Характеристики и свойства потерь энергии и мощности на переделах энергетического хозяйства региона Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Труды Карельского научного центра РАН № 3. 2010. С. 4-10

УДК 338.45:621.31(470.22)

ХАРАКТЕРИСТИКИ И СВОЙСТВА ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ И МОЩНОСТИ НА ПЕРЕДЕЛАХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ХОЗЯЙСТВА РЕГИОНА

Г. А. Борисов, Т. П. Тихомирова

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Описаны функции потерь мощности технологических переделов от их нагрузки и рекурсивные зависимости потерь мощности и энергии на линеаризованной последовательности переделов топливно-энергетического хозяйства региона.

К л ю ч е в ы е с л о в а: потери мощности, технологические переделы, системные связи.

G. A. Borisov, T. P. Tikhomirova. CHARACTERISTICS AND PROPERTIES OF ENERGY AND POWER LOSSES AT STEP TRANSITIONS IN THE ENERGY FACILITIES OF THE REGION

Functions of power losses at process step transitions relative to their load, and recursive relations of power and energy losses on the linearized sequence of step transitions in the region’s fuel-and-energy facilities are described.

K e y w o r d s: power losses, process step transitions, system connections.

Сегодня энергоемкость ВВП России превышает среднемировой уровень в 4,5 раза, а показатели США и ЕС - почти десятикратно [Макаров, Мелентьев, 2009]. Поставленная Энергетической стратегией России задача обеспечения роста электропотребления, снижения негативного воздействия на окружающую среду при сохранении главенствующей роли органического ископаемого топлива может быть решена только при значительном сокращении потерь энергии. Поэтому снижение энергоемкости экономики и основной ее составляющей - потерь - является главным приоритетом Энергетической стратегии России [Фортов, Фаворский, 2006].

На технологических переделах топливноэнергетического хозяйства страны теряется 8486 % используемой первичной энергии, а в Карелии - не менее 76 % [Мелентьев, Штейнгауз,

1959; Борисов, 2006; Борисов, Тихомирова, 2009]. Большинство современных проблем топливноэнергетического хозяйства, таких как:

• низкая надежность, качество и эффективность энергоснабжения;

• дефицит инвестиций и мощностей;

• негативное воздействие на окружающую среду;

• высокая стоимость энергообеспечения социальной и производственной сферы обусловлены преимущественно не объемами полезно используемых конечных видов энергии, а потерями ее.

Поскольку электроэнергетическое хозяйство является сложной системой с многочисленными и разнообразными связями, то детальное изучение этих связей с целью повышения энергетической эффективности системы экспериментально практически исключено. Ввиду этого становится необходимым создание математических моделей,

описывающих все разнообразие и сложное взаимодействие потерь мощности и энергии всех или хотя бы основных составляющих сложного топливно-энергетического хозяйства, в качестве которых по степени однородности, информационной обеспеченности, специфичности технологических процессов преобразования энергии и существующей организационной административной структуре следует выбрать технологические переделы его. Статья посвящена описанию количественных характеристик потерь (или технологических расходов) на отдельных технологических переделах регионального топливно-энергетического хозяйства, а также системных взаимосвязей в нем. Потери рассматриваются на примере топливно-энергетического хозяйства Карелии.

Для адекватного отображения свойств технологических переделов с целью построения математической модели системы, которую они образуют, не подходят известные математические модели для планирования ТЭКа [Баринов, Совалов, 1990], основанные на использовании на каждом переделе усредненных нормативных удельных расходов первичной энергии и, соответственно, удельных затрат на получение единицы вторичной энергии. Принятый в экономике энергетики период фиксирования нормативных удельных расходов на переделах равен одному году. Такой большой период измерений сглаживает все изменения их в течение года, какими бы большими они ни были. Это приводит к невозможности учесть изменяемость потерь в зависимости от режимов работы, влияния смежных переделов на их уровень.

В связи со сказанным модели переделов должны в целом описывать мгновенные значения потерь мощности в каждом из них и расхода на собственные нужды в зависимости от величины нагрузки и других сильно влияющих на потери параметров. На технологическом уровне электроэнергетического хозяйства с его быстро протекающими безинерционными процессами, всегда сбалансированными по генерации и потреблению мощности в нормальном режиме, принят период фиксации технологических параметров, в том числе и мощности, равный одному часу. Детализация описания должна доходить до каждого технологического передела. Ввиду этого для построения математической модели энергетического хозяйства необходимы модели его элементов-переделов, характеризующие зависимости на них потерь мощности.

Основные функции технологических переделов заключаются в изменении (преобразовании) вида или параметров энергии, сопровождающих-

ся в той или иной степени потерями энергии и мощности. Потери мощности и расходы на собственные нужды (далее потери) возникают вследствие различных физических явлений. Ввиду этого решение нашей основной задачи - количественно определить их величину в зависимости от протекания множества различных физических процессов, параметры которых многочисленны и часто неизвестны, становится таким способом невозможным. Более предпочтителен путь, когда величина потерь мощности определяется в зависимости от основного энергетического параметра - мощности. Этот путь является основным и в сложившейся практике оперативнодиспетчерского и технологического управления [Баринов, Совалов, 1990], когда требуется оценить энергетическую эффективность различных элементов энергетического хозяйства. Для этого можно использовать две характеристики - расходную характеристику передела и зависимость потерь мощности от нагрузки передела.

Рассмотрим расходную характеристику 7-го передела топливно-энергетического хозяйства. Он представляет собой нелинейную функцию мощности Р7-1, поступающей на элемент системы от его выходной мощности Р7, т. е. Р7-1 = АР і). Функция во всем диапазоне допустимого изменения нагрузки является дифференцируемой, выпуклой, монотонно возрастающей, что позволяет находить минимальные значения суммы подобных функций.

Ввиду отсутствия идеальных элементов и обязательного наличия потерь всегда

Р7-1 > Рі, (1)

Рі-і = Рг+А Рг, (2)

где А Р7 - потери мощности в 7-м элементе системы.

Потери АРг могут быть разделены на две составляющие - постоянную и переменную, зависящую от величины выходной мощности (нагрузки) передела Р7. Постоянная составляющая образуется так называемыми потерями холостого хода АР0г, идущими у электромашин на различные виды трения, у электрических аппаратов переменного тока на потери мощности холостого хода, обусловленные вихревыми токами магнитопроводов, у линий электропередач высокого напряжения переменного тока - тлеющим разрядом проводов.

Переменная составляющая потерь мощности обычно представляется нелинейной функцией с положительной второй производной, характеризующей увеличенное возрастание потерь в сравнении с ростом нагрузки, характерное в электрических, газодинамических и гидравлических агрегатах. В

электрических машинах, аппаратах и проводах это потери «в меди» (АРм), изменяющиеся квадратично относительно нагрузки. Также квадратично относительно нагрузки (подачи) изменяются газо- и гидродинамические потери в трубопроводах. В сложных газо-, паро- и гидроустановках расходные характеристики имеют степенную зависимость от 3-й до 6-й степени [Шичков, 2006].

Можно утверждать, что положительность второй производной функции потерь в элементе от нагрузки является общим свойством всех переделов, так при отрицательной второй производной расходная характеристика кривая АВ пересечет линию Л_1 = Л- и тогда количество отводимой энергии будет больше подводимой (рис. 1), а к.п.д. превысит 100 %.

В крайнем случае этот вид потерь (АРм) может быть принят линейным относительно нагрузки Р , если нелинейные свойства слабо выражены.

В общем виде расходная характеристика --го передела может быть описана с достаточной степенью точности полиномом т-й степени с положительной второй производной и постоянной составляющей:

»2

Р,-і = ДРао., + а,, ■ Р, + а2_, ■ Р, +...

+ ат, ■ Р’

(3)

Степени полинома для различных переделов приведены далее в формулах (4) - (14).

У такой характеристики две особые точки (см. рис. 1). В точке 1 при Р,=0 у ,-го передела при нулевой нагрузке имеются потери холостого хода ЛР0і. В точке 2, образованной касательной из начала координат к расходной характеристике - самый высокий к.п.д.

Общий вид (1-2-3) расходной характеристики подходит для адекватного представления расходных характеристик различных переделов

в соответствии с имеющимися представлениями [Борисов, Тихомирова, 2009]. Рассмотрим их конкретные формы на различных переделах с выделением составляющей на потери и собственные нужды для структуры переделов, характерных для топливно-энергетического хозяйства Республики Карелия.

Потребляемая мощность при добыче ископаемых топлив характеризуется зависимостью:

Р, = (1 + Й01) • Р, (4)

где расход на собственные нужды и потери

АР = о» • Р1,

а01 - доля расхода на собственные нужды от выдаваемой мощности.

При транспортировке твердых топлив

Р1 = (1 + а02 + а12 • 12 ) • Р2,

АР1 = а02 ^ Р2 + а12 ^ 12 ^ Р2, (5)

где а02 - доля расхода на собственные нужды, связанные с погрузкой и хранением его; а12 - удельные расходы топлива на транспорт [Эксергические расчеты.., 1991];

12 - расстояние транспортировки.

При транспортировке жидкого и газообразного топлива [Селезнев и др., 2007]

Р/= Р2' + АР2',

ДР; = ДР„ +ДРтр = а02 + аІ2 Р3 +

+ а 22 Р22 + аз2 Р23

(6)

где Рпс - потери мощности на перекачивающей (насосной или газокомпрессорной) станции,

Рпс = а02 + а12Р3 + а32Р2 , (7)

Ртр - потери мощности в трубопроводе [Се-

лезнев и др., 2007],

Ртр = а22 Р2, (8)

а22- гидравлическое или аэродинамическое сопротивление трубопровода.

Потребляемая мощность и ее потери в агрегатах тепловых и гидравлических станций [Ме-лентьев, Штейнгауз, 1959]

Р2 = Рз +АР3;

АР3 = а03 + а13Р3 + а23Р3 + а33Р3 . (9)

Потребляемая мощность и ее потери в линиях электропередач и трансформаторах электрических сетей

р3 = р4 +АР4,

АР4 = (а04 + а24 Р4) Р4, (10)

где а04Р4 - потери мощности в «стали»; а24 Р42- потери мощности в «меди».

Потребляемая мощность и ее потери при преобразовании электроэнергии в световую энергию

Р4=Р5+АР5, (11)

АР5 = Р; (1 -п), (12)

где п - к.п.д. источника света.

При преобразовании электроэнергии в механическую без регулирования частоты, напряжения потребляемая мощность и потери ее

Р=р; +ар;,

ар;=р + МсоПр ю, (13)

где ш = 2к/ - круговая частота;

РС|/ - потери холостого хода;

Мсопр - момент сопротивления на валу рабочего механизма.

Потребляемая мощность и ее потери при преобразовании электроэнергии в механическую с регулированием частоты [Шичков, 2006]

р; = р; +ар/,

АР5 = а05 + а15 Р5 + а23 Р52 + °35^ + (14)

+ а Р4 + а Р5 + а Р6

~ и45^ 5 ~ Ы551 5 ~ Ы6^ 5

Наличие в полиномах расходных характеристик или в характеристиках потерь членов второй степени и выше приводит к увеличению составляющей потерь энергии на переделе, зависящей от неравномерности графика нагрузки, характеризующейся в электрических сетях увеличением коэффициента формы графика (суточного, годового) [Красновский, 1988]. При увеличении показателя степени и коэффициента члена полинома характеристики потерь влияние неравномерности графиков нагрузки возрастает.

Это свойство - влияние неравномерности графика нагрузки на рост величины потерь, квадратичных относительно нагрузки, выявлено только у переменной части потерь в электрических сетях, чему посвящено несколько десятков работ, проанализированных в работе [Арутюнян, 2007].

Согласно одной из этих работ [Красновский, 1988], можно оценить меру влияния неравномерности графика нагрузки на технологический расход энергии в линиях электропередачи по графикам, показывающим, во сколько раз при неравномерном графике они больше при передаче той же энергии по равномерным графикам.

В нашей работе [Борисов, 1965] было показано, что и незначительные по величине случайные колебания нагрузки на гидро- и турбоагрегатах, вызванные колебаниями частоты системы и работой регуляторов мощности агрегатов, так-

же приводят к увеличению потерь мощности и увеличенному потреблению топлива на электростанциях.

Значит, имея в виду нелинейность характеристик потерь и неравномерность графиков нагрузок в системах энергоснабжения, можно с уверенностью полагать, что на каждом технологическом переделе с нелинейными расходными характеристиками происходит рост потерь энергии, вызванный временной неравномерностью нагрузок, который не учитывается при использовании нормативных усредненных показателей расходуемой энергии переделов.

Рассмотрим теперь последовательность технологических переделов.

В работах отечественных ученых [Баринов, Совалов, 1990] был предложен, обоснован и использован ряд приемов, упрощающих модели энергетических систем, построенных применительно к решению различных инженерных задач на основе пренебрежения (по сравнению с полной моделью) теми или иными факторами, оказывающими несущественное влияние на исследуемые параметры. Другой важной составляющей упрощающих модель приемов является энергетическое эквивалентирование. Построение эквивалентированных энергетических характеристик основывается на методах оптимизации режима эквивалентируемой части электроэнергетической системы, которые получаются в результате наивыгоднейшего распределения нагрузок между агрегатами и электростанциями этой части энергосистемы, а также эквивалентные характеристики электрической сети, представляющие собой линеаризованную зависимость потерь сети от активных мощностей электростанций и потребляемых нагрузок.

Пределом упрощающих и эквивалентируе-мых процедур при моделировании топливноэнергетического хозяйства для исследования потерь энергии может быть обобщенная линеаризованная модель системы, оценки потерь энергии в различных технологических переделах приведены в работах [Борисов, 2006; Макаров, Мелентьев, 1973]. Очевидно, что использование для исследования свойств потерь в целях дальнейшего их снижения в качестве объекта региона представляется более доступным по получению информации и объемам вычислений и в то же время представительным по полноте описания связей между переделами.

Представим топливно-энергетическое хозяйство региона (рис. 2) в виде линейной последовательности переделов, как это выпол-

fm \дрг fAPi \AP"

Ро Передел Передел Я2 Р' Передел р1 Рп-1^ Передел

1 2 / л

Рис. 2. Линейная последовательность переделов топливно-энергетического хозяйства

нено в работах [Борисов, 2006; Борисов, Тихомирова, 2009].

Рассмотрим потоки мощности на линейной последовательности переделов топливно-энергетического хозяйства. Исходя из баланса мощности, потребляемая мощность источника первичной энергии

р, = Р„ + £ Ар . (15)

]=1

Потребляемая на -- м переделе мощность Р-- 1 составит

Р , = Рп +АРп + АРп , +... + АР-,

, —1 п п п—1 , ’

, = 0, 1, ... , п-1,

тогда P = Pn + £ AP,.

(16)

(17)

j=i+i

г = 0, 1, ... , п-1.

Причем надо иметь в виду, что выходная мощность на каждом переделе является вложенной функцией от выходной мощности последующего:

P 1 = P +AP (P ),

n—1 n n V n ' ’

P 2 = P 1 +AP 1 =

n—2 n—1 n—1

= P +AP(P) + AP 1(P 1):

n n\ ns n—1V n— 1 '

P = P + AP +... + APi+1 =

(18)

in

где Рпк - конечная мощность п-го передела в к-й час года;

АР]к - потери мощности передела в к-й час года; А( - промежуток времени, равный часу.

Коммерческий учет фиксирует в точках раздела ответственности собственников показания счетчиков энергии, по которым определяются ежегодное получение и отпуск энергии по линиям электропередачи, газо- и нефтепроводам.

Формула (20), определяющая количество энергии на выходе г-го передела, одновременно определяет объем годовых продаж энергии г-го передела и объем годовых закупок энергоносителей ,+1 передела.

При существующем государственном регулировании тарифов на многие энергоносители их изменение происходит не чаще одного раза в год. В пределах этого периода при неизменном тарифе тг_\ затраты на покупку энергоносителя (топливная составляющая себестоимости электростанций, котельных) на г-м переделе

f8760 n 8760 Л

=т_1 -At- ^P-+££ap

' j

(21)

= Pn +APn (Pn) +... + AP,+1( P+1)

Линейная последовательность технологических переделов является обратной рекуррентной последовательностью, когда нагрузка каждого передела зависит от суммы нагрузки и потерь последующего.

Потребность в энергии i-го передела получается интегрированием уравнения (17):

T T n T

Wt = j Pdt = j Pndt + £ j APjdt. (19)

0 0 j=+1 0

В практике управления используется ежечасное фиксирование нагрузок по мощности в пределах одного года. Тогда

8760 n 8760

W = At - £ P- + At - ££ APj- , (20)

k=1 j=i+1 k=1

у к=1 ]=, к=1

Выручка г-го передела от продажи его энергии составит при тарифе т,

д = т • ж =

ii

8760

= т - At

n 8760

Л

£ P + £ £ap

jk

(22)

(23)

^к=1 j=,+1 к=1

Прибыль г-го передела [Клер и др., 2001]

л, = (, — а, — г, — К, • (а • + ап))•

• (1 — анп)

где г, - годовой фонд заработной платы на ,-м переделе;

К, - суммарные капиталовложения;

аа - доля годовых амортизационных отчислений

от капиталовложений;

ап - доля постоянной части годовых эксплуатационных издержек; анп - доля налога на прибыль.

С учетом формул (21) и (22)

л, = (тЖ—т—! ж——г,

— К, •(аа + ап))-(1 — анп) =

= ((т — Т—1)(жп + £ АЖ) — (24)

j=,■+l

— АЖ- • Т—1 — г, — К, •(аа + ап)•

•(1 — анп)

Существенно различаются по функциям, техническим и финансово-экономическим показателям два состояния системы.

Если в первом бездефицитном состоянии ее конечная мощность Рп меньше располагаемой, т. е. Ррасп п < Рп, то имеется резервная Ррез п = р - р 1 расп п 1 п •

При появлении дополнительной потребности в конечной мощности уп, меньшей или равной резервной (уп < Ррез п), потребуется лишь увеличение текущих значений мощности и издержек на всех предшествующих переделах, которые приведут к увеличению издержек конечного пользователя на величину Ип= у„-тп-Тп , где тп -тариф на конечный вид энергии; Тп - время использования дополнительной мощности. Если система находится во втором состоянии, то резерва располагаемой мощности нет Р = Р - Р = 0

1 рез п 1 расп п 1 п •

При исчерпании резерва системы обеспечение дополнительной потребности может происходить по двум вариантам.

При традиционном варианте системы для обеспечения дополнительной потребности необходим на последнем переделе ввод дополнительной мощности уп. На промежуточных ,-х переделах ввод мощности составит:

У, = Р ч(Р, + У, ) — Р—1(Р,) . Для ввода дополнительных мощностей в системе потребуются инвестиции:

К1( Уп ) = кпУп + кп—1 Уп—1 + ... +

+ к,У, +... + к1 У1 где к, - удельные капиталовложения на единицу установленной мощности и далее

К1 = кпУп + кп—1 • Рп—1( Рп—2 + Уп—2) —

— Рп—1( Рп —2) + -

(25)

+ к,-Р,—1( р + У, ) —

— Р—1( Р), + ..

+ к, •Р0(Р1 + У1) — Р0(Р1).

(26)

Считая, что вводится на ,-м переделе дополнительно величина мощности У, второго порядка малости, не изменяющая коэффициент полезного использования кпи, на каждом переделе, формулу (25) можно записать приближенно в виде:

К1(Уп ) = кпУп + кп—1

Уп

к

- +...

пи(п— 1)

+ к, —У—+... + к1 ¡=аУ

(27)

П кпи

,=п—1 7

П кпи1

Кроме того, рост потребляемой на каждом переделе мощности потребует увеличения издержек системы на всех переделах, пропорциональных увеличению мощности каждого передела. Рост издержек при регулируемых тарифах будет происходить за счет роста мощности на первом и последующих переделах и составит по всей системе величину не меньше И1= Тп- Уп Тисп п, где тп - стоимость конечной энергии; Тисп п -число часов использования мощности последнего передела; Уп - дополнительная мощность.

При энергосберегающем варианте обеспечение дополнительной мощности Уп возможно за счет снижения потерь последнего передела на величину - Уп. Для реализации такого пути потребуются инвестиции на осуществление энергосберегающего мероприятия только на этом

переделе К2(Уп ) = Кп (| — Уп |), а издержки на

всех переделах останутся неизменными.

В итоге первый вариант приращения мощностей потребует инвестиции на всех переделах и увеличения издержек К1(Уп) и И1. Второй вариант - инвестиций только на последнем переделе К2(Уп) и оставит неизменными издержки.

При К(Уп) > К2(Уп) и И1 > И2 (И2=0) второй вариант абсолютно эффективен.

При условии К1(Уп) < К2(Уп) и И1 > И2 требуется оценка их по чистому дисконтированному доходу:

ЧДД = К2( У„) — К1( Уп) + £

г=1(1+е у

(28)

и срокам возврата кредитов, полученных на энергосберегающие мероприятия.

Выводы

1. Расходные характеристики переделов топливно-энергетического хозяйства или их потери являются непрерывными, выпуклыми, монотонно возрастающими функциями от нагрузки, хорошо аппроксимируемыми полиномами т-й степени.

,=1

,=п

2. Благодаря членам полинома второй и выше степени потери энергии на переделах зависят как от среднего значения мощности, так и ее неравномерности, поэтому оценки потерь необходимо проводить по мгновенным или текущим значениям мощности.

3. Линейная последовательность переделов не имеет интегральных звеньев в большей части передела и является рекуррентной последовательностью, когда нагрузка каждого передела зависит от нагрузки и потерь последующего, а в конце концов от потребителя конечного вида энергии.

4. Потери мощности и энергии в абсолютном значении растут от конечного потребителя к первичному источнику, затраты в относительном и абсолютном значении наоборот. Вследствие этого конечный покупатель оплачивает все потери на предшествующих переделах.

5. При снижении конечного энергопотребления снижается прибыль на всех предшествующих переделах производственной части топливно-энергетического хозяйства.

6. Ввиду удаленных взаимосвязей финансово-экономические оценки энергосберегающих мероприятий в условиях отсутствия в системе резервов резко повышают свою эффективность за счет инвестиций на ввод новых мощностей на начальных переделах.

7. Существующие в соответствии с Киотским протоколом оценки выбросов парниковых газов, сжигающих топливо, привязанные к переделам, не учитывают основную первопричину их появления - потери энергии, являющиеся первопричиной выбросов парниковых газов в топливно-энергетическом хозяйстве.

8. На линейной последовательности переделов рыночные механизмы получения максимума прибыли стимулируют максимальное энергопотребление.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

Борисов Георгий Александрович,

старший научный сотрудник, к. т. н.

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910

эл. почта: borisov@krc.karelia.ru тел.: (8142)766312

Тихомирова Тамара Петровна,

ученый секретарь, к. т. н.,

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910

эл. почта: tihomiro@krc.karelia.ru тел.: (8142)766312

Литература

Арутюнян А. А. Основы энергосбережения. М.: ЗАО «Энергосервис», 2007. 600 с.

Баринов В. А., Совалов С. А. Режимы энергосистем: Методы анализа и управления. М.: Мир, 1990. 440 с.

Борисов Г. А. Метод расчета оптимальных установок регуляторов скорости гидро- и турбоагрегатов // Электрические станции. 1965. № 5. С. 49—51.

Борисов Г. А. Анализ эффективности энергетического хозяйства (на примере Карелии) // Труды КарНЦ РАН. Петрозаводск, 2006. Вып. 9. С. 3—8.

Борисов Г. А., Тихомирова Т. Л. Структурный анализ потерь энергии в электроэнергетическом хозяйстве Карелии // Ученые записки Петр ГУ. 2009. № 9(103). С. 93—97.

Клер А. М., Деканова Н. Л., Санеев Б. Г. и др. Оптимизация развития и функционирования автономных энергетических систем. Новосибирск: Наука, 2001. 144 с.

Красновский А. З. Моделирование графиков электрических нагрузок // Электрические станции. 1988. № 10. С. 41—46.

Макаров А. А., Мелентьев Л. А. Методы исследования и оптимизации энергетического хозяйства. Новосибирск: Наука, 1973. 274 с.

Мелентьев Л. А., Штейнгауз Е. О. Экономика энергетики СССР. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1959. 396 с.

Селезнев В. Е., Алешин В. В., Лрялов С. Н. Математическое моделирование трубопроводных сетей и систем каналов: методы, модели, и алгоритмы / ред. В. Е. Селезнева. М.: МАКС Пресс, 2007. 695 с.

Фортов В. Е., Фаворский О. Н. Состояние и основные проблемы энергетики России / Энергетика России: проблемы и перспективы: труды научной сессии РАН (Общее собрание РАН 19—21 декабря 2005 г.). М., 2006. С. 13—20.

Шичков Л. Л. Электрический привод. М.: КолосС, 2006. 279 с.

Эксергические расчеты технических систем: справочное пособие. Киев: Наук. думка, 1991. 360 с.

Borisov, George

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Akademu of Science 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia e-mail: borisov@krc.karelia.ru tel.: (8142)766312

Tikhomirova, Tamara

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Akademu of Science 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia e-mail: tihomiro@krc.karelia.ru tel.: (8142)766312