Гипотеза ломаных сечений и ее применение к расчету стержней сложной конфигурации Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Тви 61 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1947 г.

ГИПОТЕЗА ЛОМАНЫХ СЕЧЕНИЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ СТЕРЖНЕЙ СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ«)

ВЕРХОВСКИЙ А. В.

_ *

Профессор, доктор технических наук

Вступление

Вопрос о расчете стрежней сложной конфигурации с переменным поперечным сечением имеет определенное практическое значение.

Стержни рассматриваемого типа можно подразделить на прямоосные и кривоосные. Характерным примером прямоосного стержня переменного поперечного сечения является зубец зубчатого колеса; кривоосного стержня—крюки, станины машин и т. п.

Вопросу расчета зубцов зубчатых колес посвящена обширная литература, но все же нельзя сказать, что в данном расчете достигнута полная ясность. В практике зубчатых колес имеют место случаи, когда проверка зубца на прочность дает напряжения, значительно превосходящие временное сопротивление того материала, из которого изготовлен зубец, но тем не менее зубец фактически работает и не ломается. Это приводит к мысли о порочности существующих методов расчета зубцов зубчатых колес, которая, вероятно, происходит раньше всего в результате двух причин: 1) при расчете зубца на изгиб применяют известную из курса сопротивления материалов формулу, выведенную для расчета призматических балок, в то время как зубец зубчатого колеса не является призматической балкой, 2) концентрация напряжений у корня ножки зубца учитывается весьма грубо и неточно.

Таким образом* уже из рассмотренного примера в достаточной мере выявляется необходимость в создании более точного метода расчета стержней переменного поперечного сечения, с более точным учетом концентрации напряжений у выкружек.

В теории упругости решены задачи по расчету на изгиб балок с переменным поперечным сечением только для наиболее простых случаев. Аналитически. решается задача по изгибу консольной балки клинообразной формы, нагруженной на острие сосредоточенной силой или равномерно распределенной нагрузкой по грани клина [1].

По поводу расчета тел более сложной формы проф. Тимошенко пишет: „Во многих случаях пластины, на которые действуют лежащие в их плоскости внешние силы, имеют такой вид, что аналитическое исследование распределения напряжений становится затруднительным и приходится прибегать к исследованию опытным путем. Весьма пригодным для этой цели оказался оптический метод" [1,2].

Даже форма зубца зубчатого колеса оказывается настолько сложной, ч-то при решении вопроса о распределении напряжений отказываются от точного аналитического решения и прибегают к опытному исследованию

*) Работа была доложена на научной конференции механического факультета Томского политехнического института в июне 1943 г.

С. В. Серенсен в своей книге „Прочность металла и расчет деталей машин* пишет: „Как было отмечено, применение в машинных конструкциях длинных тонких стержней весьма ограничено. В большинстве случаев конфигурация деталей бывает геометрически достаточно сложной и все размеры соизмеримы: достаточно взять такие типовые элементы, как зубья шестерен, коленчатые валы, пальцы, кулаки и т. д. К их расчету еще и в настоящее время самым широким образом применяют элементарные методы и формулы сопротивления материалов, которые не отражают действительного распределения напряжений и дают отклонения от него, достигающие сотен процентов".

Здесь можно отметить работы Нойбера [3] и Афанасьева [4] в которых даны аналитические методы- определения концентрации напряжений в выточках и выкружках.

В работе Нойбера на основе теории упругости дано решение задачи по определению напряжений в выточке, Точное решение задачи ограничено рассмотрением предельно мелких и предельно глубоких выточек, имеющих параболическое очертание.

В работе Афанасьева даны эмпирические формулы для определения концентрации напряжений в выкружках и выточках плоских образцов. Предполагая закон распределения напряжений гиперболическим, по аналогии с кривым брусом Афанасьев дает переходную формулу для коэффициента концентрации напряжений в случае круглого образца [4,5].

Общего метода расчета стержней переменного сечения до настоящего времени не предложено.

Все сказанное заставляет думать, что появление достаточно точного и удобного для практического применения метода расчета прямоосных и кривооснйх стержней переменного поперечного сечения было бы весьма желательным.

Настоящая работа ставит задачу дать приближенный способ ояреде-ления напряжений в прямоосных стержнях переменного поперечного сечения при любой форме очертания этих стержней и даже при наличии в них выкружек и выточек малого радиуса, а также дать решение для некоторых частных случаев стержней переменного поперечного сечения, с криволинейной осью.

Часть I. Изгиб прямоосных стержней фигурного очертания

1. Гипотеза ломаных сечений и гипотеза цилиндрических сечения.

Общие соображения

При расчете прямоосных стержней фигурного очертания на изгиб обыч но применяют формулу

выведенную для призматических стержней. ,В этой формуле а—напряжение, М—изгибающий момент, IV—момент сопротивления.

Формула (1) предусматривает линейный закон распределении напряжений, и^эпюра напряжений будет выглядеть так, как это показано на рис. 1(а). *

Указанная эпюра напряжений, а также формула (1) являются для данного случая порочными по двум причинам: 1) напряжение а в то<*ке А направлено не по касательной контура, а -следовательно, оно является не главным, и 2) прямолинейный закон распределения напряжении вследствие кривизны контура стержня является неверным. Отмеченные причи- * ны иногда могут привести к весьма неточному ре^-льтату при определении напряжения по формуле (1).

Неточность формулы (1) в применении ее к расчету прямоосных стержней фигурного очертания обусловливается тем, что формула (1) выведена на основе гипотезы плоских сечений (гипотеза Берну л л и), в то время как при изгибе рассматриваемых стержней плоские сечения значительно искривляются.

На основании исследований, которые будут изложены ниже, можно притти к заключению, что значительно более точные результаты по определению напряжений при изгибе рассматриваемых стержней могут быть получены на основе гипотезы ломаных, а не плоских сечений.

На рис/ 1(6) для некоторой точки Л, взятой на контуре стержня, проведено ломаное сечение АОВ. Это сечение проведено таким образом, что сторона АО является нормалью верхнего контура, а сторона ОВ— нормалью нижнего контура. На этом же рисунке изображена эпюра напряжений для данного ломаного сечения. Далее будет показано, что закон распределения напряжений в ломаном сечении в общем случае будет гиперболический.

Гипотеза ломаных сечений или, точнее, гипотеза неискривления ломаных сечений не является вполне точной.

Однако сравнение результатов, полученных на основе предлагаемой гипотезы, с опытными данными говорит о достаточной ее точности для практического использования.

Оправданием к принятию гипотезы ломаных сечений могут служить прежде всего следующие соображения:

Г) Нормальное напряжение в точке, взятой на верхней или нижней поверхности изгибаемого стержня, будет лежать в плоскости, касательной этой поверхности, а следовательно, будет главным напряжением, что не получалось при применении гипотезы плоских сечений [ср. рис. 1 (а) и 1 (б)].

2) С принципиальной точки зрения некоторое искривление ломаного -сечения при изгибе стержней рассматриваемого типа не является фактом, порочащим гипотезу ломаных сечений. Известно, что применение гипотезы плоских сечений при расчете на изгиб призматических стержней является тоже условным, так как точное исследование показывает, что при изгибе даже призматических стержней плоские сечения не остаются плоскими; а несколько искривляются. Однако гипотезой плоских сечений широко пользуются при расчете призматических стержней (балок) на изгиб.

Таким образом, основным критерием оценки той или иной гипотезы является то, насколько данная гипотеза дает достаточно точные результаты для решения практических задач.

3) Опыты показывают, что при изломе стержней переменной высоты поперечного сечения в случае, если стержни изготовлены из хрупкого материала, начальная трещина образуется по направлению нормали контура стержня, т. е. совпадает с направлением ломаного сечения. Указанное обстоятельство также говорит в пользу гипотезы ломаных сечений.

Заметим также, что довольно точные результаты, достаточно хорошо совпадающие с опытом, могут быть получены посредством гипотезы цилиндрических сечений [см. рис. 1 (£)]■ Исследования, произведенные ав-

I) Гипотеза цилиндрических сечений предполагает, что при деформации -стержня цилиндрические сечения изменяются по некоторому определенном^ закону, а именно так, что в пограничных точках цилиндрическое сечение остается нормальным к контуру стержня.

,Рис. 1

тором» показали, что предпочтение должно быть дано гипотезе ломаных сечений, как гипотезе достаточно точной и более удобной для практического использования. В дальнейшем изложении будет произведено некоторое сравнение указанных гипотез,

2. Применение гипотезы ломаных сечений к определению нормаль* ныг напряжений при изгибе нрямоосиых стержней любого фигурного

очертания

Рассмотрим консольную прямоосную балку, высота поперечных сечений которой будет изменяться по произвольно заданному закону (см. рис. 2).

Ограничимся пока рассмотрением балки прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириною Ь.

Некоторое обобщение в отношении балок или стержней не прямоугольного сечения будет сделано в дальнейшем.

Пусть контур рассматриваемой балки будет задан некоторым уравнением

у=/(х)

(2)

в системе координатных осей, указанных на рис. 2. При этом прямфосность балки, при условии прямоугольных поперечных сечений, определяет симметричность верхнего и нижнего контуров.

Балка нагружена на конце сосредоточенной силой Р. Предположим^ требуется найти напряжение в некоторой точке А контура балки, абсцисса которой булет х.

Проведем через точку А ломаное сечение АОВ так, чтобы АО и ОВ соответственно являлись нормалями к верхнему и нижйему очерку балки. Затем возьмем точку А19 абсцисса которой будет х~\-йх, и аналогичным образом через эту точку проведем ломаное сечение А^В^ Рассмотрим волокно КР материала, заключенное между сечениям» АОВ н АхОхВг и расположенное параллельно ААХ. При изгибе балки сечение АОВ повернется относительно сечения АхО^Вх на угол й<р, заняа положение А2ОВ2. Относительное удлинение волокна дР будет

Рис. 2

Определим FN и Я7\

РА/

РА/ ¿¿ср. и,

где и~ОР является расстоянием рассматриваемого волокна от точки"/> Далее из рис. 2 находим

Определим значения величин, входящих в правую часть. Из рис. 2

до _ ах

ООг ~ ААХ *

Отсюда

^^ йх пп ах л ^ 00=----.ОА = • • • ах о,

4 ААг АЛ,

где 4x^—00^

ААи как длина дуги, межет быть представлена

ЛЛ!

где

¿\Р=(1ху 1 + 1

ш

йх.д,

йх

Далее из рис. 2

4У

0£> =.л0 = * + у

(1х

Дифференцируя, получим

йх0 = [ 1 -

где

Ь' "Ч ).

¿2У

¿х — /и.йЬс,

т ~ 1 -4- у ----ЬI ■—.— •

1 (1х2 \ <1х }

Тогда

СЮ

йх

йх.

йхтйх т

йх.

ААг " с1х.д

Из написанных соотношений найдем

КР=~- .йх + lq.dx-~.dx V и д \ Я ' У'Ч

йх

т

Я

+(

т

я--\ " -1.

Я ! УЯ -1

или, учитывая, что

йх

т

получим

К?

¿Хь

т

т

Я

т

)"

Я I УЯ

[ УЯ

тд

Тогда относительное удлинение рассматриваемого волокна выразится

так:

№

йъ.и

йь. тди

тд УЯ -

йх0 Г т -+■ (д2—т)

и

уд л

Напряжение в волокне КТ будет

1 г"4_______

Учитывая, что

с1х0

ро,

где ро—радиус к р к в и з н ы, лз о г н у т о й оси балки чв точке D, можем выражение для с переписать так:

1 I / » ч 11

т -¡- (г/2 — т)~

\Щ

У гХ

Етди

Ро

(4),

В этом выражении:

Е—модуль упругости,-

и — ОЕ есть расстояние рассматрквае1\юго волокна от т.очки Б, у — орд^н|та^о^и А,

Р0— радйй'С- кривизны изогнутой оси балки в точке Л) и

т

(5)

Заметим, что все величины, входящие в правую часть выражения (4), являются для данного ломаного сечения АОВ постоянными, за исключением величины и. Таким образом, напряжение «в какой либо точке рассматриваемого сечения является функцией расстояния этой точки от точки D.

Как квидно из выражения (4), напряжение, в общем случае будет распределено по сечению АИВ не по линейному закону, а по гиперболическому.

Далее, из условия равновесия можем написать

уш

2 ^ зЬийи, «

•и У>4

М-

или

У9

М

= 2 Г"

./ Ро

ЕтцЬи1йи

а

•ткуда |

Ро

т-\-(д2—т)

УЧ

М_

уч тцЬиЫч

I

и

т-\-{д'2—т)-о УЧ

Е

Подставляя — в формулу (4), получим выражение для напряжения в Ро

следующем виде:

(о)

Мтди

т + (д2—т)

а

УЧ

УЧ

•2 /

щЬиЫи

(6)

и

т~\~(д2 — т) О УЧ

Решая интеграл, стоящий в знаменателе выражения (6), а затем, принимая и = АО=у.д, получим напряжение в точке А

М

о —

2Ьу2

2 п

п1 п? \

где

п —

т

а ■

Я

а-\~ п а

_ т

>

ч

(а -{- я)3 '

(7)

или, принимая во внимание ранее принятые обозначения для д и т,

.У

п

С1Г-У с1х2

Фу

йх2

йу йх

а =

1

йх

(8)

V +( л) V

М — момент внешней силы относительно точки О

. М = Р.ОО,

Ь — ширина поперечного сечения балки, ■ у •—ордината точки А, йу йу2

— и - ----соответственно представляют значения первой' и второй

. йх йх-

производной уравнения контура балки или стержня в рассматриваемой точке А (см. ур-ие 2).

Выражения (8) для п и а могут быть представлены иначе. Известно,

что

* й2у

1 ,

(9)

1 +

йх )

где р— радиус кривизны, в нашем случае—радиус кривизны контура балки в точке А. Знак в выражении (9) должен быть выбран в соответствии со знаком второй производной.

Выражение (9) можно переписать так:

_1_ Р

йх*

/

1+1

йу X-

откуда

йх2

1 +

+

V йх

/ аУ 42 \ йх

, ( 4У V

\ йх } _

1

Р

р соз2а

где а — угол, составляемый касательной контура балки с осью гбсцисс для рассматриваемой точки А.

Тогда выражения (8) могут быть преобразованы так:

У \ У

— СОБа + —

П = +—В—; а = (Ю)

— С 032а СОБ^а

В полученных выражениях должен быть взят верхний знак, если рассматриваемая точка А лежит на вогнутой части контура; нижний знак следует брать, если рассматриваемая точка лежит на выпуклой части контура.

* Во многих случаях вычисления удобней вести, пользуясь выражениями (10), так как у, р и <*,' входящие в эти выражения при заданном контуре балки или стержня, легко могут быть найдены графически.

Формула (7) совместно с выражениями (8) или (10) разрешает поставленную задачу по определению напряжения в некоторой точке А контура рассматриваемой балки.

Из формулы (7), выведенной для прямбосной балки или стержня произвольного очертания, могут быть получены решения для различных ча~ стных случаев; так, например:

I. Для случая призматической балки или стержня

йх

а следовательно, на основании выражений (8),

/2—0 ; а=1.

После подстановки полученных значений в формулу (7) и раскрытия неопределенности, найдем

01)

Ьу&

т.е. получим формулу, действительную для расчета призматических балок. Принимая во внимание, что

/г

■

где-А — высота сечения балки, формуле (11) можно придать более обычный вид:

М

ш 9

учитывая, что мы рассматриваем балки прямоугольного сечения. 2. Для случая клинообразной балки будем иметь

ах ах2 ;

и следовательно, согласно выражениям (10), получим

я = 0 ; а 1 + *83а: 1

СОЭа

Подставляя найденные выражения в формулу (7) и произведя раскрытие неопределенности, найдем

М СОБ2**

1,5

¿У

Если угол а не превышает 20°, то полученное выражение дает расхождение с точным расчетом клинообразной балки, основанным на теории* упругости, не более 3%.

Пределом применимости формулы (7) является случай, когда у выпуклой части контура центр кривизны контура лежит по одну сторону

от оси абсцисс с самим контуром (см. рис. 3), так как в этом случае величина, от которой в формуле (7) должен быть взят логарифм, получается отрицательной.

3. Эпюры распределения нормальных напряжений, получаемые согласно

гипотезе ломаных сечений для различных форм прямоосных балок ♦ «

Согласно формуле (4), на рис. 4 построены эпюры напряжений для различных сечений консольной балки, имеющей вид фигурной пластины. Пластина выбрана указанной на рис. 4 формы для того, чтобы на ней можно было изобразить все возможные случаи.

Обратим внимание на характерность отдельных эпюр, изображенных на рассматриваемом рисунке.

1. Эпюра напряжений, построенная для сечения Д Ви соответствует призматической части балки и дает прямолинейный закон распределения напряжений, что согласуется с обычными представлениями об изгибе призматических балок.

2. Эпюра, построенная для сечения Л2 Ьг соответствует клинообразной части балки. Полученная эпюра представляет линейный закон распределения напряжений. Рассматриваемая эпюра не вполне совпадает с эпюрой, получаемой при точном решении клинообразной балки. В этой отношении гипотеза цилиндрических сечений дала бы более точный результат. Для клинообраз ной балки, нагруженной силой, приложенной к вершине клина, гипотез цилиндрических сечений дает результат, совпадающий с точным решением.

Рис. 4

Р.эт В

Ь. г (а--2 а )

V 2 I

где а — половина угла заострения клина

1Ь

Р иг—полярные координаты любой точки клина, если начало координат совпадает с вершиной клина, а полярная ось—с осью .клина.

3. Эпюра, построенная для сечения А3 В3, соответствует выпуклой части контура балки и представляет закон распределения напряжений в виде некоторых гипербол. Из указанного обстоятельства следует, что в сечениях, соответствующих выпуклой части контура, балка сопротивляется изгибу более интенсивно, чем .в сечениях, соответствующих призматической части.

4. Эпюра напряжений, построенная для сечения Аа Ва, характерна концентрацией напряжений у вогнутых частей контура. Этим обстоятельством мы воспользуемся впоследствии для определения концентрации напряжений у выкружек и выточек.

5. Эпюра напряжений, построенная для сечення А:, ВЬ} которое характерно тем, что контур балкй, соответствующий этому сечению, имеет центр кривизны, лежащий на нейтральной оси, представляется в виде двух прямоугольников. Этот случай является предельным, далее он переходит в случай, изображенный на рис. 3, при котором гипотеза ломаных сечений неприменима. Поэтому надо полагать, что эпюра напряжений, полученная для сечения Аъ Д-„ является значительно неточной.

4. Определение концентрации напряжений по формуле (7), выведенной из гипотезы ломаных сечений, у выкружек и выточек. Сравнение результатов, полученных но формуле (7), с опытными данными

*

На рис. 5 воспроизведено сравнение результатов, полученных по формуле (7), с опытными данными.

На фиг. (а) рис. 5 представлена прямоосная пластина с двумя симметрично расположенными выточками. Пластина подвергнута чистому изгибу '

На рассматриваемой фигуре дана эпюра напряжений для центрального сечения, построенная посредством формул (4) и (7).

На фиг. (б) рис. 5. представлена пластина, имеющая одну выточку. Для центрального сечения этой пластины: показана эпюра напряжений, полученная оптическим методом [1, стр. 151].

К сожалению, между двумя представленными результатами нельзя сделать полного сравнения, так как в первом случае пластина взята с двумя выточками (по той причине, что формула (7) применима только для прямо-осных балок), во втором—с одной. -

Однако можно констатировать, что в частях, прилегающих к выточкам, эпюры «обоих случаях получились достаточно идентичными. В,обоих случаях распрёделение напряжений в рассматриваемых частях эпюр имеет гиперболический характер.

На рис. 6 приведена сравнительная картина распределения нормальных напряжений по контур} выточки. 1

На рис. 6 толстой линией показана эпюра, построенная на основе опытных данных, полученных оптическим методом [1, стр. 151], Тонкой линией построена эпюра напряжений, вычисленных посредством формулы (7). Рассматриваемые эпюры дают сравнительно хорошее совпадение. Наибольшее расхождение не превышает 4%.

На рис. 7 изображены кривые, представляющие коэффициенты концент-

о ! 1 '

рации напряжений в зависимости от отношения / . Кривые получены для

Л

пластины, изображенной на рис. 5(а). подвергнутой чистому изгибу. На рис. 7 линией (1) дана кривая, полученная опытным путем (см. Н. М. Беляев, Куос сопротивления материалов, 1939 г., стр. 604), при Н = к-\- 2[>. Линией (II) нанесена кривая коэффициентов' концентрации напряжений,

1 * ' ! Г ' : "" i ! ! 1 ' 1

Li li i 1

и t TW íAI i ' !

Í \ 1 l! í

4 I ' i-

\ / i 4 . ¡ « í. -1 - /

\\ \ \ 1 . i | i ; í ; í • i

Ч N N Ч í !

" — ^ 1 1 í ; 9

¡ ~ L

г

Рис. 6

Qi 0,2 О0S 0,4 0¿ 0,6 С}7 Ofi f.

Рис. 7

вычисленных посредством формулы (7), из которой может быть получено следующее выражение коэффициента концентрации напряжения для точки, лежащей на дне выточки:

К

1

-3

1 . 1 + с . (1 +су

2 с

г2

с3

1п

1

1+г

где

с = -

У

+

А

2о

На рассматриваемом графике рис. 7 можно наблюдать" очень хорошее схождение опытных и теоретических результатов, что свидетельствует о достаточной точности формулы (7). Расхождение между опытной и теоретической кривыми, начиная с отношения—, равному 0,1 (и больше), не

- ■ ' /г

превышает 2—3%. /

На том же графике рис. 7 пунктирной линией нанесена кривая коэффициентов концентрации напряжений, вычисленных посредством гипотезы цилиндрических сечений. Коэффициенты концентрации . напряжений для точки, лежащей на дне выточки, могут быть получены на основе гипотезы цилиндрических сечений по следующей формуле, которую приводим без вывода:

К

6 п

IW

2я+1 . 1п

где

У

Y 2п + 1 -hj

V 2/Г+Т— I

h

И

Рассматривая график рис. 7, можно констатировать, что линия II, полученная на основе гипотезы ломаных сечений, дает меньшее расхождение с опытной кривой, чем пунктирная линия, полученная на основе гяаотезы цилиндрических сечений.

В таблице 1 дано сравнение коэффициентов концентрации напряжений, .подученных различными исследователями, для случая изгиба плоского образца с боковыми выточками.

Таблица 11)

о н 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3

г н 0,1 0,2 0,4 0,2 0,4 0,3

2,0 2,45 2,9 — —

По Фрохту..........• 1,85 ' 1,93 2,04 1,58 1,6 1,43

По вычислениям Афанасьева . . 1,75 1,82 1,91 1,56 1,58 1,44

По гипотезе ламаных сечений . . 1,90 1,90 | 1,90 1 1 1 1,50 1 | 1,50 1 1,40 1 ;

[Г1и

Л 1 /Л*-? " Я

I 4

.V

т

А

Перейдем к рассмотрению концентрации напряжений у выкружек. На рис. 8 (а) и 8 (б) изображены пластины, имеющие по две симметрично расположенных выкружки и подвергнутые чистому изгибу. На этом же рисунке построены эпюры напряжений, найденных по формуле (7) для точек контуров выточек.

В точке Л, согласно формуле (7), получается скачок напряжений. Указанное обстоятельство объясняется тем, что в точке А вторая производная уравнения, представляющего контур пластины, изменяется скачкообразно. Но скачкообразное изменение напряжения в точке А не может соответствовать действительности, так как нельзя допустить, чтобы в одной точке одновременно существовали одного направления два разных нормальных напряжения. Следует признать, что за счет добавочного искривления ломаных сечений здесь произойдет выравнивание напряжений по некоторой линии нанесенной на рис. 8 пунктиром.

В литературе имеются опыты, произведенные оптическим методом с пластинами указанной формы. Эпюры напряжений, построенные по результатам этих опытов, почти не отличаются от исправленного вида теоретической эпюры рис.

Максимальное напряжение получается в некоторой точке Аи расположенной под некоторым углом к вертикали. Из сравнения рис. 8 (а) и 8 (б)

видно, что этот угол будет тем меньше, чем больше отношение — .Ни-

А

же будут даны более конкретные значения рассматриваемого угла.

ш

Рис. 8'

г) При составлении таблицу использована статья Н. Н. Афанасьева [4].

На рис. 9 приведены кривые коэффициента концентрации напряжений

в зависимости от отношения— для пластин, имеющих форму, изобрела

женную на рис. 8. Толстой линией (I) нанесена кривая коэффициентов концентрации напряжений, полученных опытным путем, [I, стр. 1,50]* Тонной линией (И) построена кри-

вая коэффициентов концентрации напряжений, полученных посредством формулы (7). Расхождение между рассматриваемыми кривыми отчасти объясняется тем, что при построении теоретической кривой максимум напряжений предусматривался в точке А, в то время как в действительности он будет в точке Ах, лежащей под некоторым углом к вертикали (см. рис. 8).

Если при построении теоретической кривой исходить из напряжения, имеющегося в точке Ах, определяя его по формуле (7), то теоретическая кривая на всем

протяжении почти совпадает с опытной кривой, если при этом брать следующие значения угла а;

/

1' ь-

V ~~Т7 " 4

ч\

! \ \ \

чЧ

г'

1 1 . . .... — ------- !___-1

.....м : ..........«_______

Рис. 9

при 1 - = ОД 1г ■

20е

при при

¡1

9 -

к

0,2 а = 10° 0,3 а = 0°.

Поэтому для определения наибольшего напряжения в случае выкружки надо вычисление вести по формуле (7), принимая указанные значения

угла а

5. График для определения напряжения по формуле (7)

Препятствием для пользования формулой (7) может явиться ее сложность. Процесс вычислений может быть весьма ускорен при помощи гра-ф*$<а, который приводится ниже.

Формулу (7) можно представить в следующем виде:

где

В =

М.В

Ь.у?

1

2 п

а I аг 1

---^ — ш

п2 " п3

а + л

а

(а -}- я)3

(12)

(13)

Из выражений (10) и (13) следует, что величина В является функцией У

угла а и отношения

На графике (рис. 10) нанесены кривые, изображающие В как функцию У

отношения — при различных значениях угла а. . Р

Таким образом, если известны величины — и а, то величина В нахо-

0 »

дится по графику весьма быстро, как это будет показано на примере^

Грасрик для определения коэфициента В

15 \

I

I.

§

I

05

10

1 \

1

1 1

\

[ ! \ .1 1

—■ тч. 7 ! \ / 1 \/ Т 1

I ; 1....../ 1 ! | /

Отношение 75

Рис. 10

3 43

I

2 9

<5

Найденную величину В следует, далее, подставить в формулу (12), откуда и определится напряжение а.

Допустим, дана консольная балка с переменной высотой поперечного сечения (см. рис. 11), нагруженная силой Я, приложенной в точке О.

Рис. 11

Сила Р= 1000 кг. Требуется, определить напряжение в точке.Л. Пусть будут известны (или определены из чертежа) следующие величины:

х —9,3 см (абсцисса точки А), у —2 см (ордината точки Л), о — 2 см (радиус кривизны контура в точке А), а-=20°,

Ь~Ъ см (ширина поперечного о.ченйя балки).

Проводим через точку А ломаное сечение ADB. Плечо силы будет

OD — х-\~у tga = 9,3 тЬ 2.0,36S 10 см.

Тогда изгибающий момент для сечения ADB

Af=P,OD = 1000.1G=10Q00 кг.т.

Далее находим

Р 2

По графику (рис. 10) определяем величину В следующим образом. На

v

нижней горизонтальной оси графика, по которой отложены отношения ^ >

Р

отыскиваем точку, обозначенную цифрой 1. Учитывая, что мы определяем напряжение в точке А, лежащей на вогнутости контура,—точку, обозначенную цифрой 1, надо искать на указанной оси графика левее нуля. Найдя точку, обозначенную цифрой 1, проводим через нее вертикаль до пересечения с кривой а=20°. Полученную точку на кривой сносим по горизонтали на вертикальную правую ось графика, на которой и получа-^ем значение величины В. В нашем случае ,

1 В —1,62.

h Со

После этого по формуле (12) определяем напряжение

М.В 10000.1,62 01Л кг б - —- = оШ

Ьу? 5,22 СМ2

Таково будет напряжение в точке А.

Заметим, что если бы балка изгибалась не под влиянием силы Р. а под вли:янием пары сил, то в формулу (12) следовало бы подставить значение момента пары сил. В этом случае отпадает отыскание точки О. Если бы требовалось определить напряжение для точки, лежащей на вы-

У

пуклом участке контура, то, вычислив отношение —, следовало бы оты:

Р

скивать соответствующую точку на нижней горизонтальной оси графика« рис. 10 правее нулевой точки. Если бы требовалось определить напряжение для точки, лежащей на прямолинейном участке контура, то на н^эк-, ней горизонтальной оси графика следовало бы взять нулевую точку. Й*: На левой вертикальной оси графика отложены значения коэффициента концентрации напряжений. \\

; В рассмотренном примере коэффициент концентрации напряжения для точки А получается по графику равным 1Д.

Заметим, что здесь под коэффициентом концентрации напряжений понимается отношение величины напряжения, вычисленного по формуле (12), к величине напряжения, которое получилось бы для той же точки по гипотезе плоских сечений.

б. Некоторые примеры по приложению выведенных формул к расчету

на изгиб зубцов зубчатых колес

Характерным примером прямоогной бгл^и переменной высоты поперечного сечения является з1-бец зубчатого колеса. »

Рассмотрим зубец зубчатого колеса, изображенный на рис. 12. Для определения напряжения в некоторое точке А профиля зубца измеряем на чертеже (рис. 12) следующие не ичины

. а; СО\ р - АТ.

Исходя из этих величин, можно определить по формуле (12) напряжение в точке Л, подобно тому, как это было сделано в предыдущем примере. Определив напряжения для целого ряда точек профиля, можно построить эпюру напряжений по всей длине профиля. Такая эпюра изображена на рис. 12.

На основании данных, приведенных в пункте 4 (см. рис. 8) теоретическая эпюра должна быть несколько выправлена вблизи точки перегиба профиля (точка Л0). На рис. 12 исправление произведено по кривой Из эпюры (рис. 12) видно, что опасная точка профиля зубца, в смысле

наибольшего нормального напряжения, в данном примере получается на „ закруглении ножки вблизи точки Л0.

При построении эпюры напряжений (рис. 12) предполагалось, что зубчатое колесо не имеет обода, а выполнено в виде сплошного диска. В случае, если колесо будет иметь обод ограниченной толщины, то эпюра напряжений в части, лежащей около точки Л3, примет несколько иной вид.

На рис. 13 изображена эпюра напряжений для точек профиля зубца, который принадлежат зубчатому колесу, имеющему обод ограниченной толщины.

На участке профиля КА> эпюра напряжений сохранит прежний вид, совпадающий с рис. 12. Начиная с точки Л2, эпюра напряжений, за счет деформации обода, примет несколько иной вид, ориентировочно изображенный на рис. 13 пунктирной линией.

Сказанное объясняется тем, что формулы (7) или (12), при помощи которых вычисляется^ напряжение, мы вправе применять только до тех пор, пока вершина ломаного сечения (точка £>2) находится в пределах тела изгибаемой балки. Как только точка 02 выйдет за пределы обода, так напряжения на контуре, начиная с точки Л2, будут определяться не изгибом зубца, а изгибом обода* который (изгиб) будет происходить по двум отдельным сечениям АгОг и ВгО>.

7. Распространение гипотезы ломаных сечений на случай, когда прямо- 4 осный стержень любого криволинейного очертания имеет двутавровое

сечение

На рис. 14 представлена прямоосная балка произвольного очертания, имеющая двутавровое сечение. В правой части рисунка изображено развернутое ломаное сечение балки АОВ.

Задача будет заключаться в определении напряжения в точке А рассматриваемой балки.

Рис. 12

Рис. 13

Решение задачи можно получить из формулы (6), которую надо только несколько преобразовать, так как .формула (6) была получена для стержня прямоугольного сечения. При преобразовании формулы (6) необходимо учесть, что ширина поперечного сечёния Ь не будет постоянна.

Согласно ранее принятым обозначениям и рис. 14,

у .д = АО = иа.

Тогда интеграл, входящий в формулу (6), может быть представлен в «иде суммы двух интегралов с пределами от 0 до' и0 и от и0 до иа (см.

- в* —Г

б ¡к 11 — -р — ^ ^

Рис. 14

14). Так как отыскивается напряжение в точке А, то в части, стоящей вне интеграла, следует положить

Ы —- Ы(1•

Теперь формуле (6) можно придать следующий вид:

Мтдиа

'тдЪги?йи ^иа тдЬ^йи

иа

На

(14)

Интегралы в полученном выражении являются интегралами рациональ-даых функций и их решение не представляет трудностей.

Формула (14) дает возможность определить напряжение в любой точ-же (Л), лежащей на очерке рассматриваемой балки.

Часть II. Изгиб кривоосных стержней фигурного очертания

Применение гипотезы ломаных сечений к некоторым частным случаям

непрямоосных балок

Гипотеза ломаных сечений может быть применена для некоторых случаев непрямоосных балок.

Рассмотрим балки, у которых имеется поперечное сечение, лежащее в плоскости, проходящей через оба центра кривизны верхней и нижней частей ее контура. При помощи гипотезы ломаных сечений представляется возможность довольно просто определить напряжения в сечении совпадающем с указанной плоскостью.

В виде первого примера рассмотрим балку, изображенную на |№С. 15.

Балка представляет пластинку постоянной толщины имеющую выг-точку в верхней части и вогнутость в нижней части. Плоскость пп является поперечной плоскостью симметрии балки.

Пусть балка будет подвергнута чистому изгибу некоторым моментом М* Задача будет заключаться в определении напряжений в сечении АВ.

Пусть линия и будет представлять нейтральный слой балки. Проведев® координатные оси X и К, выбрав точку О за начало координат/Тогда в общем виде верхний контур балки может быть представлен уравнением У1=А(Х1), а нижний контур уравнением у2=Л(*2), причем будем считать^ что для уравнения верхнего контура положительная ось ординат направ- ^ лена вверх, а для уравнения нижнего контура положительная ось ординат

/

/ с

а

¿у** в

Рис. 15

направлена вниз. Это-принесет удобство в дальнейшем при определении^ знаков перед рх и р2. ^

В соответствии с принятыми обозначениями первая и вторая производные для верхнего контура будут

а для нижнего контура

4У|

йхх йу2

и

и

йХь2 ' 2

йх2 йхО2

/

Для балки рассматриваемого типа будем иметь:

N

для точки А, —— для точки Б, -

¿У йх

¿Л

йхъ

0;

Фуг

йх{1

?1

; ух = уа = АО

0;

фу.

йх<?

±р2

; У\

Цъ

ов

(15*

где рх и.ра—соответствующие радиусы кривизны контуров в точках А н В~ Перед этими радиусами надо брать знак плюс, если контур в данной точке имеет вогнутость, и знак минус, если контур в данной точке имеет выпуклость. Для балки, изображенной на рис. 15, следует перед обоими* радиусами взять знак плюс.

Везьмем точку Аи отстоящую от точкр А на расстоянии йх, и проведем через нее ломаное сечение АхОхВ^

Так как элементарно малый отрезок Ойх нейтрального слоя можно считать совпадающим с осью абсцисс, получается возможность для определения напряжений в сечении АВ применить формулу (3).

Для рассматриваемого типа балки, учитывая условия (15), будем иметь, ■согласно выражениям (5): лля верхней части балки

т — т

1 +

Уа

=Гр1

д = д1 = 1 ■ у =уа ; и = и1

(16)

для нижней части балки

Уь

т = т2 — 1 +

+ Р2

д = дг = 1 ; у = уь ; и = Щ

(17)

Тогда! выражение напряжений для верхней части балки, т. е. для точек участка сечения АО из формулы (3) получится

а, =

<ЦЕт\П\

Лх|

т>\ + {\—т\\

У*

(18)

яли, ^подставляя тх и произведя элементарные преобразования, получим

\

йъЕих

<%х0 { 1 ТГ~1Г ) ' V ±Р1 +Уа/

(19)

Для нижней части балки, т. е. для точек участка ВО, соответствую; шщм образом найдем

йх.

т2 + {\—тг)

II2 1 '

Уъ ]

(20)

дели, после подстановки т> и некоторых элементарных преобразований *долучим

а>

йуЕиг

йх о ( 1

_и* \

±Р2 +Уь)

(21)

Из условия равновесия сумма проекций сил, действующих на левую млн правую часть балки, должна равняться нулю. Учитывая, что балка подвергнута чистому изгибу, указанное условие равновесия можно представить в следующем виде: 4

у& Уь

(22) 21

Подставляя о1 и о2 из (19) и (21) и произведя интегрирование, после сокращения на Е. Ь. —и перемены знаков на обратные, получим

йх(

(±р! +УаУ

Уа

+ Р2

= (+Р2 +Уь)2

Уь

+ Р2 + УЬ

+

г-1п

± Р2 +

(23>

Знаки перед рг и р2 должны быть взяты в соответствии с вогнутостью-или выпуклостью контуров, как об этом указывалось выше. Кроме тото9, можно написать

Уа+Уь = Ь.

Посредством совместного решения двух последних уравнений относительно уа и уь можно определить положение нейтрального слоя, т. е„~ точку О.

Найдем теперь напряжения в точках А и В. Для этого составим уравнения равновесия моментов внешних сил и сил упругости относи-сительно точки О в таком виде:

М

Уа УЬ

^ОгЬихйих-^ ^

о2Ьи2йи2

Подставляя и а2 из выражений (18) и (20), получим У* тпх Ьи12йи1 , У* т2Ьи2Ыи2

М =

йх.

и,

т, + (1 —тД

О Уа

/т2 + (1—т2)

иг

Уь

(25)

V*

Обозначая первый интеграл, стоящий в скобках, буквою а второй—буквою Оь, получим

йу

М

$Х0 11 а + Уь

Подставляя найденное значение Е и\ —Уа9 найдем напряжение в точке А

т

йу

в формулу (18) и полагав

.ТПхУа.

иа^иь

Аналогично напряжение в точке В найдется по формуле (20)

М

т2.уь

иа+иь

Решения интегралов иа и иь будут следующие:

Ьт

иа

иь

(1

Ьт2уъг

(1 — т2у

\УаЪ П

тху [ 2

— 1п тх)

---2т2 -[- т2г{ 1,5 — 1 п т2)

2

Заметим, что в этих выражениях

(1 — тх):

и

У*

(1 — щУ

Рх

- - о з

--I 2 )

что может упростить вычисления.

В случае, когда 1 или что будет иметь место для прямо-

линейного контура, интегралы иа и -Уь соответственно будут иметь решения

Г7 _ ЬУ*

иь =

Ьуьх

Заметим, что напряжения в точках А и В рассматриваемого стержня (рис. 15) могут быть вычислены также посредством графика рис. 10. При этом напряжения оа и а* должны быть представлены следующими выражениями:

2МВхВ2тхуа

аь =

(Вф^ + В^т^Ь '

2МВ1В2гщуь №Ул8/И2 + в2 Уа*т\)Ь *

(28)

(29)

В этих выражениях Вх и В2 следует определять по графику рис. 10: при определении Ви исходя из параметров верхней кривой контура для

точки А, т. е.

У*

Р1

и аи равного нулю, и при определении В2,—исходя

из параметров нижней кривой контура для точки В, т. е,

Уь

Р2

и а2, рав-

ного нулю.

В виде второго примера рассмотрим балку, изображенную на рис. 16.

Этот пример представляет особый интерес, потому что относительно балки данной формы в литературе имеются опытные данные и представляется возможным произвести сравнение теоретических результатов с данными опыта.

В книге проф. С. П. Тимошенко [I] приведены результаты опытного определения напряжений в сечении ADB балки, изображенной на рис. 16, имеющей форму пластины постоянной толщины b и подвергнутой чистому изгибу. Эпюра напряжений, полученная из опыта, представлена на рис. 16 толстой линией. Основные размеры испытанной пластины ^были следующие:

Н— 28,6 мм, pl — 1,6 мм, h = 19,1 мм,

— = 0,083 А 12

Поставим задачу построить эпюру напряжений для сечения ADB, исходя из теоретических вычислений. Рассматриваемая балка (пластина) является частным случаем балки предыдущего примера (рис. 15).

Особенность данного случая определяется тем, что нижний контур балки прямолинеен. Таким образом, для рассматриваемой балки будем иметь:

для точки А = ,

v , Pl "

для точки В Щ = 1,

Тогда выражение для напряжения в точках участка AD может быть найдено по формуле (18), которая напишется так:

^ _ йф Ещ _^ дф

dxJ 1---1-

Р1 +У<

а выражение напряжения в точках участка ОВ может быть найдено по формуле (20), которая примет вид

(31)

йх0

Перейдем к определению положения нейтрального слоя, т. е. точки О.

Из уравнения (22) для рассматриваемого случая получим

= у"2

-Р|+.У« V Р1 -\~Уа

У а /Л

2

(Рд +З>«)2

Кроме того, имеем:

у а + уъ — А.

Решая совместно два последних уравнения методом подбора, получим

уа = 0,380/г = АО, уь~0,620к~0в.

Согласно опытным данным

уа = 0,425/г = АО!, уь ~ 0,575/г = ОхВ.

Таким образом, расхождение в положении нейтрального слоя теоретического и опытного получается в виде расстояния

£>£>! = 0,425/г — 0,380/г = 0,045к — 0,86 ми.

Перейдем к сравнению напряжений, найденных теоретическим и опытным путем. Пользуясь формулами (30) и (31), можно найти отношение теоретических напряжений в точках А и В. Для ¿того примем в формулах (30) и (31)

— у а и Щ— Уы после чего делим ах на <з2. Тогда получим

Уа

Ьъ

О*

р1

I V*

\р1 +Уа

Так как теоретические значения уа и уъ были получены

Уа — 0,380 к

ы

а также известно, что то получим

Уъ — 0,620 /г, — 0,0834 К

3,38.

Из опытных данных отношение напряжений в точках А и В равно

2,97,

Ъь

т. е. расхождение составляет 14%.

Из сравнения полученных результатов следует, что в точке А теоретическое напряжение будет несколько больше опытного (приблизительно на 7%), а в точке В теоретическое напряжение будет несколько меньше опытного (приблизительно на 7%). Кривая распределения теоретических напряжений в сечении АОВ нанесена на рис. 16 тонкой линией.

Из всех рассмотренных в данном примере вопросов наибольший интерес представляет величина напряжения в точке Л, как максимального напряжения в данной конструкции.

Выяснилось, что теоретическое значение этого напряжения, найденное на основе гипотезы ломаных сечений, отличается от величины, найденной опытом, примерно на 7%. Есть основание полагать, что значительная доля этого расхождения падает на неточность опытных данных, так как по опытным данным площадь 1 эпюры положительных напряжений не вполне точно равна площади эпюры отрицательных напряжений <(см. рис%16), что противоречит условию равновесия. ^

В заключение данного примера укажем, что абсолютные значения напряжений в точках А и В могут быть найдены по формулам (28) и (29) при соответствующем определении величин, входящих в эти формулы.

В виде третьего примера рассмотрим кривоосный брус, изображенный на рис. 17, подвергнутый изгибу парами сил, приложенных к его »концам.

Рис. 17

Сечения бруса будут прямоугольные. Оба контура пусть будут иметь, общий центр кривизны в точке О.

В этом частном случае сечения, проведенные через точку А и близлежащую точку получаются не ломаными, а плоскими.

Вследствие этого задача переходит в обычную задачу о бруее с криволинейной осью, решаемую на основе гипотезы плоских сечений.

Заметим также, что формулы, выведенные из гипЬтезы ломаных сечений, в данном частном случае переходят в обычные формулы гипотезы^ ллоских сечений.

9. Распространение гипотезы ломаных селений на случай, когда криво-осный стержень имеет не прямоугольные сечения

Ограничимся рассмотрением сечений, изображенных на рис. 18. Линии пп на рис. 18 изображают нейтральный слой. В случае двутаврового сечения [рис. 18(а)] каждый из интегралов и входящих в формулу (26) и (27) должен быть разбит на два, а именно

У* ШхЬ^ихЫщ у а

(32>

иа

О Уа £

и±

Уа

иь =

У* т2Ь2и^с1и2__

I /и2+(1—т-,)~ / т> У» у.

уъ тфм^йи.

+(1 - Щр-Уь

(33>

Напомним, что в этих выражениях щ и и2 есть расстояния каких-либо точек верхней и нижней части сечения до нейтрального слоя.

Для определения положения нейтрального слоя уравнение (22) перепишется так:

Ух уа Уч ' УЬ

У охЬ2(111х-\~ ^ ^ огЬ2йи2~\~ (34)^

0 V, * л

В случае сечений, изображенных на рис. 18(6) и 18(в), следует в на-ч писанных выражениях принять Ьь равным

Часть Ш. Применение гипотезы ломаных сечений к определению нормальных напряжений в пластинах фигурного очертания прк одновременном растяжении и изгибе

10. Пределы применимости гипотезы ломаных сечений при растяжеиииь

пластин фигурного очертания

В первой и второй частях настоящей работы были выведены формулы* для определения нормальных напряжений при изгибе балок фигурного очертания.

Ввиду того что многие летали машин, имеющие фигурное очертание,, подвергаются не только изгибу, но также растяжению или сжатию, является весьма полезным ^распространить гипотезу ломаных сечений на случай комбинации указанных деформаций.

С э-той целью рассмотрим предварительно случай осевого растяжения пластины фигурного очертания и выясним пределы применимости гипотезы ломаных сечений для этого случая.

Пусть пластина фигурного очертания имеет вид, изображенный на рис. 19. Толщина пластины постоянна и равна Ь. -

Пластина подвергнута растяжению действием сил Р, направленных по-ее оси.

Проведем через две бесконечно близкие точки А и Аи взятые на контуре пластины, ломаные сечения АОВ и А^О^^ Сечение АОВ в данном?

Рис. 19

Рис. 20

случае окажется плоским, потому что точка А является точкой перегиба-контура, и нормаль в этой точке будет направлена перпендикулярно к оси пластины. Под влиянием растягивающих сил Р произойдет деформация и сечение АОВ переместится относительно сечения Л^А в некоторое положение Л2Д>#2-

На основе гипотезы ломаных сечений предполагается, что сечения не искривляются. Тогда волокна, находящиеся между сечениями А^й^Вх и АОВч получат одинаковые абсолютные удлинения, равные 00>.

Рассмотрим волокно /С/7, находящееся между ломаными сечениями^ АОВ и 'А^ОхВх и взятое на расстоянии и от оси стержня. Относительное удлинение рассматриваемого волокна:

ЕЫ

™ (Р +Уа)

КЕ ООх (Р+>

Напряжение в том же волокне будет

и)

з Е

™ (р+Уа\ Е

ООл (р -\-уа — и) .

(35)

Из выражения (35) следует, что закон распределения напряжений будет гиперболическим (рис. 20).

Асимптотами гипербол будут линии, проходящие через центры кривизны 01 и 02 параллельно оси пластины. Иа условия равновесия можно написать

Уа

о.Ь.йи

или

Уа

р = 2 fFN-(?Arya)-£-b.dll

J DDi.ip+ya — u)

о

Интегрируя, получим

2E.FN.(P4-ya).b.ln(— р___V P+yi

DD j ¡Отсюда найдем

£\FN Я

DD

\ Р I

Подставляя в выражение (35), получим

Р

Наибольшее напряжение будет в точке А при и— уа. Это напряжение будет

Р

а

(36)

(37)

Коэффициент концентрации напряжений может быть найден так:

°0

¡где а0 есть напряжение в призматической части пластины, равное

= = (38)

На основании выражений (37) и (38),

к=— Уа

или

К=-—(39)

pin

V Р /

или

--7--ГГ- ОТ

2pln(1+i)

Полученную величину К будем называть теоретическим коэффициентом концентрации напряжений для случая растяжения.

На графике рис. 21 тонкая линия III построена для теоретического

коэффициента К в зависимости от отношения —.

1г

На этом же графике толстыми линиями построены кривые (I и II). для' опытных значений коэффициента концентрации напряжений.

Н

Кривая I построена для условия — = 2,5 посредством таблицы, при-

к

веденной в книге проф. С. П. Тимошенко „Курс сопротивления мате-

о,г о/ 0/1 ojs ofi "ay ojt 'а-з

Рис. 21

риалов" изд. 1931 г., стр. 578. Эту кривую можно рассматривать как предельную, так как дальнейшее увеличение отношения — на коэффициент

h

концентрации напряжений практически не влияет.

Кривая II взята из книги проф. Н. М. Беляева „Сопротивление материалов" изд. 1939 г., стр. 604. Эта кривая построена при условии

+ 2р.

При растяжении на коэффициент концентрации напряжения влияет не

только отношение-, но в значительной мере и отношение —. как это сле-

А" h

дует из опытных данных. Последнее обстоятельство ограничивает применение теоретической формулы (37), а также формул (39) и (40), как не

Н

учитывающих влияния величины отношения —.

h

Из рассмотрения графика рис. 21 следует, что теоретическая кривая (тонкая линия III) мало расходится с опытными кривыми (I и И) при зна-

п

чениях отношения - , больших 0,35.

h

Кроме того, теоретическая кривая довольно хорошо совпадает на всем протяжении с верхней предельной опытной кривой I.

Таким образом, можно счит.пь, что гипотеза ломаных сеченйй и формулы (37, 39 и 40), полученные из нее, практически применимы для отыскания нормальных напряжений при растяжении, если форма пластины удовлетворяет хотя бы одному из двух условий:

h

Н_

h

> 0,35

2,5

(41)

При этом, как следует из графика, ошибка не будет превышать 3—4%.

29

Указанные обстоятельства будем иметь в виду в дальнейшем при решении вопросов о применимости гипотезы ломаных сечений для определения нормальных напряжений при растяжении деталей той или иной конфигурации.

Для сравнения на графике рис. 21 пунктирной линией построена кривая коэффициента концентрации нап/ряжения, вычисленного при помощи гипотезы цилиндрических сечений по формуле, которую приводим без вывода:

п +1 у

/2/1+1 I V2/Т+Т — 1 I

где

у к

В таблице 2 приводим сравнение коэффициентов концентрации напряжений, полученных различными исследователями, для случая растяжения плоского образца с полукруглыми выточками.

Таблица 2*)

р. h 0,2 0,25 0,35 0,4 0,5

По Фишеру.......... 1,9 — 1,6 —

По Валю............ — 1,9 — — 1,55

По Прейссу и Бергу......j — — 1,65 — —

По Фрохту........... 2,03 1,92 — ' — 1,52

По Кунце ........... 1,7' 1,68 1,65 1,62 1,60

По вычислениям Афэнзсьева . . 2,08 1,97 1,77 1,67 1,50

По гигклезе ломаных сечений . 2,00 1,85 1,60 1,55 1,45

Заметим, -что посредством рассматриваемых гипотез можно определить напряжение в произвольной точке, лежащей' на контуре выточки (см. рис. 20). Так, по гипотезе ломаных сечений напряжение в точке А1 будет

P cos а

О—--- -

2bplu( 1-1--У—|(cos2H--sin2a

\ р cos а / \ Е

где у — ордината точки Аи

1) При составлении таблицы данные опытов заимствованы из статьи Н. Н. Афанасьева [4]

а — угол наклона касательной в точке А19 О—модуль упругости при сдвиге, Е — модуль упругости при растяжении.

Рис. 22

И. Пример на определение нормальных напряжений на основе гипотезы ломаных сечений в прямоосном стержне, подвергнутом растяжению и

изгибу

Рассмотрим плоский прямоосный стержень, изображенный на рис. 22, имеющий постоянную толщину Ь. Таким образом, сечения стержня прямоугольны.

Будем полагать, что стержень удовлетворяет хотя бы одному из условий (41).

Стержень растягивается силами Р9 приложенными вдоль его оси, и изгибается моментом М, действующим в плоскости стержня. Очевидно, три данных условиях наибольшее напряжение будет в точке А. Задача -будет заключаться в определении этого наибольшего напряжения.

Напряжение от изгиба в точнее А может быть найдено по формуле (12):

М.В

а = —-у

Ь.у*

где М — изгибающий момент, Ь —толщина стержня у —ордината точки Л, равная АО, В — коэффициент, опреде: ляемый по г-ку рис. 10ч.

Напряжение от растяжения в точке А может быть найдено по формуле (37):

Р

ф =----:-Г- у

-так как в условии задачи предполагалось, что стержень удовлетворяет хотя бы одному из условий (41).

Результирующее напряжение в точке А будет

Од=<з + а1.

Таким образом, при помощи гипотезы ломаных сечений с достаточно «высокой точностью и малой затратой времени удается решить сложную задачу, связанную с концентрацией »напряжений в условиях одновременного действия изгиба и растяжения.

12. Пример по определению нормальных напряжений на основе гипотезы ломаных сечений у стержня с криволинейной осью, подвергнутого

изгибу и растяжению (рис. 23).

Сечения стержня прямоугольны. Ширина сечений Ь постоянна. Будем считать, что для данного стержня ~>0,35 и, следовательно, стержень удовлетворяет одному из условий (41), что достаточно для применимости

гипотезы ломаных сечений. Стержень подвергнут действию сил Р, приложенных к его концам.

Задача будет заключаться в определении напряжения в точке А. Очевидно, что в сечении АОВ стержень будет испытывать растяжение и изгиб. Напряжение в точке А от изгиба определяем на основе данных, изложенных в пункте 8 настоящей работы.

Из выражений (23) и (24) могут быть найдены уа и уъ № тем самым определено положение нейтрального слоя (точка В)т. пока без учета растяжения стержня.

Напряжение в точке А от изгиба должно быть определено по формуле (28) или- (26)

О л =

ШВхВгтхуа

{В1уь%т2 + B2yazinx)b

(42>

М. Величина

Для определения напряжения оа необходимо знать величину эгого момента будет определена

Рис. 23

изгибающего момента в дальнейшем.

Возьмем некоторую точку С в сечении ADB и приложим к ней две прямо противоположные силы, равные Р (см. рис. 23).

Сила Р, приложенная в точке С, будет растягивать стержень в сечении ADB. Положение С должно быть выбрано так, чтобы растягивающая сила Р не производила поворота сечения ADB, а только производила поступательное его перемещение относительно соседнего ломаного сечения AXDXBX. Таким образом, под влиянием силы Р, приложенной в точке Сг селение ADB займет относительно сечения AXDXBX некоторое, положение Аг1)%Въ параллельное ADB. Тогда все волокна, находящиеся между сечениями ADB и AXDXB\9 получат одинаковые абсолютные удлинения, равные DD2. #

В соответствии со сказанным на рис. 23 (Ь) изображена эпюра нормальных напряжений от растягивающего действия силы Р.

Очевидно, что из условия отсутствия поворо,та4сечения ADB положение точки С, как точки приложения растягивающей силы, должно определяться положением центра тяжести площади эпюры напряжений. Точка С должна являться проекцией указанного центра тяжести на линию AB.

Для определения эпюры напряжений можно составить следующие отношения, учитывая, что в данном примере р2 отрицательно:

DD!

~аа'

pi + Ус

(43)

а0 BBi

Уа

DDi _ j>2 -j- yb Р2

уь

Р — J о. Ь. du -j- J* a.b.du.

(44)

(45)

Последнее выражение посредством формулы (37) может быть преобразовано в следующее:

р== а^&Лп

(45а)

V Р1 / ?г+Уа

р

(46)

(47)

р2 +Уь 2 V Р2 /

Р

Ь(?г+Уа) 1п + +Ш

(48)

Найденные величины определяют эпюру напряжений, изображенную на рис. 23(б). Построив эпюру напряжений, можно определить центр тяжести ее площади.

Заметим, что при определении положения центра тяжести площади эпюры напряжений можно положить в выражениях (46), (47) и (48) силу Р равной единице, отчего расстояние /0 центра тяжести эпюры от точки А, измереннное по вертикали, не изменится, так как /0 может быть выражено исключительно через геометрические параметры рассматриваемого стержня.

Можно доказать, что точка С совпадает с точкой В и, таким образом, /0 = АВ—уа. Действительно,интегралы, входящие в выражение (22), после подстановки в них о1 и о2 из вьражений (19) и (21), могут рассматриваться как величины, пропорциональные статическим моментам соответствующих частей эпюры растягивающих напряжений, изображенной на рис. 23(в).

Равенство указанных интегралов говорит о том, что точка В является проекцией центра тяжести эпюры растягивавших напряжений на линию АВ. Таким образом, точка С, о которой говорилось выше, совпадает с точкой В и, следовательно, /0 равно уа и определяется из уравнений

Найдя /0, представляется возможность определить величину изгибающего момента

Л1 = /и + /о),

где 1г есть расстояние между прилсжевной силой Р и точкой А (см. рис. 23).

Определив величину изгибающего момента, находим напряжение в точке А от изгиба по формуле (42). Результирующее напряжение в точке А будет аа1 = оа-\-ои

Таким образом, поставленная задача решена.

Заметим, что данную задачу было бы неправильно решать посредством гипотезы плоских сечений, так как центры кривизны очерка стержня Ог и 02 не совпадают. При решении данной задачи посредством гипотезы плоских сечений делается молчаливое допущение о том, что центр кри-

(23) и (24).

визны Ох совпадает с центром кривизны 02, т. е. имеет место искажение начальных условий задачи. С последним можно мириться только в том случае, если расстояние между центрами кривизны незначительно. Гипотеза ломаных сечений с таким ограничением совершенно не связана. Центры крцвизны даже могут лежать по обе стороны стержня. Однако нам удалось решить задачу при помощи гипотезы ломаных сечений только для стержня с криволинейной осью, имеющего поперечную плоскость, проходящую через оба центра кривизны.

Вопрос о решении задачи для стержня более сложной формы с криволинейной осью при помощи гипотезы ломаных сечений остается пока открытым.

13. Распространение метода решения предыдущей задачи на елучай, когда поперечные сечения стержня с криволинейной осью не являются

прямоугольными

Решение задачи по определению напряжений в стержне? подвергнутом растяжению и изгибу, при условии, что стержень имеет поперечное сечение одного, из типов, указанных на рис. 18, не представляет принципиальных трудностей. Определение напряжения от изгиба и отыскание положения нейтрального слоя может быть произведено по способу, указанному в пункте 9. При определении напряжений от растяжения интегралы, входящие в выражение (45), должны быть разбиты на части в соответствии с различной шириной поперечного сечения.

Для определения положения точки С эпюра напряжений от растяжения должна быть известным образом трансформирована, а именно напряжение в каждой точке должно быть умножено на соответствующую ширину сечения. Затем определяется центр тяжести площади трансформированной эп^оры и тем самым находится положение точки С. Точка С по-прежнему совпадет с точкой О.

14. Некоторые опыты, касающиеся гипотезы ломаных сечений

В процессе проведения изложенных в настоящей -работе исследований автор все время пытался сверять теоретические результаты, получаемые из гипотезы ломаных сечений, с опытными данными, / имеющимися в литературе.

В большинстве случаев опытные данные подтверждали достаточную точность гипотезы ломаных сечений. Особенно хорошее совпадение теоретических результатов, полученных из гипотезы ломаных сечений, с опытными данными имело место в разделах работы, касающихся изгиба балок и пластин фигурного очертания (см., например, рис. б, 7 и 16).

Менее хорошее совпадение получилось при исследовании растяжения фигурных пластин, вследствие чего в данной части пришлось ввести некоторые ограничения применимости гипотезы ломаных сечений.

Ввиду того что произведенная в настоящей работе проверка теоретических результатов, получаемых из гипотезы ломаных сечений, посредством сравнения их с опытными данными, имела все же косвенный характер, явилось желательным произвести непосредственное наблюдение за поведением ломаного сечения при деформации образца. С этой целью были изготовлены опытные образцы из резины. Образцы имели форму фигурных пластин постоянной толщины. На боковых поверхностях образцов наносились тушью ломаные сечения по правилам, установленным в теория данного вопроса [см. рис. 1(6)]. После этого образцы подвергались деформации.

Опыты показали, что в общем случае при изгибе образцов заметных искривлений ломаные сечения не претерпевают, в то время как нанесенные на образце контрольные плоские сечения претерпевают значительные искривления (см. фото на стр. 46).

Незначительное искривление ломаного сечения было замечено в том случае, когда контур профиля образца имел в точке, через которую было проведено ломаное сечение, скачкообразное изменение радиуса кривизны. Последнее обстоятельство согласуется с теми замечаниями, которые были сделаны в пункте 4 по поводу рис. 8. Незначительные искривления ломаного сечения были замечены также при сравнительно острых углах наклона сторон ломаного сечения к нейтральному слою или, иначе говоря, при больших углах а наклона касательной очерка образца. Указанным обстоятельством объясняется некоторое расхождение между теоретической и опытной кривыми, изображенными на рис. 6, причем ота(е-ченное расхождение становится заметным для точек контура, соответствующих углам а, превышающих 20°.

В случае осевого растяжения фигурных резиновых образцов наблюдались более заметные искажения ломаных сечений, причем эти искажения заключались как в изменении угла между сторонами ломаного сечения, так и в искривлении самих сторон. Указанное искажение ломаного сечения получалось даже в том случае, если образец удовлетворял условиям (41) и напряжение, вычисленное по теоретической формуле (37), совпадало с величиной напряжения, найденного оптическим методом. Данное обстоятельство казалось весьма странным, так как теоретическая формула (37) получена на основе гипотезы ломаных сечений, т. е. гипотезы, предполагающей, что при деформации ломаные сечения не искажаются. Такого рода противоречие имеет следующее ^

объяснение. Л

На рис. 24 (а) изображен испытуемый

)

(а) ^

Рис. 24

Рис. 25

резиновый образец до деформации. На его поверхности нанесено лойаное цечение АОВ и сечение Л0О050.

На рис. 24 (<5") изображен тот же образец в растянутом состоянии. Ломаное сечение АОВ, нанесенное на поверхности образца до его деформации, приобрело вид, указанный линиями А101В1 (на рисунке искажение ломаного сечения изображено утрированно).

На том же рис. 24 (б) пунктирной линией изображена для сравнения первоначальная конфигурация ломаного сечени А^В^

Рассмотрим волокна, заключенные между сечениями А0О0В0 и А101В1. Теоретическая деформация этих волокон будет определяться положением неискаженного ломаного сечения- АхОВх. Действительная деформация тех же волокон будет определяться искаженным сечением Ах01В1.

Теоретическая и действительная деформации будут одинаковы для волокон, положение которых определяется точками пересечений неискажен-

вого и искаженного сечений, т. е. точками Аг\ К; N и В. Очевидно, что теоретическое и действительное напряжение в указанных волокнах будет также одинаковым. Сообразно со сказанным на рис. 25 изображены эпюры напряжений. Сплошной линией изображена эпюра действительных напряжений, пунктирной—теоретических напряжений.

Таким образом, несмотря на фактическое искривление ломаного сечения, максимальное действительное напряжение может оказаться одинаковым с теоретическим, что имело место для рассматриваемого образца. Этим самым разъясняется противоречие, которое было отмечено выше. Неточности теоретических формул, связанные с искажением ломаных сечений, сказываются главным образом на характере распределения напряжений по сечению, а не на величине максимального напряжения. Но ввиду незначительности искажения ломаных сечений эти неточности чрезвычайно малы, если форма образца соответствует условиям (41).

Часть IV. Растяжение, изгиб и кручение стержней, имеющих

форму тел вращения

15. Определение напряжения при растяжении в стержне, имеющем

форму тела вращения

Рассмотрим стержень, изображенный на рис. 26. Стержень имеет опоясывающую его выточку. Поперечные сечения стержня являются кругами., Стержень подвергнут растяжению силами Р.

Задача будет заключаться в определении напряжений в точках, лежа-щих на дне выточки. Аналогичная задача со стержнем, имеющим формул пластины, была решена в третьей части настоящей работы посредством гипотезы ломаных сечений.

Для стержня, имеющего форму тела вращения, гипотеза ломаных сечений переходит в гипотезу конических сечений, предполагающую, что

ку Ах. Вершиной второго конического сечения будет точка Ои лежащая на оси стержня.

Рассмотрим волокно АТ7, заключенное между коническими сечениями и взятое на расстоянии гот оси стержня. При растяжении стержня сечение АОВ переместится в положение А202В2 (см рис. 26). При этом рассматриваемое волокно № получит удлинение

Напряжение в рассматриваемом волокне может быть представлено посредством выражения (35), которое при обозначениях, данных на рис. 26? примет следующий вид:

/ /

при деформации стержня конические сечения не искажаются и образующие конусов не искривляются.

Рис. 26

1

У стержня, изображенного на рис. 26, проведено коническое сечение АОВ через, точку А, лежащую на дне выточки. Это коническое сечение в данном частном случае обратилось в плоское, так как образующие гипотетического конуса перпендикулярны к очерку стержня. Второе коническое сечение А\0^ проведено через близлежащую точ-

36

о = гЕ~

£>А(р-Куа — г).

(49)

условия равновесия можно написать

Р = (50)

В последнем выражении ¿Е представляет элементарную площадку сечения АОВ. .

Из рассмотрения рис. 26 (б) следует, что элементарная площадка (1Е может быть выражена так:

йГ^гЛ^Лг. (51)

Подставляя в (50), получим

2тг у а

Р—}} а.г.Ог.ау,

о о

.млн

2* Уа

J0JQ ОО^^гУа—Г)

Интегрируя, найдем

р= .

Определяя

ОЙ!

л подставляя в выражение (49), получим

Р

2*(р-КУа-г)

(53)

Принимая в последнем выражении г—уа, получим напряжение в точке Д а также во всех точках, лежащих на дне выточки

(54)

2- Р | (Р 1п

или

р

аа —---- —

Пуа

где

(п + 1) 1п

(^Н

(55)

Уа

Полученное выражение для напряжения в точке Л является приближенным, подобно выражению (37), найденному ранее для фигурной пластины посредством гипотезы ломаных сечений.

Выражения (54) и (55) будут иметь практически достаточную точность жрн соблюдении хотя бы одного из условий (41), которые для дайного случая примут следующий вид:

^>0,35, а

§>2,5. а

(56)

Если ни одно из этих условий не будет выполнено, то напряжение, вычисленное по формулам (54) или (55), будет больше действительного, подобно тому, как это имело место при растяжении фигурной пластины (см. график рис. 21).

Из формулы (55) может быть получено выражение коэффициента концентрации напряжения для точек, лежащих на дне выточки стержня, изображенного на рис. 26, Коэффициент концентрации напряжения будет

К

<30

где

00 =

ъУа<

Принимая во внимание выражение (55), получим

1

К

где попрежнему

1

(57> (58>

(59)

п —

Уа

На графике рис. 27 представлены кривые, изображающие значения: коэффициента концентрации напряжения в зависимости от отношение

р \йш

Сплошной линией построена кривая значений коэффициента концентрации напряжений, вычисленных посредством формулы (59). Пунктирной

1

ч

Л и. А

А V

V > V

\\ V

ч ч\ ч,.

Рис. 27

л*йней для сравнения построена кривая значения коэффициента концентрации напряжений, полученных по гипотезе шаровых сечений. Гипотеза

шаровых сечений получается из гипотезы цилиндриче«ких сечений при* мевительно к стержням, имеющим форму тел вращения).

По гипотезе шаровых сечений в случае выточки, изображенной на рис. 26, коэффициент концентрации напряжений будет иметь выражение, которое приводим без вывода:

К

1

2 п 1п

где

п

2п+\ 2 п

У*

(60)

16. Определение напряжения при изгибе в стержне, имеющем форму

тела вращения

Рассмотрим стержень, изображенный на рис. 28. Стержень имеет опоясывающую его выточку. Поперечные сечения стержня являются кругами. Рассматриваемый стержень подвергнут чистому изгибу моментами М.

Задача будет заключаться в определении напряжения в точке Л. Поставленную задачу решим на основе гипотезы конических сечений, которая была уже применена в предыдущем пункте. На рис. 28, точно так же, как это было сделано на рис. 26, через близлежащие точки А н Ах проведены конические сечения АОВ и АхОхВх. Так же, как и на рис. 26, коническое сечение АОВ в данном частном случае будет плоским.

Рассмотрим волокно материала Л77, взятое между указанными коническими сечениями на расстоянии г от оси стержня и расстоянии и от нейтрального слоя.

При изгибе стержня сечение АОВ повернется относительно конического сечения АхОхВх на некоторый угол Дф и займет положение А2ОВ2.

Волокно КР получит удлинение, равное

а

Рис. 28

Из рис. 28 (б) следует:

Тогда

/=у\/ = и. Д<р.

11 = Г.$Шф,

Напряжение в рассматриваемом волокне может быть получено по формуле (49) в таком виде:

еЕ _ г.$Щ.Ь$.(р+уа)Е

ООх (р.+^-г)

(61) 3»

Далее, из условия равновесия можно написать

М— 2 ^ з.^.Г.вШ ф, или *

Л .Уа

М = 2 С Г

7 ] ОО^р+Уа—Г)

О о

Интегрируя, получим

где

Уа

Определяя из этого выражения величину

ч А?(р +Уа)£

и подставляя ее в формулу (61), получим

(/1 + 1)3 (Я + ^ -у (Я + 1) - ~](Р

• (62)

Принимая в последнем выражении

Г—Уа

и

? 2'

найдем напряжение в точке А:

М

<За —

Ъ.П.Уа3 где попрежнему

'(„ +1)з 1п - (Я + 1)2- -1 {п +1)

1 , . .. _1

3 ,

(63>

* п = -9-Уа

Полученный результат является приближенным, подобно тому, как были приближенны результаты, получаемые для изгиба фигурных пластин, основанные на гипотезе ломаных сечений (см., например, график рис. 7).

Коэффициент концентрации напряжения при изгибе стержня, имекмцегэ форму, изображенную на рис. 28, может быть найден следующим образом:

во

где

М '

—-.

КУ а*

4 "

Тогда, учитывая выражение (63), получим

1

К--

Ап (я+1)31п

+ 1

п

На графике рис. 29 представлены кривые, изображающие значения коэффициента концентрации напряжения в зависимости от отношения для случая изгиба стержня, изображенного на рис. 29.

Сплошной линией построена кривая значений коэффициента концентрации напряжений, вычисленных посредством формулы (64).

Пунктирной линией для сравнения нанесена кривая значений коэффициента концентрации напряжений, полученных по гипотезе шаровых се* чений.

По гипотезе шаровых сечений в случае выточки, изображенной на рис. 28, коэффициент концентрации напряжения будет иметь выражение, которое приводим без вывода:

* =-=-, , ,-(65)

4 п

(2лг + 1)1п( 2/г+1

2 п

1

где

п

Уа

Найденные теоретические результаты нельзя сравнить с опытными данными, получаемыми оптическим методом, так как оптический метод при-годен только для плоских стержней и не может быть использован для тел вращения *).

В некоторых руководствах результаты, полученные оптическим методом для плоских стержней, искусственно переносятся на тела вращения, например, при определении концентрации напряжения в галтели вала. Однако такой искусственный перенос нельзя признать достаточно обоснованным.

Из сравнения графиков, изображенных на рис. (7), (21), (27) и (29), следует, что коэффициент концентрации напряжений, найденный на основе рассмотренных

в настоящей работе гипотез, получается для тел вращения ниже, ч'ел для плоских стержней,

17. Определение касательных напряжений при кручении стержней,

имеющих форму тел вращении

Гипотезы конических и шаровых сечений могут быть использованы для определения касательных напряжений при кручении стержней, имеющих форму тел вращения.

*) Коэффициенты концентрации напряжений, вычисленные по способу Нойбераино способу А фа нас ьева для круглых образцов, получаются несколько выше приведенных «а графиках рис. 27 и 29 [3, 4}.

»

г 1

18 й •в ъ

1

Л \\

уу

г ч\

ч\ ч \ ч^

^ 1

; ! 1 1 ,

Рис. 29

Пусть стержень, изображенный на рис. 30, скручивается моментами Шг приложенными к его концам. Задача будет заключаться в определении касательных напряжений в точках, лежащих на дне выточки. Поставленную задачу решим посредством гипотезы конических сечений.

Рассмотрим элемент материала КРК\Ри заключенный между коническими сечениями АОВ и АхОуВх и находящийся на расстоянии г от оси

стержня (см. рис. 30).

Касательное напряжение на боковых гранях рассматриваемого элемента может быть выражено следующим образом;

т-о.

где т О

относительный сдв^г, модуль упругости при сдвиге. В нашем случае

Рис. 30

= А6.г(р-Куд)С?

у а-г)'

(66)

где Д6 — угол поворота сечения АОВ относительно конического сечения А\0\В\. Заметим, что выражение (66) в известной мере аналогично выражению (49).

Далее, из условия равновесия можно написать, учитывая рис. 30(6),

г

(67)

Решив совместно уравнения (67) и (66) и приняв г равным уа, получим выражение для напряжения в точках, лежащих на дне выточки, в таком виде:

М

2тг

(68>

где

п

Уа

Коэффициент концентрации напряжений может быть получен следующим образом:

К =

где

2

(69)

/

(70)

Заметим, что после подстановки коэффициент концентрации напряжений получит выражение одинаковое с выражением (64), а следовательно,, график, построенный на рис, 29 для случая изгиба стержня, может быть распространен на рассматриваемый здесь случай кручения.

По гипотезе шаровых сечений может быть получено аналогичным: образом следующее выражение касательных напряжений в точках, лежащих на дне выточки:

М

2* nyj

(^.f^b-r

(71)

где

п

Уа

Коэффициент концентрации напряжений может быть определен по выражению (69).

Заметим, что коэффициент концентрации напряжений получит выражение одинаковое с выражением (65), а следовательно, пунктирная кривая, построенная на графике рис. (29), может быть, отнесена к рассматриваемому здесь случаю. Следует отметить, что по ги потезе конических j сечений коэффициент концентрации ' напряжений получается выше, чем по гипотезе шаровых сечений.

В книге С. В. С е р е н с е н а [6] приведены данные для кручения круглого образца с выточкой, полученные измерениями на электрической модели (Тум я Баутц). Сопоставляя эти данные с графиком рис. 29, можно заметить, что удовлетворительное совмещение кри- (

вых получается только при D :d— 1,2. (• При остальных значениях Did имеют место большие расхождения. Из сравнения графика рис. 29 с указанными

литературными данными следует притти к заключению, что формулами 68 и 71 можно пользоваться только при наличии одного из двух условий:

*

Kf / \ | 1

Л ли V $!

/ // г ! 1 1 1 1 г1 I- - ъ

' D // X ' ""f _ 1______ -

] 1 ! 1 1 ' 1

\ a

в;

Рис. 31

D

d

>1,2

или

d

>1.

Заметим, что гипотеза шаровых сечений дает точное решение задачи: по кручению конуса, так как в теории упругости доказывается, что при кручении конуса шаровые сечения не искажаются.

Перейдем к определению касательного напряжения в любой точке контура вала. На рис. 31 представлен продольный разрез вала переменного диаметра.

Возьмем на галтели рис. 31 произвольную точку А и проведем через нее коническое сечение АОВ. Другое коническое сечение АхОхВх проведено через близлежащую точку Ау. Между указанными коническими сечениями рассмотрим элементарное кольцо, сечение которого будет ЛТТСЛ и радиус г.

Касательное напряжение у рассматриваемого кольца может быть выражено по аналогии с формулой (3) (см. 1 часть настоящей работы) следующим образом:

— ТС —--г----' (72>

dx{

m-\-(q2 — ra) — УЯ\

В написанном выражении

? — относительный сдвиг, О — модуль упругости при сдвиге,

йЬ — угол поворота конического сечения А&В относительно конического сечения А^ОхВх. т и д — определяются выражениями (5), остальные величины даны на рис. 31.

Далее, из условия равновесия можно написать

УЧ •

Л!=/*.2*.а». сов*а. йи. (73)

о

Решив совместно (72) и (73) и приняв затем

и = уд,

получим выражение для напряжения в точке А в следующем виде:

М

а а 3

2тГ — У а

П

■1_±+« _-íl„(£±»

За 2п пг я3 \ а )

(а+я)2

(74)

где

У a j У а

— cosa +—

n = + ; <* =-Г-1(75)

— COS2ot COS2 а 4 '

В последних выражениях верхний знак следует брать в случае вогнутости контура, нижний—в случае выпуклости. уа — ордината рассматриваемой точки А В случае галтели

Уа = ~ + р( 1 —cosa).

Согласно литературным данным, по опытам, произведенным по принципу электрической аналогии [I], наибольшее касательное напряжение в галтели получается в точке А (см. рис. 31), лежащей под углом а, равным приблизительно двадцати градусам. Тогда коэффициент концентрации напряжения в случае галтели может быть найден по формуле:

где тЛ должно быть вычислено по формуле (74) для угла а, равного двадцати градусам, а должно быть определено как напряжение в цилиндрической части вала, имеющей меньший диаметр:

М

Ч = —г- • ъф

"16

Аналогичным образом может быть найдено касательное напряжение в точке А галтели, исходя из гипотезы шаровых сечений, а именно:

М sin4<x

2

(1 — С2) 1П

: — cosa\ 1

——j-J + — cosa) + - (1

cos2a)

—i (76)

(c — cosa)

где «

cosa-

sin^ot.

Уа

(77)

По сравнению с опытными данными (С.В.С ере нее н [6], фиг. 175) формулы (74) и (76) дают значительно завышенные значения напряжений. Так, например, при коэффициент концентрации напряжений при

помощи формулы (76) получается 1,58, в то время как по опытным данным он имеет значение 1,44 даже при условии, что D:d = 2. Следует заметить, что рассматриваемые здесь формулы не учитывают влияния отношения D\d9 в то время как это отношение по опытным данным сильно влияет на величину напряжения при деформации кручения. Вследствие указанных причин формулы (74) и (76) могут дать удовлетворительные результаты только при отношении p:d>l, так как в этом случае влияние отношения D:d затухает.

18. Снределевие касательных Напряжений в случае сдвига у стержней фигурного очертания

Рассмотрим стержень, изображенный на рис. 32. Стержень имеет по бокам выточки. Сдвиг происходит под влиянием сил Р.

Формула для определения наибольшего касательного напряжения в точ-

Р

Р

Рис. 32

р

р 1

Рис. 33

ках А и В, лежащих на дне выточки, может быть написана по аналогии с формулой (37) и будет иметь вид

Р

(78)

2рМп

m

Коэффициент концентрации напряжений может быть определен не формулам (39) или (40).

Для случая стержня, изображенного на рис. 33, имеющего наружную круговую выточку, будем иметь формулу, аналогичную формуле (54)

Р

= —-=-—--:-(79)

2тгр

Уа

Коэффициент концентрации напряжений может быть определен по формулам (59) или (60).

Заключение

t

1. Применение описанных гипотез к расчету стержней переменного сечения следует рассматривать как искусственный, приближенный прием для определения напряжений в указанных стержнях.

2. Гипотеза ломаных сечений, переходящая для тел вращения в гипотезу конических сечений, дает результаты, близко совпадающие с опытными данными в случае растяжения и изгиба, а следовательно, данная гипотеза может быть признана, с практической точки зрения, достаточно точной для указанных случаев деформации и в определенных пределах применимости.

3. Частично затронутая в настоящей работе гипотеза цилиндрических сечений, переходящая для тел вращения в гипотезу шаровых сечений, дает удовлетворительные результаты при определенных соотношениях параметров детали в случае скручивания стержня переменного сечения. Кроме того, данная гипотеза дает результаты, совпадающие с точным решением в случае изгиба и растяжения клина и скручивания конуса.

ЛИТЕРАТУРА

1. С. П. T и м о ш е н ко.—Теория упругости, перевод. ОНТИ, 1934.

2. Э. Кокер и Л. Файлон.—A treatise on photo elasticity, Cambridge, 1931. Русский перевод: Оптический метод исследования напряжений, ОНТИ, 1936.

3. Н. Neuber.—Kerbsspannungslehre, Grundlagen für genaue Spannungsrechnung, Berlin, 1937. «

4. H. H. Афанасье в.—Приближенный расчет коэффициента концентрации напряжений. Журнал технической физики, 193^, т. VJ, вып. 7.

^ ** ^ °Д 3 °Л ° в*~~^опУскаемые напРяжения Дяя сталей. Оборониздат, Москва,

6. С. В. Се р е н с е н,—Динамическая прочность в машиностроении. Москва, 1945.

Приложение

Фотографии резинового образца в свободном и деформированном состоянии. На образце до деформации нанесено тушью ломаное сечение АОВ. Как видно из фотографий, ломаное сечение при деформации образца не исказилось, что свидетельствует о достаточно высокой точности гипотезы ломаных сечений при деформациях изгиба.