CC BY
54
УДК 372.851
С. Н. Дорофеев, Н. В. Давыдова, И. Ю. Пильщикова
ГУМАНИТАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАК ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ ИНЖЕНЕРОВ
Аннотация: В статье исследуется проблема гуманитаризации математического образования студентов технических вузов как фактор повышения качества профессиональной подготовки. Обосновывается необходимость реструктуризации программы преподавания математики на первом курсе вуза, продолжая развитие понятия числа, на котором строится курс школьной математики, от натуральных чисел до комплексных чисел.
Ключевые слова: гуманитаризация, математическое образование, студенты технических вузов, качество профессиональной подготовки, программа преподавания математики.
Abstract. The article deals with the problem of humanitarizing mathematical education of technical students as a factor of improving professional training quality. The author proves the necessity of re-structuring the program of teaching Mathematics to first-year students, developing the notion of number on wich the school course of Mathematics is based, from natural numbers to complex numbers.
Keywords: humanitarizing, mathematical education, technical students, professional training quality, the program of teaching Mathematics.
На современном этапе подготовки инженерных кадров к профессиональной деятельности особо важное значение приобретают знания, которые усваиваются студентами не как факты, а как результат определенной деятельности каждого студента. В процессе деятельностного усвоения математических знаний студенты запоминают не только формулы, но и приемы их обоснования. Как известно, в практической деятельности инженера математические знания используются не в виде готовых формул, а в виде реализации тех идей, которые лежат в основе обоснования той или иной формулы. Высоким потенциалом, обусловливающим достаточно высокий уровень подготовки инженерных кадров, обладает гуманитарный подход к математическому образованию студентов технических вузов. Сущность гуманитаризации математического образования мы видим в формировании у обучаемых математической культуры, развитии творческих способностей студента на основе глубокого понимания идей математических методов, истории математики. Главная цель высших учебных заведений заключается в подготовке специалистов, готовых к постоянному саморазвитию, самосовершенствованию. Чем богаче будет опыт применения математических знаний к решению прикладных задач, тем ярче он проявится в его профессиональной деятельности. Гуманитаризация образования - это, в первую очередь, усиление взаимосвязи специальных, общенаучных и гуманитарных знаний, взаимообогаще-ние всех предметов по содержанию и процессу изучения, интеграция наук. В связи с этим особую роль в гуманитаризации образования в техническом вузе приобретает математическая подготовка студентов. Еще в 1918 г. в предисловии к программам по математике для средней школы было написано: «Курс математики строится и проводится в своей программе-минимум не
столько в интересах будущих математиков или будущих техников, химиков, статистиков и т.п., сколько в целях пополнения тех недостающих звеньев в системе гуманитарного образования, понимая последнее в широком смысле слова, какие может дать только математика» [1].
Само название «математика» происходит от греческого слова «матейн» (mathein) - учиться, познавать. Древние греки вообще считали, что понятия «математика» (mathematike) и «наука», «познание» (mathema) - синонимы. Еще в XVI в. известный математик Рене Декарт писал: «К области математики относят науки, в которых рассматриваются либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое... таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая все, относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов.» [2].
Существует еще одно объяснение происхождения слова «математика» -от греческого слова «матема» (mathema), что означает урожай, сбор урожая. Разметка земельных участков (геометрия), определение сроков полевых работ (на основе астрономических наблюдений и вычислений), подготовка необходимого количества посевных материалов и подсчет собранного урожая требовали серьезных математических знаний еще в древности. Это прикладное назначение математики с особой силой стало проявляться в наши дни. «Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в экономике. Даже юристы и историки берут на свое вооружение математические методы», - писал академик А. Д. Александров [3].
Математика обладает высоким потенциалом воздействия на формирование научного мировоззрения и достижения необходимого общекультурного уровня. Объяснение явлений окружающего мира, история великих математических открытий приводят к философским и нравственным поискам. Кроме того, история математики - это история человеческих судеб и идей, это способ формирования у обучаемых гражданских и гуманистических позиций.
Теоретические рассуждения, как основа математических методов, развивают у обучаемых логическое мышление, позволяют устанавливать причинно-следственные связи. Недооцененной остается также и роль теории вероятностей, которая учит нас, «как применять приемы логического мышления, когда приходится иметь дело с неопределенностью» (А. Реньи) [2]. Человек, знакомый с теорией вероятностей, готов к пониманию явлений микромира и событий общественной жизни. Он не подвержен социальному фатализму, так как осознает, что даже закономерные процессы прокладывают себе дорогу через массу случайных событий.
Стиль изложения математики, ее язык оказывают огромное влияние на развитие речи («кто ясно мыслит, ясно излагает»). А речевая культура, как фундамент гуманитарной, является одним из решающих факторов развития личности. Известный венгерский математик А. Реньи писал: «Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями» [2]. На многообразные гуманитарные функции математики обращал также внимание известный ученый и педагог Р. Курант: «Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и
интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность». Курант особо отмечал, что «.только совместные действия этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки» [4].
Изучение математики способствует формированию гражданских качеств личности посредством воспитания свойства, которое мы называем интеллектуальной честностью. «Кто пропитался с детства математикой в такой мере, что усвоил себе ее неопровержимые доказательства, тот так подготовлен к восприятию истины, что нелегко допустит какую-нибудь фальшь», -говорит П. Гассенди [2]. Математическое образование готовит обучаемого к адекватному восприятию реальной жизни. «Знакомство с математикой учит отличать правильное рассуждение от неправильного. А без этого умения человеческое сообщество превращается в легко управляемое демагогами стадо... Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции», -предупреждал академик В. И. Арнольд [5].
Математика призвана сформировать у обучаемого представление о ней не как о сборнике практических рецептов, а как о логически стройной системе знаний, дедуктивной науке, в которой «огромное число содержательных результатов выводится логическим путем из ничтожно малого числа исходных положений» (Р. Курант) [4]. «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления», - указывал академик В. П. Ермаков [4]. То есть при изучении математики упор необходимо сделать не на механическое заучивание теоретического материала, а на его понимание, что обеспечивает повышение общего интеллектуального потенциала обучающегося, ибо, как сказал Платон, «способный к математике способен и к другим наукам».
Так, например, при изучении «Теории вероятностей», дав на лекции определение дисперсии непрерывной случайной величины
Б(х) = | [х -М(х)]2 /(х)йх —^
и формулу для ее более простого вычисления
Б(х) = | х2/(х)йх — [М(х)]2 ,
—^
можно предложить доказать правильность этой формулы на практическом занятии кому-то из студентов с учетом того, что аналогичная формула для дискретной случайной величины была доказана преподавателем на лекции ранее. В результате вывода данной формулы:
Б(х) = | [х—М(х)]2 /(х)^ = | |^х2 — 2хМ(х) + (М(х))2 /(х)ёх =
—^ ^
= | х2/(х)йх — 2М(х) | х/(х)йх + [М(х)]2 | /(х)ёх =
= | х2 /(х)ёх — 2М (х)М(х) + \М (х)]2 = | х2 / (х)ёх — 2 [М (х)]2 + [М (х)]2 =
—^ ^
= | х2/(х)ёх — \М(х)]2 —^
мы не только добьемся ее более прочного усвоения (так как то, что получено студентом самостоятельно логическим путем, можно будет с легкостью воспроизвести при необходимости), но и повторим ранее изученные равенства:
| х/(х)ёх = М(х) и | /(х)ёх = 1.
—^ ^
Из этого простого примера видно, как можно эффективно использовать потенциал обучаемых, при этом одновременно с учебными решая и воспитательные гуманитарные задачи - развитие творческого потенциала личности, уверенности в своих силах. Стоит отметить, что не следует жалеть времени на такие «доказательные» задачи и гнаться за количеством в ущерб качеству. Понимание этого возникло очень давно, ведь более полутора тысяч лет назад Иоанн Златоуст писал: «Лучше раскопать малое поле и, проникнув в глубину, найти великое сокровище необходимого, нежели, изрыв по поверхности множество нив, трудиться без пользы, тщетно и напрасно».
Достаточно глубокое математическое образование способствует также и повышению мотивации изучения специальных технических дисциплин, где математика становится инструментом открытия «нового», позволяет осуществлять творческий процесс разработки новой техники и технологий на качественно более высоком уровне.
В связи с этим содержание курса математики должно быть достаточно широким и глубоким для эффективного решения профессиональных задач, так как от качества математической подготовки в значительной степени зависит уровень компетентности будущего инженера. Достижение более высокого качества математического образования возможно лишь при наличии непрерывной математической подготовки, когда будет обеспечен плавный поэтапный переход от школьного образования к вузовскому. В последнее время наблюдается все больший разрыв между уровнем математических знаний выпускников школ и требованиями вузов. Это происходит по объективным причинам, среди которых можно выделить следующие:
— учебные программы по математике за последние 50 лет пересматривались только в сторону сокращения (если раньше в школе было 8 часов математики, то сейчас только 5);
— неоднородность математической подготовки абитуриентов, чему способствуют различные программы и множество учебников по математике, которые вправе каждый учитель выбирать самостоятельно, исходя из своих личных приоритетов;
— взаимная несогласованность школьной и вузовской программ по математике;
— увеличение количества студентов, в том числе и платной формы обучения, в связи с потребностью общества в массовом высшем образовании.
В некоторой степени решить эту проблему призваны подготовительные курсы, организованные при каждом вузе. Но одного этого недостаточно.
Программа по математике для 1-го курса вузов должна быть скорректирована таким образом, чтобы студенты ощущали непрерывность математического образования: то, что они уже изучали в школе (особенно это касается элементов математического анализа и векторной алгебры), не повторяется (если забыл, обратись к учебнику), а если и повторяется, то на качественно новом уровне, с иной степенью глубины и новыми целями, причем у учащегося не должно создаваться ощущения, что ему говорится: «Мы знаем, что вы это уже изучали, но будем учить вас «с нуля», так, как будто этого не было вообще».
С другой стороны, в соответствии с потребностями вузовского образования можно и нужно повторять и углублять понятия и навыки, знакомые по школьному курсу. При этом студент должен понимать цели такого повторения и видеть, как известные ему сведения углубляются и расширяются. Здесь можно привести такой пример. Приступая к разделу «Математический анализ» и систематизируя «школьные знания», необходимо обратить особое внимание студентов на определение и свойства четной (нечетной) функции: «Функция у = /х) называется четной (нечетной), если: 1) ее область определения симметрична относительно начала отсчета; 2) выполняется равенство /(—х) = /(х) [ /(—х) = — /(х) ]». Так как в школе обычно не заостряют внимание на первом условии определения, и студенты первого курса легко воспроизводят только его вторую часть, что является, мягко говоря, некорректным, потому что нет смысла и даже ошибочно проверять второе условие, если первое не выполнено. Для наглядности и лучшего запоминания определения нужно обязательно напомнить студентам, что график четной функции симметричен относительно оси абсцисс, а нечетной - относительно начала координат, и изобразить график функции общего вида, например функции у = 1п х .
Продолжая тему непрерывности математического образования в школе и вузе, можно заметить, что в I семестре обучающиеся начинают изучение высшей математики с темы «Матрицы и определители», и у многих из них складывается впечатление, что это совсем «другая» математика, не та, которую они изучали в школе. Поэтому логичнее было бы продолжить школьный курс математики и вначале познакомить студентов с понятием комплексного числа. Ведь именно на развитии понятия числа и строится школьный курс алгебры. Вначале школьников знакомят со множеством натуральных чисел, затем, когда изучают действие «вычитание» и появляются отрицательные числа и ноль, ученики знакомятся с целыми числами. Следующее действие «деление» приводит к понятию дробного числа, а действие «извлечение корня» -к понятию рационального и иррационального чисел, и обучающиеся знакомятся с множеством действительных чисел. На этом расширение понятия числа в школьном курсе заканчивается.
На первом курсе при изучении темы «Комплексные числа» мы считаем необходимым: познакомить студентов с алгебраической, тригонометрической и показательной формами записи комплексного числа, с их геометрической иллюстрацией; сформировать умение находить сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме записи; сформировать умения и навыки работы, связанной с приведением комплексных чи-
словых выражений к более простому виду; использовать тригонометрическую форму комплексного числа при возведении чисел в степень, при их перемножении, при извлечении корня n-й степени; познакомить студентов с формулой Эйлера егф = cos ф + i sin ф , отложив ее доказательство до последующего изучения темы «Теория функции комплексного переменного» (ТФКП).
Далее при изучении темы «Матрицы и определители», чтобы разнообразить задачи на уроке и тем самым повысить интерес к обучению, а также для закрепления понятия комплексного числа можно использовать примеры на действия с матрицами, составленными из комплексных чисел. Например:
- найти решение матричного уравнения:
( 2 - i 5
-3i 1 + 2i
v /
найти произведение матриц:
(1 i -2Л
Л (-2i 3 + 2i Л
+ X =
0
A =
3 -1
4 i +1
i
2
и B =
( 2 i 3
i
3i
-1
-1 Л
4
i -1 -3
- вычислить
(1 + i )A + (1 - i) B ,
если
(1 i л (i 1Л
A= и B =
v1 -i V v-i 1V
- найти значение многочлена f (A) от матрицы A, где
2 (i 1 - i Л
f(x) = 3x - 4x + 2 и A =
,0 -1+i
найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
(1 + i 1 - i 2 + 3i 4 Л
i 1 2 -4i
1 - i -1 - i 3 - 2i 10 + 2i
найти все значения a , при которых выполняется равенство
2 a -2
-a 1 3 = 0
0 -a a
Данное уравнение имеет комплексные корни, так как дискриминант получившегося квадратного уравнения является отрицательным;
- решить неравенство на множестве комплексных чисел:
3
2
x +10
x - x
-1 3
11
<12x - 22;
- наити действительные решения х и у уравнения
2 х + і 3 - 2і
5 - іу 6 + і
= -6 + 15і.
В пользу реструктуризации программы высшей математики говорит и то, что комплексные числа необходимы для дальнейшего изучения таких разделов математики, как «Интегрирование дробно-рациональных выражений», «Решение дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами», «Решение систем дифференциальных уравнений». Так как эти темы изучаются ранее специального раздела ТФКП, то приходилось все равно знакомить обучающихся с понятием комплексного числа, хотя бы на уровне определения (г = х + гу), чего явно недостаточно для глубокого понимания предмета. А более пространные пояснения отвлекают обучающихся от основной темы лекции.
Еще одним важным фактом, свидетельствующим о необходимости изучения комплексных чисел в начале курса «Математика» могут служить следующие суждения. Несмотря на то, что математическая подготовка является неотъемлемой и очень важной составной частью компетентности инженера, математика пока еще не является профилирующей дисциплиной для большинства специальностей технических вузов. Студенты первого курса, не располагающие в достаточном объеме знаниями профильных предметов, которые позволяют убедительно показать связь математики с будущей профессией, воспринимают ее лишь как абстрактную дисциплину, которая не повлияет на уровень их профессиональных знаний. Содержание же обучения математике недостаточно раскрывает ее роль в инженерной деятельности, а потому является одной из основных причин отсутствия личностного интереса к ее изучению. Понять, почему логически стройное, но изолированное от инженерной деятельности содержание обучения не способствует получению качественной фундаментальной математической подготовки, можно, например, на основе анализа, проведенного А. А. Вербицким. Так, говоря о различии знаний и значений, он отмечает: «Значения - это то, что может быть монологически изложено в качестве устного или письменного текста. Будучи усвоенными, например, путем запоминания текста, значения как фундамент знания могут и не стать достоянием личности, т.е. собственно знанием, тем, что имеет для человека личностный смысл, является руководством к действию, выражает его отношение к миру, обществу, к другим людям и к самому себе... Контекст жизни и деятельности, контекст профессионального будущего, заданный с помощью соответствующей дидактической и психологической «техники», наполняет учебно-познавательную деятельность... студентов вузов личностным смыслом, определяет уровень их активности, меру включенности в процессы познания и преобразования действительности» [6]. Таким образом, если студент не видит личностного смысла в учебной информации, то она вместо того, чтобы трансформироваться в его сознании в системообразующие знания, превращается в знания формальные, поверхностные и непрочные.
Таким образом, возможность наполнения учебно-познавательной деятельности студента личностным смыслом и повышения качества фундаментальной математической подготовки состоит в том, чтобы придать содержа-
нию обучения профессиональную направленность, которая предполагает уже на первом курсе погружение студента в контекст будущей профессиональной деятельности. Это означает включение в содержание обучения профессионально значимых знаний, показывающих связь математических понятий, теорем, методов с будущей профессией и через нее наполняющих изучение математики личностным смыслом.
Следовательно, математика на первом курсе (особенно в I семестре) должна стать связующим звеном между школой и вузом, восполнить пробелы, закрепить и углубить знакомое, помочь нелегкому переходу от школьной опеки к вузовской свободе и, следовательно, ответственности, т.е. «научить учиться»: планировать свое время, самому отвечать за уровень своих знаний, уметь осмыслить что и зачем (а не только как) решается и где можно применить полученные результаты.
Заметим, что известные педагоги и ученые, преподававшие в инженерных вузах, всегда призывали наполнить содержание курса математики знаниями, иллюстрирующими связи теории с практикой. Так, Б. В. Гнеденко в 1981 г. писал: «В значительной степени сейчас лекции используют для того, чтобы систематически сообщать основной материал программы... Я придерживаюсь иной точки зрения и считаю, что лекция... предназначена в первую очередь для того, чтобы облегчить студенту понимание основных идей дисциплины, развернуть перед ним связи одной науки с... актуальными проблемами наших дней, вселить в его сознание уверенность в собственных силах, а также привить интерес к дальнейшему познанию как уже открытого, так и неизвестного... Встреча с лектором для студента должна состоять, в создании широкой и глубокой научной концепции, в выяснении места данной науки в системе научных знаний и ее возможностей в прогрессе человеческого знания, в ее связях с практикой» [7]. Б. В. Гнеденко пишет не только о том, чтобы дополнить лекции, а значит и весь курс, новым содержанием, но также о необходимости формировать такие качества (состояния) личности студента, как уверенность в собственных силах и интерес к дальнейшему познанию.
Повысить интерес к изучению математики поможет и включение в лекционный курс интересных сведений из истории математики [8]. Например, при изучении степенных рядов рассматривают ряд Тейлора и ряд Маклорена. Во всех учебниках под названием ряда Маклорена отдельно рассматривается частный случай ряда Тейлора при а = 0 :
/ (х) = / (0) + х / '(0) + х! / "(0) + ...,
и студенту легко может прийти в голову, что очень важно строго отличать один ряд от другого, хотя с математической точки зрения это различие совсем несущественно, на что необходимо обратить внимание студентов. Менее известно то обстоятельство, что это различие с исторической точки зрения также является бессмыслицей. Во-первых, Тейлору принадлежит несомненный приоритет в отношении общей теоремы, к которой он пришел в 1715 г. Но, кроме того, он дальше в своей работе специально останавливается на той форме, которую его ряд приобретает при а = 0 , и замечает, что в этом случае ряд можно получить также непосредственно при помощи так называемого способа неопределенных коэффициентов. Этим способом воспользо-
вался в 1742 г. Маклорен в своей книге «Трактат о флюксиях», причем он совершенно ясно ссылается на Тейлора и не заявляет претензии дать что-нибудь новое. Но на эту ссылку впоследствии не обратили внимание и стали считать автора учебника вместе с тем автором и теоремы (таким образом часто происходят ошибки). Только позже опять вспомнили про Тейлора и назвали его именем общую теорему. Подобные экскурсы в историю математики не только оживляют лекционный курс, но и расширяют общекультурный уровень развития студентов.
Одновременно воспитываются волевые качества личности, без которых невозможно овладение научной теорией, формируются навыки самостоятельной исследовательской работы, наконец, воспитывается интеллектуальная честность, которая не позволяет оперировать сомнительными, не доказанными со всей необходимой строгостью фактами. Причем это относится не только к решению математических задач, но и к другим областям человеческой деятельности, в том числе и к анализу явлений общественнополитической жизни. Таким образом, не подменяя собой изучение гуманитарных наук, математика своими специфическими средствами способствует решению целого комплекса гуманитарных задач.
Список литературы
1. Полякова, Т. С. История математического образования в России / Т. С. Полякова. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 2002. - 624 с.
2. Хрестоматия по истории математики : учеб. пособие для студ. физ.-мат. пед. ин-тов / под ред. А. П. Юшкевича. - М. : Просвещение, 1976. - 318 с.
3. Александров, А. Д. Математика и диалектика / А. Д. Александров // Математика в школе. - 1972. - № 1-2. - С. 15-19.
4. Гнеденко, Б. В. Математика и математическое образование в современном мире / Б. В. Гнеденко. - М. : Просвещение, 1985. - 153 с.
5. Арнольд, В. И. Математика с человеческим лицом / В. И. Арнольд // Природа. -1988. - № 3. - С. 23-27.
6. Вербицкий, А. А. Активное обучение в высшей школе: контекстный подход : методическое пособие / А. А. Вербицкий. - М. : Высш. шк., 1991. - 207 с.
7. Гнеденко, Б. В. Математическое образование в вузах / Б. В. Гнеденко. - М. : Высш. шк., 1981. - 174 с.
8. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей : в 2 т. : пер. с нем. / Ф. Клейн ; под ред. В. Г. Болтянского. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. -Т. I: Арифметика. Алгебра. Анализ. - 432 с.
9. Кудрявцев, Л. Д. Современная математика и ее преподавание / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Наука, 1985. - 285 с.
10. Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики : учеб. пособие / Г. И. Саранцев. - Саранск : Тип. «Крас. Окт.», 1999. - 201 с.
Дорофеев Сергей Николаевич доктор педагогических наук, профессор, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
Dorofeev Sergey Nikolaevich Doctor of pedagogical sciences, professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: dorofeev@tl.ru
Давыдова Наталья Валентиновна Davidova Natalya Valentinovna
старший преподаватель, кафедра Senior lecturer, sub-department
математики, Пензенская государственная of mathematics, Penza State
технологическая академия
Technological Academy
E-mail: dnv@pgta.ru
Пильщикова Ирина Юрьевна
доцент, кафедра математики, Пензенская государственная технологическая академия
Pilshchikova Irina Yuryevna Associate professor, sub-department of mathematics, Penza State Technological Academy
E-mail: dorofeev@tl.ru
УДК 372.851 Дорофеев, С. Н.
Гуманитаризация математического образования как фактор повышения качества подготовки будущих инженеров / С. Н. Дорофеев, Н. В. Давыдова, И. Ю. Пильщикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2010. - № 2 (14). - С. 143-152.
