Исследование математической модели единичной технологической линии топливно-энергетического хозяйства региона Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Труды Карельского научного центра РАН № 5. 2011. С. 10-17

УДК 338.45:621.31(470.22)

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЕДИНИЧНОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ТОПЛИВНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ХОЗЯЙСТВА РЕГИОНА

Г. А. Борисов, Т. П. Тихомирова

Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН

В статье обосновывается математическая модель топливно-энергетического хозяйства региона в виде системы рекурсивных уравнений и изложены результаты аналитических и численных исследований ее, показывающие определяющую роль неравномерности графика конечной мощности в увеличении потерь мощности и энергии.

К л ю ч е в ы е c л о в а: технологические переделы, потери мощности, потери энергии, расходная характеристика, неравномерность графика нагрузки, стабилизация нагрузки.

G. A. Borisov, T. P. Tikhomirova. STUDY OF THE MATHEMATICAL MODEL OF A SINGLE PROCESSING LINE IN THE REGION’S FUEL-&-ENERGY SECTOR

The paper substantiates the mathematical model of the region’s fuel-&-energy sector through a system of recursive equations, and reports the results of its analytical and numerical studies, which demonstrate the irregularity of the output curve plays a decisive role in the increase in power and energy losses.

K e y w o r d s: process transitions, power losses, energy losses, metering characteristic, irregularity of the load curve, load stabilization.

Одним из наиболее общих и эффективных способов исследования сложных систем большой размерности является переход от исходной сложной системы к исследованию более простых систем, по свойствам которых можно восстановить точно или приближенно свойства исходной [Крон, 1972; Первозванский, Гайцгори, 1979]. Таким переходом от сложной системы к более простой является разделение системы на изолированные части, основанное на пренебрежении слабыми связями между ними.

Другим способом снижения размерности

сложных систем является агрегирование однотипных подсистем, используя малость различий между ними и допустимую возможность суммирования параметров таких подсистем.

Объединяющим эти два способа приемом в исследовании сложных систем является моделирование единичной нити или единичной технологической линии [Гуд, Макол, 1962], когда сложная система моделируется линейной последовательностью разнотипных подсистем технологических переделов, каждый из которых моделирует свойства агрегированных однотипных элементов.

0

Топливно-энергетическое хозяйство региона является сложной системой, поскольку оно обладает всеми ее чертами - целостностью, большой размерностью, сложностью прямых и обратных связей, нерегулярным распределением нагрузок во времени, наличием состязательных, конкурирующих сторон [Гуд, Макол, 1962]. Вследствие сложных связей и большой размерности топливно-энергетическое хозяйство необозримо [Макаров, Мелентьев, 1973], поэтому представим его в виде единичной технологической линии, образованной технологическими переделами.

Технологический передел образуется из отдельных однотипных составляющих, выполняющих одинаковые функции с близкими технико-экономическими характеристиками. Он описывается в установившемся режиме расходной характеристикой - функциональной зависимостью входной мощности от выходной.

Расходная характеристика г-го передела топливно-энергетического хозяйства, состоящего из множества однотипных параллельно работающих агрегатов, представляет собой нелинейную функцию мощности Рг-1, поступающей на элемент системы от его выходной мощности Рг, т. е. Р— 1 = /(Рг). Будем считать, что функция во всем диапазоне допустимого изменения нагрузки является дифференцируемой, выпуклой, монотонно возрастающей [Болотов, 1947].

Ввиду отсутствия идеальных элементов и обязательного наличия потерь мощности и ее расхода на собственные нужды всегда

Рг-1 > Рг, (1)

Рг-1 = рг + ДРг> (2)

где ДРг - потери мощности и ее расход на собственные нужды в г-м элементе системы.

Величины ДРг могут быть разделены на две составляющие - постоянную и переменную, зависящую от величины выходной мощности (нагрузки) передела Рг. Постоянная составляющая образуется так называемыми потерями холостого хода ДРог, идущими у энергетических и технологических машин на различные виды трения, у электрических аппаратов переменного тока - на потери мощности холостого хода, обусловленные вихревыми токами магнитопроводов, у линий электропередач высокого напряжения переменного тока -тлеющим разрядом проводов, утечками тока по изоляторам.

Переменная составляющая потерь мощности обычно представляется нелинейной функцией с положительной второй производной,

характеризующей увеличенное возрастание потерь в сравнении с ростом нагрузки. В электрических машинах, аппаратах и ЛЭП это потери «в меди» (АР), изменяющиеся квадратично относительно нагрузки. Также квадратично относительно нагрузки (подачи) изменяются потери напора в газодинамических и гидровлических процессах и в третьей степени - потери мощности.

В соответствии с располагаемой информацией [Борисов, Тихомирова, 2010], получаемой с помощью действующей системы коммерческого учета, в единичной технологической линии регионального энергетического хозяйства Карелии (рис. 1) можно выделить следующие переделы с однородными технологическими преобразованиями энергии:

• добыча и транспортировка природного газа;

• производство тепла паровыми котлами;

• производство электроэнергии паровыми турбогенераторами;

• транспорт электроэнергии по линиям электропередачи;

• преобразование электроэнергии в конечные виды или услуги центробежными агрегатами с частотно-регулируемыми электроприводами.

Источником первичной энергии выбран природный газ, превалирующий на ТЭЦ Карелии. Выбор в качестве последнего передела центробежных электронасосных, вентиляторных и компрессорных агрегатов обусловлен значительной долей (до 25 %) вырабатываемой электроэнергии, потребляемой ими.

Исходя из данных коммерческого учета [Борисов, Тихомирова, 2010] и гидродинамических процессов на газопроцессорных станциях и газопроводах, расходная характеристика первого передела описывается уравнением

Ро = 0, 09Рн 1 + Р1 + 0,1803РН1 (, (3)

где Рні - номинальная мощность первого передела. Для второго передела расходная характеристика паровых котлов (аналогичных котлам БК3-420) с паспортным к.п.д. 90,5 % [Горшков, 1949]

Рі = 0, 0203Ря2 + Р2 + 0, 41Рн2 (, (4)

где Рн2 - номинальная мощность второго передела.

Добыча и Произ- Произ- Транспорт Подача

Ро транспорт Рі водство Рі водство Рз эл екгр о- Рі воды

природного газа П Э р Э электро- энергии ер Г ИИ систем о и водоснабжения

Рис. 1. Структурная схема единичной технологической линии энергетического хозяйства региона

Для теплофикационных паротурбогенера-торов с регулируемым отбором пара учетом собственных нужд расходная характеристика [Горшков, 1949] составится из двух прямолинейных отрезков, описываемых двумя линейными уравнениями:

Р2 = 0, 068Рнз + 2, 065Рз (5)

при Рз ^ 0, 78Рнз,

Р2 = 0, 068Рнз + 2, 065Рз+

+ (2, 95 - 2, 065)(Рз - 0, 78Рнз) (6)

при 0, 78Рнз < Рз ^ Рнз,

где Рнз - номинальная мощность третьего передела.

Электрическую сеть со среднегодовым уровнем потерь энергии в 11,8 % с учетом заполнения графика нагрузки 0,68, удельного времени потерь т = 0,498, потерь холостого хода можно представить в виде эквивалента с расходной характеристикой [Железко и др., 2006]

Рз = 0,0205Рн4 + Р4 + 0,157Рн4 (Р^) , (7)

где Рн4 - номинальная мощность четвертого передела.

Последний передел — центробежный электронасос с водопроводной сетью может быть описан уравнением

Р4 = ° 8Рн5 + Р5 + 4, 6Рн5 ^РР^

где Рн5 - номинальная мощность пятого передела.

Уравнение (8) получено по экспериментальным данным публикации [Сарач, Бастун-ский, 1995]. В уравнении (8) Рн5 = 2,35 кВт.

В целом единичная технологическая линия топливно-энергетического хозяйства описывается системой рекурсивных уравнений

Р4 = ° 8Рн5 + Р5 + 4, 6РЯ5 (рн') ;

Рз = 0, 0205Рн4 + Р4 + 0,157Рн4 (;

Р2 = 0,068Рнз + 2,065Рз при 0 < Рз < 0, 78Рнз;

< Р2 = 0, 068Рнз + 2, 065Рз + (2, 95 - 2, 065)(Рз - 0, 78Рнз) при 0, 78Рнз < Рз ^ Рнз;

Рі = 0, 0203Рн2 + Р2 + 0, 41Рн^з;

^ Ро = 0, 09Рні + Рі + 0,1803Рні (рН) з.

(9)

При ря5= 2,35 кВт, ря4= 15,04 кВт, Ряз = 17,71 кВт, Ря2= 41,22 кВт, Ря1= 58,96 кВт в соответствии с системой уравнений (9) мгновенное значение мощности каждого Р^ передела нелинейно зависит от мощности системы на ее выходе Р5 (рис. 2). Потери мощности на каждом г-м переделе равны разности мощностей на его входе и выходе ДР^ = Р^(Р5) —

Р^_ 1 (Р5) и зависят однозначно от величины конечной мощности.

Эффективность каждого передела принято оценивать по максимальному значению коэффициента полезного использования (к.п.и.), равного максимальному значению отношения выходной мощности к входной, т. е.

Pi (P5) Pi-1 (P5) ■

(10)

n

Рис. 2. Зависимость мощностей переделов от конечной мощности Р5

Из таблицы следует, что максимальные к.п.и. переделов и всей технологической линии достигаются при различных значениях конечной мощности, определяющей однозначно потери мощности на каждом переделе.

Известно, что в связи с изменением во времени передаваемой мощности в линиях электропередач изменяется величина нагрузочных потерь энергии в зависимости от характеристик графика нагрузки - коэффициента формы, числа часов наибольших потерь [Железко и др., 2006]. Влияние изменчивости графика нагрузки, тем более конечной нагрузки, на других переделах и в целом по энергетическому хозяйству неизвестно. Кроме того, графики нагрузок имеют значительную случайную составляющую, обусловленную непредсказуемыми изменениями влияющих на энергопотребление природных и антропогенных факторов. Ввиду этого рассмотрим на г-м переделе с расходной характеристикой, ограничившись полиномом третьей степени

Зависимость к.п.и. каждого передела и всей технологической линии иллюстрирует рис. 3.

Р— 1 — a0i + a1iPi + a2iPi + a3iPi

(11)

1

п я — Р5/Р0

П Р5/Р4

Р4/РЗ

U,4 П 1 —-РЗ/Р2

^— - - Р2/Р1

0 с 1 2 1 Р1/Р0

Рис. 3. Зависимости к.п.и. от конечной мощности

Численные значения максимальных к.п.и. и значения конечной мощности Р5, при которых они достигаются, приведены в табл. 1.

Таблица 1. Значения максимальных к.п.и.

к.п.и. P5, кВт

П — 6, 67 1,35

7 5 1,05

П4 — 89, 8 1,4

Пз — 46, 5 2,12

П2 — 90, 5 1,3

П1 — 82, 3 2,13

(здесь а^, к = 0,1,2,3 - положительные коэффициенты)

влияние простейшего циклического процесса изменения графика нагрузки Р* с двумя равновеликими отклонениями во времени ±ДР* от среднего значения Р*ср за период Т (рис. 4).

Рис. 4. Простейший график изменения нагрузки Р* = f (£)

Тогда в первый полупериод потребляемая переделом энергия ^1 составит:

0

W1 = Т • Р-1 {Р ср + АРг) =

Т ( ^

= ~2 [а°г + ^ ^ акі Р ср + АРг, к= 1

(12)

Во второй полупериод потребляемая переделом энергия №2 составит:

Т

№2 = - • Рг-1 (Рг ср - АРг) =

Т (

2

3

(аог + акг {Рг ср — АРг) ^. (13)

к= 1

Потребление энергии і-м переделом за весь период Т:

№ = №1 + №2 = Т аог + а 1 гРі ср+

+ а2г {Рг2ср + АРг2) + (14)

+ азг {Рг3ср + Ргср • АРг2 + Рг2срАРг2)

В сравнении с равномерным графиком нагрузки, когда Рг = Рг ср, а

№р = Рг ср • Т =

= Т (аог + а1гРг ср + а2гРг2ср + азгРг3ср) (15)

потребление энергии і-м переделом увеличилось на величину

А№ = № - №р = а2гАР2ср+

+ азгРг ср • АРг2 + азгРг2ср • АРг. (16)

Таким образом, отклонение на переделе мощности от средней стабильной приводит к увеличению потерь мощности на величину, зависящую от коэффициентов расходной характеристики при нелинейных членах и от величины отклонения от среднего. От величины постоянного и линейного члена расходной характеристики потери мощности при неравномерности нагрузки не зависят.

Рассмотрим единичную технологическую линию с расходными характеристиками технологических переделов, описываемых системой (9). Каждая расходная характеристика является полиномом второй или третьей степени с положительными коэффициентами у свободного члена (условно-постоянными потерями,

не зависящими от нагрузки) и положительными коэффициентами у членов первой, второй и третьей степени. Ввиду этого расходные характеристики являются непрерывными выпуклыми функциями с положительными производными.

В технологической линии управляющим параметром является мгновенное значение мощности последнего передела Р5. В однозначном соответствии с этим параметром определяются мощности всех предшествующих переделов Р4, Р3, Р2, р1 и Р0 по уравнениям (9). Разница между входной и выходной мощностью передела определяет потери мощности г-го передела, зависящих от мощности последующего и в конце концов зависящих от конечной мощности потребителя.

Известно, что потребление конечной мощности потребителей энергосистемы в большинстве случаев изменяется во времени с характерными суточными, недельными, годовыми циклами и случайными составляющими, прогнозирование которых имеет высокую степень неопределенности. Оценим влияние на потери энергии неравномерности графиков нагрузки. Для технологической линии переделов проведен расчет потребляемой мощности, энергии и потерь энергии при различных формах графиков, приведенных на рис. 5. Все эти суточные графики имеют одинаковую конечную энергию, равную 28,2 кВт-ч, и одинаковый коэффициент заполнения [Железко и др., 2006]

Рт

Ртах ' 24

т 1 тах 1 тах (л

=-------=------------, (17)

3 Р № , у 7

равный 0,5, но существенно отличаются формой (рис. 5). В табл. 2 приведены результаты расчета энергетических характеристик переделов и всей технологической линии.

Рис. 5. Суточные графики потребления конечной энергии

к

0

Таблица 2. Результаты расчетов

№ гра- фи- ка Вид графика Потребление первичной энергии №0, кВт Увеличение №0 из-за неравномерности графика, % Максимум первичной мощности, кВт Потери первичной энергии Максимум потерь первичной мощности

1 Коммунальная нагрузка 588,7 136,6 74,9 560,5 72,55

2 Линейный рост нагрузки до Р5 571,4 132,5 74,9 543,2 72,55

3 Равномерная нагрузка 431,0 100 12,5 402,8 10,15

4 Постоянная нагрузка 12 час. 1042,8 241 74,9 1014,6 72,55

Анализ табл. 2 показывает, что при одном и том же количестве потребляемой конечной энергии и конечной максимальной мощности:

• потери энергии каждого передела определяются однозначно графиком конечного потребления, увеличиваясь от конечного передела к первому, и зависят от неравномерности графика;

• на потери энергии оказывает сильное влияние неравномерность графика нагрузки потребителя, увеличивая их в системе на 32,5-141 %;

• при неравномерном графике нагрузки требующаяся пиковая первичная мощность может возрастать в 6 раз.

Ввиду сильного влияния неравномерности потребляемой конечной энергии необходимо определить возможность снижения потерь энергии от неравномерности потребления конечной энергии путем сглаживания неравномерности.

Для снижения потерь энергии, вызванных неравномерностью графика потребления мощности, определим закон регулирования во времени выходной мощности г-го передела единичной технологической линии, расходная характеристика которого является в общем случае полиномом т-й степени:

р-1 = а0г + а1гРг + а2гр2 + ... + атгРГ, (18)

где Рг-1 - мощность на входе г-го передела; Рг - мощность на выходе передела. Мощность на выходе передела изменяется во времени по графику (рис. 6).

\ 2 ... і ... п

Рис. 6. График мощности на выходе і-го передела Рі = f (А^)

Энергия на выходе передела за промежуток времени Т = п • Аіу составит величину:

П

№г = £ Аіу • Ру. (19)

І=1

Требуется найти множество таких {Рг1, Рг2, ... Ргу, ... Ргп}, чтобы сумма потерь энергии на і-м переделе была минимальна.

При заданной суммарной энергии на выходе передела №г, минимум суммы потерь энергии на і-м переделе будет соответствовать минимальной сумме энергии на его входе, т. е.

П

тіп №г-1 = £ Ау Рг-1, у (Ру). (20)

У=1

При выборе одинаковых интервалов Аіу = Аі

П

тіп №г-1 = тіпАі £ Рг-1, у (Ру). (21)

у=1

С учетом условия (19) сформулирована задача нахождения условного минимума методом

неопределенных множителей Лагранжа, при котором условием достижения минимума является равенство производных:

дРг-1, 1 = дРг-1,2 = = дРг-1,п (22)

дРг,1 дРг,2 ... дРг,„ ,

или:

а1г + 2а2гРг1 + ... + татгРг1 =

= а1г + 2а21Рг2 + ... + татогРг?2' 1 =

(23)

= а1г + 2й21Ру + ... + татгРт 1 =

= а1г + 2а21Рг п + ... + тато гРгт 1.

Решение системы уравнений (23) дает

Рг 1 = Рг2 = ... = Рг; = ... = Рп

т. е. минимум потребляемой энергии на г-м переделе и, следовательно, минимум потерь энергии на нем получается в случае постоянства мощности на выходе передела, равной среднему значению мощности за рассматриваемый период. Действуя аналогичным образом, получаем при нелинейных расходных характеристиках такой же вывод для всех переделов технологической линии, а также и для единичной технологической линии в целом.

Таким образом, нелинейность расходных характеристик технологических переделов единичной линии и неравномерность графика конечной мощности являются причинами значительного увеличения потерь первичной мощности и энергии, которые можно снизить при том же количестве конечной энергии выравниванием графика потребляемой конечной мощности.

Выводы

Анализ математической модели единичной технологической линии топливноэнергетического хозяйства региона показал:

1. Мощность переделов технологической линии однозначно определяется конечной потребляемой мощностью.

2. Максимальные значения к.п.и. всей технологической линии и ее переделов достигаются при различных значениях конечной мощности.

3. Неравномерность графика мощности передела, вызванная отклонением ее от среднего стабильного значения, приводит к увеличению потерь мощности на величину, зависящую от коэффициентов расходной характеристики переделов при нелинейных членах и от величины отклонения мощности от ее среднего значения.

4. Потери энергии на переделах и технологической линии зависят не только от количества конечной энергии, коэффициента заполнения графика ее получения, но и от формы графика конечной мощности.

5. Условный минимум потерь энергии на отдельном переделе и технологической линии достигается при ее потреблении с постоянной мощностью.

6. Численное моделирование коммунальнобытовых нагрузок топливно-энергетического хозяйства региона показало, что наименьшие суммарные потери мощности технологической линии составляют свыше 93 % от первичной мощности, неравномерность графика конечной нагрузки приводит к увеличению потерь энергии на 36 % и потерь первичной мощности в 6 раз в сравнении со стабильным режимом потребления.

7. Потери мощности и энергии, вызванные неравномерностью графика конечной нагрузки, могут быть снижены путем его выравнивания.

ЛИТЕРАТУРА

Болотов В. В. Теоретические основы выбора экономического режима электроэнергетической системы. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1947. 278 с.

Борисов Г. А., Тихомирова Т. П. Характеристики и свойства потерь энергии и мощности на переделах энергетического хозяйства региона // Труды Карельского научного центра Российской академии наук, 2010. № 3. С. 4-10.

Горшков А. С. Технико-экономические показатели электрических станций М.; Л.: ГЭИ, 1949. 287 с.

Гуд Г. Х, Макол Р. Э. Системотехника. Введение в проектирование больших систем. М.: Сов. Радио, 1962. 383 с.

Железко Ю. С., Артемьев А. В., Савченко О. В. Расчет, анализ и нормирование потерь энергии в электрических сетях. М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2006. 280 с.

Крон Г. Исследование сложных систем по частям (диакоптика). М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1972. 544 с.

Макаров А. А., Мелентьев Л. А. Методы исследования и оптимизации энергетического хозяйства. Новосибирск: Наука, 1973. 274 с.

Первозванский А. А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, Главная редакция физикоматематической литературы, 1979. 344 с.

Сарач Б. М., Бастунский А. М. Заводские и натурные испытания насосных агрегатов с преобразователями частоты // Электротехника. 1995. № 7. С. 19-20.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

Борисов Георгий Александрович

старший научный сотрудник, к. т. н.,

Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН

ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика

Карелия, Россия, 185910

эл. почта: borisov@krc.karelia.ru

тел.: (8142) 766312

Тихомирова Тамара Петровна

ученый секретарь, к. т. н.,

Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН

ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: tihomiro@krc.karelia.ru тел.: (8142) 785520

Borisov, George

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Science 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: borisov@krc.karelia.ru tel.: (8142) 766312

Tikhomirova, Tamara

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Science 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: tihomiro@krc.karelia.ru

tel.: (8142) 785520