CC BY
34
Гуманитарная
научная область -
«математика
социальных
пространств» -
расширяет
горизонты
древнерусской
культуры
P.A. Симонов,
д. и. н., профессор кафедры книжного бизнеса
Названная в заголовке статьи научная область является более общим образованием по сравнения с существующей научной областью, называющейся «геометрией социальных пространств». Академик РАН Вяч.Вс. Иванов о предмете геометрии социальных пространств пишет следующее: «Ее предмет включает не только пространственные модели человеческих поселений - от изучаемых археологией и этнологией до современных сверхгородов-мегаполисов. Эта наука исследует и соответствующие биологические модели, например, муравейников, термитников. Наконец, она изучает и пространственные структуры коллектива клеток. Проблемы геометрии мозга исследовались нашими математиками еще на первых этапах развития у нас кибернетики»1.
В настоящей статье предлагается обсудить в рамках математики социальных пространств (с учетом присоединения к геометрии социальных пространств данных арифметики) некоторые вопросы освоения земельных пространств и территорий, связанных с общегосударственным фискальным проектом, осуществленным правительством
1 Иванов Вяч. Вс. Избранные труды по семиотике и истории культуры. Том VII: Из истории науки. Книга 1. М., 2010. С. 388.
А.Ф. Адашева в царствование Ивана Грозного середины XVI в.2 Для России XVI в. при проведении поземельного налогообложения огромную проблему составляла необыкновенно увеличившаяся территория страны: в 10 раз за сто лет. Как ярко писал по этому поводу Карл Маркс: «Изумленная Европа, в начале царствования Ивана едва замечавшая существование Московии, была поражена внезапным появлением на ее восточных границах огромного государства»3. Можно себе представить, что кадастровая перепись огромных площадей земли, разнообразной по качеству, назначению и расположению (пашни, леса, луга, пустоши, взгорья, озера, реки, степи, тундра), казалась невыполнимой за короткое/обозримое время. И тем не менее она была решена, что является вопросом исключительной исторической и практической важности. Ведь если бы налоговое обеспечение не было своевременно проведено, то государство в новой неимоверно расширившейся величине, не имея необходимых средств, в том числе от налогов, могло не выдержать тяжести расходов на свое существование, и просто рассыпалось на массу мелких уделов. Эта проблема стоит до сих пор (конечно, в преображенном виде) перед нашей родиной, остающейся одной из самых больших по территории стран мира.
Исходя из указанных обстоятельств, при решении налоговых проблем для такой большой территории, как Россия, требовалась надежная и простая математическая система, включавшая геометрическую и расчетно-арифметическую составляющие. Насколько известно, такой математической системы в Европе не существовало, так как никогда ранее не возникала проблема использования столь специального геометро-арифметического обеспечения сбора налогов в быстро возникшем огромном государстве. Соответствующее фискальное математическое обеспечение сохранилось до наших дней в виде рукописных текстов, преимущественно XVII-XVШ вв.
Суммарные выводы историков математики были такими. Геометрические и арифметические представления, отраженные в русских математических рукописях, не имеют прямых аналогов ни в античной, ни в средневековой, ни в возрожденческой математике. Геометрические методы измерения площадей удивительно архаичны и не отличаются точностью, давая ошибку до 20%, из-за стремления к простоте операций и быстроте их выполнения. Арифметические методы
2 ЗиминА.А, ХорошкевичА.Л. Россия времени Ивана Грозного. М., 1982. С. 57; Симонов Р.А. Геометрия социальных пространств и система земельного налогообложения в России XVI в. // Историческая география: пространство человека vs человек в пространстве: Материалы XXIII Международной научной конференции. Москва, 27-29 января 2011 г. / РГГУ. М., 2011.
3 Цит. по: Сахаров А.М. Россия и ее культура в XVI веке // Очерки русской культуры XVI века, ч. 1. М., 1977. С. 8, 13.
используют ограниченный набор исходных дробей: 1/2, 1/3, 1/4. Однако на основе особой нигде более не встречавшейся системы цепных делений пополам третей и четей (четвертей) [по типу полтрети, пол-полтрети, пол-пол-полтрети и так далее, полчети, пол-полчети, пол-пол-полчети и т. д.] и их комбинаций выражалась практически любая дробь, встречающаяся в сошном письме. Историки математики, сознавая связь этих (геометрических и арифметических) знаний с сошным письмом, глубоко не вникали в социальные особенности их возникновения, употребления и развития, поскольку руководствовались в первую очередь критерием соответствия источника некоему идеалу математического знания, а не социальным процессам и явлениям.
В указанном отношении типичной является оценка сошной геометрии и арифметики видным историком математики А.П. Юшкевичем: «Подводя итоги развития математической культуры в России до XVIII века, мы видим, что к этому времени были удовлетворены лишь первые потребности в сравнительно элементарных областях. Возникла рукописная литература по практической арифметике и геометрии, но попытка создания более совершенных руководств по геометрии не получила официальной поддержки... В итоге наука в целом, и математика в частности, резко отставали у нас от передовых стран Западной Европы, где на протяжении XVII столетия достигнуты были большие успехи в астрономии и механике, химии и биологии, где Декарт и Ферма заложили начала аналитической геометрии, Ньютон и Лейбниц, завершая труды целой плеяды ученых, разработали основы дифференциального и интегрального исчисления, и где успешно исследовались проблемы теории чисел, теории вероятностей, проективной геометрии и т. д.»4.
За прямолинейной риторикой осуждения ушедших царских режимов, как это было принято в советскую эпоху, чувствуется тревога маститого автора за судьбы отечественной науки. Вектор этой филиппики направлен вперед, к нашему времени, и до сих пор сохраняет актуальность. Однако А.П. Юшкевич избегал оценивать по достоинству уникальный эксперимент по реализации фискальной реформы Ивана Грозного, способствовавшей укреплению Российского государства XVI-XVII вв., частично подготовившей Империю Петра I, и исторически сохранившейся в существовании советской и послесоветской России. Если быть справедливым, то наше сегодняшнее бытие в определенной степени коррелирует с этой реформой, а, может быть, обусловлено ее успехом. Чтобы понять ее значение не только для нашей страны, но во всемирно историческом значении, необходимо рассмотреть социальный смысл геометро-расчетной составляющей фискальной реформы XVI в.
Предварительным итогом такого исследования является вывод, что в основе математического обеспечения российской фискаль-
4 Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. М., 1968. С. 51.
ной реформы XVI в. лежали приближенные, достаточно архаичные упрощенные методы. Это позволило русским властям быстро подготовить большую армию писцов, которые успешно выполнили измерение земельных угодий на огромной территории и произвели необходимые налоговые расчеты. Этот проект, возможно, является уникальным в мировой практике интуитивным решением проблемы максимина: достижения максимального результата при минимуме затратных/временных усилий.
Есть еще один вопрос, которого не касаются историки математики, но который важен для истории научного знания вообще, и России - в частности. Этот вопрос таков: откуда ведут свое начало упрощенные математические методы, успешно использованные при проведении российской фискальной реформы XVI в.? Ответ на него дает математика социальных пространств.
Историки математики разграничивают (по критерию точности) изложение средневековой геометрии и арифметики в России: геометрию считают собравшей в себе приближенные, отличающиеся архаичностью методы, а арифметику - более научной/точной. А.П. Юшкевич объясняет это разницей интересов пользователей арифметических и геометрических знаний: «Арифметика в значительной мере обслуживала предприимчивый торговый люд, высоко ценивший точность в денежных расчетах. А землемерной геометрией занимались чиновники, пользовавшиеся прадедовскими приемами, не придавая большого значения их точности и не будучи заинтересованными в ней. Обилие свободной земли также не стимулировало аккуратности измерений»5.
Однако в состав древнерусской арифметики также входила сошная арифметика, которая ориентировалась не на точность, а приближенность результатов. Это вскрыли исследования израильского ученого М.А. Цайгера, который установил, что в сошной арифметике результаты имели точность до 1/48: «Если же в итоге получались более мелкие дроби, то их попросту отбрасывали, полагая, что их учет не повлияет по существу на результат»6. Поэтому древнерусская измерительная геометрия и сошная арифметика были объединены общим подходом - достижением результата с опорой на приближенные методы -«скорости ради мерныя», что определяло «обилие свободной земли» (А.П. Юшкевич). Следовательно, сошная математика выражала (в единстве геометрической и арифметической составляющих) идею максми-на: достижение максимального эффекта минимальными средствами.
Следует отметить, что у истоков геометрии социальных пространств стоял известный ученый Клод Леви-Строс, который исследо-
5 ЮшкевичА.П. Указ. соч. С. 46.
6 Цайгер М.А. Арифметика в Московском государстве XVI в. Беэр-Шева, Израиль, 2010. С. 57.
вал математическую структуру жилищ индейцев, находившихся на «первобытном» уровне развития. В результате, например, выяснилось, что структура поселений индейцев бороро в Бразилии, сопоставимая также со сходными данными по племени виннебаго в США и некоторых племен Индонезии, укладывается в двоичную и троичную структуру: «Оказалось, что одна из половин (поселения - Р.С.), в свою очередь делится на две половины. Поэтому вся система может описываться как двоичная -радиальная, и как троичная - концентрическая»7.
При этом понятно, что наименьшая часть поделенного пространства арифметически будет равна 1/4 («чети» - по-древнерусски) поселения, а геометрически (но без учета точной меры) - 1/3 («трети»). Математически эта структура могла служить основой двоичного деления по принципу четей и третей, как в сошном письме. Примечательно, что архаичное структурирование поселений индейцев обладает «качеством» синкретичности, объединяя в себе обе части математики, которые в науке и просвещении стали разделяться на геометрию и арифметику. На основе указанного результата работ в области математики социальных пространств можно заключить, что древнерусские сошные дроби отражают очень древние архетипические представления. Не значит ли это, что соответствующая структура древнерусских сошных дробей отвечает очень древней/начальной поре цивилизационных процессов?
В русских измерительных рукописях часто встречаются метод «землемерия округою». Суть его состоит в измерении площади земельного участка через длину его периметра. Как отмечал А.П. Юшкевич, при этом делалось невысказанное допущение, что «любые плоские фигуры с равным периметром имеют одинаковую площадь. Именно, принимали, что всякий многоугольник равновелик квадрату со стороной, равной четверти его периметра. В случае круга с окружностью С вычисление площади 5 по формуле 5 = (С/4)/2, соответствующей приближению «пи» = 4, дает результат, меньший истинного 5= С/2 / 4 «пи» примерно на 20%. В «Счетной мудрости» встречается аналогичный, только еще ухудшенный прием «землемерия округою», происхождение которого неизвестно». При расчете земельных площадей с помощью измерения круга, судя по русским рукописям, использовались и более совершенные приемы. А.П. Юшкевич, ссылаясь на исследования известного немецкого историка математики М. Кантора, отмечал, что эти методы «были еще в древней Индии и неоднократно применялись западноевропейскими математиками средних веков»8.
7 Леви-Строс К. Структурная антропология. 2-е изд. М., 1985; Иванов Вяч.Вс. Указ. соч. С. 388.
8 Юшкевич А.П. Указ. соч. С. 43, 44.
Сведения (легендарного характера) свидетельствуют, что этот метод мог использоваться в фискальных целях золотоордынцами. Население города/ поселения якобы сгонялось на открытое место, сбивалось в плотную толпу, которую по периметру заключали в соединенные между собой арканы. Зная длину арканов, подсчитывали периметр толпы. Затем в соответствии с указанной выше приближенной формулой площади круга (и на основе данных о длине периметра) вычисляли примерную площадь, занимаемую толпой. Делалось это примерно так. Использованные арканы складывались вчетверо, измерялись и полу-ченое линейное значение заменялось квадратным. (Например, четвертая часть арканов, охватывающих периметр толпы, равнялась 50 аршинам; значит, площадь, занимаемая толпой, равна 2500 квадратным аршинам.) Деля найденную общую площадь толпы на площадь, которую занимал один стоящий человек, получали приближенное количество населения. Найденное число бралось золотоордынцами за основу подати, которая взималась с населения подвластного/покоренного города/поселения. Выгодность воспроизведенного метода заключалась в простоте его реализации и быстроте проведения, то есть в конечном счете в невысокой затратности, при достаточной точности и надежности.
Косвенно использование этого измерительного метода зо-лотоордынцами подтверждается следующей притчей-загадкой, бытовавшей у башкир, находившихся в вассальной зависимости от Золотой Орды до их вхождения в состав России в середине XVI в. Содержание притчи сводится к тому, что некий хитроумный пришелец уговорил хозяев уступить ему участок земли размером с бычью шкуру. Затем, разрезав шкуру на тонкие ремешки, опоясал ими огромную территорию, став якобы на законном основании ее владельцем9.
В основе измерительных трансформаций притчи лежит псевдоэквивалентность площади бычьей шкуры длине ремешков, которые можно нарезать из нее: бычья шкура (площадь) превращается в линейную протяженность ремешков (длину). При этом сутью поверья становится подмена понятий. Действительно площадь шкуры может быть определена через периметр шкуры по методу, о котором говорилось выше. Однако в притче длина ремешков, нарезанных из шкуры, ложно трансформируется в величину периметра не шкуры, а новой фигуры, во много раз большей бычьей шкуры. Подмена происходит в нарушение математического положения, состоящего в том, что при определении площади геометрической фигуры нужно обязательно брать периметр именно измеряемой, а не иной другой фигуры.
9 Трепавлов В.В. Добровольное присоединение башкир к России: лояльность в обмен на ярлык // Труды Отделения историко-филологических наук РАН. 2007 / Отв. ред. А.П. Деревянко; сост. А.Е. Петров. М., 2009. С. 456.
Математическая основа рассматриваемого башкирского предания сводится к обманному (неверному) толкованию измерения площади через длину периметра: относительно небольшой бычьей шкуры и несравненно большей геометрической фигуры, охватываемой по периметру ремешками, нарезанными из этой шкуры. Обыгрываемый в башкирской притче метод определения площади фигуры через ее периметр, как обсуждалось выше, был типичным при кадастровом учете земель в рамках русского фискального проекта середины XVI в.; именно тогда Башкирия вошла в состав России. Однако этот способ был известен и в Золотой Орде, в вассальной зависимости от которой раньше находились башкиры. Также этот прием мог иметь автохтонный характер, входить в набор исконных народных знаний/представлений башкир.
Предназначение протяженного предмета/средства в виде веревки для измерения связывается в Библии (Ветхом Завете) с деятельностью Бога, который говорил: «.Когда Я полагал основания земли., Кто положил меры ей и веса, или Кто протягивал по ней вервь?» (перевод А.П. Щеглова с уточнениями Р.А. Симонова)10. Слову «вервь» А.П. Щеглов дал такое толкование: «"Вервь" в славянском языке имеет значение не только "веревки", как нечто связующего, но и является синонимом "общины", как в данном случае - "онтологического" сообщества, связанного теми или иными узами подчинения или неравенства, а также ответственности»11. Допустимо и такое толкование/дополнение: «вервь» как синоним «общины» у славян усиливался, резонируя с использованием веревки при измерении периметра пахотной земли и др. угодий общины с целью определения их площади по указанному выше приближенному методу.
Русская сошная математика, будучи уникальным явлением, так как нигде больше в мире не встречается, в то же время включает в себя отдельные элементы математического знания, присущие культурам разных стран, разбросанных по всей Евразии: Индии, Золотой орды, Литвы, Англии и др. Фиксируя в сознании, что ядро сошной математики архаично, можно допустить его (ядра) возникновение в отдаленные эпохи у пранарода, затем распавшегося на отдельные группы, расселившиеся по Евразии. Эта модель соответствует открытию чл.-корр. РАН Е.А. Старостина (поддержанному акад. Вяч.Вс. Ивановым и др. учены-
10 Книга Иова, глава 38 (Острожская библия, 1581 г. Фототипическое переиздание / Под наблюдением И.В. Дергачевой. М.; Л., 1988. Л. 275); Щеглов А.П. Древнерусская ноуменальная натурфилософия. Москва; Иерусалим, 1999. С. 100.
11 Щеглов А.П. Указ. соч. С. 100, прим. 5. См. также: Преображенский А.Г. Этимологический словарь русского языка: В 2-х т. М., 1959. Т. 1. С. 111: «ДР. (древнерусский) вьрвь, вервь веревка; община».
ми) закономерных соответствий между праязыками других семей, входящих в северо-кавказско-енисейско-сино-тибетскую макросемью12.
Этнические группы, участвовавшие в ранних миграциях, могли менять место обитания из-за недоставка земли/простора для пропитания/ проживания. На новом месте они были озабочены по существу теми же вечными проблемами: достаточностью/недостаточностью земельных площадей (уже тогда могла возникнуть необходимость кадастрового землемерия) и безопасности общественного существования (отсюда - мотивация фискального счета). Могли ли эти знания закрепиться в общественной памяти? На подобный вопрос по существу положительно отвечал священник Павел Флоренский, исходя из понимания памяти как «творческого начала мысли»: «...Таким образом, действительно, п а м я т ь - это и есть м ы с л ь по преимуществу, с а м а мысль в ее чистейшем и коренном значении»13.
В таком случае нельзя отрицать, что древнерусская сошная математика (как в случае измерения площадей, так и формирования сошных дробей) восходит [в какой-то своей части (ядре)] к наиболее древней протокультуре. Тогда русская сошная математика (точнее - ее ядро) будет находиться в одном ряду с такими явлениями, как Стоун-хендж, Египетские пирамиды и пр., что требует к ней соответствующего (большого и глубокого) внимания исследователей и мировой общественности.
12 Старостин С.А. Труды по языкознанию. М., 2007; Иванов Вяч.Вс. Указ. соч. С. 300-301.
13 ФлоренскийП.А. Столп и утверждение истины. М., 1914. С. 203; Иванов Вяч.Вс. Указ. соч. С. 573.
