CC BY
10
УДК 510.643
doi 10.24411/2221-0458-2023-01-41-49
ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ
(ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА)
Кадыг-оол Х.К.
Тувинский государственный университет, Кызыл
COMPLETENESS THEOREM FOR SOME SYSTEMS OF MODAL LOGIC
(GENERALIZED SCHEME)
Kh.K. Kadyg-ool Tuvan State University, Kyzyl
В статье рассматривается доказательство теоремы о полноте для двух систем неклассической логики. Актуальность исследований в сфере неклассической логики (в частности, в области квазиматричной логики) продиктована ее стремительным развитием, а также множеством применений результатов в самых разнообразных областях. Доказательство осуществляется методом Хенкина. Модальная трехзначная логика Лукасевича и модализированная версия трехзначной логики Клини представляются в виде исчисления гильбертовского типа со схемами аксиом. Также формулируется теоретическая семантика для всех рассматриваемых систем. Приводятся табличные определения для логических связок и модальных операторов. Доказательство метатеоремы (представленное в обобщенном виде как схема) является важным теоретическим результатом для рассматриваемых логических систем, а также выявляет некоторые отношения между ними. Сравниваются указанные две системы модальной логики и квазиматричная логика S^ которая была сформулирована отечественным ученым Ю.В. Ивлевым.
Ключевые слова: квазиматричная логика; модальная логика; теорема о полноте; метод Хенкина; Ивлев; теоретическая семантика
The article is concerned with the proof of completeness theorem for two systems of non-classic logic systems. Studies in the field of non-classical logic (particularly, quasi-matrix logic studies) are topical due to its rapid development and its applications in various spheres. The completeness theorem is proved by the Henkin's method. Modal 3-valued logic of Lukasiewicz and modalized version of 3-valued logic of Kleene are presented as Hilbert-type calculi with an axiom schemes. Theoretical semantics for all considered systems is formulated too. Tableau definitions for
logical connectives and modal operators are given. Theorem proof (presented as a common scheme) is an important theoretical result for the considered logical systems and also reveals some relations between them. Mentioned two systems are compared with the quasi-matrix logic Sr, that was formulated by Russian scholar Yu. V. Ivlev.
Key words: quasi-matrix logic; modal logic; completeness theorem; Henkin's method; Ivlev; theoretical semantics
Введение. Квазиматричная логика параллельно развивалась в трудах нескольких ученых в первой половине XX в. [1, с. 169], но впервые как система со всеми необходимыми определениями была представлена в работах отечественного логика Ю. В. Ивлева [2]. Модальная трехзначная логика Лукасевича была сформулирована польским ученым в 1920 году [3, с. 69], логика Клини - в 1938 году [4].
Целью статьи является доказательство теоремы о полноте для указанных двух систем методом Хенкина, представление доказательства в виде обобщенной схемы и последующий сравнительный анализ с системой квазиматричной логики Sг. Для этого каждую из них необходимо представить в виде исчисления гильбертовского типа, а также определить для каждой семантику. Все необходимые
определения будут даны по ходу изложения результата.
Предварительные описания систем.
Предметом анализа являются две системы, формальным языком каждой из двух является язык логики высказываний. Алфавит формализованного языка: пропозициональные переменные (нелогические термины); отрицание импликация (^ или з), конъюнкция (&), дизъюнкция (V) и модальными операторы «возможно, что» (◊) и «необходимо, что» (□) (логические термины); левая и правая скобки, запятая (технические символы). Определение правильно построенной формулы формализованного языка стандартно, в связи с чем опускается.
Обобщенная схема доказательства.
Доказательство теоремы осуществляется методом Хенкина.
Приведем определения связок (см. Таблицы 1 и 2): L3mod:
Таблица 1
А ПА ол - 1 1/2 0 V 1 1/2 0 & 1 1/2 0
1 0 1 1 1 1 1 п 0 1 1 1 1 1 1 1/2 0
1/2 ш 0 1 1/2 1 1 1/2 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0
0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1/2 0 0 0 0 0
K3mod:
Таблица 2
А ПА НА - 1 1/2 0 V 1 1/2 0 & 1 1/2 0
1 0 1 1 1 1 1/2 0 1 1 1 1 1 1 1/2 0
1/2 1/2 0 1 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1 1/2 12 1/2 12 1/2 0
0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1/2 0 0 0 0 0
Для этого нам потребуется представить логические системы в виде аксиоматических (а именно - исчисление гильбертовского типа): L3mod:
AL0. Схемы аксиом классического исчисления высказывания.
ALI. а(АзВ)з(аАзаВ); AL2. а(АзВ)з(ОАзОВ); AL3. йАзША;
AL4. ООАзОА; AL5. ОйАзйА;
AL6. ОАзйОА; AL7. аАзА;
AL8. —□—ЛзОЛ; AL9. ОЛз —□—I Л; AL10. —ОЛза(ЛзБ);
AL11. □Вза(ЛзБ); AL12. ОБзО(ЛзБ); AL13. О—ЛзО(ЛзБ);
AL14. О(ЛзБ)з(аЛзОБ); AL15. аЛзОЛ; AL16. —Л з—аЛ;
AL17. —ОЛз—Л; AL18. ЛзОЛ;
AL19. О—А з (ОВ з (—О—( ЛзБ))). Опишем семантику:
1) 1—Л| = 1 о |Л| = 0
2) 1—Л| = 1/2 о |Л| = 1/2
3) 1—Л| = 0 о |Л| = 1
4) |аЛ| = 1 о |Л| = 1
5) |аЛ| = 0 о |A| = 1/2 V |A| = 0
6) |ОЛ| = = 0 о |Л| = 0
7) |0A| = 1 о |A| = 1 v |A| = 1/2
8) |A| = 0 v |B| = 1 ^ |АзВ| = 1
9) |A| = |B| = 1/2 ^ |АзВ| = 1
10) |A| = 1/2 & |B| = 0 ^ |A3B| =
1/2
11) |A| = 1 & |B| = 0 ^ |A3B| = 0
12) |A| = 1 & |B| = 1/2 ^ |A3B| =
1/2
13) |A| = 0 v |B| = 0 ^ |A&B| = 0
14) |A| = |B| = 1 ^ |A&B| = 1
15) |A| = |B| = 1/2 ^ |A&B| = 1/2
16) (|A| = 1/2 & |B| = 1) v (|A| = 1 & |B| = 1/2) ^ |A & B| = 1/2
17) |A| = 1 v |B| = 1 ^ |AvB| = 1
18) |A| = |B| = 0 ^ |AvB| = 0
19) |A| = |B| = 1/2 ^ |AvB| = 1/2
20) (|A| = 0 & |B| = 1/2) v (|A| = 1/2 & |B| = 0) ^ |AvB| = 1/2 [5, с. 77-78].
K3mod:
AK0. Схемы аксиом классического исчисления высказывания.
АК1. □(АзВ)з(ПАзПВ); АК2. □(АзВ)з(ОАзОВ); АК3. □А3ША;
АК4. ООАзОА; АК5. О^Аз^А; АК6. ОАз^ОА; АК7. □АзА;
АК8. —□—A3OA; АК9. 0A3 —ll_I—I A;
АК10. —0A3_(A3B);
АК11. _B3_(A3B); АК12. 0B30(A3B); АК13. О—A30(A3B);
АК14. 0(A3B)3(_A30B); АК15. □A3OA; АК16. —A 3—_A;
АК17. —ОАз—А; АК18. АзОА; АК19. □(АзБ)з(ОАз^Б); АК20. □Аз —|О—I А. Опишем семантику:
1) |—А| = 1 о |А| = 0
2) |—А| = 1/2 о |А| = 1/2
3) |—А| = 0 о |А| = 1
4) |ПА| = 1 о |А| = 1
5) |ПА| = 0 о |A| = 1/2 v |A| = 0
6) |ОА| = 0 о |А| = 0
7) |ОА| = 1 о |A| = 1 v |A| = 1/2
8) |A| = 0 v |B| = 1 ^ |AзБ| = 1/2
9) |A| = |B| = 1/2 ^ |ЛзБ| = 1
10) |A| = 1/2 & |B| = 0 ^ |AзБ| =
1/2
11) |A| = 1 & |B| = 0 ^ |AзБ| = 0
12) |А| = 1 & |B| = 1/2 ^ |AзБ| =
1/2
13) |A| = 0 v |B| = 0 ^ |A&B| = 0
14) |A| = |B| = 1 ^ |A&B| = 1
15) |A| = |B| = 1/2 ^ |A&B| = 1/2
16) (|А| = 1/2 & |Б| = 1) v (|А| = 1 & |B| = 1/2) ^ |A & B| = 1/2
17) |A| = 1 v |B| = 1 ^ |AvB| = 1
18) |A| = |B| = 0 ^ |AvB| = 0
19) |A| = |B| = 1/2 ^ |AvB| = 1/2
20) (|A| = 0 & |B| = 1/2) v (|A| = 1/2 & |B| = 0) ^ |AvB| = 1/2 [5, с. 78-79]
В обеих системах правилами вывода являются правило подстановки, modus ponens.
Для доказательства теоремы потребуется доказательство следующих нескольких лемм. Поскольку их доказательства является довольно простыми и в связи с ограниченностью рамок данной работы, приведем лишь их формулировку.
Лемма 1. Если множество формул Т; непротиворечиво относительно Lзmod (Кзтоа) и формула О—А не выводима из гипотез Т;, то множество формул Т; и {А} также непротиворечиво относительно Lзmod (Kзmod).
Для доказательства этой леммы используется ослабленное правило сведения к абсурду: Если Г, Ар В и Г, Ар —В, то Г рО—А.
В рамках доказательства теоремы о полноте методом Хенкина для дальнейшего хода рассуждений требуется понятие «максимального множества». Множество 0 является Lзmod (Kзmod)-максимальным, если и только если, когда для каждой формулы А, не содержащей иных пропозициональных переменных, кроме тех, что входят в формулы из некоторого множества А, имеет место или ПА £ 0, или —ОА £ 0, или ОА £ 0 и О—А £ 0.
Лемма 2. Любое Lзmod (Kзmod)-непротиворечивое множество формул А можно расширить до Lзmod (Kзmod)-
максимального непротиворечивого
множества формул Т, не содержащего иных пропозициональных переменных, кроме тех, которые входят в формулы из А.
Затем вводится понятие
«насыщенного множества»». Множество формул Т является насыщенным относительно исчисления Lзmod (Kзmod), если и только если оно непротиворечиво относительно данного исчисления и обладает следующим свойством: если Гр А и Г является подмножеством Т, то А £ Т.
Лемма 3. Множество Т является насыщенным.
Сформулируем Лемму 4.
Существует некоторая интерпретация | |т, такая, что каждая формула из Т принимает значение 1 в этой альтернативной интерпретации.
Данная интерпретация будет обладать следующими свойствами:
• пусть для произвольной формулы А верно |А|т = 1, если и только если ПА £ Т;
• |А|т = 1/2, если и только если ОА £ Т и О—А £ Т;
• |А|т = 0, если и только если —ОА £ Т.
Теперь требуется доказать, что
функция | |т является интерпретацией. Доказательство осуществляется индукцией по числу вхождений логических терминов в формулу.
Vestnik в/Ттап Б(а(в итуетяйу
Social &'аепсе&' and humanities, № 1 (1), 2023
Базис. Для формул, не содержащих логических терминов. Базис является верным в силу Леммы 2.
Индукционное допущение. Функция | |г обладает свойствами интерпретации при приписывании значений формулам, имеющим количество вхождений логических терминов не меньше, чем п.
Индукционный шаг. Требуется рассмотреть случаи для формул, имеющих п+1 вхождение логических терминов.
Рассмотрим лишь один пример доказательства - для импликации.
Формула А имеет вид АзВ. Тогда имеем следующие варианты:
|А|г = 1 & р|г = 0 ^ |АзР|г = 0 |А|г = о V |В|г = 1 ^ |АзР|г = 1 |А|г = 1/2 & |Р|г = 0 ^ |А^Р|г = 1/2 |А|г = 1 & р|г = 1/2 ^ |А^Р|г = 1/2 |A|г = |Р|г = 1/2 ^ |АзР|г = 1 Рассмотрим в качестве примера лишь один случай: |А|г = |Р|г = 1/2 для Lзmod: 5) |А|г = |Р|г = 1/2 ^ |АзР|г = 1 Отсюда сразу получаем, что ОА £ Т, О—А £ Т, ОВ £ Т и О—В £ Т. Допустим, что
1. |АзР|г = 1/2. Тогда
2. О (АзР) £ Т и
3. О — (АзР) £ Т.
Далее нам потребуется АL19. Из АЬ19 и тех фактов, что О—А £ Т и ОВ £ Т получаем
4. —О— ( АзР) £ Т, что противоречит
3.
Таким образом, наше допущение о том, что |АзР|г = 1/2 - неверно.
Допустим, что
1. |АзР|г =0. Из ОВ £ Т и АL12 получаем
2. О (АзР)
3. —О (АзР) - из 1 (получили противоречие).
Таким образом, оба наши допущения - неверны. Отсюда следует, что |АзР|г = 1.
Доказательство теоремы для Kзmod отличается от аналогичного доказательства для трехзначной логики Лукасевича лишь в одном пункте Леммы 4. А именно:
|А|г = |Р|г = 1/2 ^ |АзР|г = 1/2.
В очередной указав на ограниченность объема настоящей работы, отметим лишь то, что доказательство данного пункта не вызывает особых трудностей, применяются аксиомы АК19 и АК20.
Имея все четыре леммы, можно легко получить требуемую теорему, т.е. Lзmod и Кз1^ полны.
Сравнение с системой
квазиматричной логики 8г. Перейдем к Sг, системе квазиматричной логики. Достаточно полное описание указанной логики имеется в работе ее автора, отечественного исследователя Ю. В. Ивлева [6, с. 86]. Теорема полноты для нее
было доказана в 1991 г. [7, с. 145]. Табличные определения логических связок
и операторов (см. Таблицу 3):
Таблица 3.
Схемы аксиом Sr следующие: А0. Схемы аксиом классического исчисления высказывания;
А1. □(АзВ)з(аАзПВ); А2. □(АзВ)з(ОАзОВ); А3. □АзША;
А4. ООАзОА; А5. О^Аз^А; А6. ОАз^ОА; А7. □АзА; А8. —□—АзОА;
А9. ОАз-Д-А; А10. —ОАз^(АзБ); А11. □Бз^(АзБ);
А12. ОБзО(АзБ); А13. О—АзО(АзБ); А14. О(АзБ)з(^АзОБ);
А15. □АзОА; А16. —А з—^А; А17. —ОАз—А; А18. АзОА [5, с. 75-77].
Правила вывода: modus ponens, правило Геделя.
Сразу следует обратить внимание на бросающиеся в глаза разные определения логических связок в рассматриваемых системах:
В Sr: 1/2 V 1/2 = 111/2, 1/2 & 1/2 = 0|1/2, 1/2 ^ 1/2 = 111/2.
В L3mod: 1/2 V 1/2 = 1/2, 1/2 & 1/2 = 1/2, 1/2 ^ 1/2 = 1.
В Кэшса: 1/2 V 1/2 = 1/2, 1/2 & 1/2 = 1/2, 1/2 ^ 1/2 = 1/2.
Свойства импликации в Lзmod делают возможным использование правила дедукции в Lзmod. В Sг оно невозможно, в связи с тем, что 1/2 ^ 1/2 = 111/2.
Особенности приведенных трех систем в большей степени не в определениях логических связок, но в своеобразных алгоритмах исследования истинности/ложности формул именно в системе Sг. Дробная оценка ведет к возникновению дополнительных случаев расмотрения. Среди них частными являются те, что были доказаны и представлены в обобщенном виде ранее для Kзmod и Lзmod в требуемых пунктах при доказательстве Леммы 4. Таким образом, система Sг - обобщение двух других рассмотренных логик.
Заключение. Указанный в последнем предложении предыдущего абзаца в некотором роде совершенно обычный факт,
скорее, технического характера на самом деле указывает на весьма значимые особенности квазиматричной логики, которая может быть обобщением для модальных систем.
Ожидается, что в перспективе квазиматричная логика оформится как самостоятельное направление
неклассической логики наравне с многозначной, упоминаемой модальной,
Библиографический список
1. Rescher, N. Many-valued Logic / N. Rescher. — New-York : McGraw-Hill, 1969. — 359 c. — Текст : непосредственный.
2. Ивлев, Ю. В. Табличное построение пропозициональной модальной логики / Ю. В. Ивлев. — Текст : непосредственный // Вестник Московского университета. Серия 7: Философия. — 1973. — № 6. — С. 51-61.
3. Слинин, Я. А. Современная модальная логика / Я. А. Слинин. — Санкт-Петербург : Изд. ЛГУ, 1976. — 104 c. — Текст : непосредственный.
4. Клини, С. К. Введение в метаматематику / С. К. Клини. — Москва : ИЛ, 1957. — 528 c. — Текст : непосредственный.
5. Кадыг-оол, Х. К. Матричные и квазиматричные системы алетической модальной логики / Х. К. Кадыг-оол. —
параконсистентной и другими областями. Также ее особые свойства (в частности, пропозициональные истинностные
значения) могут рассматриваться как основа логико-дедуктивной формализации для разных фрагментов разных наук (т.е. вне логики), в которых, в частности, рассматриваются недетерминированные процессы. Впрочем, это темы для последующих исследований.
Кызыл : Тип. «Аныяк», 2017. — 100 c. — Текст : непосредственный.
6. Ивлев, Ю. В. Квазиматричная (квазифункциональная) логика / Ю. В. Ивлев. — Москва : Изд. МГУ, 2018. — 191 c. — Текст : непосредственный.
7. Ивлев, Ю. В. Модальная логика / Ю. В. Ивлев. — Москва : Изд. МГУ, 1991. — 222 c. — Текст : непосредственный.
References
1. Rescher N. Many-valued Logic. New-York: McGraw-Hill. 1969. 359 p.
2. Ivlev Ju. V. Tablichnoe postroenie propozicional'noj modal'noj logiki [Tableau formulation of propositional modal logic] // Vestnik Moskovskogo universiteta. Serija 7: Filosofija. 1973. No. 6. Moscow: MSU Publ., pp. 51-61. (In Russian)
3. Slinin Ja. A. Sovremennaja modal'naja logika [Contemporary modal logic]. Saint Petersburg: LSU Publ., 1976. 104 p. (In Russian)
4. Klini S. K. Vvedenie v metamatematiku [Introduction to metamathematics]. Moscow, 1957. 528 p. (In Russian)
5. Kadyg-ool H. K. Matrichnye i kvazimatrichnye sistemy aleticheskoj modal'noj logiki [Matrix and quasi-matrix systems of alethic modal logic]. Kyzyl: «Anyjak» Publ.,. 2017. 100 p. (In Russian)
6. Ivlev Ju. V. Kvazimatrichnaja (kvazifunkcional'naja) logika [Quasi-matrix (quasi-functional) logic]. Moscow: MSU Publ., 2018. 191 p. (In Russian)
7. Ivlev Ju. V. Modal'naja logika [Modal logic]. Moscow: MSU Publ., 1991. 222 p. (In Russian)
Кадыг-оол Хулербен Кок-оолович, кандидат философских наук, доцент кафедры математики и методики преподавания математики, кафедры философии, Тувинский государственный университет, г. Кызыл, Россия, e-mail: [email protected]
Kadyg-ool Khulerben, Candidate of Philosophy, Assistant Professor, Math and Math Teaching Methods Department, Philosophy Department, Tuvan State University, Kyzyl, Russia, email: [email protected]
Статья поступила в редакцию 04.06.2023
