CC BY
17
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2016 Управление, вычислительная техника и информатика № 2 (35)
УДК 519.2
DOI: 10.17223/19988605/35/3
О.В. Губина, Г.М. Кошкин ОЦЕНИВАНИЕ КОЛЛЕКТИВНОЙ РЕНТЫ СТАТУСА СОВМЕСТНОЙ ЖИЗНИ
Находится современная стоимость непрерывной временной пожизненной ренты для статуса совместной жизни. Для стандартных актуарных моделей выводятся аналитические формулы функционалов рент. Строятся параметрические оценки соответствующих рент.
Ключевые слова: коллективное страхование жизни; рента статуса совместной жизни; параметрические оценки.
Рассмотрим случай коллективного страхования жизни, для которого полезной абстракцией является понятие статуса [1-5]. Пусть m индивидуумов с возрастами (x^...,xm) желают заключить страховой договор. В соответствии с обозначениями актуарной математики [1-3] пусть случайная величина X - продолжительность жизни, T(xk ) = X - xk - остаточное время жизни k-го индивидуума.
Совокупности m чисел T(x1),...,T(xm) поставим в соответствие статус U со своей продолжительностью жизни T (U).
Двумя самыми распространенными статусами являются статус совместной жизни и статус выживания последнего. Статус выживания последнего обозначается U := x1 :...: xm и считается разрушенным, если все представители коллектива умерли, т.е.
T (U) = max (T (x^,..., T (xm)). Статус совместной жизни обозначается U := x1 :...: xm и считается разрушенным, если наступила смерть хотя бы одного из индивидуумов, т.е.
T (U) = min (T (x),...,T (xm)). Именно для этого статуса определим современную стоимость непрерывной временной пожизненной ренты. Понятно, что
P{T(U) > t} = P{min(T(x),...,T(xm))> t} = P{T(x1) > t,...,T(xm) > t},
m
и в предложении независимости смертей P {T(U) > t} = ^ tpx , где tpx = P {X > x +1} - одно из обще-
i=1 '
принятых обозначений актуарной математики.
По аналогии со случаем индивидуального страхования [6-8] определим ренту через нетто-премию:
ax1:...:xm ="1 (( Ax1:...:xm ), (1)
где 5 - процентная ставка, A x - нетто-премия статуса совместной жизни, определяемая формулой
да
Ax1..,xm =f *-5%„xm (t)dt, (2)
0
в которой плотность распределения статуса совместной жизни
" S (x1 + t) S (xm + t)"
fx,.,xm (t) = — [-P{min(T(x1),...,T(xm)) > t}] = —
S(x1) S(xm )
(x1 +1) d ( S(xi +1)^ S(xm +1) = ^S(x1 +1) f(xi +1) S(xm +1) i=1 S(x1) dt [ S(xt) J S(xm) i=1 S(x1) S(xt) S(xm)
= 1V )-h« (t).
i=1
Здесь ) = 5(х + ^ и / (() - соответственно функция выживания и плотность распределения случай-5 (х)
ной величины Т(х).
1. Рента статуса совместной жизни двух индивидуумов для модели де Муавра
Для простоты рассмотрим статус совместной жизни двух индивидуумов и := х1: х2, для которого
( Ю Л
> Д:^) = Д(0 ) + ДС )•
TW) = min (r(xi), T(x2)), ö^ = 1 1 -J e^f^dt Отсюда имеем
V о
^ = g
1 -J e-5t [ f^t) ^X2(t) + fXi(t) SXi(t) ] dt
V о
(3)
Найдем ренту статуса совместной жизни для модели де Муавра, которая ввиду простоты часто используется в качестве учебного примера. Введем обозначение (а,Ь) = {1,t е (а,Ь);0,t £ (а,Ь)}. Тогда
А.
ёх
возраст, а нетто-премия совместного статуса
S (X) = Ix (-да, ш) - xIx (0, ш)/ш, f (x) = S(x) =Ix (0, ш)/ш, fx (t) = 1 (0, Ю X)
ш - X
, ш - предельный
Л^ш, 5) = J e-5t
It (0, ш- x1)
f
ш- X,
It (-да,ш - x2) -
tIt (0, ш- X2)
Л
ш- x.
2
It (0, ш - x2 )
ш- x0
It (-да, ш - x1) -
tIt (0, ш - x1)
ш- x
1 /
да
= J e
0
„-5t
It (0, т1п(ш - x1, ш- x2)) tIt (0, min (ш- xb ш- x2 ))
ш- x
(ш - x1 )(ш - x2) It (0, т1п(ш - x1, ш - x2)) tIt (0,min (ш - x1, ш - x2 ))
ш - x0
(ш - x1 )(ш - x2 )
min(—x1,®-x2)
5t
min(®-x1,®-x2)
ш - x
J
5t
1
min(fO-x^®—x2)
2 J
5t
t
1 0 2
1 e~ 5 m1n(—x^®—x2) 1 e-5 m1n(—x^®—x2)
0 (ш - x1) (ш - x2 ) 5(ш- x1) 5(ш- x2 )
s ■ / \ 1 -5min(ш—x ,ш—x2 )
5 min^O)—x1,ra-x2) 2 1 - e v 2'l
2m1n(ш - Л1,ш - x2)e
5(ш-x1 )(ш-x2 ) 52 (ш-x1 )(ш - x2 )
(4)
Рента совместного статуса согласно (3) и (4) равна
1 ^ 1 ^—5 шт(ю—х,,®—Х2) 1 е~Ь ш1п(ю—х!,ю—Х2)
«x1:x2(ш, 5) =Т
1
5(ш - x1)
2m1n(ш - Л1,ш - x2)e
-5 min(ш—x1 —x2) 2 (1 - e
(1
5(ш - x2 )
—5 min (ш—x1,®—x2
5(ш-x1 )(ш-x2 ) 52 (ш-x1 )(ш-x2 )
(5)
Соотношение (5) позволяет вычислять ренту совместной жизни для различных комбинаций возрастов индивидуумов. При ю =120 и 5 =0,1 (10%) полученные результаты сведем в табл. 1.
Т а б л и ц а 1
Рента статуса совместной жизни для модели де Муавра
Возраст, х 10 20 30 40 50 60 70 80 90
10 8,35 8,27 8,18 8,07 7,92 7,73 7,46 7,07 6,45
20 8,27 8,2 8,11 8 7,86 7,67 7,4 7,02 6,42
30 8,18 8,11 8,02 7,9 7,78 7,59 7,34 6,96 6,37
40 8,07 8 7,9 7,81 7,68 7,5 7,25 6,89 6,31
50 7,92 7,86 7,78 7,68 7,55 7,38 7,14 6,79 6,24
60 7,73 7,67 7,59 7,5 7,38 7,22 7 6,67 6,14
70 7,46 7,4 7,34 7,25 7,14 7 6,79 6,49 6
80 7,07 7,02 6,96 6,89 6,79 6,67 6,49 6,23 5,79
90 6,45 6,42 6,37 6,31 6,24 6,14 6 5,88 5,44
Например, в рамках нашей модели современная стоимость полной непрерывной пожизненной ренты для двух индивидуумов возрастов х = х2 = 40 лет при 5 =0,1 и ежемесячной выплате в размере 1000 руб. каждому равна 12 000 • 7,81 = 93 720 руб. Следовательно, каждый из них должен внести 46 860 руб. в страховую компанию.
Сравним коллективную ренту с индивидуальной рентой, которая для модели де Муавра вычисляется по формуле [7]:
5. 5(ю- х) -1 + е-5(ю-х)
ах(ю,5)=-52(ю-Х)-■
Т а б л и ц а 2
Индивидуальная рента для модели де Муавра
Возраст, х 10 20 30 40 50 60 70 80 90
ах (120,0,1) 9,09 9 8,89 8,75 8,57 8,34 8,01 7,55 6,83
Согласно табл. 2 современная стоимость полной непрерывной пожизненной индивидуальной ренты для х = 40 лет при 5 = 0,1 и ежемесячной выплате в размере 1000 руб. равна 12 000 • 8,66 = 103 920 руб.
Таким образом, рента статуса совместной жизни для некоторых категорий индивидуумов может оказаться более выгодной, чем индивидуальная рента.
Если параметр ю модели неизвестен, то для случайной выборки продолжительностей жизней пар индивидуумов (Х1,У1), (Х2,Г2),..., (Хп, Уп) объема п функция правдоподобия
1 п
Ь(X,ю) = ——П 1(0<X <ю)/(0<^ <ю), и, следовательно, асимптотически несмещенная оценка
ю
I=1
максимального правдоподобия для ю равна ю = тах (Х1, Х2,..., Хп, 71,У2..., Уп). В качестве оценки рен-
ты естественно взять а (ю, 5) =
1 - АХ1:.Х2(ю)
2. Модели Гомпертца и Мейкхама
Эти модели наиболее адекватно описывают реальное распределение продолжительности жизни человека. Для модели Гомпертца
/х (*Н
/ (х + X) В ехр а(х + X )- Л ( е а(х+х)-1)
^ (х) ехр а (еах -1)
= В ехр
а
(х + X)- В ( е а(х+х)- е ах) а
5
«х ( ) =
5 (х +1)
5 (х )
В / ) Л
ехр —(е 1)
а V /_
В / ах Л
ехр --(е — 1)
_ а V ' _
= ехр
—В ) — е ах) а' '
, Рх () = 1 — ехр
А(еа(x+t) — еах ^
В( .
--е 4 ' — е
а
где 5(х) - функция выживания, /х) - кривая смертей и а > В > 0. В этой модели величина Веа учитывает влияние возраста на смертность. Нетто-премия статуса х1: х2
( Г л
А^ (В, а, 5) = | е—5 В ехр а( + t) — B(e( — еах ) о V [ а _
В(еа(х2+t) _ е«х2
х ехр
В/
--(е"к — е"
а
) + В ехр а(х2 +1) —а (еа(х2+t)— е0"2 )
х ехр
В ехр
Л
-) о
= I е—^В
ехр
В
(х1 +1)--х
а
—1 (еа(х1+t)_ еах ) IЛ = Г
- ^ '_) 0 V .
х(еах + еах2 )(еа — 1)] + ехр[а(х2 +1) — ВВ(еах1 + е0"2 )( — 1)
ю Г В
= В ( + еах2 ) ехр (а— 5) Г — О-(еах1 + е^ ) — 1)
и, соответственно, рента
1 ( ю Г В
а^ (В,а,5) = -Ц 1 — В( + еах2 )ехр (а —5) — В( + еах2 )(еа — 1)
(6)
о [' ' ах '_ )
Вычисление интеграла в (6) проводится приближенно методом трапеций (с точностью до 4-го знака) при В = 0,00005, еа = 100,04 . Именно эти значения используются при распределении продолжительности жизни в иллюстративной таблице [1]. Результаты расчета ренты сведем в табл. 3.
Т а б л и ц а 3
Рента статуса совместной жизни для модели Гомпертца
Возраст, х 10 20 30 40 50 60 70 80 90
10 9,88 9,81 9,66 9,35 8,77 7,78 6,33 4,55 2,81
20 9,81 9,75 9,61 9,31 8,74 7,76 6,32 4,55 2,81
30 9,66 9,61 9,48 9,2 8,66 7,71 6,29 4,54 2,81
40 9,35 9,31 9,2 8,97 8,48 7,59 6,23 4,51 2,8
50 8,77 8,74 8,66 8,48 8,08 7,32 6,07 4,43 2,77
60 7,78 7,76 7,71 7,59 7,32 6,74 5,71 4,26 2,71
70 6,33 6,32 6,29 6,23 6,07 5,71 5,01 3,9 2,57
80 4,55 4,55 4,54 4,51 4,33 4,26 3,9 3,22 2,27
90 2,81 2,81 2,81 2,8 2,77 2,71 2,57 2,27 1,77
Итак, современная стоимость ренты в условиях двух предыдущих моделей равна 12 000 • 8,97 = 107 640 руб.
Приведем таблицу для индивидуальной ренты, вычисляемой по формуле [7]:
ах (В, ^ 5) = 1
5
1 — В ехр
ах + В-
а(x+t)
а
| ехр
(а — 5)* — В-
а(х+t)
а
Т а б л и ц а 4
Индивидуальная рента для модели Гомпертца
Возраст, х 10 20 30 40 50 60 70 80 90
** (0,1) 9,94 9,86 9,7 9,38 8,79 7,79 6,34 4,56 2,82
Согласно табл. 4 индивидуальная рента равна 12 000 • 9,38 = 112 560 руб.
Если параметры В и а в модели Гомпертца неизвестны, то они находятся из решения системы уравнений, составленной согласно методу моментов:
| ехр
0
В
--(ехр[ах] -1)
а
12х ехр
В
--(ехр[ах] -1)
а
ёх=£ § ( +1),
Л=2П § (( +12 )•
Для модели Мейкхама
л а)=■
Ве
а(х+х)
)ехр -А(х + X) -В(еа(х+х) -1)
ехр
Ах - В (еах -1)
а
: (А + Веа( х+х) )ехр - Ах - ^ (е а(х+х) - е ах'
ехр
(X) =-
А(х + X) - В (еа(х+х) -1)
а
ехр
-Ах - В (еах -1) а
(X) = 1 - ехр
= ехр
- Aх - В (еа(х+х) - еах^ а ^ >
-AX - В(еа(х+х) - еах а
нетто премия
х ехр
х ехр В
Ах1.х2 (А,В,а,5) = |е-5 (А + Веа(х+х))ехр -Aх-а(еа(^+х) -е^)
0 V I а
-Ах - а(еа^2+х) - еах2 ) + (а + Веа(х+х)) х
О
|ехр -(2А + 5)х+ еах2 )(еах -1) (2А + Веах (е4 + еах ))
Ах - В (+х) - еах2 ) ехр - Ах - В (+х) - е^ а ^ ! а ^
рента
ах{.хг(. А, В, а, 5) =1
да г ту -|
1 ехр -(2А + 5)х-О-(еч + е^ )(еах -1) (2А + Веах ( + е^ ))
ёх
V 0
(7)
Отметим, что для модели Мейкхама параметр А учитывает риски жизни, связанные с несчастными случаями.
Вычисление интеграла в (7) проводится приближенно методом трапеций. При значениях параметров А = 0,0007, В = 0,00005, еа = 100,04 получаем результаты, представленные в табл. 5. Приведем таблицу для индивидуальной ренты, вычисляемой по формуле [7]:
ах (5)=5
5
1 - ехр
В
] ехр
-(а -5)х - В-
а(х)
(а + Веа (х+х) )х
Согласно табл. 5, 6 современные стоимости рент в условиях предыдущих моделей соответственно равны 12 000 • 8,87 = 106 440 руб. и 12 000 • 9,32 = 111840 руб.
При сравнении табл. 4 и 6 видно, что модель Мейкхама по сравнению с моделью Гомпертца более адекватно характеризует процесс смертности индивидуумов: для детских возрастов преобладающую роль в интенсивности смертности играют несчастные случаи, а с увеличением возраста их роль ослабевает.
да
да
Т а б л и ц а 5
Рента статуса совместной жизни для модели Мейкхама
Возраст, х 10 20 30 40 50 бО 70 80 90
10 9,75 9,б8 9,54 9,24 8,б7 7,71 б,28 4,53 2,81
20 9,б8 9,б2 9,48 9,2 8,б4 7,б9 б,27 4,52 2,8
30 9,54 9,48 9,3б 9,09 8,57 7,б4 б,25 4,51 2,8
40 9,24 9,2 9,09 8,87 8,39 7,52 б,18 4,48 2,79
50 8,17 8,б4 8,57 8,39 8 7,25 б,02 4,41 2,7б
бО 7,71 7,б9 7,б4 7,52 7,25 б,б8 5,б7 4,24 2,7
70 б,28 б,27 б,25 б,18 б,02 5,б7 4,98 3,88 2,5б
80 4,53 4,52 4,51 4,48 4,41 4,24 3,88 3,21 2,27
90 2,81 2,8 2,8 2,7б 2,7б 2,7 2,54 2,27 1,7б
Т а б л и ц а б
Индивидуальная рента для модели Мейкхама
Возраст, х 10 20 30 40 50 бО 70 80 90
a (0,1) 9,87 9,79 9,б4 9,32 8,74 7,7б б,31 4,54 2,81
Если параметры а, В и а в модели Мейкхама неизвестны, то они находятся из решения системы уравнений, составленной согласно методу моментов:
да
J exp
0
B
- Ax--(exp^x] -1)
а
dx = 2n £ (X, + Y, ), 2n ,=1
J 2x exp
0 да
J3x2 exp
B
- Ax--(exp^x] -1)
а
B
- Ax--(exp^x] -1)
а
*=2n t (+Yг ),
Ä=2n i ( + Y3).
Заключение
В результате исследований выяснено, что величины рент в коллективном страховании сложнее зависят от распределений продолжительностей жизней индивидуумов коллектива. Следует отметить симметричность таблиц относительно главной диагонали (= ах2:х), причем аХ{.Хг > , если х1 > х2.
литература
1. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, Itasca, III, 198б.
б24 p.
2. Гербер Х. Математика страхования жизни. М. : Мир, 1995. 15б с.
3. Кошкин Г.М. Введение в математику страхования жизни. Томск : ТГУ, 2004. 112 с.
4. Кошкин Г.М., Лопухин Я.Н. Оценивание нетто-премий в моделях долгосрочного страхования жизни // Обозрение приклад-
ной и промышленной математики. 2003. Т. 10, вып. 2. С. 315-330.
5. Koshkin G., Lopukhin Y. Nonparametric Estimation of Net Premium Functionals for Different Statuses in Collective Life Insurance //
Communications in Computer and Information Science. 2014. Vol. 487. P. 223-233.
6. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М. : Анкил, 2002. 2б2 с.
7. Губина О.В., Кошкин Г.М. Оценивание современной стоимости непрерывной n-летней временной пожизненной ренты //
Известия вузов. Физика. 2015. Т. 58, № 11/2. С. 235-241.
8. Koshkin G.M., Gubina O.V. Estimation of the Present Values of Life Annuities for the Different Actuarial Models // Proceedings of
The Second International Symposium on Stochastic Models, in Reliability Engineering, Life Science, and Operations Management / Ilia Frenkel and Anatoly Lisnianski (Eds.). SMRLO 201б, February 15-18, 201б, Beer Sheva, Israel. Conference Publishing Services The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. 201б. P. 50б-510.
Губина Оксана Викторовна. E-mail: [email protected]
Кошкин Геннадий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. E-mail: [email protected]
Томский государственный университет Поступила в редакцию 25 февраля 201б г.
Gubina Oxana V., Koshkin Gennady M. (Tomsk State University, Russian Federation). Collective annuity estimation of joint-life status.
Keywords: collective life insurance; joint-life status; survival function; parametric estimate. DOI: 10.17223/19988605/35/3
Consider the case of collective life insurance for which a useful abstraction is a status. Let m individuals of ages x,,...,xm conclude an insurance contract. In accordance with the notation of actuarial mathematics, let the random variable X be lifetime, T(Xk) = X - Xk be residual lifetime of the k-th individual. We put in line to the set of m numbers T(x1),...,T(xm) the status U, which
has its own lifetime T (U) .
The joint-life status is denoted U := x1 :...: xm and is considered to be destroyed if at least one of the individuals has died, i.e.
T (U) = mm (T (xi),..., T (Xm)).
It is clear that
P{T(U) > t} = P{mm(T(Xi),...,T(Xm)) > t} = P{T(x,) > t,...,T(Xm) > t} = ^ (t)• ^ (t),
where SX (t) = —(-) is the survival function of the random variable T(x). It is for this status, we define the present value of continuS ( x)
ous time life annuity.
By analogy with the case of individual insurance, the annuity is expressed in terms of the net premium:
axi:..:xm 5
where 5 is the rate of interest, the net premium A: :x is expressed by the formula
A,,xm = J e 5fx1:...:xm (t)dt, 0
in which the distribution density of the joint-life status is defined as
m
fx,,, m (t) = X S„(t )—fx, (t )• Sxm (t).
i=1
Here fx (t) is the distribution density of the random variable T(x).
The paper deals with the problem of finding numerical values for functionals of annuities for the join-life status of two persons for a number of parameterized distributions of actuarial mathematics. Also, the corresponding estimates of annuities for the join-life status of two persons are found.
REFERENCES
1. Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A. & Nesbitt, C.J. (1986) Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, Itasca, III.
2. Gerber, H.U. (1995) Matematika strakhovaniya zhizni [Life Insurance Mathematics]. Translated from English by V. Mishkin, P. Bi-
ryukov. Moscow: Mir.
3. Koshkin, G.M. (2004) Vvedenie v matematiku strakhovaniya zhizni [Introduction to life insurance mathematics]. Tomsk: Tomsk State
University.
4. Koshkin, G.M. & Lopukhin, Ya.N. (2003) Otsenivanie netto-premiy v modelyakh dolgosrochnogo strakhovaniya zhizni [Estimation
of Net Premium in the Models of Long-term Life Insurance]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki. 10(2). pp. 315330.
5. Koshkin, G. & Lopukhin, Y. (2014) Nonparametric Estimation of Net Premium Functionals for Different Statuses in Collective Life
Insurance. Communications in Computer and Information Science. 487. pp. 223-233. DOI: 10.1007/978-3-319-13671-4_27
6. Falin, G.I. (2002) Matematicheskie osnovy teorii strakhovaniya zhizni ipensionnykh skhem [Mathematical Foundations of the Theory
of Life Insurance and Pension Schemes]. Moscow: Ankil.
7. Gubina, O.V. & Koshkin, G.M. (2015) Otsenivanie sovremennoy stoimosti nepreryvnoy n-letney vremennoy pozhiznennoy renty
[Estimation of the Acturial Present Value of the Continuous n-year Time Life Annuity]. Izvestiya vuzov. Fizika - Russian Physics Journal. 58(11/2). pp. 235-241.
8. Koshkin, G.M. & Gubina, O.V. (2016) Estimation of the Present Values of Life Annuities for the Different Actuarial Models. Proc.
of The Second International Symposium on Stochastic Models, in Reliability Engineering, Life Science, and Operations Management. SMRLO 2016, February 15-18, 2016, Beer Sheva, Israel. Conference Publishing Services The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. 2016. pp. 506-510.
