Непараметрическое оценивание нетто-премий для смешанного страхования жизни Текст научной статьи по специальности «Математика»

У3, У4 - параметры, которые характеризуют значения быстродействия технических средств (процессора, оперативной памяти, дисковой системы, файловой системы соответственно). Под быстродействием предлагается понимать число операций, выполняемых ЭВМ и устройствами за единицу времени.

Показатель использования устройств (загрузка) определяется по следующей формуле:

р=Т/т,

где Т - время работы устройства, а Т - общее время работы системы.

На основании исследований [1-3] и анализа реальных систем хранения и обработки больших объемов данных предлагается обобщенный алгоритм оценки производительности СОИ специального назначения, который состоит из следующих этапов:

1 этап. Определение состава, назначения и основных функций СОИ. Определение сценариев СПО и показателей производительности СОИ.

2 этап. Выбор подхода к оцениванию производительности:

1-й подход - использование стандартных средств;

2-й подход - использование специальных программных средств.

3 этап. Выполнение операций в зависимости от выбранного подхода - проведение испытаний, измерений и сравнение результатов.

4 этап. Определение критерия эффективности работы СОИ и ее производительности. На данном этапе осуществляется выбор конфигурации аппаратных средств для сравнительного тестирования.

5 этап. Обобщение полученных результатов.

Таким образом, созданный стенд, специальное

алгоритмическое и программное обеспечение позволили получить значения характеристик для оценивания производительности отдельных вычислительных модулей, входящих в состав систем обработки информации и оценить потенциальную и реализованную производительности, а также имитацию процессов автоматической обработки информации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лацис А.О. Как построить и использовать суперкомпьютер. -М.: Бестселлер, 2003. - 274 с.

2. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. -СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

3. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 71 с.

Поступила 15.05.2009 г.

УДК 369:519.2

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ НЕТТО-ПРЕМИЙ ДЛЯ СМЕШАННОГО СТРАХОВАНИЯ ЖИЗНИ

Г.М. Кошкин, Н.В. Ланкина

Томский государственный университет Отдел проблем информатизации ТНЦ СО РАН, г. Томск E-mail: [email protected]

Рассматривается задача оценивания нетто-премии в условиях смешанного страхования жизни. Синтезируется непараметрическая оценка нетто-премии, находится главная часть асимптотической среднеквадратической ошибки оценки и ее предельное распределение. Приводятся результаты статистического моделирования.

Ключевые слова:

Нетто-премия, смешанное страхование жизни, асимптотические свойства, непараметрические оценки.

Введение и постановка задачи

Эффективность финансовой деятельности страховой компании зависит от правильного расчета нетто-премии для различных видов страхования необходимых категорий и возрастных групп населения [1]. В долгосрочном страховании жизни при расчетах премий за риск учитывается динамика ценности денег, основанная на процентной ставке 5 с непрерывно начисляемым процентом по

вкладу [2-6]. В этом случае для выработки управляющих решений страховой фирме следует предварительно оценить нетто-премию, которая гарантирует фирме средний нулевой доход.

Ранее в работах [3, 4] в условиях непараметрической неопределенности изучались оценки нетто-премий для различных видов индивидуального страхования, а в [5, 6] - в случае коллективного страхования. В данной работе рассматривается за-

дача оценивания нетто-премий для смешанного страхования жизни [7], которое часто предлагается страховыми компаниями. Суть смешанного страхования жизни или и-летнего страхования на дожитие заключается в следующем. Человек заключает договор страхования на и лет. Выплата по договору производится либо в момент смерти застрахованного бенефициарию, если застрахованный умер в течении и лет, либо в момент окончания срока действия договора, если застрахованный дожил до конца этого срока. Этот вид договора выполняет как функции страхования, так и накопления средств, тем самым являясь наиболее привлекательным для клиента.

В страховую компанию обращаются люди, достигшие определенного возраста х лет, поэтому все случайные события (страховые случаи), связанные с этим человеком, имеют условный характер.

Для человека в возрасте х лет целесообразнее использовать не продолжительность жизни Т, а остаточное время жизни Т(х)=Т-х. Согласно [2. С. 25-27] остаточное время жизни Т(х) имеет функцию распределения

5 (х) - 5 (х+г)

Fx (t) = P(T (x) <t) =

S(x)

-ST ( x )

z = •

T(x) < n, \e~Sn, T(x) >n,

или

— = eSxJn (S) + e~SnS (x + n) xn S(x) S(x)

— = Фп (x,S) + e-SnS (x + n)

S (x) S (x)

(3)

(4)

и плотность

. ч ^ ^ ^ ^ ^ ч /(X + 0 „

/ (г) = -тЛ (г) = - ~г5х (г) = 15—1, 0 < г <с,

аг аг 5 (х)

где £(х) - функция выживания,/и)=-У(и) - плотность распределения продолжительности жизни Т.

Определим для смешанного страхования жизни современную величину страховой выплаты х:

Далее будут использоваться как формула (3), так и формула (4).

Синтез оценки

Пусть имеется независимая выборка Xb...,XN продолжительности жизни X, по которой необходимо оценить нетто-премию. Оценим отдельно числитель и знаменатель в (3).

Воспользуемся вместо неизвестных F(x) и S(x) их непараметрическими оценками: эмпирическими функциями распределения

Fn(x) = N£l(X < x)

N i=

и выживания

SN (x) = N S1 (Xi -x)

N i=

где 1(Л) - индикатор события А.

Подставив FN(x) и SN(x) в выражения для нетто-премии (3) или (4), получим следующую оценку подстановки:

„Sx N

ANn =-

X exp(-SX, )I(0 < Х,. < n)-

Sn (x) ■ N1=1

+ e-SnSN (x + n) = eSxJn,N (S) + e-SnSN (x + n)

SN ( x)

(1)

где 5 обозначает банковскую процентную ставку. В данном случае величина х показывает настоящую долю будущей страховой выплаты, принимаемой за условную единицу. Чем больше срок страхования, тем меньше выплаты застрахованного за счет использования банковской процентной ставки.

В качестве нетто-премии для смешанного страхования возьмем математическое ожидание величины (1):

т 1 } -5г г, ч! е~5п8(х + п)

А =--------Г е / (х + г )Л +---------------------. (2)

хп 5 (х){ ^ ' 5 (х)

С помощью замены переменных преобразуем интеграл в (2):

п п

Г е~5Ч (х + г )аг = е5х Г е~5' ёЕ (г) = Ф п (х ,5),

о о

п

| е-ый¥ (г) = Jn (5).

о

Тогда формула (2) принимает вид:

SN ( x) SN ( x)

Sn

Ф,n (xS + e-SnSN (x + n)

SN ( x) SN ( x)

(5)

Свойства оценки нетто-премии

Найдем сначала главную часть асимптотической среднеквадратической ошибки (СКО) и порядок смещения оценки (5). Для этого нам понадобится теорема 1 из [5], которую ниже сформулируем в виде Леммы.

Введем следующие обозначения согласно [5]: пусть tN=(t1N,t2N,...tsN)T - s-мерная векторная статистика с компонентами tjN=tjN(x)=tjN(x,Xb...,XN), j=1,s,xeR“, Ra - а-мерное евклидово пространство. Пусть {dN} - последовательность положительных чисел, таких, что: limdN = ю; функция

H(t):R^R\ где t=t(x)=(t1(x),...,ts(x))T - s-мерная ограниченная вектор-функция; NXu;ct) - s-мерная нормально распределенная случайная величина с вектором средних /u=^(x)=(^1,...,^s)T и ковариационной матрицей a=a(x);

где Н (г) =

д2

ун (г) = (н,(г),..., Н (г))т, дН (2)

^ - знак сходимости по распределению (слабой сходимости).

Лемма. Пусть:

1. #(0 - дважды дифференцируема, причем УЯ(0*0;

2. М||/д-#=0(4-/2), /=1,2,...

Тогда Ук=1,2,...

|м[и(ги) - и(г)]к - М[УН(г) • (г„ - г)]к |=

= с(ам - к+*2).

При к=1 можно найти главную часть смещения оценки Я(4), а при к=2 - её СКО.

Теорема 1. Если 3(х)>0, 3(х+и)>0, 3(0 непрерывна в точках х и х+и, то:

1) М|-1"--х.„1=о(^-1);

2) СКО

и 2( АЩ) = М( АЩ-А п У =^АГ+°(N ~3>2)’

где о(Л„ определяется по формуле, приведенной ниже.

Доказательство. Для оценки Лх£, задаваемой формулой (5), в обозначениях Леммы имеем:

гм = (ФпN (х,5), (х), 5„ (х + п))т; = N

г = (Ф п (х, 5), 5 (х), 5 (х + п))т;

Н г) =ф(с5-е^5х + п1 = а-;

и (гм) =

5 (х)

Фп,м(х,5) - е~5п5„ (х + п) 5М (х)

= А,

ун (г) = (н1(г), и 2(г), и 3(г) )т =

1 Фп(х,5) - е 5п5(х + п) е

-5п V

5 (х)

5 2( х)

5 (х)

Шп,м(5) = Б{ — £1(0 < X,. < п)е-5Х-} = м ¡=1

= £*1(0 < X < п)е-5Х} =

¡=1

= -!(} 1(0 < X, < п)е-25Х,й¥(.X,) - Jn (5)2) =

1 ’ п

= N(Jn(25) - ^(5)).

Известно, что отношение двух несмещенных оценок может иметь смещение. Нахождение смещения отношения, как правило, является сложной задачей и требует использования результатов работы [5]. Найдем порядок смещения оценки. Так как М(/д-0=0, то

М(А?п - Ахп) - М[УН(г)(г„ - г)] =

:|м(АN - Ах:п )\ = о(N-1).

В [2] показано, что ЗДх) является несмещенной и состоятельной оценкой 3(х). Покажем, что /„^(5) является несмещенной оценкой функционала /„(5):

М Л N (5) =

= М{-1 £хр(-5Х1)1(0< X, < п) | = Jn(5).

Для оценки 1п_}15) вычислим дисперсию:

Теперь, учитывая, что Ф„(x,8)=вБ/„(8), найдем компоненты ковариационной матрицы трехмерной статистики N

стп = ^{Ф ^ (х,5)} =

= Фп(х,25) -Фп2(х,5);

&22 = N0^ (х)} = 5 (х)(1 - 5 (х));

°33 = N*{5! (х + п)} =

= 5 (х + п)(1 - 5 (х + п));

= °21 = N соу(5„ (х), Фп М (х, 5)) =

= N(М^(х)ФпЛ (х,5)} --М{5„(х)}М{ФпN (х, 5)} =

= (1 - 5 (х)) Ф п (х, 5);

=°Ъ1 = N С0\(5„ (х + п), ФnN (х,5)) =

= N (М^ (х + п )Фп (х,5)} --М{5„ (х + п)}М{Фп N (х,5)}) =

= (1 - 5 (х + п)) Ф п (х, 5);

°23 =°32 = N ООУ( 5„ (х), 5„ (х + п)) =

= (1 - 5 (х)) 5 (х + п).

Используя предыдущий результат о смещении и найденную ковариационную матрицу, получаем СКО оценки:

и2(АхКп) = М[УН(г)(г„ -г)]2 +о^-зп) =

= а(Ах:п) +0( N-312),

N

где

с( Ахп) = ££ Н (гугр Нр (г) = Н2(г)си +

р=1 ]=1

+Н22 (г )м + Н2(г )а33 + 2 Нх(г) Н2(г )аи +

+2 Нг(г) Н3(г )с13 + 2 Н2(г) Н3(г )с23 =

= Ф(х,25) Ф 2( х, 5) Ф( х, 5) е-5п5( х + п)

= 5 2( х) 5 2( х) + 5 2( х)

- е -25п5 2( х+п) - 2е~5п5 (х+п)

5 3( х) 5 2( х) '

Теорема доказана.

Для нахождения предельного распределения оценки (5) нам понадобятся две теоремы.

Теорема 2 (центральная предельная теорема в многомерном случае) [3. С. 178-202].

Если - последовательность независи-

мых одинаково распределенных 5-мерных векторов,

М{г,} = ОМ х) = М{г,тг,}, ^ = £ г,,

s=1

5

то при ^ N(0,м(х)).

^JN

Теорема 3 (об асимптотической нормальности

Н(Ы) [5].

Пусть:

1. '[с--^Щл1,с(х)};

2. функция Н(Х) дифференцируема в точке /л, У#(0*0.

Тогда

( и ця) - и (л)) ^

^ N Г£н] (л)л, £ £ н] (лМр Нр (л) |.

{]=1 р=1 ]=1 }

Теорема 4 (о предельном распределении оценки (5)).

В условиях теоремы 1

л/П (АN - Ахп) ^N¿0, с( Ахп ))■

Доказательство. В обозначениях теоремы 2 имеем: 5=3,с(х)=с(Лх„). Таким образом,

Л{(Ф„,л, (х,5), 5,. (х), 5,. (х + п)) - г} ^ Щ(0, с( Аг:п)),

Где А::)'-

Функция H(z) дифференцируема в точке t и VH(t)^0. Следовательно, выполнены все условия теор_емы_3 и для оценки нетто-премии получаем: MAJ-AJ ^(0,a(Ax:n)). Теорема доказана.

Статистическое моделирование

Рассмотрим модель де Муавра для смешанного страхования жизни. Для этой модели продолжительность жизни T индивида распределена равномерно от 0 до о, где Q - предельный возраст. Плотность распределения остаточного времени жизни T(x) определяется формулой: f (х +1) _ 1

fx it ) _-

S i х)

о- х

t e (О,о-х\,

откуда нетто-премия, согласно (З):

1 - e-Sn(о-х-n)

A:: _ Si----------7 [4]-

S{w- x - n)

Оценку нетто-премии построим по выборке объема N независимых случайных величин T=(T1,...,TN), равномерно распределенных на интервале (0, 120-n) с предельным возрастом о=120. Изучим динамику изменения оценок нетто-пре-мии для различных значений n, N. Качество оценки будем характеризовать величиной:

I i AN - A : Ÿ

G i N, n,S) ■

120 - n

: _l

а о

Рис. 1. Зависимость нетто премии (гладкая кривая) и ее оценки (ступенчатая кривая) от возраста застрахованного х при объеме выборки V: а) 20; б) 100

На рис. 1 представлены случаи смешанного страхования жизни на 5 лет, когда банковская процентная ставка составляет 10 % годовых (n=5, S=0,1).

Для случаев, представленных на рис. 1, характеристики качества оценок:

G(20,5,0,1) _ 0,064,

G(100,5,0,1) _ 0,009,

т. е. во втором случае критерий качества оказался меньше примерно в 7 раз.

Далее, рассмотрим поведение критерия качества при фиксированных N=100, S1=0,1 (10 %) и S2=0,15 (15 %) и изменении n от 1 года до 8 лет с шагом 1 год.

Результаты статистического моделирования (рис. 1) подтверждают состоятельность оценок нет-то-премий. Согласно рис. 2 можно сделать вывод о том, что с ростом банковской процентной ставки и срока страхования точность оценивания нетто-премии для смешанного страхования жизни уменьшается.

Рис. 2. Зависимость критериев качества G(100, п, 51) и G(100/ п, 52) от срока страхования п при различных банковских процентных ставках

Заметим, что рассмотренный подход к оцениванию нетто-премий можно распространить на другие виды страхования - смешанное в рамках коллективного страхования жизни, пенсионное, страхование вкладов трудоспособного населения для получения негосударственных пенсий.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-08-00595-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. - Itasca, Illinois: The Society of Actuaries, 1986. - 624 p.

2. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. -М.: МГУ, 1994. - 86 с.

3. Кошкин Г. М. Введение в математику страхования жизни. -Томск: ТГУ, 2004. - 112 с.

4. Кошкин Г.М., Лопухин Я.Н. Оценивание нетто-премий в моделях долгосрочного страхования жизни // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т. 10. -Вып. 2. - С. 315-329.

5. Koshkin G.M., Lopukhin Ya.N. Estimation of Net Premiums in Collective Models of Life Insurance // Proc. of the 11th Annual Intern. AFIR Colloquium. - 2001. - V. 2. - P. 447-457.

6. Lopukhin Ya.N., Koshkin G.M. On estimation of net premium in collective life insurance // The 5th Korea-Russian Intern. Symp. on Science and Technology: Proc. KORUS - 2001. - V. 2. -P. 296-299.

7. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986. - 432 с.

8. Кошкин Г.М. Моменты отклонения оценки подстановки и ее кусочно-гладких аппроксимаций // Сибирский математический журнал. - 1999. - Т. 40. - № 3. - С. 604-618.

Поступила 27.04.2009 г.