых простых высказываний, описанных в конце предыдущего параграфа). Для этого и требуется введение дополнительных истинностных значений. Так, в примерах самого Макколла: необходимым является высказывание «2 + 3 = 5», невозможным — «2 + 3 = 8», вероятностным (уапаЫе) — «х = 4»5.
Факт того, что идеи многозначности в некотором роде шли вперемежку с идеями модальной логики, подтверждается тем, что, помимо указанных выше трех истинностных оценок, Макколл оставил значения «истина» и «ложь», подчеркивая, что истинное высказывание не всегда необходимо истинно, а ложное — не всегда необходимо ложно [МасСо11, 1897, р. 497]. Таким образом, для современных исследователей логики является очевидным фактическое разделение высказываний на модализированные и ассерторические.
Стоит отметить, что шотландский ученый в разных работах выделял несколько видов высказываний, которые не являются необходимыми или невозможными, а также истинными или ложными. Всего их три вида [Кадыг-оол, 2013, с. 39]:
1. переменные высказывания (уапаЫе), значения — некоторое рациональное число из [0,1];
2. вероятные высказывания (ргоЪаЫе), вероятность их истинности превышает 1 / 2;
3. возможные высказывания (ро881Ъ1е), их можно выразить как оА = —— о А, т.е. как высказывания с модальным оператором возможности.
Макколл был убежден в тесной связи математической теории вероятностей и «всех проблем формальной логики» [МасСо11, 1900, р. 76]. Очевидно, что и приведенные абзацем выше описания разных типов высказываний существенно испытывали влияние вероятностного подхода.
В работе 1900 г. стало более явным, что отличные от 0 и 1 истинностные оценки фактически понимаются как модальности. Так, Макколл принимал запись «А» как сокращение для «А = 1». Для обозначения истинностных
5Например, при возможных значениях х — 2,4 и 6, истинностным значением высказывания «х = 4» является 1 /3 [МасСо11, 1897, р. 496].
оценок шотландский логик использовал греческие буквы в верхних индексах. Например, выражение «необходимо, что A — ложно» в его оригинальной записи выглядит следующим образом: А1е, где 1,е — обозначения для «ложно» и «необходимо истинно» соответственно. Далее для записи формул будет использован язык пропозициональной модальной логики. Принимается сокращение «А» для «А = 1», вместо «А = 0» использовалась запись «-А». Один из примеров Макколла: □ щ-i-io А. Далее он сократил его до □□ о А. Таким образом, формулы многозначной логики Макколла (в его понимании, а по факту — еще и модализированные) можно преобразовывать, в частности упрощать на основе очевидных равносильностей [MacColl, 1900, p. 75].
На неточность «модальных» идей Макколла указывали Ш. Рахман и Х. Редмонд. В частности, они предположили, что шотландский ученый мог понимать модализированные высказывания как один из вариантов кванти-фицированных. В данном смысле его модальности в чем-то оказываются схожими с кванторами Г. Фреге ([Rahman, Redmond, 2008, p. 544], также см. след. параграф). И эти же исследователи указывали на некоторые неточности формализованного языка Макколла в целом [Ibid., p. 548].
Разумеется, выявленные погрешности не стоит воспринимать как принижение достоинств рассмотренных новаций шотландского ученого. Мне представляется, что его идеи и занятая им впоследствии принципиальная позиция по их терпеливому, скрупулезному отстаиванию в противовес суровой критике (более подробно см. след. параграф) являются ярким примером развития науки согласно парадигмальной теории Томаса Куна [Кун, 1977]. Подведу итоги настоящего параграфа. Макколл сформулировал следующее принципиальное положение: в некоторых случаях требуется использование более чем двух истинностных оценок. При этом его новые истинностные оценки по факту являлись еще и модальностями. Помимо этого, следует отметить очередной интересный факт: шотландский логик сформулировал и использовал не только алетические модальности, но и, например, «известно, что А». В частности, выяснилось, что его теория модальностей есть система модальной логики Р. Фейса — T [Read, 1998].
4. Влияние идей Макколла на развитие логики
Ранее уже вскользь отмечалось, что идеи Макколла в момент их появления вызвали ожесточенную критику со стороны виднейших ученых-логиков и научного сообщества в целом. Так, Г. Фреге считал, что модальности могут быть сведены к высказываниям с кванторами общности и существования соответственно, а никаких иных истинностных значений, кроме истины и лжи, быть не может. Б. Расселл критиковал вероятностные
истинностные значения Макколла, утверждая, что они появляются исключительно из-за неоднозначности некоторых слов, обвиняя последнего также в том, что тот пытается перенести в логику дефекты обыденной речи [Russell, 1906, р. 265]. Великий математик и логик также утверждал, что высказывания могут быть лишь истинными или ложными. В свою очередь, необходимые и невозможные высказывания — это попросту логические законы и тождественно-ложные высказывания соответственно [Ibid.]. Также фактически Расселл повторял аргумент Фреге, связанный со сравнением модальностей с квантифицированными высказываниями [Ibid., р. 259].
Иные ученые, критикуя разработки Макколла, высказывали возражения субъективного характера. В частности, один из значимых логиков начала XX в. Артур Томас Шерман использовал следующий аргумент против шотландца: раз настолько выдающиеся умы современности, как Фре-ге и Расселл, не приемлют идей Макколла, то они попросту ложные, поскольку логическое сообщество открыто для любых новых, но полезных идей [Кадыг-оол, 2013, с. 47]. Помимо указанного, новшества шотландского логика объявлялись, к примеру, «ненужным усложнением» [Hibben, 1907, р. 191] и т.д.
Напомню, что тот же Бертран Расселл, критикуя определенные идеи Макколла, в то же время высоко оценивал вклад последнего в другие области логики. По сложившемуся у меня мнению, «классические» фрагменты идей шотландского логика высоко ценились. Более того, как уже было указано, он существенно повлиял на дальнейшее развитие классической пропозициональной логики. Но, вероятно, не в последнюю очередь из-за своего чрезмерного желания дистанцироваться от современников и резковатых ответных обвинений в неспособности понять его открытия, идеи Маккол-ла вызывали неприятие. В свою очередь, скорее всего, сам шотландский ученый в результате занятой принципиальной позиции также мог, с одной стороны, в чем-то неправильно понимать идеи своих современников, с другой — игнорировать их. В частности, В. Пекхаус предположил, что шотландский ученый не до конца усвоил подходы Шредера и Пирса. Так, Мак-колл критиковал последних за то, что их импликации утверждали лишь включение одних классов в другие, в то время как значение этих связок зависело от значения переменных [Peckhaus, 1998, р. 30].
В конце упомянутого выше критического обзора Б. Расселл высказал мнение: не стоит опрометчиво критиковать выбивающиеся из общей колеи, «немодные» в данный момент идеи, поскольку неизвестно, что будет впоследствии [Russell, 1906, р. 206]. Разумеется, выдающийся ученый оказался прав. Дальнейшее развитие логики показало колоссальный потенциал исследований шотландского логика.
С именем Хью Макколла отчасти связан переход от логического монизма к плюрализму [Rahman, Redmond, 2008; Grattan-Guinness, 2011]. А. Граттан-Гинесс привел следующие экспликации терминов «логический монизм», «логический плюрализм». Логический монизм подразумевает, что лишь одна теория имеет право называться «логикой». Все остальные теории являются неверными или относятся не к логике. Соответственно, логический плюрализм подразумевает наличие нескольких разных теорий, которые являются логикой. При этом Граттан-Гинесс утверждал, что Мак-колл не был плюралистом в современном понимании, скорее, он пытался расширить область той единственной логической теории, которая была на тот момент [Grattan-Guinness, 2011, p. 194]. Принимая данную точку зрения, хотел бы отметить, что до плюрализма в указанном смысле Макколлу, образно выражаясь, буквально не хватило одного шага, а именно (возможно, в этом заключается определенная ирония) — идей его главных оппонентов, Фреге и Расселла. По моему предположению, применив аксиоматический метод в своих работах, Макколл мог незамедлительно открыть разные системы и, таким образом, стать первым плюралистом в истории современной логики6.
5. Логика и философия
Данный параграф частично обобщает приведенные выше результаты анализа работ Х. Макколла.
Прежде всего, вернусь к его весьма продуктивной идее прикладной логики, согласно которой методы данной науки могут быть применены повсеместно. Приведу замечательную цитату из работы 1903 г.:
«Современная символическая логика, в отличие от достопочтенной логики, изучаемой в школах, является прогрессивной наукой; она не может претендовать на завершенность или совершенство» [MacColl, 1903, p. 364].
Также Макколл отметил, что отныне математики вынуждены искать ответы на некоторые наиболее сложные вопросы именно в логике и больше не имеют права называть последнюю бесполезной или неприменимой к иным областям знания [Ibid.].
Весьма примечательно, что при этом шотландский логик прекрасно осознавал возможные пределы применения логики. По мнению Маккол-ла, зачастую исследователи подменяют символами реальность и буквально «поклоняются формулам собственного изобретения. <... > Тем не менее,
6Разумеется, стоит отметить, что Х. Макколл, к сожалению, не дожил до выхода в свет главной работы Б. Расселла и А. Уайтхеда "Principia Mathematica".
все формулы, основанные в разной степени на произвольных соглашениях или определениях, непременно должны иметь свои пределы применимости. Когда мы заставляем их выходить за эти пределы... они порождают странные парадоксы, которые некоторые выдающиеся логики и математики принимают с удивительной готовностью. . . но в которые обычный человек, обладающий здравым смыслом, упорно отказывается верить» [MacColl, 1905b, p. 397].
Помимо рассмотренных выше аспектов соотношения импликации и отношения следования, Макколл также разобрал суть условных высказываний с точки зрения субъективности, психологизма в логике. Очевидно, логика подразумевает стремление к полному исключению субъективности. Но это не всегда возможно, когда речь заходит об основных понятиях, первых принципах и т.д. В частности, когда речь идет об импликации и следовании. В повседневной речи утверждения A ^ B или «A, следовательно, B», как правило, подразумевают, что знание, заключенное в B, тем или иным образом связано со знанием в A. При этом в логике возможны рассуждения вида «7 х 9 = 63, следовательно, 2 + 1 = 3». Для пресловутого здравого смысла, т.е. с содержательной или субъективной точек зрения, подобное утверждение является бессмысленным. В то время как при использовании определения для «.'.» указанное высказывание тут же становится ясным, определенным — формально необходимым [MacColl, 1906b, p. 82-83].
Практически каждую свою работу Макколл заканчивал рассуждениями более философского характера, которые иногда затрагивали несколько неожиданные темы. Так, шотландский логик опровергал мнения определенных ученых, что некоторые животные, как и люди, способны рассуждать по схемам силлогизмов. Согласно Макколлу, некорректность подобного убеждения заключалась в некорректном понимании природы логической истины: она имеет формально-необходимый характер. И именно по этой причине доступна лишь человеку, в языке которого можно адекватно выражать подобные истины [MacColl, 1902, p. 368].
Также, на мой взгляд, заслуживает упоминания трактовка недетерминированных высказываний как дизъюнктивных сложных высказываний [MacColl, 1880, p. 50]. Я считаю, что в связи с этим можно провести некоторые параллели с идеями Н. Решера при определении особой импликации, для которой вводится истинностное значение T, F. В свою очередь, оно понимается дизъюнктивно: некоторое высказывание может быть истинным или ложным в зависимости от конкретных обстоятельств [Rescher, 1969, p. 167].
Заключение
Исследования Хью Макколла были во многом уникальными и новаторскими для своего времени (на рубеже XIX и XX вв.). В них содержались прогрессивные идеи, связанные сразу с несколькими направлениями современной неклассической логики.
Несмотря на обширную критику и почти полное забвение в первой половине XX в. Макколл оказал существенное влияние на дальнейшее развитие логики. В частности, его идеи подтолкнули К.И. Льюиса к созданию своих систем модальной логики.
Можно сказать, что в настоящее время несправедливость в оценках логического наследия Хью Макколла преодолена. Тем не менее изучение его идей далеко от завершения. До сих пор недостаточно исследованными остаются работы шотландского ученого, связанные с философией языка, методологией науки и некоторыми другими темами.
Литература
Кадыг-оол, 2013 - Кадыг-оол Х.К. Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики: дис. ... канд. филос. наук. М., 2013. 111 с.
Карпенко, 2007 - Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа. М.:
ЛКИ/URSS, 2007. 256 с. Кун, 1977 - Кун Т. Структура научных революций. М.: Прогресс, 1977. 300 с.
Лукасевич, 1959 - Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: Изд. иностранной литературы, 1959. 312 с.
Лукасевич, 1993 - Лукасевич Я. О детерминизме (пер. В.Л. Васюкова) // Логические исследования. 1993. Т. 2. С. 190-205. Стяжкин, 1967 - Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. 508 с.
Anellis, 2011 - Anellis I.H. MacColl's influences on Pierce and Schroder //
Philosophia scientie, 2011. Vol. 15. No. 1. P. 97-128. Bochenski, 1961 - Bochenski J.M. A history of formal logic. Notre Dame, USA: Univ.
of Notre Dame Press, 1961. 567 p. Hibben, 1907 - Hibben J.G. Review. Reviewed Work(s): Symbolic Logic and Its Applications by Hugh MacColl: The Development of Symbolic Logic by A.T. Shearman // The Philosophical Review. 1907. Vol. 16. No. 2. P. 190-194.
Grattan-Guinness, 2011 - Grattan-Guinness I. Was Hugh MacColl a logical pluralist or a logical monist? A case study in the slow emergence of metatheorising // Philosophia scientie, 2011. Vol. 15. No. 1. P. 189-203. Lewis, 1918 - Lewis C.I. A survey of symbolic logic. Berkeley: Univ. of California Press, 1918. 436 p.
MacColl, 1880 - MacColl H. Symbolical reasoning // Mind. 1880. Vol. 5. No. 17. P. 45-60.
MacColl, 1897 - MacColl H. Symbolical reasoning (II) // Mind. New series. 1897.
Vol. 6. No. 24. P. 493-510. MacColl, 1900 - MacColl H. Symbolical reasoning (III) // Mind. New series. 1900.
Vol. 9. No. 33. P. 75-84. MacColl, 1902 - MacColl H. Symbolical reasoning (IV) // Mind. New series. 1902.
Vol. 11. No. 43. P. 352-368. MacColl, 1903 - MacColl H. Symbolical reasoning (V) // Mind. New series. 1903.
Vol. 12. No. 47. P. 355-364. MacColl, 1905a - MacColl H. Symbolical reasoning (VI) // Mind. New series. 1905.
Vol. 14. No. 53. P. 74-81. MacColl, 1905b - MacColl H. Symbolical reasoning (VII) // Mind. New series. 1905.
Vol. 14. No. 55. P. 390-397. MacColl, 1906a - MacColl H. Symbolical reasoning (VIII) // Mind. New series. 1906.
Vol. 15. No. 60. P. 504-518. MacColl, 1906b - MacColl H. Symbolic logic and its applications. New York and
Bombay: Longmans, Green, and Co, 1906. 141 p. MacColl, 1908 - MacColl H. 'If' and 'imply' // Mind. New series. 1908. Vol. 17. No. 67. P. 453-455.
Nordic journal of philosophy, 1998 - Nordic journal of philosophy // Proceedings of the conference Hugh MacColl and the tradition of logic. Ernst-Moritz-Arndt-Universitat Greifswald. March 29 - April 1, 1998. Vol. 3. No. 1. Peckhaus, 1998 - Peckhaus V. Hugh MacColl and the German algebra of logic //
Nordic journal of philosophy. 1998. Vol. 3. No. 1. P. 17-34. Philosophia scienti«, 2011 - Philosophia scientib Hugh MacColl after One Hundred
Years, 2011. Vol. 15. No. 1. Rahman, Redmond, 2007 - Rahman S., Redmond J. Hugh Maccoll. An overview of
his logical works with anthology. London: College Publications, 2007. 500 p. Rahman, Redmond, 2008 - Rahman S., Redmond J. Hugh Maccoll and the birth of logical pluralism // Handbook of the history of logic. Vol. 4. British logic in the Nineteenth Century / Ed. by D.M. Gabbay, J. Woods. Amsterdam: Elsevier, 2008. P. 533-604.
Read, 1998 - Read S. Hugh MacColl and the algebra of strict implication // Nordic
journal of philosophy. 1998. Vol. 3. No. 1. P. 59-83. Rescher, 1969 - Rescher N. Many-valued logic. New York: McGraw-Hill Book Company, 1969. 288 p.
Russell, 1906 - Russell B. Review. Reviewed work: Symbolic Logic and Its Applications. Hugh MacColl // Mind. New series. 1906. Vol. 15. No. 58. P. 255-260. Simons, 1998 - Simons P. MacColl and many-valued logic: an exclusive conjunction // Nordic journal of philosophy. 1998. Vol. 3. No. 1. P. 85-90.
KHULERBEN K. KADYG-OOL
Non-classical logic concepts of Hugh MacColl
Khulerben K. Kadyg-ool
Tuvan State University,
125a Kolkhoznaya, Kyzyl, 667001, Russian Federation. E-mail: hoolerben@yandex.ru
Abstract: In this article we attempt to review the main ideas of non-classical logic of Hugh MacColl, logician, mathematician and philosopher (1837-1909). Based on the ideas of
G. Boole MacColl impressively advanced in the fields of studying implication and the nature of inference. This research led the Scottish scholar to an idea that there can be more than two traditional truth-values, 1 and 0, respectively. And by the same time MacColl discovered and defined different types of modalities. Thus, his investigations were breaking-through for his time and anticipated some of milestone innovations in logic of the XX century. His works caused combative debates when released. Most famous logicians of his time criticized all his initiatives, sometimes even calling them 'useless complication'. However, his ideas inspired C.I. Lewis for his first systems of modal logic and his strict implication. But in his later works Lewis did all not to mention MacColl. The second half of the XX century is a period of some kind of interest for the Scottish logician's works revival. Still, the ideas of MacColl are not that familiar in Russia.
Keywords: Hugh MacColl, history of logic, non-classical logic, strict implication, modal logic, many-valued logic, Bertrand Russell, Gottlob Frege, Nicholas Rescher
For citation: Kadyg-ool Kh.K. "Idei neklassicheskoi logiki Kh'yu Makkolla" [Non-classical logic concepts of Hugh MacColl], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2024, Vol. 30, No. 2, pp. 111-131. DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-2-111-131 (In Russian)
Acknowledgements. The author expresses sincere appreciation to the anonymous reviewer for pointing out important, up-to-date sources that are concerned with the
H. Maccoll's logical ideas analysis. Their use essentially improved the article's quality. I would also thank N.E. Tomova for organizational help, without it my first publishing experience in this journal would become a real test.
References
Anellis, 2011 - Anellis, I.H. "MacColl's influences on Pierce and Schroder", Philosophia scientie, 2011, Vol. 15, No. 1, pp. 97-128. Bochenski, 1961 - Bochenski, J.M. A history of formal logic. Notre Dame, USA: Univ.
of Notre Dame Press, 1961. 567 pp. Hibben, 1907 - Hibben, J.G. "Review. Reviewed Work(s): Symbolic Logic and Its Applications by Hugh MacColl: The Development of Symbolic Logic by A.T. Shearman", The Philosophical Review, 1907, Vol. 16, No. 2, pp. 190-194.
Grattan-Guinness, 2011 - Grattan-Guinness, I. "Was Hugh MacColl a logical pluralist or a logical monist? A case study in the slow emergence of metatheorising", Philosophia scientiB, 2011, Vol. 15, No. 1, pp. 189-203.
Kadyg-ool, 2013 - Kadyg-ool, Kh.K. "Osnovnye etapy razvitiya i formirovaniya sovre-mennoj modal'noj aleticheskoj logiki" [Main periods of modern modal alethic logic development and forming]: diss. ... kand. filos. nauk. [Candidate of Philosophy thesis], Moscow, 2013. 111 pp. (In Russian)
Kuhn, 1977 - Kuhn, T. Struktura nauchnykh revolyutsii [The structure of scientific revolutions]. Moscow: Progress, 1977. 300 pp. (In Russian)
Karpenko, 2007 - Karpenko, A.S. Logiki Lukasevicha i prostye chisla [Lukasiewicz logics and primes]. Moscow: LKI/URSS, 2007. 256 pp. (In Russian)
Lewis, 1918 - Lewis, C.I. A survey of symbolic logic. Berkeley: Univ. of California Press, 1918. 436 pp.
Lukasevich, 1959 - Lukasevich, Ya. Aristotelevskaya sillogistika s tochki zreniya sovre-mennoj formal'noj logiki [Aristotle's syllogistic from the standpoint of modern formal logic]. Moscow: Izdatel'stvo inostrannoj literatury, 1959. 312 pp. (In Russian)
Lukasevich, 1993 - Lukasevich, Ya. "O determinizme" (per. V.L. Vasyukova) [On determinism, trans. V.L. Vasyukov] Logicheskie issledovaniya [Logical Investigations], 1993, Vol. 2, pp. 190-205. (In Russian)
MacColl, 1880 - MacColl, H. "Symbolical reasoning", Mind, 1880, Vol. 5, No. 17, pp. 45-60.
MacColl, 1897 - MacColl, H. "Symbolical reasoning (II)", Mind. New series, 1897, Vol. 6, No. 24, pp. 493-510.
MacColl, 1900 - MacColl, H. "Symbolical reasoning (III)", Mind. New series, 1900. Vol. 9, No. 33, pp. 75-84.
MacColl, 1902 - MacColl, H. "Symbolical reasoning (IV)", Mind. New series, 1902, Vol. 11, No. 43, pp. 352-368.
MacColl, 1903 - MacColl, H. "Symbolical reasoning (V)", Mind. New series, 1903, Vol. 12, No. 47, pp. 355-364.
MacColl, 1905a - MacColl, H. "Symbolical reasoning (VI)", Mind. New series, 1905, Vol. 14, No. 53, pp. 74-81.
MacColl, 1905b - MacColl, H. "Symbolical reasoning (VII)", Mind. New series, 1905, Vol. 14, No. 55, pp. 390-397.
MacColl, 1906a - MacColl, H. "Symbolical reasoning (VIII)", Mind. New series, 1906, Vol. 15, No. 60, pp. 504-518.
MacColl, 1906b - MacColl, H. Symbolic logic and its applications. New York and Bombay: Longmans, Green, and Co, 1906. 141 pp.
MacColl, 1908 - MacColl, H. "'If' and 'imply"', Mind. New series, 1908, Vol. 17, No. 67, pp. 453-455.
Nordic journal of philosophy, 1998 - "Nordic journal of philosophy", Proceedings of the conference Hugh MacColl and the tradition of logic, Ernst-Moritz-Arndt-Universitat Greifswald, March 29 - April 1, 1998, Vol. 3, No. 1.
Peckhaus, 1998 - Peckhaus, V. "Hugh MacColl and the German algebra of logic" Nordic journal of philosophy, 1998, Vol. 3, No. 1, pp. 17-34.
Philosophia scienti«, 2011 - "Philosophia scienti«", Hugh MacColl after One Hundred Years, 2011, Vol. 15, No. 1.
Rahman, Redmond, 2007 - Rahman, S., Redmond, J. Hugh Maccoll. An overview of his logical works with anthology. London: College Publications, 2007. 500 pp.
Rahman, Redmond, 2008 - Rahman, S., Redmond, J. "Hugh Maccoll and the birth of logical pluralism", in: Handbook of the history of logic. Vol. 4. British logic in the Nineteenth Century, ed. by D.M. Gabbay, J. Woods. Amsterdam: Elsevier, 2008, pp. 533-604.
Read, 1998 - Read, S. "Hugh MacColl and the algebra of strict implication" Nordic journal of philosophy, 1998, Vol. 3, No. 1, pp. 59-83.
Rescher, 1969 - Rescher, N. Many-valued logic. New York: McGraw-Hill Book Company, 1969. 288 pp.
Russell, 1906 - Russell, B. "Review. Reviewed work: Symbolic Logic and Its Applications. Hugh MacColl", Mind. New series, 1906, Vol. 15, No. 58, pp. 255-260.
Simons, 1998 - Simons, P. "MacColl and many-valued logic: an exclusive conjunction" Nordic journal of philosophy, 1998, Vol. 3, No. 1, pp. 85-90.
Styazhkin, 1967 - Styazhkin N.I. Formirovanie matematicheskoj logiki [Forming of mathematical logic]. Moscow: Nauka, 1967. 508 pp. (In Russian)
