CC BY
67
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
Memory effects in hereditary Harrod-Domar model Tarasova V.1, Tarasov V.2 Эффекты памяти в эредитарной модели Харрода—Домара Тарасова В. В.1, Тарасов В. Е.2
'Тарасова Валентина Васильевна / Tarasova Valentina - магистрант, Высшая школа бизнеса; 2Тарасов Василий Евгеньевич / Tarasov Vasily - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д. В. Скобельцына, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, г. Москва
Аннотация: в данной статье рассматривается обобщение модели Харрода-Домара, учитывающее эффекты затухающей памяти. Используя математический аппарат производных нецелого порядка, получаются уточненные решения уравнения эредитарного обобщения модели Харрода-Домара. Приводятся примеры зависимости экономической динамики от эффектов памяти.
Abstract: this article discusses the generalization of Harrod-Domar model, which takes into account the effects offading memory. Using the mathematical tool of the derivatives of non-integer order, we obtain solutions of the equation of the hereditarity generalization of Harrod-Domar model. Examples of dependence of economic dynamics of the memory effects are suggested.
Ключевые слова: макроэкономика, модель экономического роста, модель Харрода—Домара, эредитарность, эффекты памяти, производные нецелого порядка.
Keywords: macroeconomics, economic growth model, Harrod-Domar model, hereditarity, memory effects, derivatives of non-integer order.
DOI: '0.20861/2304-2338-20'6-74-002
Одной из простейших моделей экономического роста является модель Харрода-Домара [1, с. 75-78], объединяющая результаты Харрода [11, 12, 15] и Домара [13, 14]. Модель Харрода-Домара с непрерывным временем описывает изменение дохода Y(t), который определяется суммой непроизводственного потребления C(t) и инвестиций I(t). В результате уравнение баланса данной модели имеет вид
Y (t) = C ( t)+l ( t) . (1) В модели Харрода-Домара непроизводственное потребление C(t) рассматривается как функция, не зависящая от дохода и инвестиций. В силу этого, она может быть как постоянной во времени, так и изменяться с течением времени. Если непроизводственное потребление C(t) описывается как фиксированная часть дохода C(t)=('-m)Y(t), где m - норма инвестиций, то модель Харрода-Домара совпадает с моделью естественного роста [2, с. 90-95].
В модели Харрода-Домара предполагается, что зависимость между инвестициями и предельным доходом (скоростью роста дохода) описывается прямой пропорциональностью, то есть выполняется уравнение акселератора
l ( t) = B-^ (2)
где множитель B интерпретируется как коэффициент капиталоемкости прироста доходов. Модель Харрода—Домара описывает рост экономики при условии постоянства коэффициента капиталоемкости В. Формула (2) предполагает, что предельный доход меняется мгновенно при изменении инвестиций, то есть эффекты запаздывания и памяти не учитываются.
Подстановка (2) в уравнение баланса (1) приводит к дифференциальному уравнению модели Харрода-Домара
~~ — b - Y (t) = - b-C (t) (3) Для постоянной функции потребления (C(t)=C) решение уравнения (3) имеет вид
Y (t) = C-( 1-е6' £)+Y (0) - е6' £ (4) Решения (4) уравнения (3) описывают динамику экономического роста для постоянной величины потребления, при условии, что зависимость между инвестициями и предельным доходом задается формулой (2), предполагающей отсутствие запаздывания и эффектов памяти.
Использование понятий акселератора с памятью и мультипликатора с памятью, предложенные в работе [4], позволяет строить модели экономического роста, учитывающие эффекты памяти [3, 7, 8, 9, 17]. В статье [10] было предложено обобщение модели Харрода— Домара, учитывающее эффекты динамической памяти со степенным затуханием. Некоторые решения, приведенные в статье [10], содержат лишний множитель (гамма-функцию от показателя затухания памяти). В данной работе предлагаются исправленные решения уравнений эредитарной модели Харрода-Домара, описывающие зависимость динамики экономики от эффектов памяти, и строятся соответствующие графики зависимости дохода от времени и показателя затухания памяти.
Для того чтобы учесть эффекты памяти в моделях Харрода-Домара, необходимо воспользоваться обобщением формулы (2), описывающей взаимосвязь между инвестициями и предельной величиной дохода (скоростью роста дохода). Используя понятие предельной (маржинальной) величины нецелого порядка, предложенное в работе [5, 6], получаем уравнение акселератора с памятью [4, 10]. В случае степенного затухания памяти, уравнение акселератора с памятью записывается в виде
I( *) = В • (О^У) ( *), (5)
где (00+У) (*) - производная Капуто [16, 17] порядка а > 0, определяемая формулой
( (б)
где Г ( а) - гамма функция, У(п)(т) - производная целого порядка п:=[а]+1 функции У(т) по переменной т: 0<т<1 Здесь предполагается, что функция У(т) имеет производные вплоть до (п-1) порядка, которые являются абсолютно непрерывными функциями на интервале [0,1].
Подставив выражение для () из формулы (5) в уравнение баланса (1), получим обобщение уравнения (3) модели Харрода-Домара в виде
(О0+У)( *) - Ь • У(*) = - Ь • С ( *) (7) где Ъ=1/Б. Это неоднородное дифференциальное уравнение с производными нецелого порядка. Уравнение (7) учитывает эффекты степенной памяти с показателем затухания а>0.
Для решения уравнения (7) воспользуемся следующим утверждением [16, с. 323]: Если /ф -непрерывная вещественнозначная функция, определенная на положительной полуоси (>0), тогда дробное дифференциальное уравнение
(00+У) ( 0-л-У( *)=/ (*) (8)
где п-1<а<п, имеет единственное решение
У(*) = У/(*) +2£-1У№)(0) •** •Е^л • *°] (9) где - производные целого порядка к функции Уф,
>/ (*) := /о ( * - Т)0 " 1 • £0,а [Л • (* - г) °] • / (г) Йг (10) где [г] - двухпараметрическая функция Миттаг-Леффлера, определяемые
выражением
Е0,,(г) : = Е (П)
Видно, что уравнение (7) представимо в виде (8), где Х=Ъ и / (*) = - Ь • С (*) . Для 0<а<1 (п=1) решение уравнения (7) имеет вид
У (*) = - Ь • /0£ ( * - г) 0 " ^ [Ь ( * - г) °] С (г) Йг + У(0) £о, 1 [Ь *°] (12) Отметим, что выражение (12) может быть записано в виде
У/ ( *) == /о г°- 1 • £о,о [Л • г0] • / (* - г) Йг (13) Рассмотрим случай постоянной функции потребления (С($=С). В этом случае выражение У/ ( *) , задаваемое уравнением (12) с / ( *) = - Ь • С ( *) и А=Ъ, принимает вид
Ус( *) = - Ь • С • /0£ ( * - г) 0 - 1 • £„,„ [ Ь • ( * - г) °] Йг (14) Используя замену переменной ^=1:-т, выражение (14) записывается в виде
Ус (*) = - Ь • С • /^0 - 1 • £„,„ [Ь • £°] (15)
Воспользуемся теперь формулой (11), определяющей функцию Миттаг-Леффелера, и методом почленного интегрирования вычисляем интеграл
/0Ч° - ^Е«,« [ЬЧ°] Й£= ^(Ад [Ь • *°] - 1) (16) Используя (16), выражение (14) можно записать в виде
Ус ( *)==- С • (Е0 1 [Ь • *°] - 1) (17) В результате решение уравнения (7) имеет вид
Решение (18) описывает экономический рост с затухающей памятью об изменениях дохода и инвестиций при постоянном непроизводственном потреблении. Для 0<а<1 (и=1) решение (18) имеет вид
У( £) = С • ( 1 - Еа, ! [Ь • ) + У (0) • Еа, ! [Ь • (19)
Для а=1, используя Еад [г] = е2, получаем решение
' У( £) = С • ( 1 - ей£) + У( 0) • ей£ (20) которое в точности совпадает с решением (4) стандартной модели (3).
Решение (20) уравнения (7) описывает экономический рост в рамках стандартной модели Харрода-Домара с постоянным потреблением. Решения (18) и (19) уравнения (7) соответствуют эредитарной модели экономического роста, учитывающей наличие у экономических агентов памяти об изменениях дохода и инвестиций на конечном интервале времени [0,1] при постоянном потреблении.
Решения (19) с а=0.7 и а=0.3 в сравнении с решением (20), то есть выражением (19) с а=1.0, представлены графически на рис. 1 и 2 для С=1.4, Y(0)=1.5, и Ь = 0.3 .
Рис. 1. Функции У=У(Х), являющиеся решением уравнения (20) для стандартной модели Харрода-Домара
(график 1)
и решением уравнения (19) для эредитарной модели экономического роста (график 2) для а=0.7,
где С=1.4, У(0)=1.5, и Ь = 0 . 3
Рис. 2. Функции У=У(Х), являющиеся решением уравнения (20) для стандартной модели Харрода-Домара (график 1) и решением уравнения (19) для эредитарной модели экономического роста (график 2) для а=0.3,
где С=1.4, У(0)=1.5, и Ь = 0 . 3
Для 1<а<2 (п=2) решение (18) уравнения (7) имеет вид
У (*) = С ( 1 - £0Д [Ь *°] ) + У(0) £а, 1 [Ь • *°] + У ( »( 0) *£0,2 [Ь *°] . (21) Решения (21) с а=1.1 в сравнении с решением (20) представлены графически на рис. 3 для С=1.4, У(0)=1.5, У( ^ (0) = 0 .4, Ь = 0 . 3 и на рис. 4 для С=1.4, У(0)=1.3, У( ^ (0) = 0 . 1 , Ь = 0 .2 .
3 X £ ® ¡о и
г
Рис. 3. Функции У=У(Х), являющиеся решением уравнения (20) для стандартной модели Харрода-Домара (график 1) и решением уравнения (21) для эредитарной модели экономического роста (график 2) для а=1.1,
где С=1.4, У(0)=1.5, У(1) (0) = 0 .4 и Ь = 0 . 3
Рис. 4. Функции У=У(Х), являющиеся решением уравнения (20) для стандартной модели Харрода-Домара (график 1) и решением уравнения (21) для эредитарной модели экономического роста (график 2) для а=1.1,
где С=1.4, У(0)=1.3, У(1) (0) = 0 . 1 и Ь = 0 . 2
Решение (19) как функция 1 и а представлено графически на рис. 5 для С=0.3, Y(0)=2.2, и Ь = 0 . 3 . Решение (21) как функция 1 и а представлено графически на рис. 6 для С=1.2, Y(0)=1.1, У ( «( 0 ) = 0 . 4, и Ь = 0 . 7.
Рис. 5. Функция У=У(Х), являющаяся решением уравнения (19) для эредитарной модели экономического роста, как функция I и а, для С=0.3, У(0)=2.2, и Ь = 0 . 3
Рис. 6. Функция У=У(Х), являющаяся решением уравнения (21) для эредитарной модели экономического роста, как функция / и а, для С=1.2, У(0)=1.1, У( ^ ( 0 ) = О . 4, и Ь = О . 7
Из рис. 1 - 6 видно, что поведение функции дохода существенно зависит от наличия или отсутствия эффектов памяти. Полученные результаты доказывают, что пренебрежение эффектами памяти может приводить к неправильным результатам. При исследованиях экономической динамики и построении макроэкономических моделей, следует учитывать зависимость экономического роста от эффектов памяти.
Литература
1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 670 с.
2. Волгина О. А., Голодная Н. Ю., Одияко Н. Н., Шуман Г. И. Математическое моделирование экономических процессов и систем. 3-ие изд. М.: Кронус, 2014. 200 с.
3. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Критерии эредитарности экономического процесса и эффект памяти // Молодой ученый, 2016. № 14 (118). С. 396-399.
4. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Обобщение понятий акселератора и мультипликатора для учета эффектов памяти в макроэкономике // Экономика и предпринимательство, 2016. № 10-3 (75-3). С. 1121-1129.
5. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Предельные величины нецелого порядка в экономическом анализе // Азимут Научных Исследований: Экономика и Управление, 2016. № 3 (16). С. 197-201.
6. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Предельная полезность для экономических процессов с памятью // Альманах современной науки и образования, 2016. № 7 (109). С. 108-113.
7. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Ценовая эластичность спроса с памятью // Экономика, социология и право, 2016. № 4-1. С. 98-106.
8. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Экономические индикаторы: неоднозначность и эффекты памяти // Экономика. Управление. Право, 2016. № 3 (66). С. 3-5.
9. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Эластичность внебиржевого кассового оборота валютного рынка РФ // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук, 2016. № 7-1 (90). С. 207-215.
10. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Эредитарное обобщение модели Харрода-Домара и эффекты памяти // Экономика и предпринимательство, 2016. № 10-2 (75-2). С. 72-78.
11. Харрод Р. Ф. К теории экономической динамики. М.: Гелиос АРВ, 2011. 160 с.
12. Харрод Р. Ф. Теория экономической динамики. Пер. с англ. М.: ЦЭМИ РАН, 2008. 210 с.
13. DomarE. D. Capital Expansion, Rate of Growth and Employment // Econometrica. 1946. Vol. 14. № 2. P. 137-147.
14. Domar E. D. Expansion and Employment // The American Economic Review, 1947. Vol. 37. № 1. P. 34-55.
15. HarrodR. An Essay in Dynamic Theory // Economic Journal, 1939. Vol. 49 (193). P. 14-33.
16. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 p.
17. Tarasova V. V., Tarasov V. E. Elasticity for economic processes with memory: Fractional differential calculus approach // Fractional Differential Calculus, 2016. Vol. 6. № 2. P. 219-232.
The main areas rationalization of trans boundary water resources in Central-Asian region (CAR) Pirizoda J.1, Odinaev B.2 Основные направления рационализации использования трансграничных водных ресурсов Центрально-Азиатского региона (ЦАР) Пиризода Д. С.1, Одинаев Б. Д.2
'Пиризода Джалил Сафар /Pirizoda Jalil — академик, Таджикская академия сельскохозяйственных наук, старший научный сотрудник, отдел многоукладной экономики в АПК, Институт экономики и сельского хозяйства Республики Таджикистан;
2Одинаев Боймурод Джалилович / Odinaev Boymurod - старший преподаватель, кафедра мировой экономики и международной торговли, Таджикский финансово—экономический институт, г. Душанбе, Республика Таджикистан
Аннотация: в данной статье рассматриваются основные направления рационализации использования трансграничных водных ресурсов региона. Обосновано определение стратегии достижения требуемого уровня качественного состояния водных ресурсов на межрегиональном уровне - необходимость действий всех водопотребителей региона и трансграничный аспект поиска оптимального плана охраны водных ресурсов. Abstract: this article discusses the main directions of rational use of trans boundary water resources in the region. As reasonably determined by the strategy to achieve the desired level of quality of water resources in the inter-regional level - is necessary to the activities of all water users in the region and cross-border aspect offinding the optimal plan for the protection of water resources.
Ключевые слова: трансграничный аспект, межрегиональный уровень, основные направления рационализации, водные ресурсы.
Keywords: cross-border dimension, inter-regional level, the main directions of rationalization, water resources.
В современных условиях наличие водных ресурсов, их качественное состояние становятся одним из основных факторов, влияющих на устойчивое развитие мирового хозяйства. Вместе с тем, особенности использования водных ресурсов и решения проблемы их оптимального распределения предопределяет также развитие регионализации, предусматривающей интеграцию совместной деятельности регионов, имеющих общий источник воды. Таким регионам является Центральная Азия, что дальнейшее закрепление макроэкономической стабилизации в условиях становления рыночной экономики предполагает формирование и развитие теоретико-методологических принципов взаимообусловленного и взаимосвязанного использования водных ресурсов. Рационализация использования трансграничных водных ресурсов требует разработки комплекса правовых, экономических, организационно-экономических и других мер, предусматривающих учёт сложившегося разделения труда, имеющихся природных ресурсов, накопленного производственного потенциала и других особенностей региона [1].
Следует подчеркнуть, что во всех странах Центральной Азии национальные законодательства предусматривают реорганизацию структур управления водным хозяйством. Хотя и различными темпами, но постепенно осуществляются соответствующие институциональные преобразования. Каждое государство, исходя из
