CC BY
20
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Управление, вычислительная техника и информатика № 1(10)
УДК 369:519.2
Г.М. Кошкин, Н.В. Ланкина
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ НЕТТО-ПРЕМИЙ ДЛЯ ОТСРОЧЕННОГО СТРАХОВАНИЯ ЖИЗНИ1
Рассматривается задача оценивания нетто-премии в условиях отсроченного на г лет страхования жизни. Синтезируется непараметрическая оценка нет-то-премии, находится главная часть асимптотической среднеквадратической ошибки оценки и ее предельное распределение.
Ключевые слова: нетто-премия, страхование жизни, асимптотические свойства, непараметрические оценки.
На практике расчет нетто-премии зависит от вида страхования жизни [1 - 3], а также от того, к какой категории или возрастной группе относится индивид.
Ранее в работах [4,5] в условиях непараметрической неопределенности изучались оценки нетто-премий для различных видов индивидуального страхования, а в [6,7] - в случае коллективного страхования. В данной работе рассматривается задача оценивания нетто-премий для отсроченного на г лет страхования жизни. Суть такого вида страхования заключается в следующем. Человек заключает договор страхования, выплата по договору производится в момент смерти застрахованного бенефициарию, если она произошла после г-летнего срока с момента заключения договора, либо не выплачивается, если застрахованный умрет в эти г лет. В этом случае при расчетах премий за риск учитывается динамика ценности денег, основанная на процентной ставке 5 с непрерывно начисляемым процентом по вкладу.
При расчете нетто-премии используется остаточное время жизни Т(х)=Т—х, которое характеризуется функцией распределения [2, с. 25 - 27]
Е с) = р(т (х) <,) =
£ (х)
и плотностью распределения
/х «) = ^ ^х (О = ,° - ' <*,
ш ш £ (х)
где £(х) =1 - Е(х) и Е(х) - функции выживания и распределения продолжительности жизни Т, а / (х) = Е'(х) = - £'(х) - её плотность распределения.
Определим для отсроченного на г лет страхования жизни современную величину страховой выплаты г:
Г°, Т (х) - г,
г = 1 5Т () (1)
[,е-Т(х), Т(х) > г,
где 5 обозначает банковскую процентную ставку. Величина г показывает настоящую долю будущей страховой выплаты, принимаемой за условную единицу. Чем
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № °9-°8-°°595-а).
больше срок страхования, тем меньше выплаты застрахованного за счет использования банковской процентной ставки.
В качестве нетто-премии для отсроченного на г лет страхования возьмем математическое ожидание величины (1):
1 « .т. / \
гА (5) = М(г) = Г e-ыf (x +1)dt = , (2)
1 £ (х) Г £ (х)
где
ФГ (х, 5) = J e-5tf (x + t)dt =e~5x J e-tdF(t).
1. Оценка подстановки нетто-премии
Пусть имеется случайная выборка продолжительности жизни Х1,...,Хы, по которой необходимо оценить нетто-премию. Оценим отдельно числитель и знаменатель в (2).
Воспользуемся вместо неизвестных Е(х) и £(х) их непараметрическими оценками: эмпирическими функцией распределения
1 Ы
(х) = - Ё1(X < х)
и функцией выживания
1 N
^(х) = N ^1(Х - x),
N 1=1
где 1(А) - индикатор события А.
Подставив ^ (х) и (х) в выражения для нетто-премии (2), получим сле-
дующую оценку подстановки:
5х N ф (х 5)
AAN (5) = S , ) N I exP(-5X- )I(r + x < X <») = -. (3)
sn (x) • SN(x)
2. Среднеквадратическая ошибка оценки
Найдем главную часть асимптотической среднеквадратической ошибки (СКО) и порядок смещения оценки (3). Для этого нам понадобится теорема 1 из [5], которую ниже сформулируем в виде леммы.
Введем обозначения согласно [5]: tN = (t1N, t2N,..., tsN )т - s-мерная векторная статистика с компонентами tjN = tjN (x) = tjN (х; X1,..., XN), j = 1, s,x є Ra, Ra - a-мерное евклидово пространство; функция H(t): Rs ^ R1, где t = t(x) = = (t1(x),...,ts(x))T - s-мерная ограниченная вектор-функция; Ns(^,c) - s-мерная нормально распределенная случайная величина с вектором средних д= ^(x) и ковариационной матрицей с = c(x);
VH(t) = (Hi (t),...,Hs (t))T , Hj (t) =
j dzj
, j = 1, s;
z=t
^ - знак сходимости по распределению (слабой сходимости); ||х|| - евклидова норма вектора х.
Лемма. Пусть:
1. Функция H(t) дважды дифференцируема, причем VH (t) Ф 0 ;
2. М||^ -t|f =0(dN-'/2), i = 1,2,...
Тогда Ук = 1,2,...
|м [Я(tN) - H(t)]к - М [VH(t) • (tN -1)]к | = o(dN-(к+1)/2). (4)
В формуле (4) при к=1 получаем главную часть смещения оценки H (tn), а при
к = 2 - её СКО.
Теорема 1. Если S(x)>0 , S(t) - непрерывна в точке х, то:
1. М| AAN (5) - Д (5) = о(N-1);
2. СКО
u2( A(5)) = М(rA(5)- Д(5))2 =CT((5)) +o(N-3/2), (5)
где ст( r\Ax (5)) определяется по формуле (6).
Доказательство. Для оценки ^Ар! (5), задаваемой формулой (5), в обозначениях приведенной выше леммы имеем
tN = (Ф r, N (х, 5), Sn (х))т; dN = N; t = (Ф г (х, 5), S (х))т;
H (t) = = ,Ах (5); H (tN) = Ф r,N (х 5) = А (5);
S(х) r х N SN (х) r х
VH (t) ^(tX H 2 (t) ) = f -L -фг^^ Ф 0.
^ S (х) S 2( х) )
В [2] показано, что SN (х) является несмещенной и состоятельной оценкой
S^). Покажем, что Фг N (х, 5) является несмещенной оценкой функционала
Фr(х,5):
е5х NN 1
МФг,N (х,5) = NМ |X exp(-5Xi )I(r + х < Xi < да)| = Фг (х,5).
Теперь для оценки Ф r N (х, 5) вычислим дисперсию:
Г -5х N 1 -25х N
БФг,р (х, 5) = D | — X I(r + х < Хг < »)e-5Xi U — X D {l(r + х < Xt < ^)e~sX‘} =
IN i=1 J N i=1
= N ((х, 25)-Фг 2( х, 5)).
Известно, что отношение двух несмещенных оценок может иметь смещение. Нахождение смещения отношения, как правило, является сложной задачей и требует использования результатов работы [5]. Найдем порядок смещения оценки.
Так как М(^ - ґ) = 0, то
|М( ааХ! (5) - г{Лх (5)) - М [ УН(ґ)(ґн - ґ)]| = |М( ^ (5) - аАх (5)) = о(N-1). Найдем компоненты ковариационной матрицы статистики ґN :
Стц = N0 {Ф гМ (х, 5)} = Ф г (х, 25) - Фг 2 (х, 5);
ст22 = N0 5 (х)} = 5 (X )(1 - 5 (X));
СТ12 = СТ21 = N СОУ^ (х), Фг,N (х, 5)) =
= N (М {(х)Ф гМ (х, 5)}) - М ^ (х)} М {гМ (х, 5)} = (1 - 5 (х))Ф г (х, 5).
Используя предыдущий результат о смещении и найденную ковариационную матрицу, получаем СКО оценки:
и2(г1Л?п) = М[УН(ґ)^ -ґ)]2 +0(N~3/2) = СТ(^) +0(N~3/2),
где
°(г\ЛХп) = £ £ Н} (ґ)стpHр (ґ) = Ні2 (ґ)СТ11 + Н22 (ґ)а22 + 2Н (ґ)Н2 (ґ)а12 =
р=1 і=1
Ф г (25) /Фг 2( х, 5) + 2Ф г 2( х, 5)
5 2( х) 5 3( х) 5 2( х) .
Теорема доказана.
3. Асимптотическая нормальность оценки
Для нахождения предельного распределения оценки (/) нам понадобятся следующие две теоремы.
Теорема 2 (центральная предельная теорема в многомерном случае) [/, с. 178 -202]. Если ґ1, ґ2,..., ґм,... - последовательность независимых одинаково распределенных ^-мерных векторов,
М{ґ,} = 0, ст( х) = М{ґ/ґ,},
N
5N = X ґв ,
х=1
5
то при N ^ х (0, ст(х)).
^/N
Теорема 3 (об асимптотической нормальности Н (ґN)) [5]. Пусть:
1. 4м • ҐN ^ N в {ц, ст(х)};
2. Функция Н(і) дифференцируема в точке ц, УН (ц) Ф 0.
Тогда л/х(Н^) - Н(ц)) ^ N1 | £ Н} (ц)ці, £ £ Н} (ц)стрНр (ц)
І і=1 р=1 і=1
Теорема 4 (о предельном распределении оценки (3)). В условиях теоремы 1 4ы (^ (5) - Д (5)) ^ N1 (0, ст( Д (5))).
Доказательство. В обозначениях теоремы 2 имеем: 5 = 2, ст(х) = а( г|Лх (5)). Таким образом,
Тж {(Фг,^ (X, 5), ^ (х)) - Г}^ N2 (0, а(Д (5))),
1112
где а( Д (5)) =
1_СТ21СТ22_
Функция И(і) дифференцируема в точке ґ и УИ(ґ) Ф 0 . Следовательно, выполнены все условия теоремы 3 и для оценки нетто-премии получаем у/ы(ГА (5) - Д (5)) ^ N1 (0, ст( Д (5))). Теорема доказана.
4. Статистическое моделирование
Рассмотрим модель де Муавра для отсроченного на г лет страхования жизни. Для этой модели продолжительность жизни Т индивида распределена равномерно в пределах от 0 до ю - г, где ю - г - предельный возраст, при котором можно застраховаться на г лет.
Для закона де Муавра плотность и функция выживания вычисляются соответственно по формулам
1 Х
/ (Х) =-, 5 (Х) = 1 —.
ю ю
Нетто-премия, согласно (3), принимает вид
1 ю -<5г — -5(ю-х)
г\АХ(5) = т^ | е~5‘/(Х+ґ)Л = —57---------;—. ()
1 5 ( х) г 5(ю - х)
Оценку нетто-премии построим по выборке объема N независимых случайных величин X = (Х1,...,Хы), равномерно распределенных на интервале (0, ю - г) с предельным возрастом ю = 120. Изучим динамику изменения оценок нетто-премии для различных значений N. Качество оценки будем характеризовать величиной
ю-г
X (гА (5) - НАх (5))2
и (N, г, 5) = ----------------------------------------------N-. (
На рис. 1 представлены случаи отсроченного страхования жизни на 5 лет, когда банковская процентная ставка составляет 10 % годовых (г = 5, 5 = 0,1).
Для случаев, представленных на рис. 1, характеристики качества оценок:
и (50,5,0,1) = 0,0119,
и (100,5,0,1) = 0,0036,
и (300,5,0,1) = 0,0008.
т.е. во втором случае качество оценки, согласно критерию, улучшилось примерно в 3 раза.
х
х
х
Рис. 1. Зависимость нетто-премии (сплошная кривая) и ее оценки (ступенчатая кривая) от возраста застрахованного x при объеме выборки N: а - 50; б - 100; в - 300
Результаты статистического моделирования (рис. 1) подтверждают состоятельность оценок нетто-премий. В случае б качество оценки, согласно критерию, улучшилось примерно в 3 раза, по сравнению со случаем а. В случае в качество оценки улучшилось примерно в 4,5 раза по сравнению со случаем б и примерно в 14 раз по сравнению со случаем а.
Заключение
В данной работе рассмотрена задача непараметрического оценивания нетто-премий для отсроченного на r лет страхования жизни. Заметим, что рассмотренный подход к оцениванию нетто-премий можно распространить на другие виды страхования, такие, как смешанное в рамках коллективного страхования жизни, отсроченное коллективное страхование жизни, пенсионное страхование, страхование вкладов трудоспособного населения для получения негосударственных пенсий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bowers N.L, Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D. Atuarial Mathematics. // Itasca, Illinois: The Society of Actuaries, 1986. 624 p.
2. Фалин Г.И, Фалин А.И. Введение в актуарную математику. М.: МГУ, 1994. 86 с.
3. Кошкин Г.М. Введение в математику страхования жизни. Томск: ТГУ, 2004. 112 с.
4. Кошкин Г.М, Лопухин Я.Н. Оценивание нетто-премий в моделях долгосрочного страхования жизни // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. Т. 10. Вып. 2. С. 315 - 329.
5. Кошкин Г.М., Ланкина Н.В. Непараметрическое оценивание нетто-премий для смешанного страхования жизни // Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 314. № 5. С. 236 - 240.
6. Lopukhin Ya.N., Koshkin G.M. On estimation of net premium in collective life insurance // The 5th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. Proceedings. KORUS 2001. Vol.2. Tomsk: Tomsk Polytechnic University. P. 296-299.
7. Koshkin G.M., Lopukhin Ya.N. Estimation of Net Premiums in Collective Models of Life Insurance // Proc. of the 11th Annual Intern. AFIR Colloquium. 2001. V. 2. Toronto, Ontario Canada. P. 447 - 457.
8. БоровковА.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. 432 с
9. Кошкин Г.М. Моменты отклонения оценки подстановки и ее кусочно-гладких аппроксимаций // Сибирский математический журнал.1999. Т. 40. № 3. С. 604 - 618.
Кошкин Геннадий Михайлович Ланкина Наталья Вадимовна Томский государственный университет
E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 7 октября 2009 г.
