Графический способ подбора сечений при сложном сопротивлении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Ф. Е. Давыдов,

Графический способ подбора сечений при сложном сопротивлении.

Предлагаемый графический способ подбора сечений при сложном сопротивлении дает возможность быстро, точно, без особого напряжения, при помощи прямой линии и окружности строить графики, по ним подбирать и» проверять сечения для балок любых отдельных и составных профилей.

Косой изгиб.

Косой изгиб происходит в том случае, если плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей сечения.

Как следствие косого изгиба получается следующее: а) нейтральная линия располагается под острым углом к плоскЬсти момента; Ь) в виду же того, что плоскость стрел прогиба всегда перпендикулярна нейтральной линии, то она не будет совпадать с плоскостью изгибающего момента; с) плоскость стрел прогиба располагается между плоскостью момента и плоскостью легчайшего изгиба. /

Определение напряжений при косом изгибе ведется по формуле:

Муу ,Мхх . л --(1)

*о У Уо

где: оа—напряжение в точке А; \ Му — М СОБа; МХ = М$\па;

х и у—координаты точки А относительно главных осей инерции, ]Хь и Jy0—главные моменты инерции. Подбор сечений при косом изгибе ведется по формуле:

Уя=;иу+сль ' (2)

где: —момент сопротивления сечения относительно главной центральной оси Х0] ,

Мх и Му—составляющие моменты по главным осям Х0 и У0 от изгибающего момента в плоскости действующих сил; /?—допускаемое напряжение при изгибе;

УУг

С —--------коэфициент, принимаемый для предварительного подбора

сечения и не являющийся постоянным для всех профилей, берется как среднее значение отдельного профиля.

Так:

1. Для двутаврового профиля С —8,7

2. Для швеллерного железа С— 6,5

3. Для деревянных брусьев С = 1,3—1,4.

Определив по формуле (2) ШХ7 выбирают из таблицы профиля подходящий номер. Выбранный номер проверяют по формуле:

Му , -

При несоблюдении этого условия берут больший или меньший номер и опять проверяют.

Для других профилей, как зетового, уголковых и составных, подбор сечений ведется путем проб даже без предварительного коэфициента С.

Следовательно, подбор сечений при косом изгибе неопределенный.

Устранить эту неопределенность мы решили прибегнув к графическому способу, как наиболее наглядному и быстрому способу решения тех или иных задач.

Основную формулу для определения напряжений (1) можно преобразовать так:

Ло

у COS.а ^ Xsin.OL /у*

соб . а + эт. а--— = 0 (3)

Д ■ М

Полученное уравнение (3) не что иное, как нормальный вид уравнения

V х

прямой в прямоугольных координатных осях —— и —

Jy(i \

гт ух аА

При постоянных значениях-г^— и —, но переменных— и оц мы по-

А Уув М

лучаем пучок прямых (1 — 1, 2— 2, 3' — 3, А — Аи А—А2 и т. д.), прово-

дящих через точку А

у х

(см. черт. 1).

I- Л» Ло ^

При угле а = 0, т. е. когда действующий момент проходит по оси У0> уравнение (3) принимает вид:

V

—---— 0 (уравнение линии А — АЛ

Му

ИЛИ' Од

Л

—формула для определения нормальных напряжений при плоском изгибе в плоскости УОЕ.

При а —90°, т. е. когда действующий момент проходит по оси Х%

уравнение (3) принимает вид:

X оА

Ло М

или 0А

О (уравнение линии А — А2) Мх

—формула для определения нормальных напряжений при плоском1 изгибе в плоскости XOZ.

Угол а в графике отсчитывается против движения часовой стрелки от

положительного направления оси , а в профиле по движению часовой

стрелки от отрицательного направления оси К0.

Отрезок ОЯг, где индекс /—1, 2, 3 и т. д., умноженный на масштаб

чертежа, равен отношению Предположим, что OKi равно некоторой

величине „ац, т. е. тогда, при известном изгибающем моменте Ж,

М

мы можем определить напряженно; оА~ аМ, а при известном напряжении 54—определить Ж, который вызовет это напряжение в точке Л, т. е.

м -= —--.

При подборе сечений нами выбираются опасные точки, для которых ставится условие, чтобы нормальное напряжение не превосходило допус

* У V-

каемого, т. е. Нанесем в коордидатном поле с осями —- и

х

К /у,.

опасные точки отдельных номеров Какого-либо профиля с своими коор

ух 1 1 „ R динатами — или — , —. При определенных значениях--и ;

Л/ Ло Wy . F М

У . х . R п прямая:-—eos. а +— sin.а--— 0 займет в поле определенное поло

Л0 Jyn М

жение. Тогда одна из нанесенных точек может оказаться лежащей на этой прямой или будет находиться ближе от нее, чем остальные. Зафиксированный этой точкой номер профиля нужно считать самым подходящим для удовлетворения значениям R, М и а.

Все прямоугольные треугольники OKiA имеют одну и ту же гипотенузу OAf a это значит, что геометрическое место точек K¿—окружность, построенная на диаметре ОА. Построив окружность на диаметре ОА и проведя прямые через начало координат под различными углами а, мы получаем отрезки прямых между началом координат и местом пересечения этих

R

прямых с окружностью, которые нам дают значения™^-.

Обратимся непосредственно к построению графиков характерных отдельных профилей.

Построение графика для деревянных брусьев.

На чертеже 2(а) представлен деревянный брус с размерами ¿=16 см, h = 22 см. А, В, С и D—опасные точки при изгибе. Х0 и У0—главные центральные оси инерции. М—шах. изгибающий момент от действующих сил, Мх и Му — составляющие моменты от М по осям Х0 и К0. угол, отсчитываемый от отрицательного направления оси У0 до плоскости действующего изгибающего момента М.

• V х

На черт. 2(Ь) в координатном поле с осями и нанесены опасные точки профиля А (0,000774; 0,001064), *В (—0*000774; 0,001064) ,С(—0,000774;—0,001064) и D (0,000774; —0,001064) и построены окружности на диаметрах О А, ОВ, ОС и OD. Величины 0—1, 0—2, OKit умножен-

R

ные на масштаб чертежа, как мы уже видели, равняются -—, т. е.

М

OKi = а — , М

откуда М = —. При известных допускаемых напряжениях R и угле а

CL

изгибающий момент М зависит от отрезка ÓKt = a. Чем больше отрезок ОА*,-, тем меньше Л/, доводящий напряжение в рассматриваемой точке до

Я, и наоборот. В виду симметрии профиля, точки А, С и В, О при всех значениях угла а доводятся до И попарно от одинаковых М. Тогда мы можем рассматривать не все точки, а лишь по одной из них, предположим, А и В, и, изменять угол а не от 0° до 360°, а от 0° до 180°. При 0<я<90° требующийся момент М для доведения напряжения до /? в точке А будет меньше, чем для точки В, следовательно, часть окружности для точки В 6', 0, 3' и 4' мы не рассматриваем. При 90°<а<180° требующийся момент для доведения напряжения до /? в точке А будет больше, чем для точки В, тогда часть окружности для точки А, т. е. 4,5,0,1 мы не рассматриваем. Но при изменении угла а от 90° до 180ь момент М изменяется по величине так же, как для точки А при изменении угла а от 90° до 0°. Следовательно, мы можем рассматривать изменение угла а не от 0° до 360°, а от 0° до 90°, т. е. рассматривать лишь часть окружности-точки Л, лежащей в первом квадранте.

Итак, для построения графика подбора деревянных брусьев прямоугольного сечения, нам необходимо построить для каждого номера бруса части окружностей, расположенных в первом квадранте. Провести через начало координат прямые линии для отсчета углов а и описать из начала

координат ряд окружностей радиусами ОКь для отсчета-^-. Этот график

предоставлен на чертежах 3 и 4.

Совершенно аналогичным путем построены графики (черт.х5, 6, 7) для двутаврового профиля и швеллерного железа. Только ввиду неясности графика в нижней зоне это место можно вычертить в крупном масштабе для удобства пользования им, что нами и сделано для двутаврового профиля.

' Построение графика для зетового профиля ОСТ 29.

При построении графика для зетового профиля принятым способом, мы встречаемся с затруднением отсчета угла а, т. к. главные оси для отдельных номеров неодинаково отклонены от вертикальной стенки профиля. Для устранения этого' неудобства, построение графика ведем следующим, образом.

п ух ' л г>

В координатном поле-^-и-— наносим опасные точки А и В и соеди-

Лв /у *

цяем эти точки с началом координат — О. Учитывая, что а = + значение которых ясно из приведенного профиля на графике (см. черт. 8), и возможность поворота осей, линии О А и ОВ мы поворачиваем вправо* на угол «р. На них, как на диаметрах, вычерчиваем окружности. Дальнейшее же построение графика ведем принятым способом. Следовательно, при таком построении графика, мы ведем отсчет не углов а, а р, определение которых чрезвычайно просто в каждом конкретном случае.

Пример 1, На прогон двутаврового профиля, служащий для поддержания кровли и укладываемый в узлах верхнего пояса фермы параллельно коньку крыши, длиною 1 — 2 м, действует вертикальная равномерно распределенная нагрузка ^ = 0,4 т\м. Угол наклона „ската крыши к горизонту а = 30°. Допускаемое напряжение /?= 1200 кг\см2.

Решение. Наибольший изгибающий момент:

Я!2 40*2002 Л/тах — -— =-= 20000 кг. см.

8 8 #

Отношение:

М . 20000

I ' V

R

По найденному значению-и углу а = 30° из графика находим, что яан-.

М

более подходящим номером из Двутаврового профиля является № 14. Проверка напряжения: a=OKi.M = 0,057.20000= 1140 кг\сМ2.

Пример 2. По условию 1-го примера подобрать № зетового профиля. Решение.

Л4тах = 20000 кг. см.) — = 1200 = 0,06

М 20000 ,

¡3 — 150*; подходящие номера зетового профиля: № б или М 8 (см. черт. 8). Проверка:

аЛ = 0,07^.20000=1460 кг\см?

aAh = 0,0423.20000 = 846 кг\см2.

i

Принимаем зетовый профиль N° 8.'

Ниже приводим ход построения и пользования графиками.

Построение графиков.

1. В координатном поле наносим необходимые опасные точки сечения с

своими координатамй —- и и соединяем их с началом координат-

/*в /у»

2. На полученных прямых, как на диаметрах, учитывая связь и период изменяемости напряжений опасных точек сечения, вычерчиваем части окружностей.

3. В случае различного положения главных осей инерции Х0 и Хв^относи-тельно горизонтальных и вертикальных осей отдельных номеров профиля (зетовое железо), полученную прямую в рункте (1)^ поворачиваем относительно начала координат по часовой или против часовой стрелки на угол 9—угол поворота главных осей.

4. Для отсчета углов аир проводим под различными углами прямые через начало координат.

R

5. Для определения величины ORi—-^- из начала координат опыеываем концентрические окружности.

Пользование графиками.

1. Определяем максимальный изгибающий момент Мтлх.

R

2. Подсчитываем отношение -.

•Airaax *

3. По а—углу между Y0 и плоскосью действующего максим, изгибающего момента или ¡3—углу между вертикальной осью и плоскостью дей-

R

ствующего момента и наиденному отношению — находится подходящи

щий номер профиля.

4. Проверяем напряжение: 8ЯОТ — О/О. Мтах < /?.

Известия ТИИ, 1. 2. «.

£ила Р приложена в лк)бой точке торца балки и в произвольном

направлении (см. черт. & 10).

Проектируя силу Р на нормаль и плоскость торца балки, получим:

Pi == Р Sin ср; P2=;Pc6syt

Здесь ®—угол между силой и плоскостью тбрца балки. Эксцентричная сила Pi вызовет изгиб, момент, который будет постоянным по всей длине балки. Mi = Pj'rfi = Pi/jSincp и растяжение от центральной силы, равной Рх.

Сила Р2 вызовет изгиб, момент М2, который в месте закрепления балки будет равен: М2 = Р2/=Р/cosv. и крутящий момент* М,= Р2 d2 — = Pdx sin — cos © = Pdi sin.p cos <p. '

Два изгибающих момента Mi и М2 скла^ваем геометрически следующим образом:

1) Откладываем расстояние dx в масштабе длин mt на линии под уг-' лом ср йт горизонтали (ей. черт. № 10). Пусть это будет отрезок OA. Проектируя его на вертикальную ось, получим отрезок OS = disincp. Умножая ОВ на масштаб длин mt и величину силы Р, получим изгибающий момент Mi.

Мг — OQ.triiР = di Sin <р miP=Pd1 sincp.

ч •

Чтобы Получить положение момента Ми повернем отрезок ОВ на угол ПЬсяе этого пълучаем отрезок ОС, характеризующий величи-ну и положение момента М\.

2) ОтклаДываем длину балки I в масштабе длин mt на линии под углом %<Р от вертикальной оси. Пусть это будет отрезйк OD. Проектируя его на

вертикальную ось, получим отрезок OE=lcosy. Умножая ОЕ на масштаб длин itii и величину сильг Р, получим изгибающий момент М2\

М2 — ОЕ .niiP — L cos ср miP==. PI cos у

Чтобы получить положение момента М2, повернем отрезок ОЕ на угол После этого получаем отрезок ОЕ, характеризующий величину и поло-'ь жение момента М2.

3) Отрезок что ясно из чертежа, характеризует величину и направление суммарного момента М = СЕ'mt А Плоскость действия М проходит через центр тежести сечения балки и делает с вертикальней осью угол а.

Для.^определения, Рх и Р2 поступаем так: откладываем величину Р в

Линии под углом ср от горизонтали. Пусть это будет tdtf&3<5fe (УГ. его на горизонтальную и вертикальную ось, полу-

чвд>даа отрезка Oft и V)Qf .

Умножая их на масштаб сил тр, получим:

OR.trip ОТ. trip.coscp = Р.тр.cos ср = Р2 тр = Р-> OQ тр — OT-mpAivi i— Р.тр. sin ср = Рг /пр — Р{

т. е. Р2 ='OR.mp\ Рг = OQ.mp. '

. > Для определения крутящего момента Mt~P».d2 нам нехватает величину

которая, как не трудно заметить, равна: d2 = KN.mt. Следовательно:

Mt — OR.KN.mp.mi.

Итак, приложенную силу Р мы привели к центральной силе Л, изгибающему моменту М и крутящему моменту Л&, которые можем определить при помощи графика, изображенного на черт. № 10.

Нормальное напряжение в опасной точке балки, при подборе сечений, должно быть допускаемым.

Л, \ ' ) ' Р

соб аэт +

/?

Разделив это/уравнение на М и перенося член — в правую» часть, а

М

Р 1

1 — (здесь М = Рхё) в левую, получим следующее уравнение:

РМ Ре

1 У л х . /? -= СОБ а -4--эш а--

Ре Л0 ^ Jy0 М

ту « I У Х \ 1

В нашей координатной системе (— величина--есть рассто-

Зуъ) Ре

яние от точки находящейся в стороне начала координат, на

К

что указывает знак минус, до прямой с перпендикуляром —, проведен-

У

ным из начала координат под углом а от оси .

■ Jxв

При известных величинах М, е, а и подбор сечений цроизводий следующим образом:

1. Определяем конец величины — на линии под углом а от оси ^

м «

2. Чтобы найти точку нам нужно знать величину , ко-

\Л0 Ре ,

торая неопределенна, так как она зависит от неизвестной еще, точки А -^М. Для разрешения этой неопределенности подбираем величину

— так, чтобы она была равна расстоянию между концом отрезка-

Ре М

и точкой «пересечения окружности, характеризующей взятый номер профиля, с отрезком Для удобства подбора величины —— пользуемся

М Ре

графиком. Нами вычерчен, как пример, график двутаврового профиля {№№ 24, 26... 45) см. черт. № 9. По этому графику намечаем* на краю бумажной полоски ряд отрезков с обозначением номеров профиля.

3. Эту полоску накладываем на отрезок так, чтобы .начало на-

М

„1 Я \

меченных на ней отрезков — совпадало с концом —, а величины

Ре М Ре

Лбыли направлены в сторону начала координат.

*

4, Совпадение одной из окружностей, характеризующих номера профилей с соответственной точкой, нанесенной на бумажной полоске, укажет нам подходящий номер профиля.

Проверку ведем но формуле в = /? где: а — величина расстояния от-начала координат до точки пересечения

окружности с отрезком —,

М

¿—»величина расстояния от начала координат до конца

Л

Подобрав номер профиля по нормальному напряжению, определяем, если это необходимо, опасную точку в отношении касательных напряжений и проверяем ее по условию тгаах<7?т.

\

Черт.Ч.

■м.

м

^—^^000774-

1 я

Черт. 2.

ДЕРЕВРИМЬ1Ё ' бРУСЬИ*

0001175

0001100 0001050 0001000 0000950 0000900 0000650 0000800 О'ООО 750 0000700 0000550 0000600 0000550 0000500 0ШК50 0000400 (N00350 0000500 0000250

Черт. 3.

■p -Xtlôh

BPIlñdQ ЗШШйРЗсОО

3ÇÛ0.0

6600.0

о

о

о о

с Ö

о о

о Q

ррррр ©popp

о о о о о о о

О О Ъ

(О Cv -

_ о 8

о о Ö о о

со

H

От

а>

luaio

□ (п —

B3UJI-

□ си

Q IU O

□I КЗ

а

1 /о т

ОРТ М-j

seh

1 1, i

in u-ч

«О uD

О Ö

J> 5 S о 5

о о о о

ООО

г^ «о m , . . .

о о о ô о р

Ö о о о о о о

/

✓

>

*

л .

- 7&t\-VM 50 ' ' Y

• Y rr/t/'i i-í rv'i

.....W-b,

10. vlfl'í/ ^ **

rflepT. У. V

?

«