Группа умножений почти вполне разложимой абелевой группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.541

ГРУППА УМНОЖЕНИЙ ПОЧТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ

Е.И. КОМПАНЦЕВА, A.A. ФОМИН

В работе описаны группы умножений, а также главные абсолютные идеалы жестких почти вполне разложимых абелевых групп кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором. Показано, что в группах из этого класса любой абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой.

Ключевые слова: умножение на абелевой группе, кольцо на абелевой группе, почти вполне разложимые группы, абсолютный идеал.

Умножением на абелевой группе G называется любой гомоморфизм ц: G © G ^ G. Группа MultG = Hom(G х G, G) называется группой умножений группы G . Абелева группа G с заданным на ней умножением называется кольцом на группе G. При исследовании колец на группе G в первую очередь возникает вопрос о ее подгруппах, являющихся идеалами в любом кольце на G, такие подгруппы называют абсолютными идеалами группы G . Проблема изучения абсолютных идеалов абелевых групп сформулирована в [1]. Очевидно, любая вполне характеристическая подгруппа абелевой группы является ее абсолютным идеалом. В [2] поставлена задача описания абелевых групп, для которых верно обратное утверждение, то есть любой абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой. Такие группы называют afi -группами. Все группы, рассматриваемые в работе, абелевы, и слово «группа» везде в дальнейшем означает «абелева группа».

Настоящая работа посвящена изучению колец на почти вполне разложимых группах. Группа без кручения конечного ранга называется почти вполне разложимой, если она содержит вполне разложимую подгруппу конечного индекса. Почти вполне разложимые группы изучаются давно, им посвящены исследования многих авторов. Любая почти вполне разложимая группа содержит некоторую вполне характеристическую подгруппу A конечного индекса, которая является вполне разложимой и называется регулятором группы G. Факторгруппа G / A называется регуляторным фактором группы G, индекс подгруппы A в группе G - регуляторным индексом. Почти вполне разложимые группы с циклическим регуляторным фактором часто называют ЦРФ-группами.

Пусть G - почти вполне разложимая группа, A - ее регулятор, T(G) = T(A) -множество критических типов группы G [3]. Если типы прямых слагаемых AT ранга

1 группы A попарно не сравнимы, то группы G и A называются жесткими. В случае, когда T (G) состоит только из идемпотентных типов, G называется группой кольцевого типа.

Далее везде G - это редуцированная почти вполне разложимая жесткая группа кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором G / A =< d + A > и регуляторным индексом n . Из теории вполне разложимых групп известно [3], что существует разложение G = G1 © C, в котором G1 - жесткая ЦРФ-группа с регулятором B и множеством критических типов T(G1) с T(G), C - вполне разложимая группа. Это разложение называется главным. Существуют такие элементы ere AT, т е T(G), что группы B и C можно представить в виде B = © RTeT, C = © RTeT, где RT - подкольца с единицей кольца Q рациональных чисел.

TeT (B) TeT (C)

При этом d е B и выполняется

м = £ —sтeт, (1)

теТ (В) тт

где ®те Z , тте N (те Т (С)) - инварианты почти изоморфизма группы О.

Равенство (1) называется стандартным представлением ЦРФ-группы С .

Так как в делимой оболочке С1 = В группы С1 элемент d можно представить в виде:

s

d = ^ ет , а любой элемент % е С1 имеет вид % = М + Ь для некоторых к е Z, Ь е В, то в

теТ(В) тт

__^_^ г

группе С1 элемент g можно представить в виде: % = ^ еТ , где гт е Ят . В дальнейшем бу-

теТ(В) тт

дем использовать такое представление элементов группы С1.

Умножение /: С ® С ^ С часто будем обозначать знаком х, то есть /(® %2) = х %2 для %2 е С. Кольцо на группе С , определенное этим умножением, обозначается (С,х). Очевидно, в любом кольце (С,х) на жесткой группе С произведение етх ете Ат при всех т е Т(С) и етх еа = 0 при т Ф а .

Заметим, что если (С,х) - кольцо на С , то регулятор А и все его т -однородные компоненты Ат являются идеалами этого кольца. При этом определено кольцо (А,х) на делимой оболочке А группы А . При этом С - подкольцо кольца (А,х) . Поскольку для любых элементов кольца (Ат,х) выполняется (д1ет)х(^2ет) = дхд2(етхет), то это же верно в кольце (С,х). Поэтому для любых элементов / е Ят(те Т(С)) существует кольцо (А,х), в котором етх ет = /итет . Однако не любое умножение на А продолжается до умножения на С .

Будем говорить, что элементы /т е Rт(те Т(С)) определяют умножение на С относительно разложения А = © Ятет, если существует кольцо (С,х), в котором етх ет = /1тет.

теТ (С)

Пусть для всех т е Т(В) заданы элементы хте Ят, будем обозначать

Хт = Хт+ тЛт е Кт / mтRт, ХВ = (Хт)теТ (В) е П Кт , ХВ = (Хт)теТ (В) е П (Кт / ШЛ). ЕсЛИ е Z

теТ (В) теТ (В)

и (хт, тт) = 1 для всех те Т (В), то хт обратим в / ттЯт, обозначим

—-1 —-1 -1

хВ = (хт )теТ(В) е П (Rт /т^т). Через хт обозначим целое число, для которого

теТ (В)

хтхт~1 + ттУт = 1 при некотором УТе Z .

В следующей теореме описаны умножения на группах из рассматриваемого класса.

Теорема 1. Пусть С - жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа со стандартным представлением (1). Элементы /.(те Т(С)) определяют умножение на С относительно разложения

А = © Rтeт тогда и только тогда, когда при всех т е Т(В) имеем /ит = тт8т, где 8те Rr и

теТ (С)

8В =аяВ 1 при некотором а е 2.

Доказательство. Пусть /ит е Rт(те Т(А)), и пусть / = тт8т,8г = О®^ + е Rт(tт е Rт) и = 1 + ттУт(\те 2) при всех те Т(В). Очевидно, существует кольцо (А,х), в котором етхет = /1тет при всех те Т(А) . Это умножение однозначно продолжается до умножения на

делимой оболочке А группы А. Покажем, что О - подкольцо кольца (А,х). Представим а в виде а = ^ —— еТ , тогда

теТ(В) тт

аXа = X (^гяк = I + тЛ)ет=о* + XО.

Т теТ (В) тт

еТ (В) тт теТ (В) тт теТ (В)

Если те Т(В), то а х ет =(етх ет) = ятЗтет е А . Если те Т(С), то а х ет = 0, значит,

тт

а х А с А и А х а с А . Так как любой элемент g е О можно представить в виде g = ка + а, где к е 2,ае А, то О - подкольцо кольца (А,х) . Следовательно, элементы /Иг(те Т(А)) определяют умножение на О.

Пусть теперь элементы /ите Ят(те Т(А)) определяют умножение на О относительно разложения А = © Ятет . В [4] показано, что Втх Вт с ттВт при всех т е Т(В), поэтому

теТ (О)

Цт = ттЗт для некоторых ЗТе КТ. Так как а х а е О, то а х а = ай + ^ ЪТеТ при некоторых

теТ (А)

ае 2 и ЪТе ЯТ(те Т(В)) . Отсюда

а х а = ^^^ ет. (2)

теТ (В) тт

С другой стороны,

2 2 $ $

аха = X -г(е7хет) = X (—¿тК. (3)

теТ(В) тТ теТ(В) тт

$2 а + т Ъ

Из (2) и (3) для всех т е Т(В) получаем = —--, откуда яТЗт = ат + ттЪт, то

тТ тТ

есть ЯтЗт = аяТ , и, значит, Зт = а$т 1. Получили, что ЗВ = а$в 1.

Поскольку при фиксированном разложении А = © Ктет вектор Яв определен одно-

теТ (О)

значно с точностью до множителя ве 2,(Дп) = 1, критерий того, что элементы /иг(те Т(О)) определяют умножение на О, не зависит от выбора элементов ят(те Т(О)) в главном представлении группы О . Отметим также, что элементы /ит (т е Т(О)) могут определять умножение относительно одного разложения группы А и не определять ни одного умножения относительно другого разложения.

Для каждого ае 2 определим множество М(а) = атВяВ-1 + П тТЯТ с П Кт.

тт тт

Пусть М - подгруппа группы П К, порожденная множествами

т ?

тт ф1

М(а), М =< М(а) | а е 2 >.

Следствие 2. Если G - жесткая ЦРФ-груииа кольцевого типа со стандартным представлением (1), то MultG = M © п R •

m=i

Пусть EndG - кольцо эндоморфизмов группы G . Если Г с EndG, g е G будем обозначать r(g) = {p(g) | (ре Г}.

Лемма 3. Пусть G - жесткая ЦРФ-группа с главным представлением (1),

g = Е — Т + Е ^е G, L = © rTBT© © cC. Тогда (EndG)(g) с< g >+L.

теТ(B) Шт теТ(С) теТ(B) теТ(С)

Доказательство. Пусть ре EndG, тогда, согласно [3], найдется ке Z и ^ е R такие, что р(ет) = (к + mj т)ет при всех те Т(B) . Следовательно,

ф( Е Шет) = Е = Е ет =к Е -ет + Е тА =

теТ(B) шт теТ(B) Шт теТ(B) Шт теТ(B) Шт теТ(B)

kg- Е кстет+ Е ттете< g >+L . Так как ф £ = Е c Ф(ет)е © стС т с L, то

теТ (С) теТ (С) теТ (С) теТ (С) теТ (С)

Фg)е< g >+ L.

При изучении абсолютных идеалов групп важную роль играет понятие главного абсолютного идеала, поскольку любой абсолютный идеал является суммой главных. Главным абсолютным идеалом, порожденным элементом g еG, называют наименьший абсолютный идеал

< g >AI, содержащий g.

В [1] определено множество M(G) =< Ф(g) | g е G, Ф е Hom(G,End G) >с End G, и доказано, что M(G) является идеалом кольца EndG. Известно, что если g е G, то

< g >AI =< g > +M(G)(g). Этот факт позволяет в следующей теореме описать главные абсолютные идеалы жесткой ЦРФ-группы.

Теорема 4. Пусть G - жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа,

g = Е —ет + Е Стете G. Тогда < g >ai =< g >+( © rzAz© © cTAT).

теТ (B) Шт теТ (С) теТ (B) теТ (С)

Доказательство. Пусть L = © гтАт© © ст Ат = © гтBT© © стСт. Покажем, что

теТ (B) теТ (С) теТ (B) теТ (С)

< g > AI =< g >+ L.

Так как M(G) с EndG, то M(G)(g) с< g > +L по лемме 3, откуда

< g > ai =< g > +M(G)(g) с< g > + L .

Докажем обратное включение, для этого достаточно показать, что L с< g >AI. Пусть сначала т е Т(С) . Определим умножение х на G , положив ет х е т = е т и еах еа = 0 при о Ф т . Тогда gхtтет = стtтет е< g >хс< g >AI для всех tт е Ят (здесь < g >х - идеал, порожденный элементом g в кольце (G,x)). Следовательно, © стС т с< g >AI. Пусть теперь т е Т(B) и v0-

теТ (G)

целые числа, для которых s0s0 1 + m0v0 = 1 (о е Т(B)). В силу теоремы 1 определено кольцо (G,x), в котором еохео = m0(srs0~l + ш^о)ео для всех ое Т(B) и еохео= 0 при ое Т(С). Г t -i

Тогда gхt .те т = —(ет хе т) = rTtT(s тs т + штvT)ет = rгt те т е< g >ус< g >ai при всех tт е R. шг

Следовательно, © гтB тт с< g > AI и, значит, < g > + L с< g >AI.

теТ (B)

Заметим, что элементы гт(те Т(B)) и ст(те Т(C)) в представлении элемента g е G определены однозначно с точностью до множителя, обратимого в RT. Поэтому вид главного идеала < g >AI не зависит от разложения A = © RTeT .

теТ (G)

Так как группа является afi -группой тогда и только тогда, когда любой ее главный абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой, то из описания главных абсолютных идеалов жестких ЦРФ-групп кольцевого типа получаем, что все группы из этого класса являются afi -группами.

Теорема 5. В жесткой ЦРФ-группе кольцевого типа любой абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой группы G .

Доказательство. Пусть G - жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа и

g = ^ eT + ^ cTeT е G. По теореме 4 главный абсолютный идеал < g >AI =< g > + L, где

теТ(B) тт теТ(C)

L = © гтAT © © cTAT . Очевидно, L - вполне характеристическая подгруппа группы G . Так

теТ (B) теТ (C)

как (EndG)(g) с< g > + L по лемме 3, то < g >AI также является вполне характеристической подгруппой. Следовательно, и любой абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой группы G.

ЛИТЕРАТУРА

1. Fried E. On the subgroups of abelian groups that ideals in every ring // Proc. Colloq. Abeli-an Groups. Budapest, 1964. P. 51-55.

2. McLean K.R. The additive adeals of a p-ring // J. London Math. Soc. 1975. V. 2. P. 523-529.

3. Благовещенская E.A. Почти вполне разложимые абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. - СПб: Политехнический университет, 2009.

4. Kompantseva E.I. Rings on almost completely decomposable Abelian groups // J. of Mathematical Sciences. 2009. V. 163, № 6. P. 688-693.

THE GROUP OF MULTIPLICATIONS FOR AN ALMOST COMPLETELY DECOMPOSABLE GROUP

Kompantseva E.I., Fomin A.A.

The groups of multiplications and the absolute principal ideals are described in the present paper for the rigid almost completely decomposable groups of the ring type with the cyclic regulator factor. It is shown that every absolute ideal is a fully invariant subgroup of such group.

Key words: multiplication on an abelian group, almost completely decomposable group, absolute ideal.

REFERENCES

1. Fried E. On the subgroups of abelian groups that ideals in every ring // Proc.Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. P. 51-55.

2. McLean K.R. The additive adeals of a p-ring // J. London Math. Soc. 1975. V. 2. P. 523-529.

3. Blagoveshchenskaya E.A. Pochti vpolne razlozhimye abelevy gruppy i ih kol'tsa endo-morfizmov. - SPb: Politekhnicheskiy universitet, 2009.

4. Kompantseva E.I. Rings on almost completely decomposable Abelian groups // J. of Mathematical Sciences. 2009. V. 163, № 6. P. 688-693.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Компанцева Екатерина Игоревна, окончила МПГУ (1965), доктор технических наук, доцент, профессор кафедры ТВиМС Финансового университета при Правительстве РФ, профессор кафедры алгебры МПГУ, автор 59 научных работ, область научных интересов - теория групп, теория колец, их применение к проблеме обеспечения помехоустойчивого кодирования.

Фомин Александр Александрович, 1949 г. р., окончил МПГУ (1965), профессор, доктор физико-математических наук, зав. кафедрой алгебры МПГУ, автор 70 научных работ, область научных интересов - теория групп и ее применение к проблеме обеспечения помехоустойчивого кодирования.