CC BY
1
УДК 519.175
DOI: 10.24412/2071-6168-2024-3-214-215
ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРТОДРОМИЙ
УЧАСТКОВ ПУТИ
Е.П. Минаков, А.В. Мищеряков, В.В. Кравцов
В статье предложен графо-аналитический алгоритм определения параметров локальных ортодромий участков пути при равномерном расположении точек на них, реализация которого позволяет определить Гринвичские геоцентрические координаты точек сопряжения локальных ортодромий участков пути наземного подвижного объекта. На основе указанного алгоритма разработана программа и проведены вычислительные эксперименты, результаты которых приведены в настоящей статье.
Ключевые слова: аппроксимации, ортодромия, геоцентрические координаты точек сопряжения, наземный подвижный объект.
Решение ряда задач оценивания характеристик применения космических аппаратов дистанционного зондирования Земли (КА ДЗЗ) по наземным подвижным объектам (НПО), движущимися по дорогам, рекам, железнодорожным и т.п. путям, и описываемых на картах как линии сложной пространственной конфигурации, требует аппроксимации при моделировании этих путей в виде совокупности объектов, поддающихся аналитическому описанию. В качестве таких объектов могут выступать кратчайшие дуги между двумя точками, принадлежащие поверхностям моделей Земли. В случае сферической модели поверхности Земли они являются дугами больших кругов, являющиеся ортодромиями для каждых двух соседних точек пути [1]. Использование ортодромий в качестве моделей путей позволяет формализовать и алгоритмизировать процессы определения как характеристик движения по путям наземных подвижных объектов, так и характеристики пролетов над путями авиационных и космических средств, что делает определение размеров и положения таких дуг актуальной задачей.
1. Постановка задачи. Между любыми двумя пунктами пути с заданными геоцентрическими координатами может быть построена единственная ортодромия и в зависимости от решаемой задачи число пунктов может быть различным. Это делает целесообразным различать ортодромии путей как дуг больших кругов, соединяющие только исходные и конечные точки путей, и локальные ортодромии, проходящие через исходные, конечные и промежуточные точки путей, число которых может либо априорно задаваться, либо определяться из каких-либо условий. В свою очередь при заданном количестве пунктов возникает альтернативная ситуация: когда их положения задаются равномерно или, когда они могут быть не равноудаленным друг от друга в каком-либо пространстве положений. В качестве одного из таких пространств может выступать ортодромия пути.
Положения ортодромий на модели поверхности Земли однозначно определяются координатами двух любых точек, в качестве которых целесообразно рассматривать исходные и конечные точки путей или их участков.
Пусть существует биективное отображение равномерно расположенных точек на ортодромии пути в точки, расположенные на изображенном на карте пути. Пусть также считаются известными (рис. 1):
1) положения начальной (Н) и конечной (К) точек пути, задаваемые широтами и долготами в Гринвичской системе координат (СК) - , ^,^, ^ соответственно;
2) изображение пути на карте любой проекции;
3) количество точек сопряжения ортодромий участков пути - N.
/ /7 Д Ч Ан
ГУ \
•-V
N
Рис. 1. Параметры ортодромий пути
По указанным исходным данным требуется определить Гринвичские геоцентрические координаты точек сопряжения локальных ортодромий участков пути НПО - {у п£, X п£ , к = 1,2,..
Решение поставленной задачи может быть найдено в рамках следующих допущений:
214
1) модель поверхности Земли - сфера;
2) путь и участки пути аппроксимируются дугами больших кругов - ортодромиями;
3) дуги, перпендикулярные к ортодромии пути, на карте изображаются отрезками прямых линий;
4) любой пункт на сферической модели поверхности Земли рассматривается как точка.
2. Графо-аналитический алгоритм определения параметров локальных ортодромий участков пути при равномерном расположении точек на ортодромии пути
Сложность формализованного задания пути делает необходимым комплексного использования аналитических, расчетных зависимостей, картографического изображения пути и данных о положениях точек, снимаемых с соответствующих карт.
В этой связи предлагаемый графоаналитический алгоритм решения поставленной задачи включает в себя
1) определение угловой длины ортодромии пути НПО - 5 по теореме косинусов сферической тригонометрии [2]:
cos5 = sinyE • sinyK + cosyE • cosyK • cos(AK - Ак);
2) расчет угловых длин участков ортодромии:
Д5 = 5 / N;
3) определение линейных размеров участков ортодромии [2]:
Дг = R • Д5;
4) вычисление азимута начальной точки ортодромии - Ан
- по теореме косинусов сферической тригонометрии:
cosAK = (sinyE - sinyK • cos5)/(cosyK • sin5);
- по теореме синусов сферической тригонометрии [2]:
sinAн = cosyE • sin(AK - Ак )/sin5;
(определение синусов и косинусов угла позволяет однозначно определить этот угол в диапазоне от 00 до 3600);
5) расчет широты точки конца первого участка ортодромии по теореме косинусов сферической тригонометрии:
sinyi = sinyK • cosД 5+ cosyK • sinД 5- cosAн;
6) определение углового расстояния по Экватору между исходной - Н и первой точкой по теореме синусов сферической тригонометрии:
sinД А,н1 = sinД 5^ sinA н /cosyi;
7) вычисление долготы первой точки
Ai = Ан - Д^н1;
8) вычисление азимута первой точки ортодромии по теоремам косинусов и синусов сферической тригонометрии:
cosAi = (sinyE - sinyi • cos(5 - Д5))/(^^1 • sin(5 - Д5)); sinAi = cosyE • sin(Ai - Ак )/sin(5 - Д5);
9) расчет широты конца второго участка ортодромии по теореме косинусов сферической тригонометрии:
siny2 = sinyi • sinД5+ cosyi • cosД5• cosAi;
10) определение углового расстояния по Экватору между первой и второй точкой:
sinДA,l2 = sinД 5^ sinAi/cosy 2;
11) вычисление долготы второй точки
А2 = A-i -М,!2;
12) повторение п.п.7 - 11 для точек 3, 4,..., N;
13) нанесение точек ортодромии пути и построение ее на карте;
14) графическое построение отрезков прямых, перпендикулярных к ортодромии пути для каждой k-й точки, до пересечения с изображением пути на карте;
15) определение по карте координат каждой точки пересечения - {у ^, Адк )};
16) для каждой последовательно расположенной пары точек пересечения по п.п.1 - 12 определяются параметры локальных ортодромий - {Удк, Адк )}, к = i,2,.. ,,N;
17) точек с координатами {ун, Ан )(упк, A^ )(ук, Aк )}, к = i,2,- ■ -N, наносятся на карту.
Представленный алгоритм не включает в себя расчет точек «внутри» локальных ортодромий.
3. Вычислительные эксперименты. С целью оценивания адекватности предлагаемого графоаналитического алгоритма и корректности получаемых с его использованием результатов была разработана программа и проведены вычислительные эксперименты с использованием следующих исходных данных:
1) карты с путем по реке Волхов из пос. Кречевицы Новгородской обл. (точка Н) в г. Кириши Ленинградской обл. (точка К) (рис.2);
2) координатами исходной - Н и конечной - К точки пути, приведенными в табл. 1; При расчетах N принималось равным 1,2,3.
На карте (рис.2) визуализированы результаты вычислительных экспериментов, для проведения которых была разработана программа. Черным цветом на этом рисунке изображен путь, проходящий по реке Волхов, красным - соответствующая ортодромия пути.
Результаты вычисления ^yi, Ац^ для N = 1 приведены в табл.2.
2i5
Рис. 2. Карта с ортодромиями путей
Таблица 1
Исходные данные по начальной и конечной точкам пути_
пос. Кречевицы г. Ки риши
Ун Ан Ук Ак
град. град. град. град.
58,51 31,40 59,45 32,00
населенный пункт населенный пункт
Кирилловское Сельцо, Савинское с/п, Новгородский р-н, Новгородская обл. Киришское г/п, Киришский р-н, Ленинградская обл.
Таблица 2
Гринвичские геоцентрические координаты точек сопряжения локальных ортодромий участков пути
наземного подвижного объекта
Ун Ан У1 А1 Ук Ак
град град град град град град
58,51 31,4 58,98 31,70 59,45 32,00
Ближайший населенный пункт Ближайший населенный пункт Ближайший населенный пункт
Кирилловское Сельцо, Новгородский р-н, Новгородская обл. Ефремово, Маловишерский р-н, Новгородская обл. Кириши, Киришский р-н, Ленинградская обл.
На рис.2 соответствующие ортодромии пути изображены зеленым цветом. Результаты вычисления А^, (У2,^2) Для N = 2 приведены в табл.3.
Таблица 3
Гринвичские геоцентрические координаты точек сопряжения локальных ортодромий участков пути
наземного подвижного объекта
Ун Ан У1 А1 У2 А2 Ук Ак
град град град град град град град град
58,51 31,40 58,82 31,60 59,13 31,80 59,45 32,00
Ближайший населенный Ближайший населенный пункт Ближайший населенный Ближайший населенный
пункт пункт пункт
Кирилловское Сельцо, Новгородский р-н, Новгородская обл. Селищи, Новгородский р-н, Новгородская обл. Дмитровка, Чудовский р-н, Новгородская обл. Кириши, Киришский р-н, Ленинградская обл.
На рис.2 соответствующие ортодромии пути изображены фиолетовым цветом.
Результаты вычисления , Ац ^, ^У2, А2) ' (У3, А3 ) Для N = 3 приведены в табл.4.
Заключение. Анализ полученных результатов демонстрирует их корректность и позволяет утверждать, что предлагаемый графо-аналитический алгоритм определения параметров локальных ортодромий участков при равномерном расположенных точек на ортодромии пути позволяет достоверно определять координаты точек их сопряжения и может быть использован для определения характеристик движения наземных подвижных объектов,
применения авиационных и космических средств. В тоже время в качестве основного недостатка предлагаемого алгоритма следует указать на отсутствие подходов к оцениванию меры близости получаемых локальных ортодромий к положениям точек пути, что может служить в качестве дальнейшего направления для исследований.
Таблица 4
Гринвичские геоцентрические координаты точек сопряжения локальных ортодромий участков пути
наземного подвижного объекта
Ун ^н А.1 У2 ^2 У3 Ук
град град град град град град град град град град
58,51 31,40 58,74 31,55 58,98 31,70 59,21 31,85 59,45 32,00
Ближайший населенный Ближайший населен- Ближайший населен- Ближайший насе- Ближайший населен-
пункт ный пункт ный пункт ленный пункт ный пункт
Кирилловское Сельцо, Новгородский р-н, Новгородская обл. Шевелево, Малови-шерский р-н, Новгородская обл. Ефремово, Малови-шерский р-н, Новгородская обл. Водосье., Чудов-ский р-н, Новгородская обл. Киришское г/п, Ки-ришский р-н, Ленинградская обл.
Представленный графо-аналитический алгоритм применим для случая, когда исходными и конечными точками локальных ортодромий являются неравномерно расположенные характерные точки на изображениях путей на картах. Такими характерными точками могут быть изгибы дорог, рек и т.п., а в качестве параметров каждой локальной ортодромии выступать координаты этих точек.
Список литературы
1. Баева Е.Ю., Билибина Н.А. Общая картография. Раздел «Математическая картография»: учебно-методическое пособие. М.: МИИГАиК, 2018. 60 с.
2. Устинов С.М., Зимницкий В.А. Вычислительная математика. СПб.: БХв-Петербург, 2009. 336 с.
3. Карц П. Сферическая тригонометрия: Учебное пособие. М.: Издательство ЛКИ, 2019. 104с.
Минаков Евгений Петрович, д-р техн. наук, профессор, [email protected]. Россия, Санкт-Петербург, Военно-Космическая академия имени А. ФМожайского,
Мищеряков Александр Владимирович, адъюнкт, Россия, Санкт-Петербург, Военно-Космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Кравцов Владимир Владимирович, канд. техн. наук, преподаватель, Россия, Санкт-Петербург, Военно-Космическая академия имени А. ФМожайского
GRAPH-ANALYTICAL ALGORITHM FOR DETERMINING THE PARAMETERS OF THE ORTHODROMIES OF THE PATH SECTIONS
E.P. Minakov, A. V. Meshcheryakov, V. V. Kravtsov
The article proposes a graph-analytical algorithm for determining the parameters of local orthodromies of path sections with a uniform arrangement of points on them, the implementation of which makes it possible to determine the Greenwich geocentric coordinates of the interface points of local orthodromies ofpath sections of a terrestrial mobile object. Based on this algorithm, a program was developed and computational experiments were carried out, the results of which are presented in this article.
Key words: approximations, orthodromy, geocentric coordinates of interface points, ground moving object.
Minakov Evgeny Petrovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,
Meshcheryakov Alexander Vladimirovich, postgraduate, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,
Kravtsov Vladimir Vladimirovich, candidate of technical sciences, lecturer, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy
