Граничные условия компенсации переменного магнитного поля тонкой ферромагнитной оболочки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ КОРАБЛЯ

DOI: 10.24937/2542-2324-2019-3-389-139-143 УДК 537.612.001.5

А.Я. Лаповок, A.B. Полутов

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ КОМПЕНСАЦИИ ПЕРЕМЕННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТОНКОЙ ФЕРРОМАГНИТНОЙ ОБОЛОЧКИ

Объект и цель научной работы. Вывод граничных условий, используемых для расчета плотности тока токовой пленки, компенсирующей низкочастотное электромагнитное поле ферромагнитной оболочки. Материалы И методы. Численные и аналитические методы решения краевых задач теории электромагнитного поля.

Основные результаты. Рассмотрена компенсация внешнего электромагнитного поля тонкой ферромагнитной электропроводящей оболочки с помощью токовой пленки, расположенной на внутренней или наружной стороне оболочки. Для замкнутой оболочки плотность компенсирующего тока определена из решения внутренней краевой задачи для векторного магнитного потенциала с граничными условиями Дирихле или третьего рода.

Заключение. Результаты работы могут использоваться в размагничивающем устройстве для компенсации магнитного поля вихревых токов при качке корабля. Регулировка компенсирующего тока должна производиться в зависимости от трех параметров: величин внешнего поля - магнитного поля Земли в системе координат корабля, первой и второй производных внешнего поля по времени.

Ключевые слова: низкочастотное магнитное поле, тонкие ферромагнитные оболочки, граничные условия, условия компенсации.

Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

SHIP SIGNATURES

DOI: 10.24937/2542-2324-2019-3-389-139-143 UDC 537.612.001.5

A. Lapovok, A. Polutov

Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

BOUNDARY CONDITIONS OF VARIABLE MAGNETIC FIELD COMPENSATION FOR A THIN FERROMAGNETIC SHELL

Object and purpose Of research. The purpose of this work was to formulate boundary conditions for density calculations of current sheet compensating low frequency magnetic field of ferromagnetic shell.

Materials and methods. Numerical and analytical solution methods for boundary value problems of electromagnetic field theory.

Main results. This paper discusses external electromagnetic field compensation of a thin ferromagnetic conductive shell by means of the current sheet on its outer or inner side. For a closed shell, compensating current density is calculat-

Дпя цитирования: Лаповок А.Я., Полутов А.В. Граничные условия компенсации переменного магнитного поля тонкой ферромагнитной оболочки. Труды Крыловского государственного научного центра. 2019; 3(389): 139-143. For citations: Lapovok A., Polutov A. Boundary conditions of variable magnetic field compensation for a thin ferromagnetic shell. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2019; 3(389): 139-143 (in Russian).

ed through the solution of internal boundary value problem for a vector magnetic potential with Dirichlet or third kind boundary conditions.

Conclusion. The results of this work could be used in development of degaussing device for compensation of the eddy current-induced magnetic field during ship roll. Compensating current must be adjusted with respect to three parameters: Earth magnetic field in ship-axes coordinate system, and two time derivatives of the external field (the first and the second).

Keywords: low frequency magnetic field, thin ferromagnetic shells, boundary conditions, compensation conditions. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.

Введение

Introduction

На низких частотах электромагнитное поле в материале металлической оболочки может быть представлено в виде суммы прямой и обратной плоских волн, распространяющихся по нормали к срединной поверхности оболочки. Такое представление справедливо как при большой, так и при малой глубине скин-слоя, и широко применяется при расчете электромагнитных экранов. На основе плосковолнового представления получены приближенные импедансные граничные условия, связывающие величины касательных составляющих электрического и магнитного полей на внешней и внутренней сторонах оболочки. Импедансные условия эффективно используются при компьютерном моделировании оболочек сложной формы.

В статье рассмотрено применение импеданс -ных граничных условий для решения задач компенсации низкочастотного электромагнитного поля. В качестве примера приведена компенсация магнитного поля вихревых токов бесконечной цилиндрической оболочки кругового сечения. Поле вихревых токов в цилиндрической оболочке является приближенной моделью магнитного поля вихревых токов, возникающих при качке корабля в магнитном поле Земли. Из аналитического решения задачи компенсации для оболочки следует, что регулировку компенсирующего тока необходимо производить в функции величины внешнего поля, первой и второй производных внешнего поля по времени.

Граничные условия для переменного магнитного поля на поверхности тонкой оболочки

Boundary conditions for variable magnetic field on the surface of thin shell

Поместим в однородную непроводящую среду (воздух) с магнитной проницаемостью |io тонкую оболочку толщиной d, имеющую электропроводи-

мость с и магнитную проницаемость д. На срединной поверхности S оболочки задаются приближенные импедансные граничные условия, предполагающие, что внутри материала оболочки локальное поведение векторов электромагнитного поля Е и Н подобно плоской волне, распространяющейся по нормали к S:

-п х [п х (Е~ + Е+)] = ап х (Н - Н+); (1)

nx(E~-E+) = |3nx|nx(ir+Н+)], (2)

где для монохроматического поля с угловой частотой со = 2%f принята временная зависимость е""': п - орт нормали, указывающий на внутреннюю сторону поверхности с индексом «-», индексом «+» обозначена внешняя сторона поверхности; a = RE = K/(c¡T); $=RM = KT/o; К = фcojlo, Rc(/\") > 0: T=th(Kd/2); RE, RM - электрическое и магнитное сопротивление слоя.

Условия (1) и (2) получены интегрированием электрического и магнитного тока по толщине оболочки. Впервые импедансные условия в подобной форме, по-видимому, получены в [1]. Другую известную форму приближенных граничных условий [2] можно получить, применяя к правой и левой частям уравнений (1) и (2) оператор поверхностной дивергенции.

Введем в воздухе векторный магнитный потенциал А, такой, что Н = (l/^rot А. В квазистационарном случае дополнительно используем калибровку Кулона divA = 0. В этом случае векторный потенциал вне материала оболочки удовлетворяет уравнению Лапласа

АА = 0,

и граничные условия (1), (2) принимают вид -n X [n X (-¿Ю(А" + А+) + Vi7)] = an X (1Г - Н+); (3) п х (-¿ю(А" - А+)) = (Зп х [п х (1Г + Н+)], (4)

где F - скалярный электрический потенциал.

При расчете магнитного поля с соблюдением условия замкнутости электрического тока (сН\ | = 0) внутри материала оболочки в (3) можно положить V/-' = 0. В двумерных задачах условия (3), (4) дополнительно упрощаются с учетом п А = 0:

Н°,А°

-/ю(А" + А+ ) = an х (1Г - Н+ ); -гю(А" - А+ ) = (Зп х (IT + Н+ ).

(5)

(6)

Компенсация магнитного поля замкнутой оболочки

Magnetic field compensation of a closed shell

Пусть на оболочку воздействует поле Н° с вектор-

ным потенциалом А

Нп

J_ Но

rot Аг

Нанесем

-гю(А" + А ) = an х (H - Н+ ); -гю(А" - А0 ) = (Зп х (1Г + Н+ ).

(8) (9)

Jext

на внешнюю или внутреннюю сторону оболочки бесконечно тонкий токовый слой и потребуем, чтобы суммарное магнитное поле во внешней среде не искажалось и равнялось воздействующему полю, т.е. чтобы токовый слой компенсировал магнитное поле, индуцируемое оболочкой во внешней среде. Условия компенсации означают, что на внешней поверхности оболочки с токовой пленкой векторный потенциал А и напряженность Н суммарного поля равны, соответственно, векторному потенциалу А0 и напряженности Н° воздействующего поля.

Подставляя условия компенсации в граничные условия (3), (4) или (5), (6), для замкнутой оболочки можно сформулировать вспомогательную краевую задачу, из решения которой легко определить плотность компенсирующего тока.

В случае наружного токового слоя (рис. 1) из условий компенсации и непрерывности векторного потенциала при переходе через токовый слой следует

А+=А°. (7)

Подставляя (7) в (5) и (6), для двумерной задачи получим

Рис. 1. Компенсирующий токовый слой jext снаружи оболочки со срединной поверхностью S

Fig. 1. Layer of compensating current jext outside the shell with medium surface S

поверхностью оболочки, векторный потенциал А удовлетворяет уравнению Лапласа

ДА~ = 0

с граничными условиями третьего рода

-2nx—rot А Но

1 1

.ОС р

Л- ■ Î1 1

А = -/ю---

U р

(10)

А0. (11)

В результате решения краевой задачи (10), (11) определяется А и Н = (1/(До)го1 АПосле этого из уравнения (8) или (9) находится п х 1Г Искомая плотность токового слоя ^ на наружной стороне оболочки определяется по формуле

Jext = П X Н+ - П X H .

(12)

В случае внутреннего токового слоя (рис. 2) из условий компенсации следует

H = H

(13)

Подставляя (13) в (5) и (6), для двумерной задачи получим

-/ю(А" + А0 ) = an х (Н~ - Н° );

-/ю(А" - А0) = Рпх(Н~ +Н°).

(14)

(15)

Исключая из системы уравнений (8), (9) п х ЕГ и учитывая, что Н = (I /]_!, ,)1Ч»1 А . получим внутреннюю краевую задачу для векторного потенциала А~. В замкнутой области, ограниченной внутренней

Исключая из (14), (15) п х Н . получим внутреннюю краевую задачу для векторного потенциала А . В замкнутой области, ограниченной внутренней поверхностью токового слоя, векторный

H =H°, A =A°

Рис. 2. Компенсирующий токовый слой jint внутри оболочки со срединной поверхностью S

Fig. 2. Layer of compensating current jint inside the shell with medium surface S

ному из уравнения (14) или (15) находится n х Н . Искомая плотность токового слоя jmt на внутренней стороне оболочки определяется по формуле

Ant = n х Н - п х Н . (17)

Аналитическое решение для бесконечной цилиндрической оболочки

Analytical solution for infinite cylindrical shell

Рассмотрим цилиндрическую оболочку с радиусом срединной поверхности R, толщиной d, электропроводимостью с и магнитной проницаемостью ц (рис. 3) в однородном вертикальном поле Н° = //,, с,, А0 = -Н0 xez = -Н0 г coscp ег.

Решения (12) и (17) в рассматриваемом случае имеют вид

потенциал А удовлетворяет уравнению Лапласа (10) с граничными условиями Дирихле

-т

_L_I â"p

-2n х Н° + /со — + —

U Р

А0.

(16)

Рис. 3. Цилиндрическая оболочка в вертикальном магнитном поле

Fig. 3. Cylindrical shell in vertical magnetic field

Jext

Ц - (K0R)

Ц +

KR thCKd)

H0 cos(pez;

В результате решения краевой задачи (10), (16) определяются А~ и магнитное поле на внутренней

стороне токового слоя Н = —!— го1 А . По известно

H

A À À

. [I - (K0R)

Jmt =--H0 cosq)ez

(18)

(19)

sh (Kd)

где К = фацха; К0 = фщл.0о; Яе(^) > 0; Яс(/ч"п) > 0: ц" = ц/цо.

На очень низких частотах выражения (18) и (19) можно аппроксимировать зависимостями

Jext

К

(

К +1

1—

1 1

( V

ю

V

ю 1

ЗК + 1

г

V®o у

Юд К + \

л 1 Кz 1+—

V

3 К + 1

У

H0cosq>ez; (20)

Jmt

К

1+-

( V

ю

v®0 у

V

-^il-I^2

Юп I 6

Я0 cos(pez

(21)

1

- погонное

V- H d <-> zo v

тд,еК = ——; (й0=2к—; Z0 =■

R ц0 InRdo

электрическое сопротивление оболочки на постоянном токе.

Наличие в (20) и (21) членов, содержащих (co/cflo)2, указывает на связь компенсирующего тока со второй производной внешнего поля по времени. Параметр со0 обратно пропорционален площади поперечного сечения и электропроводимости оболочки и не зависит от ее магнитной проницаемости.

Цилиндрическую оболочку можно использовать в качестве приближенной модели для расчета магнитного поля вихревых токов, возникающих при качке корабля в магнитном поле Земли. Для оболочки с размерами, соответствующими поперечному сечению корпуса корабля класса «фрегат», величина со/со0 при характерной частоте бортовой качки составляет около 0,5. Таким образом, вклад второй производной внешнего поля в закон регулирования тока является существенным.

Библиографический список

1. Колпаков В.В. Приближенные граничные условия для проводящей пластины // Труды Сибирского фи-зико-механического института при Томском государственном университете им. В.В. Куйбышева. 1960. Вып. 39. С. 18-24.

2. Жуков С.В. О граничных условиях для определения переменных полей тонких металлических оболочек // ЖТФ. 1969. Т. 39. №7. С. 1149-1154.

References

1. V. Kolpakov. Approximate boundary conditions for a conducting plate // Transactions of the Siberian Physi-

cal & Mechanical Institute. Tomsk State University named after V.Kuibyshev. 1960. Issue 39. P. 18-24 (in Russian).

2. S. Zhukov. On boundary conditions for determination of variable fields for thin metal shells // Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki (Journal of Applied Physics). 1969. Vol. 39. Issue 7. P. 1149-1154 (in Russian).

Сведения об авторах

Лаповок Андрей Яковлевич, к.т.н., начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: 8 (812)415-65-33. E-mail: krylov@ksrc.ru.

Полутов Альберт Вениаминович, ведущий инженер ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: 8 (812)748-63-15. E-mail: krylov@ksrc.ru.

About the authors

Andrey Ya. Lapovok, Cand. Sei. (Eng.), Head of Sector, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: 8 (812)415-65-33. E-mail: krylov@ksrc.ru. Albert V. Polutov, Lead Engineer, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: 8(812)748-63-15. E-mail: krylov@ksrc.ru.

Поступила / Received: 30.05.19 Принята в печать / Accepted: 18.07.19 © Лаповок А.Я., Полутов A.B., 2019