CC BY
75
УДК 620.192:519.711
Елисеев АС., Федосеев С.А, Гигман М.Б.
К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КАЧЕСТВА НА ПРЕДПРИЯТИИ
Современные рыночные условия усиливают и ожесточают внутриотраслевую конкуренцию предприятий, повышают требования к качеству продукции. В свою очередь, уровень качества напрямую зависит от обеспечения на производстве соответствующей системы контроля качества (СКК), позволяющей эффективно отслеживать уровень брака.
Необходимость наличия СКК на предприятии, как правило, не вызывает сомнений, однако выбор из множества возможных вариантов организации системы должен производиться на основании множества критериев, удовлетворяющих потребности и клиентов, и самого предприятия, а также иметь четкую логическую и математическую основу. В связи с тем, что проблема контроля качества не является новой, существует достаточное количество подходов для организации этого процесса. Так, в ГОСТР 50779.70-99 [3] даныосновные рекомендации по организации процесса контроля качества и выбора параметров СКК.
Обычно выделяют следующие элементы СКК:
• планирование;
• приемочный контроль;
• стимулирование к ответственности субъектов контроля качества.
Так как полное и всеобъемлющее исследование всех перечисленных элементов является довольно громоздкой и сложной задачей, в данной работе ограничимся лишь рассмотрением приемочного контроля при помощи статистических методов. Одним из важных понятий при организации СКК является понятие засоренности дефектными изделиями при нормальном ходе производства, когда основные требования технологии производства соблюдены. По сути, это реальный процент брака, который присутствует всегда. Засоренность дефектными изделиями при нормальном ходе производства, как правило, невелика, но реально она всегда существует, а в случае нарушения технологии может возрасти. Таким образом, задача статистических методов контроля качества продукции состоит в том, чтобы большинство партий продукции, выпущенных при нормальном ходе производства, принимались, а большинство партий, выпущенных при разлаженном ходе производства, браковались.
Для организации выборочного контроля следует задать систему правил, именуемых планом контроля, в котором указывается порядок отбора изделий для проверки и их количество, достаточное для принятия решения о браковке или приемке партий в целом, или о дальнейшем продолжении контроля. Наибольшее распространение получили три типа планов выборочного контроля по альтернативным признакам.
1. Планы однократной выборки
Из партии объёма N отбираются случайным образом п (п < Щ) изделий, которые подвергаются про-
СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ
верке. Если число обнаруженных дефектных изделий среди п элементов равно й(п) < с (с є N), то партия принимается. Если же й(п) > с, то партия бракуется. Число с называется приёмочным числом.
2. Планы двукратной выборки Из партии объёма N случайным образом формируется первая выборка из пі элементов. Если число обнаруженных дефектных изделий й(пі) < сі, то партия принимается, а если с1 < с2 < й(^), то бракуется, если же сі < й(пі) < с2, то берется вторая выборка из п2 элементов. Если общее число обнаруженных в двух выборках дефектных элементов й(пі + п2) меньше либо равно с3, то партия принимается, в противном случае партия бракуется. Иногда пользуются усеченными планами, в которых с 2 = с3.
3. Планы последовательного анализа При использовании таких планов задаются объёмы последовательных выборок пі (і = і, 2, ),
п. < N, п. + п.+1 < N . Для каждой выборки задаются пары целых чисел сіі и сі2. Вначале берется выборка объема п1. Если й(пі) < сіі, то партия принимается, если сі2 < й(пі) - бракуется, если же сіі < й(пі) < сі2, то берется выборка объема п2 и т.д. На і-м шаге, если й(пі) < сл, то партия принимается, если с.2 < й(пі) -бракуется, если сл < й(п .) < с.2, то берется выборка объема п і+і и т.д. [1].
Каждый из рассмотренных планов СКК имеет как преимущества, так и недостатки. С точки зрения организации контроля, планы однократной выборки значительно проще. В планах двукратной выборки и последовательного анализа можно при том же среднем объёме выборки получить большее соответствие между принимаемыми решениями о качестве партии и истинной ситуацией. С другой стороны, им присуще большее число случаев с чрезмерным объёмом выборки, сложность оценки качества и организации процесса контроля. Исходя из этого, в данной работе ограничимся рассмотрением планов типа однократной выборки.
Основным показателем эффективности СКК является его рабочая характеристика, или способность различать дефектные и годные партии изделий. Исходя из этого, идеальной бы была такая СКК, которая бы точно (с вероятностью 1) пропускала бы партии с приемлемым процентом брака и точно не пропускала (с вероятностью 0) партии с превышенным процентом брака. График рабочей характеристики идеальной СКК представлена на рис. 1, где Б - процент дефектных из-
К вопросу об устойчивости системы контроля качества на предприятии
Елисеев А.С., Федосеев С.А., Г итманМ.Б.
делий в партии; P - вероятность принятия партии, содержащей долю дефектных изделий D, если приемка производится в соответствии с системой правил, определяющих исходный план контроля; AQL - допустимый уровень качества (Acceptable Quality Level), т.е. максимальный процент дефектных изделий, который может считаться приемлемым для процесса в среднем при осуществлении выборочного контроля.
Разумеется, на практике рабочая характеристика реальных СКК отличается от представленной выше. На рис. 2 приведен пример рабочей характеристики однократного выборочного контроля, где LTPD - допустимый процент дефектных изделий в партии (Lot Tolerance Percent Defective), т.е. доля дефектных изделий, которая соответствует требованиям и довольно малой вероятности приемки бракованной продукции.
Таким образом, рабочая характеристика плана -это некоторая функция 'n(D), определяющая вероятность принятия партии, содержащей долю дефектных изделий, равную D и представляющую собой зависимость вероятности приемки партии от общего числа дефектов в партии.
Традиционно, при рассмотрении проблемы контроля качества также выделяются два типа ошибок: а-ошибки (ошибки первого рода), определяющие риск поставщика, т.е. вероятность забраковать партию с приемлемым уровнем брака, и Р-ошибки (ошибки второго рода), определяющие риск покупателя, т.е. вероятность пропустить партию с высоким уровнем брака.
Рассмотрим теперь задачу однократного выборочного контроля качества с точки зрения вероятностной устойчивости. Планы СКК типа однократной выборки однозначно определяются тремя параметрами: N, n, c.
Будем считать СКК Pа-устойчивой, если вероятность Pа найти более чем c бракованных деталей в выборке из n элементов, сделанной из партии в N элементов с реальным процентом брака p < pa , не превосходит некоторое критическое значения а, где pa -максимально допустимая доля брака, с точки зрения поставщика, AQL; a - соответствующаяpa вероятность ошибки 1-го рода.
Будем считать СКК Pр-устойчивой, если вероятность Pр найти менее чем c бракованных деталей в выборке из n элементов, сделанной из партии в N
элементов с реальным процентом брака p > pp, не
превосходит некоторого критического значения Р, где Рр - максимально допустимая доля брака, с точки зрения покупателя, ЬТРБ; Р - соответствующая рр вероятность ошибки 2-го рода.
Таким образом, сформулированное выше определение P„-устойчивости СКК есть устойчивость с точки зрения поставщика, т.е. способность системы принимать «хорошие» партии с заданной вероятностью. Тогда Pp-ycтoйчивocть определяет систему, способную не пропустить «плохую» партию с точки зрения покупателя, с заданной вероятностью.
Такая формулировка вероятностной устойчивости, по сути, является частным случаем определения, данного в работе [2], согласно которому, для вероятностного пространства (О., F, P), если для любых значений вероятности P * найдется такое значение вероятности P * *(Р*), что для любого числа £> 0 найдется число 5(е) > 0, такое, что при выполнении условия
Vt Р(||A - A * <3) > Р**, для любого / > /0 выполняется неравенство
P(||х - X * <е) > P * ,
где А - оператор, характеризующий процесс; А* - оператор, характеризующий возмущенный процесс; х -вектор параметров процесса; х* - вектор возмущенных параметров процесса,
то невозмущенный процесс Р-устойчив. В противном случае невозмущенный процесс Р-неустойчив. Аналогичный вариант ^-устойчивости можно определить следующим образом: если при заданных @ и рр для любых p > рр удаётся найти п е [п1, п2 ], п е N,
c е [с1,с2], c е N, такие, что P(d(п,p) < c) < [5, то
СКК является Р^-устойчивой. На рис. 3 приведен пример кривых рабочих характеристик, соответствующих Р-устойчивым СКК.
Из графика видно, что Р-устойчивыми являются все СКК, рабочая характеристика которых при p > рр
лежит ниже Р = Р . В данном случае параметры Р ирр
задают аналогичные ^-окрестности, используемые в
Рис. 1. Рабочая характеристика Рис. 2. Пример рабочей Рис. 3. Графическоепредставление
идеальной СКК характеристики СКК Р^-устойчивыхСКК
Рис. 4. Моделирование зависимости п(с)
приведенном выше определении вероятностной устойчивости, определяющие интервалы устойчивости.
Следует отметить, что такая формулировка вероятностной устойчивости не является устойчивостью самой операции как таковой, а есть устойчивость в смысле надежности СКК.
Разумеется, в реальной ситуации всегда существует вероятность пропустить «плохую» партию или не пропустить «хорошую». Задача предприятия - выбрать такие параметры плана выборочного контроля, при которых при минимальной выборке из партии будет достигаться приемлемая вероятность а- и Дошибок в совокупности с устойчивостью самой системы контроля.
Таким образом, может быть поставлена задача оптимизации параметров СКК. Минимизация объёма выборки представляется наиболее целесообразной, так как именно от нее зависит как время контроля партии, так и стоимость проведения контроля: чем больше объём, тем больше изделий необходимо проверить, что влечет дополнительные расходы при ис-пользовании разрушающего контроля.
Пусть нахождения бракованных деталей в партии есть события, происходящие с некоторой фиксированной средней интенсивностью и не зависящие друг от друга, тогда для моделирования распределения бракованных деталей может быть использован закон распределения Пуассона. Таким образом, вероятность найти с бракованных деталей определяется как
P (c) = £ P (А) = ■£
—Ал n
e А
n=0
n=0
n!
где X= np .
Постановка задачи оптимизации для р задач может быть сформулирована следующим образом:
• параметры управления: Д рр, N, c;
• ограничения: Pp(p > pp) < р , І < n < n* c < n,
N = const;
• критерий: F(n): n(c) ^ min .
To есть для заданных параметров СКК (LTPD и Д
общий объём партии) найти такие минимальные значение n при заданном c, которые являются параметрами Рр -устойчивого плана СКК.
Пусть для дискретизации используются следующие параметры:
N= І000;
n є[n0,nk] с шагом ns, при n0 = І, nk = І00, ns = І;
c є [c0,ck] с шагом cs, при c0 = І, cs = І;
Fp = 90% ;
P = 0,0І.
На рис. 4 представлены результаты моделирования зависимости n(c).
Так, для процесса с критическим уровнем брака 90% и критической вероятностью обнаружения 0.0І оптимальными будут являться параметры n = 7, c = І.
Выводы
В статье рассмотрены основные подходы к СКК продукции. Основное внимание было уделено однократным выборочным статистическим подходам в связи с их относительной простотой организации и возможностью с требуемой степенью достоверности и надежности отслеживать бракованные партии с учетом требований поставщиков и клиентов. Былис формулированы определения вероятностной устойчивости СКК как характеристики надежности плана выборочного контроля В процессе исследования был разработан ряд инструментов, позволяющих моделировать основные характеристики плана СКК. Была поставлена и решена задача оптимизации параметров системы контроля качества, а именно минимизация объема контрольной выборки, при которой сохраняется устойчивость плана контроля. Данные результаты и инструменты могут быть полезны предприятиям, стремящимся улучшить качество своей продукции при помощи организации соответствующей современным требованиям системы контроля качества.
Список литературы
1. Гэлловэй Л. Операционный менеджмент (Принципы и практика). СПб.: Питер, 2QQ1. 32Q с. (Сер. Теория ипрактика менеджмента.)
2. Гитман М.Б. Введение в стохастическую оптимизацию: учеб. пособие. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2QQQ. 96 с.
3. ГОСТ Р 5Q779.7Q-99. Статистические методы. Процедуры выборочного контроля по альтернативному признаку.
Bibliography
1. Galloway Les. Principles of Operations Management. SPb.: Piter, 2QQ1. 32q p. (Series Theory and practice of management.)
2. Gitman M.B. Introduction in stochastic optimization: study manual. Perm: Publisher of Perm State Technical University, 2000. 96 p.
3. GOST R 50779.70-99. Statistical methods. Selective control procedures according to an alternative sign.
