Характеризация графов с заданным числом дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2012 Прикладная теория графов №1(15)

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.17

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ГРАФОВ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ РЕБЕР МИНИМАЛЬНОГО ВЕРШИННОГО

1-РАСШИРЕНИЯ

М. Б. Абросимов

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия

E-mail: [email protected]

Рассматривается задача описания графов, минимальное вершинное 1-расширение которых имеет заданное число дополнительных ребер. Дается решение, когда число дополнительных ребер равно одному, двум и трем.

Ключевые слова: граф, минимальное вершинное 1-расширение, точное вершинное 1-расширение, оптимальная отказоустойчивая реализация.

Введение

Понятие вершинного (реберного) расширения происходит из работ [1 -3], в которых удалось описать минимальные вершинные расширения для некоторых видов графов. В работе [4] было доказано, что задача проверки вершинного расширения графа является NP-полной, и поэтому в общем виде задача описания минимальных вершинных расширений произвольного графа, скорее всего, решена быть не может. Основное направление исследований в этой области продолжает следовать подходу Дж. П. Хейза, при котором описывается частное решение для графов определенного вида. Можно выделить и другие пути. В данной работе рассматривается задача описания графов, которые имеют минимальные вершинные 1-расширения с заданным числом дополнительных ребер.

Граф G* = (V*,а*) называется минимальным вершинным k-расширением

(МВ-kP, k — натуральное) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:

1) граф G* является вершинным k-расширением графа G, то есть граф G вкладывается в каждый подграф графа G*, получающийся удалением любых его

k вершин;

2) граф G* содержит n + k вершин, то есть |V* | = |V| + k;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Граф H называется точным вершинным k-расширением графа G, если любой граф, получающийся удалением произвольных k вершин графа H, изоморфен графу G.

Будем использовать основные понятия теории графов, опираясь преимущественно на работу [5]. Очевидно, что минимальным вершинным 1-расширением вполне несвязного графа On (то есть графа без ребер) будет вполне несвязный граф On+\. Заметим далее, что если к произвольному n-вершинному графу G добавить одну вершину и соединить со всеми остальными вершинами, то получившийся граф будет являться

вершинным І-расширением графа G (тривиальным). Очевидно, что количество добавленных ребер есть n. Для некоторых графов тривиальное вершинное І-расширение является и минимальным, например для полного графа Kn. Таким образом, число дополнительных ребер минимального вершинного І-расширения произвольного n-вершинного графа заключено между О и n.

1. Вспомогательные результаты

Докажем несколько вспомогательных утверждений о свойствах минимальных вершинных k-расширений.

Лемма 1. Минимальное вершинное k-расширение графа без изолированных вершин не содержит вершин со степенью ниже k + 1.

Лемма 2. Пусть наибольшая из степеней вершин графа G есть s и в точности m вершин имеют такую степень, тогда минимальное вершинное k-расширение графа G содержит, по крайней мере, k + m вершин степени не ниже s.

Лемма 3. Если максимальная степень вершины графа G есть d > 0, то его минимальное вершинное k-расширение G* содержит не менее kd дополнительных ребер.

Лемма 4. Если минимальная степень вершины графа G есть d > О, то его минимальное вершинное k-расширение G* не содержит вершин степени ниже d + k.

Лемма 5. Если максимальная степень вершины минимального вершинного І-расширения графа есть d, то число дополнительных ребер в расширении не меньше d.

Доказательство. Пусть G — n-вершинный граф из условия соответствующей леммы, G* — минимальное вершинное k-расширение графа G с числом вершин (n + k).

1. Лемма І является частным случаем леммы 4.

2. Если число вершин степени не ниже s в G* меньше k + m, то, удалив k таких вершин (если число вершин меньше k, то можно удалить все вершины степени не ниже s и подходящее количество любых других вершин), получим граф, в котором менее m вершин степени не ниже s. В такой граф нельзя вложить граф G.

3. После удаления любых k вершин из графа G* в получившемся графе должна оставаться по крайней мере одна вершина степени d. Будем выбирать для удаления из графа G* последовательно k вершин наибольшей степени. Так как степень каждой вершины не меньше d, то и количество удаленных ребер — не менее kd.

4. Пусть граф G* имеет вершину v степени ниже d + k. Рассмотрим подграф, получающийся из G* удалением k смежных с v вершин (если степень вершины v меньше k, то можно удалить все смежные с ней вершины и подходящее количество любых других вершин, кроме v). Он содержит вершину степени ниже d, и в него нельзя вложить граф G.

5. Удаление вершины v наибольшей степени d из графа G* приводит к удалению и d ребер, а по условию граф G* — v допускает вложение графа G. ■

Замечание 1. Из леммы І следует, что минимальное вершинное І-расширение любого связного графа содержит как минимум 2 дополнительных ребра.

2. Основные результаты

Теорема 1. Минимальное вершинное k-расширение вполне несвязного n-вершинного графа On единственно и есть вполне несвязный (n + ^-вершинный граф On+^. Никакие другие графы не могут иметь минимальные вершинные k-расширения с нулевым числом дополнительных ребер.

Доказательство. Если у графа есть хотя бы одно ребро, то по лемме 5 число дополнительных ребер минимального вершинного к-расширения больше нуля. ■

Степенным множеством графа называется множество, составленное из чисел, являющихся степенями вершин графа. Под объединением двух графов С1 = (V, а^) и С2 = С^2, а2) понимается граф С1 и С2 = (VI и ^, а и а2).

Теорема 2. Графы со степенным множеством {1, 0} и только они имеют минимальные вершинные 1-расширения с одним дополнительным ребром; для каждого графа со степенным множеством {1, 0} такое расширение единственно с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Рассмотрим произвольный граф С. Обозначим через в максимальную из степеней его вершин. Пусть далее С* —минимальное вершинное 1-расширение графа С, которое отличается от него на одно дополнительное ребро. Граф С отличен от вполне несвязного, так как минимальное вершинное 1-расширение вполне несвязного графа по теореме 1 не имеет дополнительных ребер. Следовательно, в > 0.

По лемме 3 в < 2, так как в противном случае число дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения больше единицы. Итак, в =1.

Если граф не содержит изолированных вершин, то его степенное множество имеет вид {1} — это графы, являющиеся объединением некоторого количества полных двухвершинных графов К2. По лемме 1 минимальное вершинное 1-расширение любого такого графа не содержит вершин со степенью ниже 2, а по лемме 5 количество дополнительных ребер также не менее 2. Таким образом, только графы со степенным множеством {1, 0} могут иметь минимальное вершинное 1-расширение, отличающееся на одно дополнительное ребро. Покажем, что они действительно имеют такое расширение, причем единственное.

Граф С со степенным множеством {1, 0} можно представить в виде К2и...иК2иОр, где р > 0 (рис. 1,а). На рис. 1,б представлено минимальное вершинное 1-расширение графа С, которое отличается как раз на одно дополнительное ребро. Легко видеть, что других минимальных вершинных 1-расширений граф С иметь не может: при р > 1 минимальное вершинное 1-расширение будет иметь степенное множество {1, 0}, а при р =1 — степенное множество {1}. ■

Рис. 1. Граф со степенным множество {1, 0} (а) и его минимальное вершинное 1-расширение (б)

а

Теорема 3 (Дж. П. Хейз [1]). Единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение п-вершинной цепи Рп есть (п + 1)-вершинный цикл СП+1.

Теорема 4. Среди связных графов только цепи имеют минимальные вершинные 1-расширения с двумя дополнительными ребрами; для каждой цепи такое расширение единственно с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Рассмотрим произвольный связный граф С. Обозначим через в максимальную из степеней его вершин. Пусть далее С* — минимальное вершинное 1-расширение графа С, которое отличается от него на два дополнительных ребра. По лемме 1 граф С* не содержит вершин степени меньше 2, а по лемме 5 он не может содержать вершин степени больше 2, таким образом, граф С* является регулярным графом степени 2.

Так как граф С связный, то в > 0. По лемме 3 в < 3, так как в противном случае число дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения было бы больше двух. Итак, установлено, что в =1 или в =2. Рассмотрим оба случая.

Если в = 1, то граф С — это 2-вершинная цепь Р2, которая имеет единственное минимальное вершинное 1-расширение — цикл С3, причем количество дополнительных ребер в точности равно двум.

Если в = 2, то граф С может иметь степенное множество либо {2}, либо {2,1}. В первом случае по лемме 4 его минимальное вершинное 1-расширение не может содержать вершин степени ниже 3, а по лемме 5 получаем, что и количество дополнительных ребер должно быть не менее трех.

Заметим, что все проведенные до этого момента рассуждения справедливы не только для связных графов, но и для любых графов без изолированных вершин.

Таким образом, среди связных графов с числом вершин п > 2 только граф со степенным множеством {2, 1} может иметь минимальное вершинное 1-расширение с двумя дополнительными ребрами. Однако связные графы со степенным множеством {2,1} — это цепи. По теореме 3 цепи удовлетворяют утверждению теоремы. ■

Теорема 5. Среди несвязных графов без изолированных вершин только графы вида Рп и Сп+1 и ... и Сп+1 при п > 1 имеют минимальные вершинные 1-расширения с двумя дополнительными ребрами, причем это расширение с точностью до изоморфизма совпадает с Сп+1 и Сп+1 и ... и Сп+1.

Доказательство. Рассмотрим произвольный несвязный граф С без изолированных вершин. Пусть граф С* —минимальное вершинное 1-расширение графа С, которое отличается на два дополнительных ребра.

Как было установлено в доказательстве предыдущей теоремы, граф С* является регулярным графом степени 2, а граф С имеет степенное множество вида {2,1}. По условию граф С* отличается на одну дополнительную вершину и два дополнительных ребра, следовательно, в графе С может быть только две вершины степени 1, которые соединяются в графе С* ребрами с дополнительной вершиной. Из этих рассуждений можно сделать несколько выводов:

1) граф С имеет единственную компоненту, которой является цепь, а все остальные компоненты являются циклами;

2) все компоненты графа С* являются циклами;

3) граф С* — единственное минимальное вершинное 1-расширение графа С.

Докажем, что все компоненты связности графа С* изоморфны.

Обозначим через Рп компоненту связности графа С, являющуюся цепью. Рассмотрим удаление произвольной вершины V в графе С*. Граф С* — V имеет столько же ребер, сколько и граф С, причем С вкладывается в граф С* — V, следовательно, С* — V изоморфен графу С. Но тогда компонента графа С* с удаленной вершиной V изоморфна цепи Рп, то есть исходная компонента в графе С* была циклом Сп+1. В силу произвольности выбора получаем, что все компоненты связности в графе С* изо-

морфны циклу Сп+1, то есть граф С* имеет вид Сп+1 и Сп+1 и ... и Сп+1, а граф С —

Рп и Сп+1 и... и Сп+1. ■

Замечание 2. В теоремах 1-5 минимальные вершинные 1-расширения являются и точными вершинными 1-расширениями.

Вектором степеней графа называется вектор, составленный из степеней вершин графа в порядке невозрастания.

Теорема 6. Связные графы, имеющие минимальные вершинные 1-расширения с тремя дополнительными ребрами, могут иметь только следующий вид:

1) полный граф Кз;

2) графы с вектором степеней вида (3,... , 3, 2, 2, 2), имеющие точное вершинное 1-расширение;

3) графы с вектором степеней (3, 3, 3,... , 3, 2,..., 2,1) особого вида.

Доказательство. Рассмотрим произвольный связный п-вершинный граф С.

Пусть С* — минимальное вершинное 1-расширение графа С, которое отличается от него на три дополнительных ребра. По лемме 3 в графе С не может быть вершин со степенью больше 3. Перечислим все возможные степенные множества для графа С и затем последовательно их рассмотрим: {1}, {2}, {2,1}, {3}, {3,1}, {3, 2}, {3, 2,1}. Заметим, что по лемме 5 в графе С* не может быть вершины со степенью больше 3. Кроме того, если в графе С* есть вершина V степени 3, то граф С* — V будет изоморфен графу С: действительно, граф С должен вкладываться в любой максимальный подграф графа С*, но граф С* — V содержит столько же ребер, сколько и граф С, откуда и следует их изоморфизм.

{1}: из связных графов такое степенное множество может иметь только цепь Р2, единственное минимальное вершинное 1-расширение которой по теореме 3 есть цикл Сз.

{2}: из связных графов такое степенное множество могут иметь только циклы Сп. По леммам 4 и 5 граф С* должен быть кубическим графом. Количество ребер в графах С и С* равно п и 3(п + 1)/2 соответственно. Тогда количество дополнительных ребер графа С* составит (п + 3)/2, и только при п =3 оно равно трем. Цикл С3 изоморфен полному графу К3, и его минимальное вершинное 1-расширение — полный граф К4 — отличается от него на три дополнительных ребра. Получаем случай 1 утверждения теоремы.

{2,1}: из связных графов такое степенное множество может иметь только цепь Рп. По теореме 3 единственное минимальное вершинное 1-расширение цепи Рп — цикл Сп+1, и оно отличается на 2 дополнительных ребра.

{3}: по лемме 4 в графе С* степень вершин не ниже 4, а по лемме 5 число дополнительных ребер тогда также не менее 4, следовательно, этот случай исключается.

{3,1}: с учетом леммы 4 граф С* может иметь степенное множество вида {3} или {3, 2}. Первое степенное множество соответствует кубическому графу и в данном случае не подходит, так как при удалении одной вершины кубического графа не может получиться граф с вершиной степени 1. Итак, граф С* может иметь только степенное множество вида {3, 2}. Рассмотрим удаление из графа С* произвольной вершины V степени 3. Как было отмечено ранее, граф С* — V изоморфен графу С. Если вершина V смежна хотя бы с одной другой вершиной степени 3, то в графе С* — V , а значит, и в графе С есть вершина степени 2, что невозможно. Но тогда в графе С* вершина V должна быть смежна только с вершинами степени 2. В силу произвольности выбора вершины степени 3 получаем, что граф С* в данном случае может иметь только вид

Кз,2 = О3 + О2 (рис. 2); тогда граф С имеет вид К3,1 = О1 + О3. Легко видеть, что граф К3 2 не является минимальным вершинным 1-расширением графа К31. В самом деле, удаление любой вершины степени 2 из графа К3 2 приводит к графу С4, в котором нет вершин степени 3.

Рис. 2. Графы К3,2, К3,1 и МВ-1Р графа К3,1

{3, 2}: с учетом леммы 4 граф С* является кубическим графом. Любой максимальный подграф графа С* изоморфен графу С, то есть граф С* является точным вершинным 1-расширением графа С. Получаем случай 2 утверждения теоремы.

{3, 2,1}: аналогично случаю степенного множества {3,1} приходим к выводу, что граф С* должен иметь степенное множество {3, 2}. Рассмотрим удаление произвольной вершины V степени 3 из графа С*. Получившийся граф имеет столько же ребер, сколько и граф С, а следовательно, граф С* — V изоморфен С. Это означает, что каждая вершина степени 3 в графе С* соединена с одинаковым количеством вершин степени 2: с 0, 1, 2 или 3 вершинами. Первый случай можно исключить из рассмотрения, так как если вершины степени 3 не смежны ни с одной вершиной степени 2, то граф С* несвязный. Рассмотрим оставшиеся случаи. Обозначим через т1 количество вершин степени 3 в графе С*. По теореме о четности числа вершин нечетной степени число т1 четно.

I случай. Пусть каждая вершина степени 3 графа С* смежна с 3 вершинами степени 2. Предположим, что в графе С* есть вершина и степени 2, смежная с двумя вершинами степени 3 (рис. 3,а). Но тогда в графе С* — V (а значит, и в графе С) будет т1 — 1 вершин степени 3 (рис. 3,б), а в графе С* — и будет т1 — 2 вершин степени 3 (рис. 3,в), то есть граф С не вкладывается в граф С* — и , что противоречит предположению.

Рис. 3. Случай I

Итак, в графе С* каждая вершина степени 2 смежна не более чем с одной вершиной степени 3 (рис. 4,а). Это означает, что вершины степени 3 соединены цепями, состоящими из вершин степени 2. Обозначим кратчайшее расстояние между вершинами степени 3 через ^3. Так как вершины степени 3 несмежны между собой, то ^3 > 1. Более того, так как в графе С* нет вершин степени 2, смежных с двумя вершинами степени 3, то ^3 > 2. Не ограничивая общности, будем считать, что расстояние между вершинами и г>2 степени 3 равно ^3.

Рассмотрим граф С* — В этом графе гаї — 1 вершин степени 3, из вершины выходит цепь длины 43 — 1, и это самая короткая цепь (рис. 4,б).

Рассмотрим граф, получающийся удалением из графа С* первой вершины степени 2 в цепи, соединяющей вершину ^1 с г>2. В этом графе также т1 — 1 вершин степени 3, а из вершины г>2 выходит цепь длины 43 — 2 (рис. 4,в). Очевидно, что этот граф не может содержать в себе граф С* — ^1.

а б в

Рис. 4. Случай I. Продолжение

II случай. Пусть каждая вершина степени 3 смежна с двумя вершинами степени 2. Рассмотрим пару вершин и2 степени 2, смежных с вершиной V степени 3. Если вершины и и2 смежны, то граф С* — V несвязный. Следовательно, граф С* представляет собой т^/2 пар смежных вершин степени 3. С каждой вершиной степени 3 смежна пара несмежных вершин степени 2 (рис. 5,а). Рассмотрим граф С* — V. В этом графе Ш1 /2 — 1 пар смежных вершин степени 3 и две вершины степени 1, смежные с вершинами степени 2. Таким образом, расстояние от вершины степени 1 до ближайшей вершины степени 3 не менее 2 (рис. 5,б).

Рис. 5. Случай II

а

в

Рассмотрим граф С* — и , где и — произвольная вершина степени 2 (рис. 5,в). Этот граф должен допускать вложение графа С (или изоморфного ему графа С* — V) и отличается от него на одно дополнительное ребро. В графе С* вершина и смежна с одной вершиной степени 3 и с одной вершиной степени 2; обозначим эти вершины и1 и w соответственно. В графе С*—и, следовательно, будет т1/2—1 пар смежных вершин степени 3 и еще одна вершина и2 степени 3, смежная только с вершинами степени 2. Вершина w в графе С*—и1 будет единственной вершиной степени 1, причем она смежна с вершиной степени 3. Предположим, что вложение графа С в граф С* — и построено. Тогда вершине и2 может соответствовать только вершина степени 2 и лишнее ребро — ребро, инцидентное вершине и2. Обозначим через Н граф, получающий из графа С* —и после удаления этого ребра. Тогда Н должен быть изоморфен С* — V, но в графе Н вершина степени 1 смежна с вершиной степени 3, а в графе С* — V вершины степени 1 смежны вершинам степени 2. Получаем противоречие.

III случай. Итак, остается последняя возможность. Пусть каждая вершина степени 3 смежна с одной вершиной степени 2 и с двумя вершинами степени 3. Но тогда в графе С* должно быть не менее четырёх вершин степени 3, и их количество должно быть четным. Граф С* — V должен быть изоморфен графу С, одна его вершина имеет степень 1, а остальные — степень 2 или 3.

Пусть и — произвольная вершина графа О* степени 2. Вершина и не может быть смежна с двумя вершинами степени 2, так как в этом случае в графе О* — и окажется две вершины степени 1 и вложение графа О будет невозможно. Таким образом, каждая вершина степени 2 смежна либо с двумя вершинами степени 3, либо с одной.

Каждая вершина степени 3 графа О* смежна с двумя другими вершинами степени 3, то есть граф, индуцированный всеми вершинами степени 3, представляет собой цикл или объединение нескольких циклов. Покажем, что последнее невозможно. Предположим противное и обозначим через к количество циклов, составленных из вершин степени 3, к > 1. Будем рассматривать далее только эти циклы. Граф О изоморфен графу, получающемуся из О* удалением любой вершины степени 3. Удалив одну вершину степени 3, разомкнем один цикл, составленный из вершин степени 3, и в получившемся графе окажется на один цикл меньше: к — 1.

Относительно вершин степени 2 рассмотрим две возможности.

1. В графе О* есть вершина и степени 2, смежная с двумя вершинами степени 3, которые принадлежат различным циклам (рис. 6,а). Удаление вершины и из графа О* приведет к тому, что циклов останется к — 2 (рис. 6,б). Тогда в граф О* — и нельзя будет вложить граф О (рис. 6,в).

а б в

Рис. 6. Случай III

2. В графе О* нет вершин степени 2, смежных с двумя вершинами степени 3, которые принадлежат различным циклам. Это означает, что все вершины степени 2 смежны с одной вершиной степени 3 и с одной вершиной степени 2 (рис. 7,а). Удаление вершины и степени 2 из графа О* приведет к тому, что циклов останется к — 1 , как и в графе О (рис. 7,б), однако в графе О единственная вершина степени 1 смежна с вершиной степени 3, а в графе О* — и расстояние от единственной вершины степени 1 до вершины степени 3 равно двум. Очевидно, что в граф О* — и нельзя вложить граф О (рис. 7,в).

а б в

Рис. 7. Случай III. Продолжение

Таким образом, получается, что граф О*, если он является минимальным вершинным 1-расширением графа О и отличается от него на 3 дополнительных ребра, должен иметь следующий вид:

1) степенное множество {3, 2};

2) количество вершин степени 3 четно и больше 3;

3) вершины степени 2 смежны либо с двумя вершинами степени 3, либо с одной вершиной степени 3 и одной вершиной степени 2, то есть вершины степени 3 соединяются цепью, состоящей не более чем из трех ребер;

4) вершины степени 3 смежны с двумя другими вершинами степени 3, причем граф, индуцированный всеми вершинами степени 3, представляет собой цикл.

Получаем случай 3 утверждения теоремы. ■

Следствие 1. Семейство из п. 3 теоремы содержит графы с числом вершин 3к — 1 и 4к — 1, к > 1.

Доказательство. Из доказанных свойств минимальных вершинных 1-расширений графов рассматриваемого семейства следует, что в них каждая вершина степени 3 соединяется цепью из одной или двух вершин степени 2 с другой вершиной степени 3, причём длины цепей одинаковы для всех пар. Если 2к — количество вершин степени 3, то на каждую из к пар вершин степени 3 приходится либо одна, либо две вершины степени 2 минимального вершинного 1-расширения. В первом случае получим 3к вершин, во втором — 4к.

Заметим, что для заданного числа вершин всегда можно построить соответствующего представителя семейства. Для этого достаточно построить цикл с числом вершин 2к, разбить вершины цикла на к пар смежных вершин и каждую из этих пар соединить цепью из одной (двух) вершин. Удалив любую вершину степени 3 из получившегося графа, получим искомого представителя семейства. ■

На рис. 8 представлены все графы и их минимальные вершинные 1-расширения с числом вершин до 8, соответствующие п. 3 доказанной теоремы.

Рис. 8. Малые графы и их МВ-1Р с тремя дополнительными ребрами

Заметим, что во всех рассмотренных случаях графы имеют единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.

2. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

3. Harary F. and Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.

4. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.

5. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.