CC BY
64
УДК 37.016:510.6 ББК 74.262 И 20
И.А. Иванов
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры общей математики Сочинского государственного университета туризма и курортного дела; E-mail: IVIGAN @mail. ru
ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЛОГИКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ РАССУЖДЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССОВ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
(РЕЦЕНЗИРОВАНА)
Аннотация. В статье рассматривается гносеологический аспект применения логики рациональных рассуждений в эволюции математики как науки в историческом контексте и анализируется возможность ее использования в систематическом курсе математики в профильных классах основной школы.
Ключевые слова: прикладная математика, теоретическая математика, рациональная логика.
I.A. Ivanov
Candidate of Pedagogy, Assistant Professor of General Mathematics Department of the Sochi State University of Tourism and Resort Business; E-mail: IVIGAN@mail. ru
HISTORICAL PRECONDITIONS OF THE USE OF LOGIC OF RATIONAL ARGUMENTATIONS IN SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS FOR FORMS WITH EXTRA MATHEMATICS LESSONS OF NATURAL-SCIENCE DIRECTION
Abstract. In this paper we regard the rational argumentations as an integral part of mathematics as a science and an important constituent part of a modern school subject of mathematics (forms with extra mathematics lessons).
Key words: applied mathematics, theoretical mathematics, rational logic.
Современная образовательная парадигма направлена на развитие личности ученика средствами предмета при его непосредственном участии как субъекта процесса обучения. Обучение математике в средней школе имеет двоякую направленность: с одной стороны у ученика требуется сформировать умения, связанные с построением формальных логических доказательств (требование математики как теоретической науки), с другой - сформировать умения по построению простейших математических моделей (требование математики как прикладной науки). Для реализации целей обучения математике в указанном контексте предусматривается личностно ориентированное обучение в профильных классах. Так сложилось исторически, что формированию умений по построению формальнологических доказательств в методической науке уделялось и уделяется достаточное внимание. Вопросы же формирования умений построения математических моделей объективно отходили на второй план, реализуясь в различных «методических подходах», выразившихся в «разработке принципа политехнизма» или «прикладной направленности обучения». При этом речь, в основном, сводилась к осуществлению попыток «усиления реализации» прикладной направленности обучения математике и т.д., которые в настоящее время уже не актуальны. Основным недостатком этих процессов, на наш взгляд, является отсутствие учета специфического компонента прикладной математики - ее логики, - логики рациональных рассуждений. Теоретическая и практическая разработка этого вопроса представляется весьма перспективным направлением методической науки в силу исторически сложившейся ситуации - прикладные отрасли знания в настоящий момент определяют прогресс науки и техники. Рассмотрим некоторые аспекты проблемы обучения рациональным рассуждениям в
школьном курсе математики в контексте исторического развития науки математики.
История становления математики как науки и математики как учебного предмета свидетельствуют о том, что развитие логики, используемой при доказательствах и обоснованиях как в теоретической, так и в прикладной математике, неразрывно связано с эволюцией и применением так называемых рациональных рассуждений. Термин «рационализм» (от лат. rationalis - разумный, ratio - разум) - «точка зрения рассудка, соответственно - разума; совокупность философских направлений, делающих центральным пунктом анализа разум, мышление, рассудок - с субъективной стороны, а разумность, логический порядок вещей - с объективной» [8, с. 386]. Противоположным понятием понятию «рациональное» является понятие «иррациональное» (лат. irrationalis - неразумное) - то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, что оценивается как «сверхразумное», «противоразумное»...» [8, с. 188]. Рациональная логика, используемая при построении математических моделей реальных объектов и процессов, оперирует с утверждениями и обоснованиями, которые с точки зрения теоретической математики являются совершенно недопустимыми. Тем не менее, очевиден тот факт, что достижения в науке и технике не были бы возможны без использования логики прикладной математики. Развитие прикладных направлений современной математики открывают новые аспекты проблемы логического обоснования в науке математике - проблемы, исконно связываемой с теоретической математикой, но теперь являющейся объектом изучения и прикладной математики. В прикладной математике формализация понятия «рациональное рассуждение» как основы существования «рациональной логики» осуществляется следующим образом [1]. «Сложное рациональное рассуждение или система таких рассуждений могут иметь весьма неоднородную структуру: такое рассуждение может включать физические соображения, ссылки на интуицию, различные более или менее правдоподобные упрощения, решения математических задач и ссылки на теоремы на чисто дедуктивном уровне, вычисления...» [1, с. 93]. Далее, «пусть рациональное рассуждение А состоит из n указанных выше компонентов Ai (i=1, n) со степенью достоверности
i= n
(вероятностью) pi и имеет конъюнктивную структуру, т.е. A = Щ Д, тогда степень
i = 1
i= n
достоверности рассуждения А может быть представлена следующим образом: Pa = Х Pi [1, с.
i= 1
93]. Дедуктивные рассуждения представляют собой предельный случай рациональных рассуждений и степень их достоверности принимается равной единице.
Вместе с тем, природа рациональных рассуждений остается недостаточно исследованной и в наши дни: нет четкого понимания механизма возникновения таких рассуждений при решении прикладных и чисто математических задач. Проблема изучения всего комплекса проблем, связанных с построением теории рациональных рассуждений безусловно лежит в плоскости психологических исследований (внутренний план проблемы). Но для исследования вопросов, связанных с результатом применения рациональных рассуждений для получения конкретного математического знания, является доступным внешний план проблемы, выраженный в исторических фактах, зафиксированных в математическом наследии человечества. Известно, что математическая наука развивается в диалектическом единстве двух своих ветвей - теоретической математики и прикладной математики, объективно существующих и оказывающих влияние на все составляющие математической науки (содержание и применяемая логика). На современном этапе развития математики как науки не мыслится без понимания взаимодействия этих ветвей и учете их гносеологического потенциала в будущем. Ниже фрагментарно рассматривается процесс развития математики с позиции применения в ней рациональных рассуждений и их роли в развитии математической науки в древнейший период, так как именно этот период характеризуется широким применением рациональных рассуждений при возникновении и эволюционировании фундаментальных разделов математики (теория чисел, теория функций, тригонометрия, метод координат, элементы теории приближенных вычислений и др.), а эти
вопросы составляют основу как школьного, так и вузовского курсов математики.
Первоначально, как известно, возникла потребность в счете. Преодолев стадию «чувственного счета» [6, с. 9], человек сделал первый шаг к возникновению счета путем установления «взаимно однозначного соответствия» между подсчитываемыми предметами и некоторым другим множеством-эталоном, которое символизировало некоторое конкретное число и в дальнейшем привело к понятию числа (Древний Египет, Вавилон).
В папирусах древних египтян обнаруживаются первые приемы счета чисел, основанные на аддитивности системы счисления, а также представления о дробях, делимости чисел, прогрессиях и первоначальные знания о площадях и объемах. Математика используется для решения практических задач (землемерие, вычисление объемов сосудов, практический счет и т.д.) простейшими арифметическими, алгебраическими и геометрическими методами, т.е. математика в древнем Египте - наука прикладная. Математические знания египтян не систематизированы, но, вместе с тем, предпринимаются попытки по их обобщению [4, 6, 9]. Аналогичная ситуация существует и у вавилонян, разработавших специальную нумерацию и алгебраические методы решения квадратных уравнений (здесь же, приближенное вычисление квадратных корней) и некоторых видов систем алгебраических уравнений. В прикладном аспекте им были доступны вопросы вычисления сложных процентов, решения геодезических и астрономических задач. Несмотря на довольно обширный запас математических знаний, исследователи математической культуры древних вавилонян [2, 10, 11] находят, что эти знания также не систематизированы.
Теоретическая математика, по-видимому, возникла впервые в Древней Греции в связи с софистикой и отчетливо отделялась от прикладной именно дедуктивным способом построения теории [3, с. 30], позволившим разрабатывать вопросы арифметики целых чисел и дробей, рассмотреть теорию отношений и делимости, заложить основы геометрической алгебры, открыть первые неразрешимые задачи и парадоксы бесконечного (апории Зенона) и т.д. [4, 5, 12]. Представителем другого направления в построении математической науки является Евклид. Его «Начала», т.е. соответствующие 13 книг, построены в едином логическом формате: каждая книга начинается с определений, далее, формулируются постулаты и доказываются теоремы.
В этот период развития математики наряду с методами, использующими дедуктивные рассуждения, появляются такие методы как «метод исчерпывания» Евдокса (фактически начала теории пределов), уровень строгости которого существенно отличается от уровня строгости теорий, построенных на дедуктивных рассуждениях с привлечением аксиоматического аппарата. Тем не менее, с помощью леммы Евдокса Архимед на основании разработанного им интегрального метода смог правильно вычислить некоторые площади и объемы [7]. В этих вычислениях он использовал ряд соотношений, которые в современной записи имеют вид:
= П(ПЦ) е (Щ2 = п Чп +1)1(2 41 +1) чЛ
к= 1 2 к= 1 6
Общеизвестна и роль дифференциальных методов Архимеда, разработанных им в сочинении «О спирали». Отыскивая в этой работе касательную в некоторой точке Р спирали р = а Ч Архимед, во-первых, задает спираль не аналитически, а кинематически (прямая ОА
равномерно вращается вокруг точки О против часовой стрелки и одновременно точка М равномерно движется по прямой в направлении от О к А) - этим обеспечивалось существование и непрерывность кривой, и, во-вторых, широко использует представления об «эквивалентных бесконечно малых». В своих рассуждениях Архимед часто, как пишет И.Г. Башмакова [4, с. 126], «молчаливо находит», например, какой-нибудь, по-существу, предел, а затем методом от противного доказывает его справедливость. Аналогичная ситуация имеет место и при определении экстремумов функции. Архимед нашел общий метод сведения проблем определения экстремумов к проблемам нахождения касательных. Этот метод, дающий решение для достаточно широкого класса задач, также не имеет строгого логического обоснования в конкретно-исторической логической культурной традиции,
являясь, по сути, (в современной терминологии), рациональным, поэтому в этот период развития математики дифференциальные и интегральные методы Архимеда не получили широкого распространения и развития [4, с. 118-129].
Ярким представителем теоретической математики древности является греческий геометр и астроном эпохи эллинизма - Аполлоний, автор теории конических сечений. В алгебре Аполлоний в работе - «О неупорядоченных иррациональностях», - продолжил классификацию иррациональностей Евклида. Высшего расцвета античная алгебра достигла у Диофанта. Основная проблема «Арифметики», - его научного трактата - это решение неопределенных уравнений в положительных рациональных числах. Решения отыскиваются во всей области положительных рациональных чисел (вопрос актуален и сейчас). Герон Александрийский в своем математическом творчестве интересуется не только логически строгими построениями, но и приближенными правилами, в частности, с его именем связывается формула для приближенного вычисления квадратного корня. Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей разработали элементы сферической геометрии и тригонометрии хорд, а также таблицы приближенных значений величин хорд в зависимости от стягивающих углов, необходимых для вычисления положений Солнца и планет на небесной сфере в теории, просуществовавшей до XVI в., когда Н. Коперник выдвинул гелиоцентрическую модель Солнечной системы.
Выводы. Достижения математиков древности в теоретическом аспекте (теория делимости чисел, теория иррациональных величин и классификация квадратичных иррациональностей и т.д.) и в прикладном аспекте (парадоксы бесконечного, «метод исчерпывания» и т.д.) заложили предпосылки развития математики как самостоятельной науки с присущими ей объектами и методами и определили дальнейшее развитие математики вплоть до нашего времени. Именно в древности на основе рациональных рассуждений зародились идеи, реализация которых потребовало порядка двух тысяч лет, а критический анализ методов математики древнейшего периода лег в основу научной революции в математике как в XVII в., так и в последующие периоды (XIX и XX в.в.).
Как видно из приведенного краткого исторического обзора гносеологические корни современной математики лежат в сфере рациональной логики, которая была основой математики древнейшего периода. В настоящее время любое математическое открытие (теория) также проходит стадию рационального исследования и, лишь через некоторое время, появляется его (ее) теоретическое обоснование, не лишенное, однако, рациональной основы (хотя бы на основании теоремы Геделя о неполноте).
Если ранее школьный предмет математики рассматривался как педагогическая проекция математики как науки (теоретической математики) и при этом основной акцент делался в большей мере на содержание образования, чем на логику, то в настоящее время, как было показано выше, актуальным становится не столько содержание образования, сколько полноценный учет логики рациональных рассуждений (логики прикладной математики).
Примечания:
1. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов / Академия Наук УССР, Физико-технич. ин-т низких температур. Киев: Наукова Думка, 1976. 272 с.
2. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам (арифметика и алгебра, геометрия и тригонометрия, аналитическая и синтетическая геометрия, исчисление бесконечно малых) / пер. П.С. Юшкевича и А.П. Юшкевича. М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 320 с.
3. Гжегорчик А. Популярная логика. М.: Наука, 1965.
4. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: в 3 т. Т. 1. С древнейших времен до начала нового времени. М.: Наука, 1970. 352 с.
5. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: в 3 т. Т. 2. Математика XVII столетия. М.: Наука, 1970. 300 с.
6. Ишлинский А.Ю. Математика и методы механики // История отечественной математики. Т.
4, кн. 2. Киев: Наукова думка, 1970.
7. Кольман Э. История математики в древности. М., 1959.
8. Краткая философская энциклопедия. М.: Прогресс: Энциклопедия, 1994. 576 с.
9. Математика: хрестоматия по истории, методологии, дидактике / сост. Г.Д. Глейзер. М.: Изд-во УРАО, 2001. 384 с.
10. Рыбников К.А. История математики: учебник. М.: Изд-во МГУ, 1994. 496 с.
11. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / под ред. А.П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1976. 318 с.
12. Яновская С.А. Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «апорий Зенона»? // Проблемы логики. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
