Характер формоизменения при изотермическом стесненном деформировании анизотропной листовой заготовки в прямоугольнуюматрицу Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.983; 539.374

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф.,

(4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru,

С.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ХАРАКТЕР ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ СТЕСНЕННОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ АНИЗОТРОПНОЙ ЛИСТОВОЙ ЗАГОТОВКИ В ПРЯМОУГОЛЬНУЮ МАТРИЦУ

Представлена геометрическая модель изотермического стесненного деформирования анизотропной листовой заготовки, закрепленной по контуру, в прямоугольную матрицу в режиме кратковременной ползучести. Приведены основные уравнения и соотношения для определения напряженного и деформированного состояний анизотропной листовой заготовки при стесненном ее формоизменении в прямоугольную матрицу.

Ключевые слова: напряжение, деформация, ползучесть, анизотропия, формоизменение, матрица, пневмоформовка, стесненное деформирование.

В многослойных листовых конструкциях прямоугольные элементы получают пневмоформовкой листов (заполнителей), предварительно жестко соединенных по контуру с наружными листами (обшивками) до полного их прилегания к последним. Считаем, что процесс формообразования осуществляется в две стадии: свободное деформирование оболочки (рис. 1) и формообразование угловых элементов конструкций в соответствии с рис. 2 и 3.

Свободная формовка оболочки до момента ^, когда оболочка достигнет обшивки, рассмотрена в работах [1, 2]. Проанализируем вторую стадию деформирования. Рассмотрим формирование углового элемента

оболочки в плоскостях симметрии уог и хог. Предполагается, что Ь > а > И]_. Считаем, что материал заготовки анизотропный; главные оси анизотропии совпадают с осями координат х, у, г. Заготовка была вырезана таким образом, что большая сторона ее совпадает с направлением оси у (перпендикулярна направлению прокатки х). Предполагаем, что известны давление р\, высота оболочки И, накопленная повреждаемость Юд и распределение толщины оболочки / = /^(ф) в момент ? = ?!, где ф -угол, характеризующий положение точки на угловом элементе заготовки.

Рис. 2. Формообразование угловых элементов в плоскости уог

Рис. 3. Формообразование угловых элементов в плоскости хог

Предлагается следующая схема деформирования оболочки на второй стадии деформирования при ? > ^. После контакта вершины купола с

обшивкой допускается, что реализуется равномерное деформированное состояние, т.е. толщина оболочки меняется равномерно в каждой точке оболочки от начальных размеров при t = ^, а форма деформируемой угло-

вой части оболочки в плоскости хог сохраняет форму части окружности, а в плоскости уог - сначала форму части эллипса с последующим переходом в форму части окружности.

На первом этапе второй стадии деформирования в плоскостях уог

и хог формируется плоский участок в окрестности вершины купола (прилипание плоского участка к верхней части матрицы) до момента, когда 51 = 51* = Ь - И и 53 = 53* = а - И соответственно. В дальнейшем на втором этапе второй стадии происходит симметричное деформирование оболочки относительно новых осей симметрии ^2^2 и 03О3 с образованием симметрично плоских участков в угловой части оболочки; при этом форма деформируемой свободной угловой части в указанных выше плоскостях имеет форму части окружности (см. рис. 2 и 3). Принимается, что на первом этапе деформирования в плоскости уог форма эллипса сохраняется, полуось его ОС не изменяется, оставаясь равной И\, а полуось 0d изменяется от размера Ь до размера И\, после чего реализуется второй этап второй стадии деформирования с изменением формы оболочки на часть окружности.

В дальнейшем будут рассматриваться следующие возможные ситуации на втором этапе второй стадии деформирования:

1) 5! < 5!*, 53 < 53*;

Рассмотрим два близких деформированных состояния на первом этапе второй стадии формоизменения в плоскости уог с длиной средней линии свободной поверхности оболочки в виде эллипса Ь0 и длиной участка контакта 51 и второе с длиной средней линии свободной поверхности оболочки />1 и длиной участка контакта 51 + dSl. При переходе из первого состояния во второе периметр эллипса и приращение меридиональной деформации определяются по формуле

где Ь и И - полуоси эллипса.

Скорость деформации при этом в меридиональном направлении, когда длина участка контакта равна 51, будет определяться по выражению

2) 5і < 53 > 5з*(4 > 0);

3) 51 > (52 > 0), 53 > 53* (54 > 0).

Л

(2)

где

^1 )=

- 0,5 + 2^щКъ-81)

(3)

1,5(Ь - 5 + Н1))(Ь - 51)+ 4^х/п ‘

Теперь рассмотрим два близких деформированных состояния на первом этапе второй стадии формоизменения в плоскости х'о^', параллельной плоскости хог при у = 51: одно с радиусом срединной поверхности р и длиной участка контакта 53 и второе с радиусом р + йр и длиной участка контакта 53 + й53. Предполагаем, что 53 < а - Н1.

При переходе из первого состояния во второе приращение окружной деформации вычисляется по выражению

р уйа + йр х а + й53

Лє х =

р ха + 53

Определим входящие в эту формулу величины

(4)

а

tg-

2 а - Я

а = 2агctg

3

а - Я

; Ла = 2

НіЛЯз

3

(а - Я3)2 + Н12

рх =(а - ^ + н2 ; Лрх

2 Н

1

(а - Я3)ЛЯ3

Н1

(5)

После подстановки полученных выражений в соотношение (4)

найдем

2 Н

\ а - Яз Ні Л

1--------аг^

Лє х =

Н

1

а-Я

[(а - Яз)2 + Н,2]аг^^1- + Н1Яз

а-S3

Л5з

(6)

Скорость деформации в окружном направлении, когда длина участка контакта станет 53, находится по формуле

I х = Р2 (з )

Л

(7)

где

2Н

Р2 (з )

Н

1

а - Я

з

[(а - Яз)2 + Н12]аг+ Н1Яз

(8)

а - Я

з

Заметим, что одновременно с образованием участка контакта £ в плоскости уог происходит формирование участка контакта £3 в плоскости, перпендикулярной ей, т.е. в плоскости Х02 , и связь между ними заранее не известна. Это обстоятельство существенно затрудняет анализ формоизменения.

Предположим, что £1 > £1* = Ь - Щ, т.е. £2 > 0. В этом случае формируется участок контакта симметрично относительно оси О^Р'^. Рассмотрим два близких симметричных деформированных состояния оболочки в угловой части заготовки на втором этапе второй стадии. При переходе из первого состояния во второе приращение меридиональной деформации находится так:

п

Ф у 2+Ш2

р у 2+2S2 + *$!*

Согласно рис. 2 имеем

р у

Н1 - ^2-

следовательно, получим

dp у = —dS2

(9)

(10)

(11)

Выражение (9) принимает вид

ds

Ґ -пЛ 2-2 2

V

dS2

у

у Ґ пл

2--V 2 У

п

(12)

S2 + Н1 2 + ^1*

а скорость деформации будет определяться по выражению

5 у = Р (£2 )«2,

(13)

где

2-2 2 у

V

А -Л 2-2 2

V

S2 + Н 2 +

(14)

Рассмотрим теперь случай, когда в плоскости х'о^', параллельной плоскости хо2, при у = £1 £1* = Ь - Щ; £3 > а - Щ, т.е. £1 > 0 .

В этом случае приращение окружной деформации будет вычисляться так:

п

dp х 2 + 2dS4 р х 2 + 2*^4 + *^3*

(15)

Согласно рис. 3 имеем

Откуда следует, что

р х = Н1 - *^4-

dp х = —dS4.

(16)

(17)

После подстановки выражений (16) и (17) в соотношение (15) полу-

чим

Ґ -\

2 — 2

2

V

dS4

у

2 — 2

2

^4 + н12 + *^3*

(18)

а скорость деформации будет определяться по выражению

5 х = Р (£4 &,

(19)

где

Ґ -\

2 — 2

2

V

У

А -Л

2 — 2

2

V

2

S4 + Н12 + *%*

(20)

В случае, когда £2 > 0 (£1 > £1* = Ь - Щ), £4 > 0 (£3 > £3* = а - Щ) компоненты скоростей деформаций 5х и 5у находятся по формулам (19) и

(13). В дальнейшем будет рассмотрен вопрос по определению £3 и £4, если известны величины £1 и £2.

Компоненты напряжений ах и ау определяются из уравнения равновесия безмоментной оболочки, нагруженной равномерным давлением р

а

у

Ру Р

х

Р

И

(21)

и соотношений для определения отношений скоростей деформаций 5х и

5у, полученных из ассоциированного закона течения [1]:

£ х КуКх (ст х — у ) + Яу а х

(22)

ху

х у у

Решая совместно систему уравнений (21) и (22), найдем

у

рру

И '

ґ

1+ Х

Р

л

у

V Р х у х- у,

(23)

(24)

где

Здесь

Х =

£ хЯх (1 + Яу ) + £ уЯхЯ

уху

£ уЯу (1 + Ях ) + £ хЯхЯ

(25)

хху

Р

х

если £3 < £3* = а - Щ если £3 > £3*(£4 > 0),

(а — Sз)2 + н12 " 2Н1

Р х = Н1 — ^4,

Р у = (ь — ад2 н2

2

г

+

у

2

\3/2

если 51 < 51* = Ь — Н

Н4 (Ь — * )4

Р у = Н1 — S2,

(26)

(27)

(28)

(29)

если £1 > £1* = Ь - #1(52 > 0).

Подставив выражения для определения напряжений (23) и (24) в некоторой точке £1 = £1 границы контакта в момент ? в плоскости уох в соотношение (22), получим

5 х = (30)

5х=А($)

5 у

В соответствии с указанными выше предположениями, величины радиусов кривизны на границе контактных участков в плоскостях уох и х'012' будут определяться по формулам (26) и (27):

р (Ь - ЗД2. р (а - Я3)2 + Я,2, рх (а - Я3)2 + Щ2

ру _ Тт ; рх _ ^ тт ; _ л/7 ^ ч , (31)

Н1

'1 2И1 ру 2(Ь - £1)

если £1 < £1* и £3 < £3* .

Предположим, что известно £1 = ^(^) при ? > 11 и, следовательно,

I

^, где 11 - время, когда вершина купола достигнет обшивки в плоскости

dS

ув2.

Используя соотношения (2), (7) и (30), получим следующее уравнение для определения £3 :

^3. = ДО Р1^1) dSl

Ж р2 (£3 ) Ж

где Р1(£1), Р2 (3 ) вычисляются по формулам (3) и (8) соответственно.

Это уравнение можно решать методом последовательных приближений численно путем перехода к конечно-разностному уравнению

Построение решения начинается с момента времени ^ = ^1 + .

Принимается в первом приближении, что Л(^) = Л(^). Величина Л(^) известна на основании решения задачи о свободном деформировании оболочки.

На каждом последовательном приближении уточняется величина рх по формуле (31) и Л^п) - по формуле (30), ^(£3) - по формуле (8). Величина радиуса кривизны ру находится по формуле (31).

Процесс уточнения величины £3 останавливается, когда разность двух последовательных приближений не превосходит заранее заданной величины. Зная изменение величин £1 и £3 во времени, находятся скорости деформаций 5у и 5х в каждой точке £1. Такой подход будет справедливым, если £1 < £1* и £3 < £3*. В случае, если будет нарушаться одно из указанных неравенств, то радиусы кривизны должны определяться по формулам (26) - (29) в соответствии с рекомендациями, указанными выше. При этом должны использоваться уравнения (2), (7), (13), (19) в зависимости от возникающей ситуации.

Пусть выполняются неравенства £1 < £1*, £3 > £3*(£4 > 0). При этом величины р у и рх будут определяться по формулам

£3(?п ) = £3 (?п-1) + Л(?)

Ж £1, *п )

[ £1^п) - £1^п-1)]. (33)

Р2( ^, 1п-1)

р = (Ь - £1) . р = И £

ру =--------- --------; рх = М1 - £4 .

Щ1

(34)

В формулу (30) нужно подставить выражение

р х _ (Щ1 - £4) Щ1

(35)

р у (Ь - ЗД2

и принять во внимание, что

5у = Р‘(£>)ЖГ’ 5х = Р4(ЗД54,

(36)

где

С другой стороны, согласно (30) и (34) имеем

= 4(;). (38)

£х

5 у

Для определения £4 и £4 при известной величине £1 = £1() получим уравнение

—4 = Л^ )Р£)^ (39)

Ж п УР4(£4) Ж

которое может быть решено методом последовательных приближений таким же образом, как уравнение (32):

£ л(^п) = -1) + Л^,) /;£(/п)])] [ ЗД» ) - ^-1)]. (40)

Р4[ £ 4(1п-1)]

Рассмотрим случай, когда £ >£1*(£2 >0), £3 >£3*(£4 >0). При этом радиусы кривизны рх и р у будут определяться при известной величине £2 по формуле

р х = Щ1 - £4; р у = Щ1 - £2, (41)

а их отношение по выражению

р х = Щ1 - £4 (42)

р у Щ1 - £2

Скорости деформаций в точке £2 могут быть найдены по выражениям

5 у = Р3(£2)£2 ; 5 х = Р4(£4)£4. (43)

С другой стороны, согласно выражениям (30) и (42) имеем

Iх = Л2(<). (44)

5у

Для определения £4 и £4 при известной величине £2 = £2 (1) получим

Ж£± =л2(,)Р3(£2)£2 . (45)

Ж 2Ч' Р4(£4)

Это уравнение также может быть решено методом последовательных приближений:

£4(1п) = £4(1п-1) + Л2(1п-1) )])] [£2(1п) - £20п-1)]. (46)

Р4[£ 4(1п-1)]

Последовательные приближения реализуются так же, как в предыдущих случаях.

Имея в распоряжении 5х и 5у в точке £1, можно из условия несжимаемости материала найти

ЖИ _ ч Ж£1 Ж£3

-^1(£1)-1 - ^(£3)-^, (47)

ИЖ Ж Ж

если £1 < £1* и £3 < £3* .

Принимая во внимание, что при этих условиях

= Л(1) ^1(£1) Ж1, (48)

Ж р2(£3) Ж

получим

~ = -[ Л() + ЦВД)^. (49)

И Ж Ж

Запишем это уравнение в конечных разностях и определим из него изменение толщины за время А? = 1п - 1п-1:

Ьк($п) = И(1п-1)[1 + Л(1) ]^1 (£1) Л(1 Шп), (50)

где И(1п-1) - толщина оболочки в точке при 1 = 1п-1, которая по траектории попала в точку £1(1п). Толщина в точке £1(1п) будет определяться по формуле

И[£1 (?п)] = И(?п-1 ){1 - [ Л(1) + ад (£1 )[£1 (?п) - £1(?п-1)]}. (51)

Поступая аналогичным образом в случае, когда £1 < £1*, £3 > £3* (£4 > 0), найдем

И[ £1 (?п)] = И(?п -1){1 - [ Л1 (?) +ВД (£1)[£1 (?п) - £1 (?п-1)]}, (52)

а в случае £1 > £1*(£2 > 0), £3 > £3* (£4 > 0) имеем

И[£2(1 п)] = И(?п-1){1 - [Л2(1) +ВД(£2)[£2(?п) - £2(?п-1)]} . (53)

Рассмотрим вопрос о формоизменении и изменении толщины оболочки в плоскости хо2. Поступим так же, как и в предыдущем случае. Определим отношение скоростей деформации в некоторой точке £3 = £3, границы контакта в момент 1 в плоскости хо2 , используя ассоциированный закон течения и выражения для нахождения напряжений (23) и (24) в соотношении (22). Получим соотношение (30).

В соответствии с принятой схемой деформирования величины радиусов кривизны на границе контактных участков в плоскости хо2 и плоскости у'ох', параллельной уо2 будут определяться по формулам (31), если

£3 < £3*, £1 < £1*.

Если известно £3 = £3 (1) и, следовательно, -3- при 1 > ?1, то, ис-

Ж

пользуя соотношения (2), (7) и (31), получим следующее уравнение для определения £1 :

Ж£1 1 ^(£3) Ж£3

ж Л(1) ■к£1) ж

Откуда следует по аналогии с предыдущим

(54)

1 ■2(£3)

ЗДп) = ЗДп-1) + Л(-Г ■ [£3(1п) - £3(1п-1)]. (55)

Л(1) Ч£1(1п-1)]

Это будет справедливо, если £3 < £3*, £1 < £1*.

На каждом последовательном приближении уточняются величины ру по формуле (31), Л(1п) - по формуле (30), Fl(Sl) - по формуле (2). Если будут нарушаться указанные выше неравенства, то радиусы кривизны

должны определяться по формулам (26) - (29). При этом должны исполь-

зоваться уравнения (2), (7), (13), (29) в зависимости от положения границы контакта в плоскостях хо2 и уо2 .

Если выполняется неравенство £3 > > 0), £1 < £1*, радиусы

кривизны р х и р у вычисляются по формулам

рх = Н -£4; ру = (Ь -ц?1)2 (56)

Н1

и выражение (30) принимает вид

5 "■ = Л1(1). (57)

5

Для определения £1, £ при известной зависимости £4 = £4(1) име-

ем уравнение

йБі 1 F4(S4) йБ4

(58)

Ж Л1 (1) Fl(£l) Ж

Это уравнение может быть решено также методом последовательных приближений:

ЗД,,) = ^-1) + т1^ ■[8^п)] [ £4(1п) - £4(1п-1)]. (59)

Л1(1) ЖЗДп-1)]

В случае, когда £3 > £3*(£4 > 0), £1 > £1*(£2 > 0), величины радиусов кривизны находятся по формулам

р х = Н1 - £4; р у = Н1 - £2; ^ = Л2(1)

5у

(60)

Для определения £2, £2 при известной зависимости £4 = £4 (1) имеем уравнение

Ж£2 1 ■4(£4) Ж£4

Ж1 Л2(1) ^(£2)

(61)

откуда следует

£ 2(1п ) = £ 2(1п-1) +

1 ^4[ £ 4(1п )]

Л2(1) ^3[£2(1п-1)]

[£4 (^п ) - £4 (^п-1)]. (62)

Последовательные приближения реализуются так же, как в предыдущем случае.

Имея в своем распоряжении 5х и 5у, в точке £3 можно получить из условия несжимаемости уравнения

1 — = -Р2 (£3 ) Ж£3 - ■1(£1) Ж£1,

И Ж1 2 3 Ж1 1 1 Ж1

(63)

если £3 < £3* , £1 < £1*.

Принимая во внимание, что

■1( £1) — = — Ы £3)—, 1 1 Ж1 Л(1) 2 3 Ж1

получим

1 ЖИ И Ж1

1 +

Л(1).

■2( £3)

Ж£э

Ж1

(64)

(65)

Запишем это уравнение в конечных разностях и определим изменение толщины за время А1 следующим образом:

АИ = -И(1п-1)

1 +

1

Л(1).

■2( £3)А£3

(66)

где И(1п-1) - толщина оболочки в точке при 1 = 1п-1, которая по траектории попала в точку £3 (1п) - границу контакта заполнителя и обшивки.

Толщина в точке £3^) оболочки будет определяться по формуле

И[ £3 Оп)] = И(1п-1)^1

1 +

1

Л(1)

■2(£3)[£3(1п) - £3(1п-ОП. (67)

Поступая аналогичным образом, в случае, когда £3 > £3. (£4 > 0), £1 < £1*, найдем

1

h[ S 4(tn )] = h(tn-1)

<1 - 1 + 1

_ A,(t) _

F4(S4)[S4(tn) - S4(tn-')]

(6S)

а в случае S3 > S3*(S4 > 0), S1 > SP(S2 > 0) имеем

h[S 4(tn )] = h(tn-1)

«1 - 1 + '

_ A2 (t) _

F4(S4)[S4(tn) - S4(tn-')]

(69)

Приведенные выше соотношения описывают характер формоизменения при изотермическом стесненном деформировании анизотропной листовой заготовки, закрепленной по контуру, в прямоугольную матрицу в условиях ползучего течения.

Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

Список литературы

1. Ларин С.Н. Пневмоформовка ячеистых панелей из анизотропного материала // Известия ТулГУ. Технические науки. 2010. Вып. 3. С 51-61.

2. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С. С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.

S.S. Yakovlev, S.N. Larin

THE TYPE OF DEFORMATION PROCESSES IN THE ISOTHERMAL STRINGENT DEFORMING OF THE SHEET ANISOTROPIC PIECE IN RECTANGLE PROFILED DIE

The geometrical model of isothermal stringent deforming of the sheet anisotropic piece fixed by edge in rectangle profiled die in the mode of short durated creeping conditions is presented. The basic relationships for the stressed and deformed states definitions of anisotropic piece in the stringent deforming process to rectangle profiled die are provided.

Key words: stress, deformation, creeping, anisotropy, deforming, die, pneumatic forming, stringent deforming.

Получено 16.12.10