CC BY
34
ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ
Рассматривается система уравнений механики двухфазной среды: смеси газа и мелких частиц. Температурными эффектами пренебрегаем. Роль свободного элемента выполняет давление. Найдена основная группа симметрий системы. Спецификации свободного элемента, дающие дополнительные симметрии, отсутствуют.
Для полученной алгебры Ли найдены оптимальные системы подалгебр.
Ключевые слова: группа симметрий уравнения, групповой анализ, алгебра Ли, оптимальная система подалгебр, уравнения механики двухфазной среды.
Введение
Рассмотрим систему уравнений
' дрі + д(ріщ) ді дх
др2 + д(р2п2) ді дх
0,
рі
Р2
дпі дпі
+ Пі
ді
дх
дп2 дп2
+ П2
ді
дх
+ ті
+ т2
дР(Рі,Р2) Р2(Пі - П2)
дх
дР(рі, р2) _ р2(пі - П2) дх т
описывающую течение смеси газа и мелких частиц [1]. В предположении конечности объемной концентрации дискретных частиц и отсутствия температурных эффектов данная система состоит из уравнений сохранения массы и импульса
, тг р2(и1 — и2)
каждой из фаз. Правая часть ------------ отвечает за силу вязкого трения меж-
т
ду фазами. Кроме того р^ = т^рц — средняя плотность г-й фазы, тг,рц,щ — объемная концентрация, истинная плотность, скорость г-й фазы, Р — давление, общее для смеси в целом. Первая фаза соответствует газу, вторая — частицам.
Данная система рассматривается как класс систем, поскольку параметр Р может принимать различные значения. Для каждой конкретной функции Р(р1, р2), так называемой спецификации свободного элемента Р, можно найти все однопараметрические допускаемые группы преобразований (иначе говоря, симметрии) этой системы. Инфинитезимальные генераторы таких групп, соответствующие заданной функции Р, образуют алгебру Ли [2] системы. Пересекая алгебры Ли, полученные при всевозможных Р, найдем основную алгебру Ли системы. Помимо нахождения основной алгебры Ли рассматриваемой системы уравнений стоит задача нахождения спецификаций произвольного элемента Р, дающих расширение основной алгебры Ли системы, т. е. задача групповой классификации данной системы уравнений.
0
Задача групповой классификации играет большую роль в прикладных вопросах, позволяя оптимизировать выбор аналитической формы экспериментальных зависимостей, входящих в математические модели физических процессов [2]. Кроме того, зная симметрии системы, можно найти ее точные решения, выража-ютттие важные физические свойства системы [2-4].
В работе найдена основная алгебра Ли рассматриваемой системы и показано, что спецификации произвольного элемента, при которых у системы появляются дополнительные симметрии, отсутствуют. Для полученной алгебры Ли найдены оптимальные системы одномерных и двумерных подалгебр.
1. Основная алгебра Ли
Для сокращения количества индексов и удобства вычислений переобозна-чим и = и1, V = и2, р = р1, о = р2, Ь = т-1, а = р—1. Далее, используя основное
равенство механики гетерогенных сред т1 + т2 = 1 и равенство т2 = ^ = ао,
выразим т1, т2. Разделив два последних равенства системы на р и о соответственно, получим
рг + рхи + их р = 0, (1.1)
ог + о^ + vxо = 0, (1.2)
иг + иих + р-1 (1 - ао) (Рр(р, о)рх + Ра(р, о)ох) + Ьр-1о(и - V) = 0, (1.3)
VI + Отх + а(Рр(р, о)рх + Ра (р, о)ох) - Ь(и - V) = 0. (1.4)
Будем искать инфинитезимальные генераторы групп, допускаемых системой (1.1)-(1.4), в виде
д ^ д д д д д
Х = тя7 + —+ 8Ъ—+ Y^Г,
дЬ дх др до ди дv
где функции т, £, а, в, 8, 7 зависят от переменных Ь, х, р, о, и, V. Продолже-
ние оператора X на расширенное пространство переменных, включающее первые производные зависимых переменных р, о, и, V, имеет вид
д д д д д д д д X = X + + Vх— + фг— + фх— + иг— + их— + V г- + Vх —
1 дрг дрх дог дох дщ дих дvt дvx
При этом коэффициенты ^х, 1ф'г, фх, иг, их, Vг, Vх зависят не только от Ь, х, р, о, и, V, но и от переменных рг, рх, о г, ох, иг, их, vt, vx. Они вычисляются по формулам продолжения [2]. Например,
дд
V* = Dt(а) - ргОг(т) - рхОг(^), &г = ^ + рг'flр,
V* = аг + ргар - ргтг - р^тр - рх^г - ргрх^р.
В пространстве независимых переменных Ь, х, р, о, и, V, рг, рх, ог, ох, иг, их, vt, vx систему (1.1)—(1.4) будем рассматривать как некоторое дифференциальное многообразие [Г], задаваемое с помощью вектор-функции Г уравнением
Г(Ь,х, р,о,и^, рг, рх,ог,ох,Щ,их^г.Vх) = 0.
Подействуем оператором X на вектор-функцию Г, а результат действия сузим
на [Г], т. е. вычислим величину XГ
. Получим систему уравнений
[р ]
+ п<рх + рх8 + рих + пха
Ф + ьфх + Ох! + оУх + ухв
[Р ]
[Р ]
(1.5)
(1.6)
и + пих + пх8 — р (1 — ао) (Рррх + РаОх)а — ар (Рррх + РаОх)в+ +р і (1 — ао) Рр^х + р і (1 — ао) Ра*фх + р і (1 — ао) Ррррх-а+ +р-і (1 — ао) Рра рхв + р-і (1 — ао) Рра Ох а + р-і (1 — ао) Раа Охв—
—Ьр~2о(п — у) а + Ьр-і(п — у) в + Ьр-іо(8 — 7) _ 0,
[р ]
Vі + ьУх + Ух7 + аРр^х + аРа фх + аРрррха + аРра рхв + аРра ох а+
+аРаа охР — Ь(8 — 1)
0.
(1.7)
(1.8)
[р ]
Подставим формулы продолжения в уравнения (1.5)—(1.8) и получим систему уравнений
аг + рг(ар - тг) - р2тр - рх^г - ргрхтр + и (ах + рх(ар - £х)--ргтх - ргрхтр - р2хЛ^ + рх8 + р (8х + их(8и - Сх) - игтх-
піпхти пхЛи) + пха
(1.9)
|Р ]
в + ог(Ра — тг) — оіта — ох^г — оіохЛа + у (вх + ох(Ра — £х) — оітх — оіохта — ох^а^ + охН + о (7х + ух(1'и — ^х) — уітх —
—УіУхт,-€ — У%) + Ухв
0,
(1.10)
[Р ]
8і + пі(8и — ті) — п2ти — пх& — піпх£и + п (8х + пх(8и — Сх) — пітх —
піпхти п х£и) + пх8 р (1 ао) (Рррх + Раох)а ар (Рррх + Раох)в+
+р і (1 — ао) Рр(ах + рх(ар — Сх) — ргтх — ргрхтр — рхСр) + р і (1 — ао) Рах
X (,вх + ох (ва — ^х) — оітх — огохта — ох£а) + р і (1 — ао) Ррррха+
+р-і (1 — ао) Рра рхв + р-і (1 — ао) Рра оха + р-і (1 — ао) Раа охв—
—Ьр о(п — у) а + Ьр (п — у)в + Ьр о(8 — 7)
0,
(1.11)
[Р]
+ уі(1'и — ті) — у\т'и — ух& — угух£и + у (7х + ух(ъ — Сх) — уітх — угухт'и—
0
0
0
-'и‘х+ 'их 1 + аРр(ах + рх(ар - Сх) - ргтх - ргрхтр - р2х^р) + аРа (вх + +°х(вст - Сх) - огтх - огохта - о<хЛа ) +
+аРрррха + аРра рхв + аРрао ха + аРаа охР Ь(8 'У)
=0. (1.12)
[Р ]
Из уравнений (1.1)—(1.4) выразим производные по Ь через остальные величины:
рг = -рхи - ихр1
ог = -оху - V,;о, иг = -иих - р-1 (1 - ао)(Рррх + Ра ох) - Ьр-1 о (и - V),
Vt = -№х - а(Рррх + Ра ох) + Ь(и - V).
Сделаем соответствующую замену в уравнениях (1.9)—(1.12) и, получив искомые сужения, запишем систему уравнений
аг (рхи + ихр)(ар тг) (рхи + ихр + 2рирхих)тр рх^г + (рхи + ихр)рхСр+
+и(ах + рх(ар - Сх) + (рхи + ихр)тх + (рхи + ихр)рхтр - р2х^р) + рх8+
+р(8х + Щх (8и - Сх) + (иих + р 1 (1 - ао)(Рррх + Ра ох) + Ьр 1о(и - V)) тх +
+ (иих + р-1 (1 - ао)(Рр рх + Ра ох) + Ьр-1о(и - V)) ихТи - и2хСи) + иха = 0,
вг - (охV + VxO)(ва - тг) - (о2хи2 + V2xO2 + 2°V°xVx)Та - охСг + (оxV + VxO)охСа + +v(вx + оХ:(ва - Сх) + (OxV + Vx°)Тx + (OxV + VxO)OxТа - о^Са) + ох 7+
+о(Тх + Vx(Yv - Сх) + (vVx + аРррх + аРа ох - Ь(и - v))тx +
+ (тх + аРррх + аРа ох - Ь(и - v))vxТv - ^) + Vxв = 0,
8г - (иих + р-1(1 - ао)(Рррх + Ра ох) + Ьр-1о(и - v))(8u - Тг)-
- (и2их + р 2(1 - ао) (Р2рх + Р^ох + 2РрРархохх) + Ь2р 2о2(и - v)2+ +2р-1(1 - ао)иих(Рррх + Раох) + 2Ьр-1о(и - v)uux+
+ 2Ьр-2(1 - ао) о (и - v)(PpРx + Ра ох)) Ти - их Сг + (иих + р-1(1 - ао)(Рррх + Ра ох) + +Ьр-1о(и - v')')UxСu + и(8х + их(8и - Сх) + (иих + р-1(1 - ао)(Рррх + Раох) + +Ьр-1о(и - v))Тx + (иих + р-1(1 - ао)(Рррх + Ра ох) + Ьр-1о(и - v))UxТu - и2хСи) +
+их8 - р 2 (1 - ао) (Рррх + Раох)а - ар 1(Рррх + Раох)в+
+р (1 ао) Рр(ах + рх(ар Сх) + (рхи + ихр)тх + (рхи + ихр)рхтр рхСР) +
+р 1 (1 - ао) Ра(вх + ох(ва - Сх) + (оxV + /^хо)тх + + VxO)OxТа - о'х2Са) +
+р-1 (1 - ао) Ррррха + р-1 (1 - ао) Ррархв+
+р-1 (1 - ао) Рраоха + р-1 (1 - ао) Рааохв - Ьр-2о(и - v)а + Ьр-1(и - v)в+
+Ьр 1о(8 - 7) = 0,
1г — (vvx + а(Рррх + Раох) — Ь(и — — тг) — (v2vX + а2(Рррх +
+ Р2ох + 2РрРа рхох) + Ь2(и - V)2 + 2аОТх(Рррх + Ра ох) - 2ЬОТх(и - V)-
-2аЬ(Рррх + Ра ох) (и - v))тv - VxСt + (vVx + а(Рррх + Ра ох) - Ь(и - v))vxСv +v(Yx + Vx(7v - Сх) + (vVx + а(Рррх + Ра ох) - Ь(и - v))Тx + (ОТх + а(Рррх + Ра о х-
-Ь(и - v))VxТv - Су ) + VxY + аРр(ах + рх (ар - Сх) + (рхи + ихр)тх + (рхи + ихр)
рхтр — рХЛр) + аРа (вх + ох (ва - Сх) + (ох'V + /Чхо)тх + (ох"У + vxо)охта - оХ:Са) + +аРрррха + аРра рхв + аРра о ха + аРаа охв Ь(8 7) 0.
Получилось равенство нулю четырех многочленов от свободных переменных рх, ох, их, vx. Приравняем к нулю коэффициенты этих многочленов и получим переопределенную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций т, С, а, в, 8, 7, зависящих от переменных Ь, х, р, о, и, V:
аг + иах + р8х + Ьо(и - v)тx = 0, итг - Сг - иСх + и2Тх + 8 + (1 - ао)РрТх = 0, (1.13)
—рар + ртг + 2ритх + р8и — рСх + Ьо(и — v)тu + а = 0,
-ртр + ити - Си = 0
-итр + Ср + р-1 (1 - ао)РрТи = 0,
Ра Тх = 0, Ра Ти = 0; (1.14)
вг + vвx + о7х - Ьо(и - v)тx = 0,
vтt - Сг - vСx + v2Тx + 7 + аоРаТх = 0, (1.15)
-ова + отг + 2оvТx + о'У'о - о Сх - Ьо(и - v)Тv + в = 0,
-оТа + VТv - Су =0,
-VТа + Са + аРа Ту = 0,
РрТх = 0, РрТу = 0; (1.16)
8г - Ьр-1 о (и - v)8u + Ьр-1о(и - v)тt - Ь2р-2о2 (и - v)2тu + и8х+ +Ьр-1ои(и - v)тx + р-1 (1 - ао)Ррах + р-1 (1 - ао)Равх - Ьр-2о(и - v)а+ +Ьр-1(и - v)в + Ьр-1о(8 - 7) = 0,
итг - Ьр-1ои(и - v)тu - Сг + Ьр-1о(и - v)Сu - иСх+
+и2тх + 8 + (1 - ао)Рртх = 0, (1.17)
-(1 - ао)Рр8и + (1 - ао)Рртг - 2Ьр-1о(1 - ао)Рр(и - v)тu + 2(1 - ао)Рритх-—р (1 — ао) Рра — аР0в + (1 — ао) Р0ар — (1 — ао) Р0Сх + (1 — ао) Ррр а+
+ (1 — ао)Рра в — 0,
-(1 - ао)Ра8и + (1 - ао)Ратг - 2Ьр-1о(1 - ао)Ра(и - v)тu+
+ (1 — ао)Раитх — р (1 — ао)Ра а — аРа в + (1 — ао)Ра ва—
— (1 — ао)РаСх + (1 — aо)PаVТx + (1 — ао)Рра а + (1 — ао)Раа в = 0,
Рр {-р-1 (1 - ао)РрТи + итр - Ср) = 0,
Ра {-р-1 (1 - ао)РаТи + VТа - Са) = 0,
РрРа Ти = 0,
Рр (-иТи + Си + рТр) = 0,
Ра ( — ити + Си) = °
Ра Тх = 0, Ра Та = 0; (1.18)
7г + Ь(и - v)Yv - Ь(и - v)тt - Ь2(и - v)2тv + VYx - Ь(и - v)vтx-—Ь(8 — 7) + аРрах + аРа вх = 0,
vтt + Ь(и - v)vтv - Сг - Ь(и - v)Сv - vСx + v2Тx + 7 + аоРаТх = 0, (1.19)
— Рр!'и + Рртг + 2ЬРр(и — ^ + Рр(и + + Ррар — РрСх + Ррра + Ррав = ^
— Ра IV + Ра Тг + 2ЬРа (и — v)Тv + 2Ра VТx + Ра ва — Ра Сх + Рра а + Раа в = 0,
Рр (аРрТу - итр + Ср) = 0,
Ра (аРату ,^та + Са) 0,
РрРа Ту = 0,
Рр(Су - VТv) = 0,
Ра (Су - VТv + оТа) = 0,
РрТх = 0, Рр Тр = 0. (1.20)
Уравнения называются определяющими, поскольку служат для непосредственного вычисления упомянутых функций, а значит, и генераторов допускаемых исходной системой уравнений групп преобразований.
Упростим систему определяющих уравнений. Используя уравнения (1.14),
(1.16), (1.18), (1.20), а также подстановку уравнений (1.13) и (1.15) в уравнения
(1.17) и (1.19) соответственно, получим систему
аг + иах + р8х + Ьо(и — v)тx = 0,
итг — Сг — иС,х + щ2 тх + 8 = 0
—рар + ртг + 2ритх + р8и — рСх + Ьо(и — v)тu + а = 0,
—ртр + ити — Си = 0 (1.21)
-итр + Ср + р-1 (1 - ао)РрТи = 0,
Ра Тх = 0, Ра Ти = 0;
ві + увх + а^х - Ьа(и - у)тх = 0, уті - Сі - уСх + у2Тх + 7 = 0,
—аво + а ті + 2аутх + ат„ - аСх - Ьа(и — у)Ту + в = 0,
—аТо + уТу - Су = 0, (1.22)
-УТо + Со + аРо Ту = 0,
РрТх = 0, РрТу = 0;
8і - Ьр-1а(и — у)8и + Ьр-1а(и — у)ті - Ь2р-2а2(и — у)2ти+
+и8х + Ьр-1аи(и — у)тх + р-1(1 - аа)Ррах + р-1(1 - аа)Ровх —
-Ьр-2а(и — у) а + Ьр-1(и — у)в + Ьр-1а(8 — 7) = 0,
-ити + Си = 0 (1-23)
-(1 - аа)Рр5и + (1 - аа)Ррті - 2Ьр-1а(1 - аа)Рр(и - у)ти-—р 1 (1 — аа )Рра — аРрв + (1 — аа )Ррар — (1 — аа )РрСх + (1 — аа )Ррр а+
+ (1 — аа)Рро в = 0,
— (1 — аа)Ро 8и + (1 — аа)Ро ті — р 1(1 — аа)Ро а — аРо в+
+ (1 — аа)Ра во — (1 — аа)РаСх + (1 — аа)Рро а + (1 — аа)Роо в = 0,
Рр (-Р-1(1 - аа)РрТи + итр - Ср) = 0, (1.24)
Ро Со = 0, (1.25)
Ро Си = 0, Ро То = 0;
7і + Ь(и - у)^ь - Ь(и - у)Ті - Ь2(и - у')2Ту + у'ух-
—Ь(и — у)утх — Ь(8 — 7) + аРрах + аРо вх = 0,
уТу - Су = 0, (1.26)
— Рр!'о + РрТі + Рр ар — РрСх + Ррра + Рров = °
— Ро^у + Ро Ті + 2ЬРо (и — у)ть + Рово — РоСх + Рро а + Роов = 0,
Рр Ср = 0, (1.27)
Ро (аРоТу + Со) = 0, (1.28)
РрСо = 0, Рр Тр = 0. (1.29)
Из уравнения (1.23) следует, что (1.21) имеет вид тр = 0, а из (1.22), (1.26),
что то = 0. В силу (1.24), (1.27), (1.29) Ррти = 0, из (1.25) и (1.28) следует, что
Ро Ту = 0.
Учитывая все вышесказанное, получим систему уравнений
Тр = 0, То = 0, Ср = 0, Со = 0, (1.30)
РрТх = 0, РрТи = 0, РрТу = 0, РрСу = 0, (1.31)
Ро Тх = 0, Ро Ти = 0, Ро Ту = 0, Ро Си = 0, (1.32)
Си - иТи = 0, Су - VТv = 0, (1.33)
аг + иах + р8х + Ьо(и — v)тx = 0, (1.34)
итг — Сг — иСх + и2 Тх + 8 = 0, (1.35)
-рар + ртг + 2ритх + р8и - рСх + Ьо(и - v)тu + а = 0, (1.36)
вг + vвx + о7х - Ьо(и - v)тx = 0, (1.37)
vтt - Сг - vСx + v2Тx + 7 = 0, (1.38)
-ова + отг + 2оvТx + о7у - оСх - Ьо(и - v)тv + в = 0, (1.39)
р8г — Ьо(и — v)8u + Ьо(и — v)тt — Ь2р-1о2(и — V)2 ти+
+ри8х + Ьои(и — v)тx + (1 — ао)Ррах + (1 — ао)Ра вх —
—Ьр-1о(и — v)а + Ь(и — v)в + Ьо(8 — 7) = 0, (1.40)
—Рр8и + Рртг — р 1рр а — а(1 — ао) 1Ррв + Ррар—
— РРСх + Ррра + Ррав = ^ (1.41)
— Ра 8и + Ра Тг — р 1Ра а — а(1 — ао) 1 Ра в + Ра ва —
Ра Сх + Рраа + Раав = 0, (1.42)
7г + Ь(и - v)Yv - Ь(и - v)тt - Ь2(и - v)2Тv + VYx-
—Ь(и — v)vтx — Ь(8 — 7) + аРрах + аРа вх = 0, (1.43)
— Рр!у + Рртг + Ррар — РрСх + Ррра + Ррав = 0, (1.44)
— Ра!у + Ра тг + Ра ва — Ра Сх + Рраа + Раав = 0. (1.45)
Если Р2 + Р2 = 0, то в силу (1.30)-(1.33) т = т(Ь), С = С(Ь,х). Вычтем из (1.42) равенство (1.45), если Ра = 0, и получим, что
— 8и — р-1а — а(1 — ао)-1в = 0. (1.46)
Если Ра = 0, то Рр = 0 и равенство (1.46) получится после вычитания из равенства (1.41) равенства (1.44). Из (1.35) и (1.38) следует, что 8и = = Сх — т',
(1 — ао)а + арв = 0.
Из (1.36), (1.39) вытекает, что а = рС(Ь^и^о), в = оD(t,x,u,v, р). Тогда (1 — ао)С(Ь^^^^) + аоВ^^^^, р) = 0. Следовательно, Бр = 0
и Б = Д^х^^), —аС + (1 — ао)Са = 0 и С = (1 — ао)-1Е(Ь^и^). В этом
случае Е(Ь^и^) + аоБ(t,x,u,v) = 0. Таким образом, Е = Б = а = в = 0.
Из (1.34) и (1.35) следует, что 0 = 8х = Сгх + иСхх, Сгх = Схх = 0. Поэтому С(Ь, х) = Ах + В(Ь), 8 = В'(Ь) + и(А — т'(Ь)), 7 = В'(Ь) + v(A — т'(Ь)).
Из (1.44) при Рр = 0 или из равенства (1.45) в противном случае следу-
ет, что т' = Сх = А, т = АЬ + С, 8 = 7 = В'(Ь). Тогда равенство (1.43) влечет В''(Ь) — Ь(и — v)A = 0, поэтому А = 0, В = БЬ + Е, т = С, С = БЬ + Е,
8 = 7 = Б. Оставшиеся равенства будут выполняться автоматически. Таким образом, решение определяющей системы уравнений не зависит от вида функции Р = Р(р, о) при условии, что она непостоянна.
Выбирая одну из констант полученного решения системы определяющих уравнений равной единице, а остальные равными нулю, получим базис
{Х1, Х2, Х3} основной алгебры Ли системы (1.1)—(1.4). Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 1. При любой непостоянной функции Р = Р(р,а) операторы
д д д д д
1 дЬ 2 дх, 3 ^ дх + ди + ду
образуют базис алгебры Ли Ь3 системы уравнений (1.1)—(1.4).
2. Оптимальные системы подалгебр основной алгебры Ли
В групповом анализе дифференциальных уравнений важную роль играют оптимальные системы подалгебр алгебры Ли. Например, для поиска существенно различных инвариантных решений необходимо знать данные системы подалгебр
[2; 4].
Найдем оптимальные системы одномерных и двумерных подалгебр основной алгебры Ли Ь3.
Любой элемент X алгебры Ли Ь3 может быть записан в виде
X = е1Х1 + е2 Х2 + е3Х3,
где операторы Х1, Х2, Х3 из теоремы 1, а е1, е2, е3 — координаты вектора X в данном базисе. Посчитаем коммутаторы базисных элементов [Ха,Хв] = Х1, а, в = 1, 2, 3, (здесь и далее суммирование повторяющихся в выражении индексов предполагается по умолчанию) и получим таблицу коммутаторов
[Ха,Хв ] Х1 Х2 Х3
Х1 0 0 Х2
Х2 0 0 0
Х3 -Х2 0 0
Используя, например, классификацию из [5], получим следующий результат.
Утверждение. Алгебра Ь3 является трехмерной нильпотентной неразложимой алгеброй А3.3 (в классификации разрешимых алгебр).
Не равны нулю только структурные константы с\3 = 1, с^ = —1. Применяя формулу
Е = с:і ев д а сРа е де7,
построим инфинитезимальные генераторы внутренних автоморфизмов:
Е = е3 д Е = е1 д
Е1 = —е^Т2 , Е3 = е .
де2 де2
Данные генераторы порождают следующие два семейства однопараметрических преобразований координат:
е1 = е1, е2 = е2 — а1е3, е3 = е3, а1 Є К, (2.1)
е1 = е1, е2 = е2 + а2е1, е3 = е3, а2 Є К. (2.2)
Для того чтобы найти оптимальную систему 01 одномерных подалгебр,
разложим векторы е = (е1, е2, е3) на классы эквивалентности, соответствую-
щие заданному формулами (2.1) и (2.2) отношению эквивалентности. Из вида преобразований ясно, что если е1 = е3 = 0, то вектор с координатами (0, е2, 0) не изменится. С другой стороны, когда хотя бы одна из координат, первая или последняя, не равна нулю, мы не сможем получить вектор (0, е2, 0). Значит, одномерная подалгебра с базисным вектором (0, 1, 0) входит в систему оптимальных подалгебр.
Пусть е1 = 0, е3 = 0, тогда вектор с координатами (е1, е2, 0) можно преобразовать в вектор (е1, 0, 0) с помощью преобразования (2.2). Поэтому подалгебра с базисом (1, 0, 0) также будет представителем класса подобных подалгебр.
В случае е1 = 0, е3 = 0 мы получим еще один класс, представителем которого в силу преобразования (2.1) можно взять подалгебру с базисным вектором (0, 0, 1).
Когда е1 = 0, е3 = 0, вектор (е1, е2, е3) можно перевести в вектор с координатами (е1, 0, е3) и взять в данном случае подалгебру с базисным вектором
е3
(1, 0, с), с = —.
е1
Теорема 2. Оптимальная система 01 одномерных подалгебр основной алгебры Ли Ь3 состоит из подалгебр с базисными векторами
Х2, Х3, Х1 + сХ3, с Є К.
При построении оптимальной системы двумерных подалгебр берется базисный вектор из системы 01 и ищутся векторы, с точностью до преобразований (2.1), (2.2) образующие в совокупности с данным вектором базисы двумерных подалгебр [2].
Возьмем вектор Х1 и произвольный вектор Х = е2Х2 + е3Х3, рассмотрим два случая: е3 = 0 и е3 = 0. Пусть е3 = 0, тогда коммутатор [Х1, е2Х2] = 0 и векторы Х1, Х2 образуют двумерную подалгебру < Х1, Х2 >. Пусть е3 = 0, тогда в векторе Х можно сделать е2 = 0, при этом вектор Х1 перейдет в Х1 — е2Х2 и коммутатор [Х1 — е2Х2, е3Х3] = е3Х2. Для того чтобы векторы образовывали подалгебру, должны существовать а, в Є К такие, что е3Х2 = а(Х1 — е2Х2) + +вХ3. Но в силу линейной независимости векторов Х1, Х2, Х3 имеем а = в = 0 и, следовательно, е3Х2 = 0. Чего не может быть, т. к. е3 = 0. А значит, пара векторов Х1, Х подалгебры не образует.
Возьмем следующий вектор Х2 из системы 01, тогда [Х2, е1Х1 + е3Х3] = 0. В данном случае множество двумерных неподобных подалгебр можно записать в виде (Х2,Х3), (Х2,Х1 + сХ3), рассмотрев случаи е1 = 0 и е1 = 0. Заметим при
этом, что последнему случаю при с = 0 соответствует найденная выше подалгебра (Х1,Х2).
Возьмем векторы Х3, е1Х1+е2Х2, тогда [Х3, е1Х1+е2Х2] = -е1Х2. Для того чтобы эти векторы образовывали базис подалгебры, необходимо, чтобы -е1Х2 = аХ3 + в (е1Х1 + е2Х2). Отсюда а = 0, ве1 = 0, ве2 = —е1. Если в = 0, то е1 = 0, и получим подалгебру {Х2,Х3). Иначе, если в = 0, получим е1 = 0 и, следовательно, е2 = 0. Поэтому двумерная подалгебра данному случаю не соответствует.
Рассмотрим подространства с базисными векторами Х1 + сХ3, е2Х2 + е3Х3. Коммутатор [Х1 + сХ3, е2Х2 + е3Х3] = е3Х2 должен быть равен выражению а (Х1 + сХ3) + в (е2Х2 + е3Х3) при некоторых константах а, в. Получим а = 0, ве3 = 0, ве2 = е3. Если в = 0, то е3 = 0 и получена найденная выше подалгебра {.Х2,Х1 + сХ3). В противном случае двумерных подалгебр не будет.
Теорема 3. Оптимальная система 02 двумерных подалгебр основной алгебры Ли Ь3 состоит из подалгебр
{Х2,Х3), {Х2,Х1 + СХ3), с Е К.
3. Заключение
В работе проведен групповой анализ одномерной по пространственным переменным системы уравнений механики двухфазной среды. Исследование показало, что алгебра Ли данной системы при любом значении свободного элемента Р не меняется и является трехмерной. Ее базисным элементам соответствуют две тривиальные группы переноса вдоль координатных осей и одна группа галилеевских преобразований. Для упомянутой алгебры Ли найдены оптимальные системы одномерных и двумерных подалгебр.
В дальнейшем результаты работы будут использованы для поиска инвариантных и частично инвариантных решений исследуемой системы уравнений.
Список литературы
1. Яненко, Н. Н. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц / Н. Н. Яненко [и др.]. — Новосибирск : Наука, 1980. — 160 с.
2. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 399 с.
3. Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. — М. : Наука, 1983.
4. Аннин, Б. Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенашов. — Новосибирск : Наука, 1985.
5. Лагно, В. И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В. И. Ла-гно, С. В. Спичак, В. И. Стогний. — М. ; Ижевск : Ин-т компьютер. исслед., 2004.
