CC BY
27ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ ЭКСПОНЕНТА ДЛЯ ПРОЦЕССОВ С ПАМЯТЬЮ И ДИНАМИЧЕСКИЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ Тарасова В.В.1, Тарасов В.Е.2
1Тарасова Валентина Васильевна - магистрант, Высшая школа бизнеса, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова;
2Тарасов Василий Евгеньевич - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
г. Москва
Аннотация: в данной статье предлагается обобщение понятия хронологической экспоненты и хронологического произведения для процессов со степенной памятью. Получены решения уравнений, описывающих динамические межотраслевые модели со степенной памятью, в которых матрица прямых материальных затрат и матрица приростной капиталоемкости производства зависят от времени.
Ключевые слова: динамическая межотраслевая модель, динамическая модель Леонтьева, процесс с памятью, степенная память, хронологическая экспонента, хронологическое произведение, дробное дифференциальное уравнение, производная нецелого порядка.
Введение
Понятие хронологической экспоненты (Т-экспоненты) активно используется в физике [1, 2]. Это понятие позволяет описывать решения матричных уравнений вида ЛХО;)/^ = g ■ НО;) ■ ХОО с малой константой g, в виде разложения по степеням g. При этом исходным приближением является X(t0), которое задает значение X(t) в некоторый начальный момент времени ; = ;0. В динамических межотраслевых моделях X(t) является вектором валового продукта в момент времени ^ а матрица Н := В-1 ■ (Е — А) зависит от матрицы A=A(t) прямых материальных затрат и матрицы B=B(t) приростной капиталоемкости производства продукции, где Е - единичная матрица. Для учета эффектов степенной памяти в динамических межотраслевых моделях нами было предложено [3] использовать производные Капуто (0"0+Х)(;) нецелого порядка а>0 вместо первой производной dХ(t) / В данной статье предлагается обобщение понятия хронологической экспоненты и хронологического произведения для процессов со степенной динамической памятью. Рассмотрение ведется для замкнутой динамической межотраслевой модели со степенной памятью и матрицами A, B, H зависящими от времени.
Динамическая межотраслевая модель валового продукта
Динамические межотраслевые модели описывают динамику валового продукта и национального дохода. Эти модели базируются на уравнениях, описывающих производство и распределение валового продукта и национального дохода между отраслями, учитывают межотраслевые производственные связи. Отличительной особенностью межотраслевых моделей является матричное представление экзогенных и эндогенных переменных. Одной из наиболее известных динамических межотраслевых моделей является динамическая межотраслевая модель Леонтьева [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. В динамических межотраслевых моделях используются различные предположения и не учитываются некоторые эффекты. Одним из предположений, которые обычно используются в динамических межотраслевых моделях, является пренебрежение эффектами памяти. В таких экономических моделях фактически предполагается, что экономические агенты не могут помнить историю изменения экзогенных и эндогенных
переменных. В результате можно сказать, что эти модели описывают экономические процессы, в которых участвуют лишь агенты с полной амнезией.
В качестве математического инструмента для описания эффектов степенной памяти можно использовать теорию дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка [12, 13, 14]. В этом случае, при построении моделей следует использовать понятие акселератора с памятью и предельной величины нецелого порядка, предложенные в работах [15, 16, 17, 18, 19]. Использование производных нецелого порядка позволяет учитывать эффекты динамической памяти [20, 21] за счет обобщения стандартных понятий экономических показателей и индикаторов [22, 23, 24, 25, 26], и за счет применения этих обобщений в макроэкономических моделях [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34]. В статье [3] предлагается метод учета угасающей степенной памяти в динамических межотраслевых моделях в рамках подхода с непрерывным временем. В качестве уравнения динамической межотраслевой модели было предложено [3] дробное дифференциальное уравнение В ■ (о X) (X) + (А- Е) ■ X (X) + С (X) = О , (1) где ( О "о+X) (1) - производная Капуто порядка а > О [13], определяемая уравнением
0 ^ И ВД = ( х) (Г) := (2)
где Г (а) - гамма функция, X (п)(т) - производная целого порядка п=[а]+1 функции X(т) по переменной т: 110 < т < 1 В формуле (2) предполагается, что функция X(т) имеет производные вплоть до (п-1) порядка, которые являются абсолютно непрерывными функциями на интервале [1;0Д] . Отметим, что для а=1 уравнение (1) дает уравнение стандартной динамической межотраслевой модели
В ■ + (А- Е ) ■ X(И) ) + С (И) = О. (3) Уравнение (2) описывает динамическую межотраслевую модель, учитывающую эффекты степенной памяти и обобщающую модель Леонтьева, задаваемую уравнением (3). В уравнениях (1) и (3) используются следующие обозначения:
X (11) = (XI (11) ) - вектор валового продукта, описываемый в денежном выражении, где k = 1,..., п - отрасли производства.
(Ь) С (11) = (С^ (11) ) - вектор продукции непроизводственного потребления (включая непроизводственное накопление).
(ф А = (ац ) - матрица прямых материальных затрат. Коэффициенты а^ этой матрицы описывают прямые материальные затраты ьй отрасли ^=1,...,п) в производстве единицы продукции j-й отрасли (]=1,.,п). В динамической модели Леонтьева коэффициенты а^ включают не только прямые материальные затраты, но и затраты на возмещение выбытия и капитальный ремонт основных производственных фондов. Поэтому элементы главной диагонали матрицы A отличны от нуля.
В = (Ь ц) - матрица приростной капиталоемкости производства продукции. Коэффициенты Ьц этой матрицы описывают затраты продукции ьй отрасли для увеличения выпуска продукции в j-й отрасли на единицу. Матрица B предполагается невырожденной, то есть определитель матрицы B отличен от нуля. Это условие эквивалентно обратимости матрицы B, то есть эквивалентно существованию обратной матрица В" 1. Для обратимости матрицы B в межотраслевой модели обычно рассматривают только фондообразующие отрасли. E - единичная диагональная матрица п-го порядка. Национальный доход, описываемый вектором Y(t), связан с валовым продуктом X(t) формулой - Эта формула позволяет найти вектор национального дохода
Y(t) по найденному вектору валовой продукции X(t), являющемуся решением уравнения (1). Замкнутая динамическая межотраслевая модель с памятью
Межотраслевая модель, описываемая уравнением (1), называется замкнутой, если отсутствует непроизводственное потребление, то есть C(t) = 0. Используя (1), уравнение для вектора валового продукта X(t) при = 0 имеет вид дробного дифференциального уравнения
В-( о ?о+X) (1) + (А-Е (1) = О. (4)
30
Если матрица В приростной капиталоемкости производства продукции является обратимой, то уравнение (4) можно записать в виде
(вх) 00 = н ■ х(;) , (5) где матрица Н определяется уравнением
(6)
Уравнение (5) описывает замкнутую межотраслевую динамическую модель со степенной памятью, угасание которой едино для всех фондообразующих отраслей. Уравнение (5) описывает динамику отраслевой структуры экономики в рамках замкнутой динамической модели. Решения уравнения замкнутой модели (5) характеризуют предельные технологические возможности развития отраслей производства при заданных матрицах А и В, когда весь национальный доход направляется на расширенное воспроизводство.
В общем случае, матрицы А и В не являются постоянными, и меняются с течением времени (А=А(^) и В=В(ВД. В результате матрица Н тоже не является постоянной (Н=Н(ф.
Для того, чтобы величины имели легко интерпретируемую размерность, можно использовать время t как безразмерную переменную. В этом случае, уравнение (5) надо записывать в виде
( в?0+х) »■ н00 ■х(;) , (7)
где g - величина, имеющая размерность времени и описывающая, например, наименьший временной масштаб в рассматриваемом экономическом процессе.
Рассмотрим действие левостороннего интеграла Римана-Лиувилля I ^ порядка а>0 на уравнение (7). Этот интеграл определяется, [12, с. 85], [13, с. 69-70], формулой
1 и И «Т) = ( 1 ?0+0 (^Го^ (8)
где ; 0 < т < ; а функция f(т) измерима на интервале Д0,;) и удовлетворяет условию / | ^т) | dт < с». Действие интеграла (8) на уравнение (7) даёт выражение
0 ( I ?о+в ?о+Х) (;) = ga ■ I ^ [т] Н (т) ■ Х (т) . (9)
Известно, что производная Капуто является операцией, которая обратна к интегралу Римана-Лиувилля, [13, с. 95]. Другими словами, для любой непрерывной функции Х О 6 С [^Д] выполняется обобщенная формула Ньютона-Лейбница, задаваемая формулой 2.4.42 из книги [13, с. 96]. Для операторов (2) и (8) обобщенная формула Ньютона-Лейбница имеет вид
( I ?о+в ?о+Х) (;) = х (;) - (: — м к, (10)
где п-1<а<п, п:=[а]+1 и Х ( 0)(; 0) = Х 0: 0) . Если 0<а<1, то формула (10) записывается в виде
( I ?о+в ?о+х) (:) = х (;) -х . (11) Известно, что формула (10) для а=1 дает стандартную формулу Ньютона-Лейбница
( I 1о+о ^х) (;) = £ х ( 1 ) (Т) dт = х (;) — х . (12) Используя (10) уравнение (9) можно записать в виде
х (;) = 2£1х(к)(:0) ■ ^ + ga ■ I ^ [т]н (т) ■ х (т) , (13) где п-1<а<п. Уравнение (7) можно решить итерацией соответствующего интегрального уравнения (13), в котором учтены начальные условия. Решение уравнения в виде разложения по степеням
Для получения решения в виде разложения по степеням характеристического масштаба времени g, перепишем уравнение (13) с т = т 1 в виде
х (:) = 2£1х(к)(:0) ■ ^ + ga ■ I ^ К] н (Т1) ■ х Ы, (14) где п-1<а<п. Уравнение (13) можно переписать для ; = т т = т 2 в виде
Х (Т1) = 2 Е1Х® ■ I ?од, [т 2] Н (т 2) ■Х (т 2) . (15)
Поставив (15) в уравнение (14) получаем
Х(1) = ШХ^Со) ■ ^ + ■ ^ ^ИВД ■ Х®(1о) ■ ^^ + ■ I и [Т1] н (Т1) ■ I ?0Д 1 [т2 ] Н (т2 ) ■ X (т2 ) . (16) Используя далее подстановки
X (тт) = ЕП-^(()(1о) ■ + ga ■ I ?одт [тт+ 1] Н (тт+ 1) ■ X(тm+ 1 ) (17)
для т=1,2,..., N получаем
Х(1) = Щх®(1о) ■ ^ + ■ ЕЙ1?0^[Т1]НС-Г1) ■ х®а0) ■ ^^ +
Е^^ЕЙ^Ы - 1?оДт-^т] НСтО - Н(тт)^^Х®(10) + ga (Н+Ц I^ [т 1] ■ ■ ■ I ^ [тм+1] н (т 1) ■ ■ ■ Н (т„+l)X (тм+1) , (18)
где 110 < т1 < т2 < • • • < тН < тН+1 <1 и N>2. Рассматривая предел N — со , получаем выражение
X (1) = Е П- 15( (1Д о (()(1о) , (19) где мы использовали матричные операторы
5((1До) := ЕШ=оgam ■ I и К] ■ ■ ■ I ?0Дт- 1 [тт] Н(^ ) ■ ■ ■ Н (О ■ (2т"< (20) где к=0,1,2,..., п-1, п-1<а<п и 11о < т1 < • • • < тт < 1 Отметим, что уравнение (20) является краткой символической формой выражения
1о) := ■ Е + 8" ■ X 1иЫН(тх) ■ ^^ +
к=0 ' к=0 Ет^™ ■ I и К] ■ ■ ■ I и - 1 [тт] Н (т1 ) ■ ■ ■ Н (О^. (21)
Для а=1 (п=1), уравнения (19) и (20) принимают стандартный вид
X (1) = Б (1До)^(1о) (22)
с матрицей
(23)
где .
Построим теперь обобщение хронологического произведения для процессов со степенной памятью. Для начала рассмотрим в выражении (20) слагаемое с т=2 и к=0, то есть
IЫН(т1) ■I^ 1 [т2] Н(т2) = (24)
Второй интеграл в выражении (24) можно переписать в виде
гт! Н(т2)(1т2 _ ^ 8(т1-т2)Н(т2)с}т2 ^0 (1-т2) 1 -а = ^0 (С-12) 1 -а , ( )
где 0 (т 1 — т 2 ) - функция Хевисайда
Г1, еслит, > т?,
0 (т 1—т 2 ) =1 о ^ сл и т 2>т2. (26)
В результате уравнение (24) имеет вид
IЪ [т1] НСл) ■ I?0Д 1 [т2] Н (т2) = ^ £ ^ £ *2 (Й^Е^} . (27) Изменение обозначение переменных интегрирования не меняет результат, и, следовательно, выполняется тождество
(28)
Меняя обозначения переменных дробного интегрирования в правой части
равенства (27), мы получаем тождество
г' ^ г' ^ г е(т1-т2)н(т1)н(т2) 1 _ Г1 Г1 г ес^-тонаднад )
Ь0 Йт 1 Х 0 Йт 2 1({-Т1)1-а(т1_Т2)1-а} = 4 Ст 2 4 Ст 1 1({_Т2)1-«(Т2_Т1)1-а}. (29)
В силу тождеств (27) и (29) выражение (24) можно записать в виде
I и [т1]Н (тО ■ I 1 [т 2] Н (т 2) = с!т1 4 С1т2 Та,о{ Н (т1 ) Н (т2) }, (30)
где мы ввели обозначение
тг„, тГи/У Мт^ Л-1 _ 1 ( е(т1-т2)Н(т1)Н(т2) , 8(т2-т1)Н(т2)Н(т1) ^
Т [«,0] Ш (Т1)Н ^ } = ^ т 1 ) 1 - а (т 1 _Т2) 1-а + ({_Т2 ) 1 - ) (Т2 _т 1 ) 1 - а ). (31) Для к>0 в выражении (24) слагаемое с т=2 можно записать в виде
I и [Т1] I ?о,2_ [Т2]{н (Т1) Н (т 2 )_2__Г)!}=1/tt0dТl/ttodт2 Та,к{Н (Т1) Н (Т2 ) }, (32) где к=0,1,2,..., п-1, п-1<а<п, и использовано обозначение
ТГ™ ЫГие^ М - 9(ч:1-Т2)Н(т1)Н(т2) (т2-С0)к 8(т2-т1)Н(т2)Н(т1) (т1-С0)к
Т [«,к] {Н СтО Н (т 2) } = а_1 1 ) 1 _ а(2 1 _2_) 1 -а к! Г2 (а) + (^22 )1 _) (2 1 _т _ ) 1 - а к! Г2 (а) . (33)
Видно, что произведение (33) при к=0 дает выражение (31). Данное определение хронологического произведения представляется не очень удобным, поскольку заменяет дробные интегралы в формулах (18) и (20) интегралами целого порядка. При таком определении Т-произведения теряется некоторая самосогласованность математического инструмента.
Существует альтернативный способ определения хронологического произведения с однопараметрической степенной памятью. Если ввести хронологическое произведение со степенной памятью в виде
Т^оШСтОНЫ) = 9(т, - т2) ~ Тт2))1-» Н(т')Н(т^ +
в (Т2— т^^^^У (Т2 ) Н Ы, (34)
или в эквивалентной форме Тм{ Н (Т1)Н (т 2) } = 0 (Т1 — т 2)(^-Н(Т1)Н (т 2) + 0 (т 2 — Т1) ^Т-а Н(т 2) Н (Т1 ) , (35) то тогда вместо выражения (30) получим выражение, которое явно записывается через дробное интегрирование
I и [Т1]Н (Т1) ■ I ?од 1 [т 2]Н (Т2) = ^ и [Т1 ] I и [т 2] ТаД){ Н (Т1 ) Н (т 2) }. (36) Для к>0 имеем
I и [Т1]I ?од2 [т 2] {Н (Т1)Н(т2)_k__^2!} = ^ и [Т1 ] I и [т 2] Та,к { Н (Т1 ) Н (Т2) }, (37) где к=0,1,2,..., п-1, п-1<а<п, и хронологическое произведение со степенной памятью определяется формулой
(Г - т,)1"" (т, - Г0)к
Т^НСт^НСт,)} = 0(тх - т2)(^ 2 к, ^ Н(Т1)Н(т2) +
0 (Т2— тО^Т-а^ 1 ко } к Н (т 2 ) Н (Т1) . (38) Видно, что произведение (38) при к=0 дает выражение (35). Произведение (38) является хронологическим произведением для процессов с однопараметрической степенной памятью, параметр угасания которой равен а>0. Для а=1 хронологическое произведение (35) имеет вид
Т1»{Н(Т > Н (Т2 )} = Т{Н (Т > Н(Т2)) = {Н ^ ■■ Н ЙТ > Т . <39)
Выражение (39) совпадает со стандартным хронологическим произведением, используемым в физике [1, с. 123 - 127], [2, с. 217 - 219].
Аналогично можно поступить для других т=3, 4, ... В результате, меняя обозначения переменных дробного интегрирования в (18) для т>2, получаем тождество
1?>1] ■■■ Ч^-.ЫН^) - Н(тт) ■ (Тт~Го)к =
¿I и [Т1] ■ ■ ■ I и [Тт]Т«,к { Н (Т1) ■ ■ ■ Н (тт)} . (40) Хронологическое произведение Та,к со степенной памятью, использованное в уравнении (40), определяется формулой
Та,к { Н (Т1) ■ ■ ■ Н (Тт) } = 2 Р , 8 ^ аДпР^ "Р= 1 Сt_2i) 1 - : -а С2Pmk_t0 } " Н (т^) ■ ■ ■ Н (тРт) (41)
(С-ТР!)1 аЩ"11(ТР]-ТР(] + 1)) к!
где сумма пробегает все перестановки Р, а функция 0 (т Р 1,. . ,,т Рт) обеспечивает выполнение условия т Р 1 > т Р 2 > ■ ■ ■ > т Рт где I > т Р 1 и т Рт > I о. Для а=1 хронологическое произведение со степенной памятью (41) имеет вид [2, с. 217] стандартного хронологического произведения
(42)
Используя произведение (38) оператор (20) можно записать в виде
5((1До) := Ет=о^ат ■ I и [т 1] ■ ■ ■ I и [тт]Та,({Н ■ ■ ■ Н (о}. (43) В результате получаем хронологическую экспоненту (Т-экспоненту) для экономических процессов со степенной памятью
Т( (ехр I ^[т] Н (т) )} : = Ет=о^ат ■ ^ К] ■ ■ ■ I ^ Ы Т*( { Н (л ) ■ ■ ■ Н (О}, (44) где к=0,1,2,..., п-1, п-1<а<п. Левая часть уравнения (44) является символической формой записи для правой части (44), то есть фактически это просто обозначение. В связи с эти, хронологической упорядочение надо применять до дробного интегрирования, а не после. В результате решение уравнения (7) можно представить в виде
X (1) = Е п- 15( (и о (()(1о) , (45) где п-1<а<п, и 5( (11,11 о) - операторы эволюции, определяемые формулой
5( (1До) = Т( {ехр ■ I ^ [т] Н (т)) }, (46) где к=0,1,2,..., п-1. При а=1 выражение (46) имеет стандартный вид
Б (11 о) = Т ( ехр ^ ■ ^ сСт Н (т) ) } , (47) где хронологическая экспонента определяется уравнением
Т (ехр ^ ■ ^ сСт Н (т) ) } = Ет=о^т ■ £ сСт1 ■ ■ ■ £ сСтт Т{ Н (^ ) ■ ■ ■ Н } . (48) Уравнения (45) и (46) описывают динамику валового продукта в рамках замкнутой межотраслевой модели с однопараметрической степенной памятью, в которой прямые материальные затраты и приростная капиталоемкостью производства зависят от времени. Экономическая динамика для Н-матрицы степенного вида Рассмотрим дробное дифференциальное уравнение (7) со степенной матрицы
Н (1) = Н с-(1— 1о) р, (49) где и - некоторая независящая от времени матрица. Для получения решения
уравнения (7) с матрицей (49), мы воспользуемся уравнением 2.1.16 из книги [13, с. 71] в виде
I и И (т — 1о)"=7^(1 — О Р+* (50)
где . Для записи решения уравнения (7), нам необходима новая специальная
функция, которая является обобщением функции Миттаг-Леффлера [36]. Определим функцию формулой
, м = Ет=о{п£ (51)
где мы для целей данной статьи будем ограничиваться вещественными положительными значениями параметров а, в, у. Решения уравнений, которые рассматривались в данной статье, можно представить, используя функцию (51). Предлагаемая "-функция может рассматриваться как обобщение функции Миттаг-Леффлера [36]. При р=у функция (51) является двухпараметрической функцией Миттаг-Леффлера [36, с.56], то есть
ч р [2 ]=Е т=ор(;£^ = Е * р [2 ] . (52)
Для в=1 и у=1 функция (51) является классической функцией Миттаг-Леффлера [36, с. 17], то есть
И=Е т=а и . (53)
Для а=1, в=1 и 7=1 функция (51) является экспонентой [36, с.20], то есть
■7Ш
Ч 1 [ 2 ] = Е т=о~7 = е2. (54)
{П"
Решение дробного дифференциального уравнения (7) с матрицей (49) записывается через "-функцию Wp4f1р+ 1(+ 1 Ы .
Рассмотрим матричные операторы, которые определяются уравнениями (20). Используя уравнение (50) и , т-кратное дробное интегрирование с матрицей (49) дает
- ^„дт-^тМт!) НСТ^О ■ Н(тт) ■ ^^ =
Ъ^ЪМ - ^„Дт-^тКт! - 1„)Р - (т^ - 10)Р ■ (Тт - 1())Р+к =
¿г(Га(+р+к+1)Н™1"о,1[Т1] ■■■ 1?0,тт_2[Тт-1](^1 - 10)Р ■■■ (Тт_1 - 10)2Р+к+а = 1 Г(Р+к+1) Г(2|3+а+к+1) Г(тР + (т—1)а+к+1) , _ чт(а+Р)+кнт _ к! Г(а+р+к+1) Г(2а+2Р+к+1) Г(т(а+Р)+к+1) ^ о) с
Г(Р+к+1) Г(2|3+а+к+1) Г(тР+(т—1)а+к+1) 1 , _ чт(а+Р)+кттт _
Г(к+1) Г(а+р+к+1) Г((т—1)(а+Р) + к+1) Г(т(а+Р)+к+1) с
Г(Р+к+1) Г(2|3+а+к+1) Г((т—1)(а+р) + р+к+!) Г(т(а+р) + р+к+!) _
Г(к+1) Г(а+р+к+1) Г((т—1)(а+Р)+к+1) Г(т(а+Р)+к+1) Г(т(а+Р) + р+к+1) с _ ,т Гд.(а+Ю + р+к+1Л _ ({-{о)т(«+Р)+к ^ ч=о Г 0 ■ ( а + Р)+(+ 1) } Г (т ■ ( а + Р) + Р+(+1) с . ( )
В результате матричные операторы (20) можно записать в виде
с (1 . ) с (1 . ) Ет уат ■ { П т Г() ■(*+р) + Р+(+ Ц ^ ({-0)т(и+Р)+к ^ Нт (56
(ГД^^ (ГД^^т^ {П п=о га ■ (а+Р)+(+1) } Г ( т■ ( а + Р) + Р+(+ 1) Н с , (56)
где к=0,1,2,..., п-1, п-1<а<п. Уравнение (56) можно переписать как
С (х X Л - (х - X ^ у» Гп™ га.(а+Р) + р+к+1)1 (еи (^0)("+Р)нс)т
С( (11Д о) = (11 11 о) Е т=о{ I I)=о Г ( ■ ( а+Р )+( + 1 ) }' Г (т ■ ( а + Р ) + Р+(+ 1 ) . (5/)
В результате получаем 8-матрицы (43) в виде
(1До) :: (I — Но)( ■ Wpа++kр+l,(+ 1 [уа ■ (I — 1о)(а+Р) ■ Н с] , (58) где к=0,1,2,..., п-1, п-1<а<п. Решение уравнения (7) с матрицей (49) имеет вид
X (I) = Е п-1 а — 1о) ( ■ Wpа++kр+l,(+ 1 [уа ■ а — 1о)(а+Р) ■ Н с] ■ X (()(1о) , (59) где п-1<а<п. Уравнение (59) описывает экономическую динамику со степенной памятью, когда параметры зависят от времени.
Открытая динамическая межотраслевая модель с памятью и параметрами, зависящими от времени
Рассмотрим динамику экономического процесса с памятью, который описывается неоднородным дробным дифференциальным уравнением. Динамическая межотраслевая модель со степенной памятью, которая описывается уравнением (1), называется открытой, если непроизводственное потребление отлично от нуля, то есть С (1) ^ О. Если матрица В=В(^) приростной капиталоемкости производства продукции является обратимой, то уравнение (1) можно записать в виде
О ^ И X« = у* ■ Н (I) ■ X (I) + О (I) , (60) где О " ( [т] - производная Капуто (2), матрица И(^) определяется уравнением (6), и
О (I): :В - 1 ©■С (I) . (61) Уравнение (60) описывает динамику межотраслевой структуры по валовому продукту, когда учитываются эффекты степенной угасающей памяти и непроизводственного потребления (включая непроизводственное накопление).
Общее решение неоднородного дробного дифференциального уравнения записывается как сумма решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Рассмотрим действие левостороннего интеграла Римана-Лиувилля I порядка а>0 на уравнение (60). Используя обобщенную формулу Ньютона-Лейбница (10), получаем
X (I) = ЕП-1X (() (1о) ■ ^ + уа ■ I ^[т] О (т) + уа ■ ^[т1]Н (т1) ■ X (т1 ) , (62) где п-1<а<п, п:=[а]+1. Используя выражения
X(Tm) = £ X«(t0) ■ (Tmk,to)k + g" ■ I"0,xm [t] D(t) +
k=0
5 1 tn.Xm L Lm+ i]H(t m+l) m+l ) (63) для m=1,2,..., N, получаем XX(t) = Щ F(t,t0) + ga ■ Ш1 I^tlTjHW ■ F(t1( t0) +
S^=2gam Sg^Iio.tCTj - IUJtJ H(tJ - н(тт) ■ F(Tm,t0) +
ga (N + Щa^ [tJ . . . j o^ [tn+J H (Ti) . . . H (tn+1) . x(tn+j, (64)
где t 0 < t 1 < т 2 < • • • < tn < t n+1 < t, N>2 и использовали обозначение
F (t,t o): = ZE1X(k)(to) . ^ + ga . I ?„,t[t] D (t) . (65) Для D(t)=0 уравнение (64) принимает вид (18). Рассматривая предел N —оо, получаем решение уравнения (60) в виде
x (t) = Zgl 1Sk (t, to) . x (k) (t o) + К (t, to), (66) где матрицы S k (t, t o) определяются уравнениям (20) или (43) и
К (t,t o): = Zm=oga(m+1) . I ?0,t [Ti] . . . I ?оДт_ , [Tm] H (Ti) . . . H (тт) . (I?оДт [t]D (t)) . (67) Рассмотрим степенную матрицу вида
D (t) = Do . (t - to) Y, (68)
где у > - 1 .
Рассмотрим матрицу К (t, to) , определенную уравнением (67) с H-матрицей (49) и D-матрицей (68). Используя уравнение (50), применение m-кратного дробного интегрирования дает
■■■ IU-J^IHW - HCt^J ■ Н(тт) ■ (l?0,Xm[T]D(T)) =
pgi^ ■ H™ ■ D0 ■ I^JtJ - I^.Jt^Ctx - t0)P - (тт - t0)ß ■ (тт - t0)Y+a = pg^H- ■ D0 ■ I?o,t[Tj - II^^Kt, - t0)ß - (т^ - t0)P ■ (Tm - =
r(Y+l) r(ß+Y+q+l) [[m n ,a г 1 ja r_ "IC- _t4ß.„(T - f )2ß+y+2a _
г(а+у+1) r(2a+ß+y+l) 1 t0,xm-2 LTm-lJ vi W W -
r(Y+l) r(ß+Y+a+l) r(2ß+2a+y+l) r(mß+(m-l)a+Y+a+l) , Wa+BI+v+ct jjm p _
T(a+Y+1) T(2a+ß+Y+l) T(3a+2ß+Y+l) r(m(a+ß)+Y+a+l) 0 с 0
j-,, ^ r(ß+Y+a+l) T(2ß+a+Y+a+l) r((m-l)(a+ß) + ß+Y+a+l) r(m(a+ß) + ß+Y+a+l) Г(у+а+1) r(a+ß+Y+a+l) r((m-l)(a+ß)+Y+a+l) r(m(a+ß)+Y+a+l)
t- t0m a+ ß +у+a Гша+ ß+ß +у+a+1 . Hcm .D0=
Г (у+1 ).in m r(j . (a+ ß) + ß+Y+ a+ Щ (^о)т(«+Р)+У+а ^ m.D (69)
Г (J+1 ) (i ij=О r ( . ( «+ ß)+y+«+ 1) ] r (m . ( « + ß) + ß+y+a+1) H c D o . (69) В результате, получаем матрицу (67) в виде
rrv+n a«m in™ r(i(a+ß)+ß+Y+K+l)) (t-to)m(tt+[3)+Y+tt
K(t,to)=g ' Г (у + 1 ) ' Z m=o g '^^o r(j.(a+ß)+Y+a+1) j ' r(m<a+ß)+ß+Y+a+1) ' H ' Do-(70)
где k=0,1,2,..., n-1, n-1<a<n. Уравнение (70) можно записать в виде
К/>4-Л_ста гл/-1-п ff f ЛУ+ауоо Гот r(;(a+ß)+ß+Y+a+l)^ (8°Ч^0)<:и+Е>Нс)Ш „ K(t,to)=g -Г (y+1)-(t-to)Y Z m=olii)=o r(j(a+ß)+Y+a+1) j - r(m-(a+0)+ß+Y+a+1) - Do. (71)
В результате матрица (67), описывающая частное решение имеет вид К (t, to) : = g a . Г (у + 1 ) . (t - to) Y + a . Waa++ßß+ Y+1, a+Y + 1 [ga . (t - to) ( a + ß } . Hc ] . Do, (72) где k=0,1,2,..., n-1, n-1<a<n.
Уравнение (66) с K-матрицей (72) описывает траекторию экономического процесса с угасающей степенной памятью в рамках открытой динамической межотраслевой модели с памятью, задаваемой уравнением (60).
В случае, когда матрицы H и D не зависят от времени и n-1<a<n, решение уравнения (60) описывается формулой (66) с K-матрицей (72), в которых ß=y=0. Используя (66) и (72), это решение имеет вид
X(t) = Zg=ä(t - t0)k ■ Ea,k+1[ga ■ (t - toy ■ Hc] ■ X® (to) +
g a ■ (t - t0) a ■ E a, a + ! [g a ■ (t - t o) a ■ H c] ■ D о , (73) где E a,p [ z] - двухпараметрическая функция Миттаг-Леффлера [36, c. 56]. Если матрица H c = В c 1 ■ (E — А) является невырожденной и, следовательно, обратимой, то есть существует обратная матрица H Г 1, тогда уравнение (73) можно несколько упростить. Для этого можно использовать матричный аналог уравнения 4.2.3 из книги [36, с. 57], которое имеет вид
E a, ß [ z ] = Щ + z ■ E a, a + p [ z ] ■ (74)
Для ß=1 уравнение (74) дает
z ■ Ea, a +1 [ z ] = E a, 1 [ Z] — 1 ■ (75) Легко показать, что выполняется следующее матричное тождество
(76)
где E - единичная диагональная матрица. Используя (76), уравнение (73) записывается в виде
X(t) = Щ(1 - t0)k ■ Ea,k+1[ga ■ (t - t0)a ■ Hc] ■ X®(t0) + (Еад[ga ■ (t - t0)a ■ Hc] - E) ■
H Г 1 ■ D о , (77) где E a, 1 [z ] = E a [ z] - классическая функция Миттаг-Леффлера [36, c. 17]. Для экономического процесса без эффектов памяти следует использовать а=1. В этом случае, решение (77) принимает вид
X (t) = ехр (g ■ (t — to) ■ H c) ■ X (to) + (exp (g ■ (t — to) ■ H) — E) ■ H Г 1 ■ D o, (78) где можно перейти к размерному времени .
Уравнения (73) и (77) описывают решение уравнений динамической межотраслевой модели с угасающей степенной памятью, в которой параметры зависят от времени. Заключение
Предлагаемые матричные операторы Sk (t, to) являются операторами эволюции, описывающими динамику эндогенной векторной переменной. Эти операторы аналогичны S-матрице, используемой в квантовой теории [1, 2]. Следует отметить, что в теориях со степенной памятью представление взаимодействия не может быть реализовано в простой форме, в силу существенного усложнения правила Лейбница для производных нецелого порядка [35]. Описанный подход может быть обобщен на случайные процессы, что позволит описывать усредненные величины. Представление решения уравнения динамической межотраслевой модели с памятью в виде, использующем хронологические произведения и хронологическую экспоненту, позволяет обобщить диаграммную технику Фейнмана. Предложенные в данной статье методы и решения для межотраслевой модели со степенной памятью позволят описывать межотраслевую экономическую динамику с изменяющимися во времени прямыми материальными затратами и капиталоемкостью производства.
Полученные результаты и методы могут быть применены не только к описанию экономических процессов, но и к широкому классу процессов в квантовой механике, теории колебаний, механике сплошных сред, электродинамике, химической кинетики, динамики популяций, социологии, финансам и др.
Список литературы
1. БоголюбовН.Н., ШирковД.В. Квантовые поля. М.: Наука, 1980. 320 с.
2. Ициксон К., ЗюберЖ.Б. Квантовая теория поля. Том 1. М.: Мир, 1984. 448 с.
3. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Динамические межотраслевые модели с памятью, обобщающие модель Леонтьева. Экономика и предпринимательство, 2017. № 2-1 (79-1). С. 913-924.
4. Leontief W. W. The Structure of the American Economy 1919-1939: An Empirical Application of Equilibrium Analysis. Second Edition. New York: Oxford University Press, 1951. 282 p.
37
5. Leontief W. W. Input-Output Economics. Second Edition. New York: Oxford University Press, 1986.
6. ЛеонтьевВ.В. Межотраслевая экономика. Пер. с англ. М.: Экономика, 1997. 480 с.
7. Исследование структуры американской экономики: Теоретический и эмпирический анализ по схеме затраты—выпуск. Леонтьев В., Ченери Х.В., Кларк П.Г. и др. Пер. с англ. Под ред. А.А. Конюса. М.: Госстатиздат, 1958. 640 с.
8. Леонтьев В.В. Избранные произведения в 3-х томах. Том 1. Общеэкономические проблемы межотраслевого анализа. М.: Экономика, 2006. 407 с.
9. Леонтьев В.В. Избранные произведения. В 3 томах. Том 2. Специальные исследования на основе методологии «Затраты-выпуск». М.: Экономика, 2006. 544 с.
10. Леонтьев В.В. Избранные произведения. В 3 томах. Том 3. Избранные статьи. М.: Экономика, 2007. 414 c.
11. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. 240 с.
12. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложения. Минск: Наука и Техника, 1987. 688 с.
13. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 p.
14. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Economic interpretation of fractional derivatives. Progress in Fractional Differentiation and Applications, 2017. Vol. 3. № 1. P. 1-7. DOI: 10.18576/pfda/030101.
15. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Экономический показатель, обобщающий среднюю и предельную величины. Экономика и предпринимательство, 2016. № 11 -1 (76-1). С. 817-823.
16. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Предельные величины нецелого порядка в экономическом анализе. Азимут Научных Исследований: Экономика и Управление, 2016. № 3 (16). С. 197-201.
17. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Предельная полезность для экономических процессов с памятью. Альманах современной науки и образования, 2016. № 7 (109). C. 108-113.
18. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Обобщение понятий акселератора и мультипликатора для учета эффектов памяти в макроэкономике. Экономика и предпринимательство, 2016. № 10-3 (75-3). С. 1121-1129.
19. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Economic accelerator with memory: discrete time approach // Problems of Modern Science and Education, 2016. № 36 (78). P. 37-42. DOI: 10.20861/23042338-2016-78-002.
20. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Критерии эредитарности экономического процесса и эффект памяти. Молодой ученый, 2016. № 14 (118). С. 396-399.
21. Tarasov V.E., Tarasova V. V. Long and short memory in economics: fractional-order difference and differentiation. IRA-International Journal of Management and Social Sciences, 2016. Vol. 5. № 2. P. 327-334. DOI: 10.21013/jmss.v5.n2.p10.
22. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Elasticity for economic processes with memory: fractional differential calculus approach. Fractional Differential Calculus, 2016. Vol. 6. № 2. P. 219-232. DOI: 10.7153/fdc-06-14.
23. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Ценовая эластичность спроса с памятью. Экономика, социология и право, 2016. № 4-1. С. 98-106.
24. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Экономические индикаторы: неоднозначность и эффекты памяти. Экономика. Управление. Право, 2016. № 3 (66). С. 3-5.
25. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Нелокальные меры неприятия риска в экономическом процессе. Экономика: Теория и Практика, 2016. № 4 (44). С. 54-58.
26. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Детерминированный факторный анализ: методы интегро-дифференцирования нецелого порядка. Актуальные проблемы экономики и права, 2016. Т. 10. № 4. С. 77-87. DOI: 10.21202/1993-047X.10.2016.4.77-87.
27. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Влияние эффектов памяти на мировую экономику и бизнес. Азимут Научных Исследований: Экономика и Управление, 2016. Том 5. № 4 (17). C. 369-372.
28. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Logistic map with memory from economic model. Chaos, Solitons and Fractals., 2017. Vol. 95. P. 84-91. DOI: 10.1016/j.chaos.2016.12.012.
29. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Fractional dynamics of natural growth and memory effect in economics // European Research, 2016. №. 12 (23). P. 30-37. DOI: 10.20861/2410-2873-201623-004.
30. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Economic growth model with constant pace and dynamic memory // Problems of Modern Science and Education, 2017. № 2 (84). P. 40-45. DOI: 10.20861/2304-2338-2017-84-001.
31. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Эредитарное обобщение модели Харрода-Домара и эффекты памяти. Экономика и предпринимательство, 2016. № 10-2 (75-2). С. 72-78.
32. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Эффекты памяти в эредитарной модели Харрода—Домара // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 32 (74). С. 38-44. DOI: 10.20861/2304-2338-2016-74-002.
33. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Кейнсианская модель экономического роста с памятью. Экономика и управление: проблемы, решения, 2016. № 10-2 (58). С. 21-29.
34. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Эффекты памяти в эредитарной модели Кейнса // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 38 (80). С. 56-61. DOI: 10.20861/2304-23382016-80-001.
35. Tarasov V.E. No violation of the Leibniz rule. No fractional derivative. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2013. Vol. 18. №. 11. P. 2945-2948.
36. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications. Berlin: Springer-Verlag, 2014. 443 p.
ИННОВАЦИИ И КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬ НАЦИОНАЛЬНОЙ
ЭКОНОМИКИ Бильдебаева А.Б.
Бильдебаева Айгуль Баккожаевна - кандидат экономических наук, доцент, кафедра экономики, Университет Нархоз, г. Алматы, Республика Казахстан
Аннотация: в данной статье анализируется конкурентоспособность продукции национальной экономики в современных условиях рынка, характеризующихся социально-экономическим развитием страны. Конкурентоспособность страны - способность перераспределять стоимость в мировом хозяйстве в свою пользу благодаря наличию в стране условий для создания большей добавленной стоимости от применяемых ресурсов. Для фирм необходима инновационная активность, определяющаяся наличием внешних условий. Достижение высокого уровня конкурентоспособности предприятий является социально-экономическим развитием страны. Успешное развитие отечественных предприятий - необходимое условие обеспечения экономической безопасности, повышения уровня жизни населения страны, товарного насыщения внутреннего рынка и успешной интеграции в мировое сообщество.
Ключевые слова: конкуренция, конкурентоспособность продукции,
конкурентоспособность предприятия, конкурентоспособной экономике,
конкурентоспособной нации, инновационная активность, инновационное развитие.
