Графоаналитический метод составления плана выборочного статистического приемочного контроля качества Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Zhinov Andrey Aleksandrovich, candidate of technical sciences, docent,head of chair, [email protected], Russia, Kaluga, Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University,

Shevelev Denis Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Kaluga, Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University,

Karyshev Anatoliy Konstantinovich, candidate of technical sciences, professor, jinov@,mail.ru, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University,

Anan'ev Petr Aleksandrovich, leading designer, anpetral@,list.ru, Russia, Kaluga, Scientific production company "Turbocon"

УДК 658.562.01221.7

ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ПЛАНА ВЫБОРОЧНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО ПРИЕМОЧНОГО

КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА

С.Г. Гомбоева, И.Ф. Шишкин, Д.Н. Хамханова

При контроле качества продукции и услуг широко применяются статистические методы контроля качества продукции и услуг. Одна из основных задач при контроле качества статистическими методами - разработка плана контроля. Существующие методы разработки плана контроля имеют ряд недостатков. В связи с этим, авторами предлагается графоаналитический метод составления планов статистического выборочного контроля качества продукции и услуг. В статье рассматривается случай биномиального распределения результатов контроля.

Ключевые слова: выборочный контроль качества, оперативная характеристика, план контроля, выборка с возвратом.

Огромная роль статистических методов в управлении качеством продукции продиктована тем, что статистический контроль является научно обоснованной базой получения, накопления и обработки информации о качестве продукции, состоянии технологических процессов и позволяет построить корректные производственные отношения между изготовителями и потребителями продукции, обеспечивающая достоверность принимаемых решений, затрагивающих интересы обеих сторон.

Одной из основных задач, связанных с применением статистических методов контроля, является задача составления планов выборочного контроля.

Синтез плана контроля является оптимизационной процедурой и сводится к решению системы уравнений:

F г (п, А с , Р ,) = 1 - а , (1)

F б (п, А с , Р ,,) = в

где Бг - кумулятивная вероятность распределения числа годных изделий; Бб - кумулятивная вероятность распределения числа бракованных изделий; п - объем выборки; Ас - приемочное число; Р' - максимальная доля бракованных изделий в партии, которая признается годной; Р - минимальная доля бракованных изделий в партии, которая признается бракованной; а -условная вероятность ошибки I рода; Р - условная вероятность ошибки II рода.

Выраженные в процентах, значения Р' и Р" называются приемочным и браковочным уровнями дефектности и обозначаются соответственно AQL и LQ.

Правило принятия решения формулируется следующим образом:

- при х<Ас партия изделий принимается;

- при х>Ас партия изделий бракуется [1].

Уравнения (1) являются трансцендентными, не имеющими аналитического решения, и для нахождения плана контроля по ним необходимо построить семейство оперативных характеристик, из которых выбирается кривая, соответствующая оптимальному плану контроля. Метод синтеза плана выборочного контроля по семейству оперативных характеристик является трудоемким.

Планы выборочного контроля, регламентированные отечественными нормативными документами, рассчитаны методом оперативных характеристик для заданных исходных данных (закон распределения вероятности числа бракованных изделий в партии, приемлемый и браковочный уровни качества, вероятности ошибочного решения о годности и негодности партии изделий: а и Р), в связи с чем при нахождении планов контроля приходится ограничиваться приведенными в нормативной документации значениями.

При выборочном контроле по альтернативному признаку применяют три закона распределения: биноминальный, гипергеометрический, Пуассона. Для многих практических задач считается допустимым замена биноминального распределения распределением Пуассона при п>60. Замена биноминального закона распределения распределением Пуассона тем точнее, чем больше п и меньше вероятность появления дефектного изделия в каждом отдельном испытаний q. Также распределением Пуассона заменяют гипергеометрическое распределение при N®¥ [4].

Стандартизованные планы статистического приемочного контроля, приведенные в нормативных документах, рассчитаны исходя из распределения числа дефектных изделий в выборке по закону Пуассона.

37

Соответственно расчеты, проводимые на основе замены биноминального и гипергеометрического распределений распределением Пуассона, могут привести к ошибкам, поэтому в условиях жесткой борьбы за качество на предприятиях мелкосерийного производства замена биномиального распределения вероятности появления брака распределением Пуассона недопустима.

Следовательно, задача разработки метода нахождения плана контроля, лишенного вышеуказанных недостатков, продиктована требованиями современного рынка (появление индивидуальных предпринимателей с разной производственной мощностью, с разными уровнями качества), в связи с чем был предложен новый метод составления плана контроля, названный графоаналитическим [1,2]. Данный метод был рассмотрен в [2] для случая распределения вероятности появления числа дефектных изделий по закону Пуассона.

Для решения задачи составления плана выборочного контроля графоаналитическим методом при распределении вероятности числа бракованных изделий по биномиальному закону, прежде всего, необходимо составить математическую модель плана контроля.

Биноминальное распределение описывается уравнением

Рп(х) = ^(1 - Р)

чп - х

п!

Рх(1 - P)n - X

(2)

х!(п - х)!

где С п - число сочетаний из п элементов по х.

Для биномиального распределения числа дефектной продукции система уравнений (1) примет вид

Ас

Бг(п,Ас,Р') = ^ -Т7-д^_(?')х(1 - Р)п - х = 1 - а

X

= 0х!(п - х) Ас

(3)

Бб (п,Ас,Р") = Е

п!

(р")х(1 - Р)п - х = в

п - X

х = 0Х!(п-х)!

Преобразуем выражение (3) следующим образом. Подставив Ас=0 в выражение (3), для первого уравнения получаем следующее:

п!

Р0(1 - Р)п-0 = 1 - а.

0!(п - 0)!

(1 - Р)п = 1 - а

При Ас=1

(1 - Р)п +

п!

1!(п -1)!

Р1(1 -Р)п-1 = 1

а

(1 _Р)» + 5(^-1)! Р =! _а

(п -1)! (1 -Р)1

~ 1

(1 -Рг(1 + пР-) = 1 -а

1 -Р

(1 -Р)п =

п 1 - а

1 + п Р 1

1-Р

При Ас=2

п! ™п-0 , п! Л,л п^д-1 , п!

Р0(1-Р)п-0 +--п— Р1(1-Р)1-1 Р^-Р^-2 =1-а

0!(п-0)! 1!(п-1)! 2(п-2)!

(1 - Р)д + п(п -1)! Р1(1 - Р)П + п(п - 1)(п - 2)! Р2(1 - Р)п = 1 -

1!(п -1)! (1 - Р)1 2!(п - 2)! (1 - Р)2 (1 - Р)п 1 - а

1 + пР-1-+ пР2 1 1

1!(1 - Р) 2!(1 - Р)2 При Ас=3

п! p0(1_pn-0^£LI1(1_pn-1^£Lp2(l-pn-2^£Lp3(1_pn-3=1-а,

0(п-0)! 1(1-1)! 2(п-2)! 3(п-3)

(1-Р)1+п(п-1)!Р1(1-Р)1 + п(п-1 )(п-2) !р2 (1-Р)1 +

^ } 1(п-1)! (1- р1 2(п- 2)! (1-р)2

+ п(п-1)(п- 2)(п-3) Р3(1-Р)д =1-а 3(п-3)! (1-р)3 '

(1-Р)п =

При Ас=4

1-а

1+ пР^^ + пР?-^ + пр3(п-1)(п-,2)+др4 (п-1)(п-2)<п-3)

(

При Ac=i

(1-Р)1 2!(1-Р)2 3!(1-Р)3 4!(1-Р)4

(1 - Р)

п 1 -а

г

I п! Р

х

1

X =0 х!(п - х)!(1 - Р)х

В результате ряда преобразований математическая модель графоаналитического метода составления плана контроля при распределении числа дефектных изделий в выборке по биномиальному закону примет вид

(1 - Р')п = 1 "

(1 - Р")п =

1 1

I п!(Р')х-1--

X=о х!(п - X)!(1 - Р')х

, (4)

Ь

1

1

I п!(Р")х--

х=о х!(п - х)!(1 - Р")х

Суть графоаналитического метода составления плана контроля состоит в построении двух кривых AAQL(n) и В^(п) по первому уравнению из системы (4) при заданных значениях Р и х=Ас, точка пересечения которых дает значение Цд^. Аналогично по второму уравнению из системы (4) строятся кривые А^(п) и В^(п), точка пересечения которых дает значение

ЦLQ.

Для составления плана контроля графоаналитическим методом зададимся следующими исходными данными:

- приемочный (приемлемый) уровень дефектности AQL=0,1 - средний уровень дефектности продукции, обеспечиваемый на данном предприятии, определяется как среднее отношение числа бракованных единиц продукции к числу проконтролированных;

- браковочный уровень качества LQ=0,5 - уровень дефектности, при котором партию продукции следует браковать.

- условная вероятность ошибки I рода а=0,05. Ошибка I рода а -ошибочное решение о забраковании годной партии - риск поставщика;

- условная вероятность ошибки II рода в=0,05. Ошибка II рода в -ошибочное решение о принятии негодной партии продукции - риск потребителя.

По заданным исходным данным для х=0...5 построены кривые А^^п) и В^(п) по первому уравнению системы уравнений (4) и определены значения п^. Аналогично по второму уравнению системы уравнений (4) построены кривые А^(п) и В^(п) для х=0 .5 и определены значения п^, которые внесены во вспомогательную табл. 1.

В случае необходимости ужесточения и ослабления требований к контролю продукции, варьирование условными вероятностями ошибочных решений а и в даст усиленный или ослабленный план контроля.

Таким образом, был составлен план контроля графоаналитическим методом для биномиального закона распределения вероятности появления дефектных изделий при

- a=p=const и Р ®Р ;

- a=p=const и Р —Р ;

- a=p=const и Р « Р ;

- Р Р =const и а®Р;

- Р Р =const и а—р.

Таблица 1

Вспомогательная таблица для составления плана контроля _графоаналитическим методом_

х nAQL. nLQ

0 3,15 7,05

1 7,35 10,30

2 11,25 14,25

3 14,75 16,83

4 21,01 20,053

5 27,51 23,34

По данным, приведенным в табл. 2, построены кривые nAQL и п^ (см. рисунок), точка пересечения дает искомый план контроля: объем выборки п=20 и приемочное число Ас=3.

Ряд 1 - кривая п^ и Ряд 2 - кривая Нщ

Результаты сравнительного анализа планов контроля, полученных графоаналитическим методом и методом оперативных характеристик, приведены в табл. 2.

Из табл. 2 видно, что в № 1, 5 планы выборочного контроля по методу оперативных характеристик и графоаналитическому методу совпадают. Следовательно, если АР = |Р' - Р"|®0, планы контроля как по методу оперативных характеристик, так и по графоаналитическому методу не определяются. При АР®¥ планы контроля определяются обоими методами, при этом графоаналитический метод более чувствителен к изменению Р' и Р" при a=P=const , чем метод оперативных характеристик.

Также следует, что оба метода одинаково чувствительны к изменениям а и в, при этом увеличение а и в уменьшает объем выборки (что, в принципе, очевидно: чем меньше объем контролируемой выборки, тем больше риски ошибочного решения).

Таблица 2

Результаты сравнительного анализа метода оперативных характеристик и графоаналитического метода

План контроля

по методу опе- по графо-

№ Исходные данные ративных ха- аналитическому

рактеристик методу

Р' Р" а в п Ас п Ас

при а=Ь= =const

1 0,1 0,4 20 4 20 4

2 0,2 0,4 53 - 53 15

3 0,3 0,4 55 - - -

4 0,4 0,4 0,05 0,05 65 - - -

5 0,1 0,3 40 7 40 7

6 0,1 0,2 50 - - -

7 0,1 0,1 64 - - -

8 0,2 0,3 25 - - -

9 0,3 0,3 28 - - -

при Р'=const и Р =const

1 0,05 0,2 10 2 10 2

2 0,1 0,2 7 1 7 1

3 0,15 0,2 3 1 3 1

4 0,2 0,2 2 - - -

5 0,1 0,4 0,05 0,15 12 3 12 2

6 0,05 0,1 17 3 17 3

7 0,05 0,05 20 4 20 4

8 0,1 0,15 7 1 7 1

9 0,15 0,15 4 1 4 1

Таким образом, по результатам проведенной работы сделаны следующие выводы:

- получена математическая модель построения плана контроля графоаналитическим методом при распределении числа дефектных изделий в выборке по биномиальному закону;

- графоаналитический метод построения плана контроля менее трудоемок, чем метод оперативных характеристик;

- сравнительный анализ предложенного графоаналитического метода с методом оперативных характеристик показывает, что графоаналитический метод более чувствителен к изменению Р' и Р" при а=Р=со^^ чем метод оперативных характеристик, и что оба метода одинаково чувствительны к изменениям ошибок I рода а и ошибок II рода р.

Список литературы

1. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология. Общая теория измерений: учеб. пособие. СПб: Изд-во СЗГТУ, 2008. Ч. 1.

2. Шишкин И.Ф., Макарова Н.А. Графоаналитический метод составления плана одноступенчатого выборочного контроля//Доклады юбилейной научно-технической конференции студентов, аспирантов и сотрудников института. радиотехника. метрология. СПб, 2000.

3. Шишкин И.Ф. Контроль. СПб: Изд-во СЗПИ, 1992.

Гомбоева Сындыма Григорьевна, асп., ст. преподаватель, [email protected], Россия, Улан-Удэ, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,

Шишкин Игорь Федорович, д-р техн. наук, гл. науч. сотрудник, nikhsihs@,ipa-spb.com, Россия, Санкт-Петербург, Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии имени Д.И. Менделеева,

Хамханова Дарима Нимбуевна, д-р техн. наук, доц., [email protected], Россия, Улан-Удэ, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления

GRAPHIC-ANALYTICAL METHOD OF SCHEDULING OF SAMPLING STATISTICAL

ACCEPTANCE QUALITY CONTROL

S.G.Gomboeva, I. F. Shishkin, D. N. Hamhanova

Statistical methods for quality control of products and services are widely used during control quality of products and services. One of the major problems of quality control by statistical methods is a monitoring plan development. Existing methods for developing the control plan are time consuming. In this regard, the authors suggest semi graphical methods of statistical sampling plans of products and services. In this paper we consider the case of the binomial distribution of testing results.

Key words: the sampling quality control of products and services, operational characteristics, control plan, sampling returning,

Gomboeva Syndyma Grigorevna, postgraduate, senior lecturer, [email protected], Russia, Ulan-Ude, East-Siberian State University of Technology and Management,

Shishkin Igor' Fedorovich, chief researcher, [email protected], Russia, St. Petersburg, D.I. Mendeleyev Institute for Metrology,

Hamhanova Darima Nimbuevna, doctor of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Ulan-Ude, East - Siberian State University of Technology and Management