Графические методы расчета водоснабжения и канализации Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Я. И. Нинолинъ.

Профессоръ Томскаго Технологическаго Института Императора Николая II.

<9

е>

ГРАФИЧЕСКІЕ МЕТОДЫ

РАСЧЕТА

ВОДОСНАБЖЕНІЯ И КАНАЛИЗАЦІИ.

ВЫПУСКЪ и.

Классификація и теоретическія предпосылки номографическихъ способовъ расчета водопроводовъ-

Съ 10 таблицами чертежей.

ТОМСКѢ.

Тшю-литографін Сибирскаго Тоііаршцестна ІІеч. Дѣла, ѵг. ДнорннскоП ул. и Нмского нер., с. д*

1913.

Широкое развитіе въ послѣднія десятилѣтія XIX и въ началѣ XX вѣка постройки водопроводныхъ и канализаціонныхъ сооруженій поставило вопросъ объ упрощеніи способовъ гидравлическаго расчета, въ видахъ сбереженія труда и времени, самымъ настоятельнымъ образомъ. Подъ давленіемъ необходимости въ практикѣ расчета трубопроводовъ явилось новое теченіе, которое выразилось въ стремленіи къ возможному, безъ ущерба практической точпости, упрощенію расчетныхъ формулъ, въ широкой разработкѣ вспомог ательныхъ таблицъ, наконецъ, въ примѣненіи способовъ графическаго расчета. Псѣ эти способы, различными путями идущіе къ одной цѣли—упрощенію процесса гидравлическаго расчета, заслуживаютъ вниманія техниковъ спеціалистокъ, въ смыслѣ изученія и дальнѣйшаго развитія. Особенно интересными, и съ практической, и съ теоретической точки зрѣнія являются графическіе способы расчета, которые сводятся къ различнымъ методамъ преобразованія гидравлическихъ формулъ въ графическій видъ, а именно къ изображенію ихъ въ видѣ діаграммъ кривыхъ или прямыхъ линій, или особыхъ логарнфмическихъ масштабовъ. И дѣйствительно, въ послѣднее время эти примѣненія начали привлекать къ себѣ болѣе замѣтное вниманіе. Однако техническая литература, посвящеппая данному вопросу, какъ на русскомъ, такъ и на иностранныхъ языкахъ, пока ограничивается почти исключительно болѣе или менѣе краткими сообщеніями, разбросанными въ разныхъ журналахъ по поводу отдѣльныхъ способовъ графическаго расчета, причемъ бросается въ глаза недостаточность теоретическихъ обоснованій и обобщеній. Матеріалы, могущіе служить для освѣщенія вопроса, какъ теоретическіе, такъ и практическіе (таблицы, альбомы) являются еще болѣе разбросанными и отрывочными. Эти обстоятельства, въ особенности же теоретическій иптересъ и практическая важность новаго теченія, заставляютъ считать своевременнымъ изученіе вопроса о примѣненіи графическихъ методовъ всякаго рода къ расчету водоснабженія и канализаціи, въ видахъ, съ одной стороны, систематизаціи и освѣщенія этихъ методовъ съ ихъ теоретическими предпосылками, математическими и гидравлическими, и съ вытекающими изъ нихъ обобщеніями и выводами, съ другой въ видахъ популяризаціи этихъ методовъ среди спеціалистовъ, которая можетъ содѣйствовать ихъ практическому приложенію и дальнѣйшей разработкѣ.

Работая въ этомъ направленіи по опредѣленному ила ну надъ отдѣльными способами графическаго расчета трубопроводовъ, я счи-

таю не лишнимъ наложить иъ настоящей отатьѣ, возможно краткимъ образомъ, нѣкоторыя свѣдѣнія и соображенія, относящіяся ко всѣмъ вообще способамъ такого расчета. Я имѣю въ виду систематизировать существующіе способы графогидравлическаго расчета, познакомить съ ихъ сущностью н формой, и указать ту математическую основу, къ которой они сводятся. Моей задачей въ .данномъ случаѣ является—привлечь вниманіе къ этому вопросу во всей его полнотѣ и дать лицамъ, которыя могли бы заинтересоваться разработкой отдѣльныхъ методовъ, общія свѣдѣнія о теоретическихъ основаніяхъ, отъ которыхъ исходятъ эти методы, и въ которыхъ нужво искать путей для дальнѣйшаго развитія. Съ этою же цѣлью я даю въ концѣ статьи возмояшо полный перечень литературы вопроса.

Графическіе способы расчета трубопроводовъ, которые были предложены до настоящаго времени, мэгутъ быть классифицированы слѣдующимъ образомъ.

1) Діаграммы для опредѣленія различныхъ коеффиціентовъ гидравлическихъ формулъ.

2) Графическія таблицы для изображенія соотношеній между величинами въ видѣ системы прямыхъ и кривыхъ линій (діаграммы изо-плетныхъ кривыхъ). Таковы діаграммы Баумейстера, Гобрехта, Гергар-да, Гюртена, Колиньона, Д’Обрнва и Вильрю, Коффина, Э. и Г. Тэйлоръ, И. Ф. Горбачева.

3) Лоіарифмоірафическія таблицы для изображенія соотношеній между логарифмами величинъ въ видѣ системы прямыхъ линій (діаграммы гізоплгніныхъ прямыхъ). Таковы діаграммы Тима, Франка, Фромма, фопъ-Мейдепа, В. А. Саткевича, М. С. Ясюковича.

4) Изображеніе соотношеній между логарифмами величинъ въ видѣ діаграммъ сопряженныхъ масштабомъ, построенныхъ по метсду масштабовъ функцій. Таковы діаграммы по формулѣ Лампе для метрическихъ мѣръ Венера, для русскихъ- проф. Н. К. Чижова.

Г>) Примѣненіе счетныхъ логарифмическихъ линеекъ для гидравлическаго разсчета (главнымъ образомъ, въ Англіи), которыя представляютъ одинъ изъ видовъ сопряженныхъ масштабовъ.

(5) Діаграммы сопряженныхъ масштабовъ, построенныя но методу точекъ прямолинейнаго пересѣченія (діаграммы или „абаки11 изоп.гетныхъ точекъ). Таковы діаграммы: по формулѣ Леви—Валло для метрическихъ мѣръ Даріэса; по формулѣ Фламана для метрическихъ мѣръ Бертрана и (сокращенная) Даріэса, для англійскихъ (и русскихъ) мѣръ помѣщенная въ курсѣ проф. М. М, Черепашинскаго.

7) Примѣненія графическихъ методовъ къ расчету сомкнутой водопроводной сѣти, напримѣръ, способъ, предложенный М. С. Ясюко-вичемъ.

Перечисленные графическіе способы расчета трубопроводовъ нужно раздѣлить на два вида, существенно отличающіеся другъ отъ

друга, именно на способы просто графическіе и способы номографическіе. Послѣдній терминъ относится къ тѣмъ способамъ, которые оснонаны на принципахъ математической науки, извѣстной подъ названіемъ Номографіи. Чтобы установить различіе между только что указанными видами графогидравлическаго разсчста, достаточно разъяснить общій характеръ Номографіи.

Подъ именемъ Номографіи разумѣется теорія графическаго представленія математическихъ законовъ, выражаемыхъ уравнепіями съ какимъ либо числомъ перемѣнныхъ.

Если для всѣхъ перемѣнныхъ, которыя связаны извѣстнымъ уравненіемъ, построить систему геометрическихъ элементовъ (точекъ или линій), градуированныхъ въ соотвѣтствіи съ значеніями этихъ перемѣнныхъ, и если связь между перемѣнными, установленная уравненіемъ, выражается геометрически легко опредѣляемыхъ относительнымъ положеніемъ соотвѣтствующихъ геометрическихъ элементовъ, то совокупность послѣднихъ представляетъ діаграмму даннаго уравненія. Подъ именемъ Номографіи разумѣется теорія такихъ діаграммъ.

Въ примѣненіи къ практикѣ Пмографія ставитъ своею ці лыо свести вычисленія, которыя являются необходимыми въ различныхъ отрасляхъ техники, къ простому чтенію на графическихъ таблицахъ, составленныхъ разъ навсегда.

Этотъ постояншліі характеръ діаграммъ даетъ основаніе пре водить разницу между Номографіей и графическимъ расчетомъ въ собственномъ значеніи слова.

Номографическія діаграммы изображаютъ результаты извѣстнаго соотношенія для всѣхъ возможныхъ значеній данныхъ элементовъ въ опредѣленныхъ предѣлахъ. Можно сказать, что помографическая діаграмма представляетъ синтезъ геометрическихъ построеній, соотвѣтствующихъ безконечному количеству различныхъ значеній элементовъ, фигурирующихъ въ расчетѣ. Что касается графическаго расчета въ собственномъ значепіи слова, то здѣсь въ примгьненіи къ данньгмъ каждаго частнаго случая числовой расчетъ замѣняется вычерчиваніемъ эпюры. Каждый разъ для новаго состава данныхъ приходится составлять новую эпюру.

Такой именно расчетъ составляетъ предметъ Графической статики.

Изъ семи перечисленныхъ выше способовъ графическаго расчета трубопроводовъ первые тесть относятся къ категоріи номографическаго расчета, а седьмой (расчетъ сіѵги) представляетъ типъ расчета просто графическаго, который можно было бы называть, въ отличіе отъ номографическаго, идіографическимъ.

Мы ограничиваемъ наше изложеніе вд> настоящей статьѣ номографическими способами расчета и расположимъ свѣдѣнія, относящіяся къ отдѣльнымъ способамъ этой категоріи, въ порядкѣ посдѣдова-

тельнаго развитія тѣхъ номографическихъ методовъ, которые положены въ ихъ основаніе.

Первымъ по времени изъ такихъ методовъ является принципъ Декартовыхъ прямоугольныхъ ксординагпъ, положенный также въ основу Аналитической геометріи. Всѣмъ извѣстно графическое изображеніе функціи одной перемѣнной

у-/(.ѵ) (1)

или, что все равно, уравненія между двумя неремѣппыми

9(Л-,у) = 0. (2)

По абсциссамъ прямоугольной системы координатъ (черт. 1) откладываютъ величнпы а-, а по ординатамъ величнпы у, и получаютъ кривую, изображающую зависимость этихъ двухъ перемѣнныхъ.

Въ практикѣ этотъ номографическій пріемъ постоянно примѣняется для изображенія зависимости между величинами, получаемой въ результатѣ физическихъ опытовъ.

Въ примѣненіи къ расчету трубопроводовъ онъ употребляется въ тѣхъ случаяхъ, когда искомая величина является функціей одной перемѣнной. Такой именно случай представляютъ діаграммы, изображающія измѣпепія величины коеффиціента скорости k въ зависимости отъ гидравлическаго радіуса сѣченій при опредѣленной степени шероховатости, или діаграммы расходовъ для опредѣленнаго діаметра при разныхъ гидравлическихъ уклонахъ, которыя приходится нерѣдко строить спеціально, въ видахъ удобства расчета, примѣнительно къ условіямъ работы проектируемыхъ трубопроводовъ. При этомъ обыкновенно діаграммы вычерчиваются на сѣткѣ взаимно-пе-ресѣкаюіцихся координатъ съ равномѣрно возрастающими отмѣтками. Въ качествѣ примѣра номографическихъ діаграммъ этого рода приводится діаграмма (черт. 2) для величины k при гидравлическихъ радіусахъ отъ 0,010 до 0,500, опредѣляемой но сокращенной формулѣ Ранги лье-Куттера

_ 100 / р

Ь + /Т

(3)

при коэффиціентѣ шероховатости Ь равномъ 0,35, т. е. для случая обыкновенныхъ чугунныхъ трубъ. Пользованіе такими діаграммами понятно само собой.

Методъ номографическаго представленія уравненій съ тремя перемѣнными былъ примѣненъ впервые ГІуше (Pouchel) въ его Arithme-tique Ііпбаіге въ 1705 году, затѣмъ въ работахъ Obcnheim’a, Piornbert'a, Bellencontre’a, Allix’a и освѣщенъ теоретически Теі^иеш’омъ и Лалан-номъ (Lalanne) (работы эти относятся къ первой половинѣ XIX столѣтія). Методъ Пуше служитъ основаніемъ для представленія зависимости между элементами гидравлическаго расчета въ видѣ системъ

кривыхъ и прямыхъ линій, которыя мы называемъ діаграммами изо-плетныхъ кривыхъ.

Предварительно разъясненія этого метода, мы должны дать понятіе объ одномъ изъ основныхъ принциповъ Номографіи, который приходится примѣнять и въ данномъ случаѣ, и въ дальнѣйшемъ изложеніи.

Пусть имѣется нѣкоторая функція / (л) независимой перемѣнной х, въ такихъ предѣлахъ, что для каждаго значенія перемѣнной х имѣется только одно опредѣленное значеніе функціи. Будемъ наносить на оси О X, отъ начала координатъ О (черт. 3), длины

h =>•/(* і),

/а = >•/■(**), (4)

h = >'f(xa),

гдѣ I— произвольно выбранная длина, и надпишемъ надъ точками, обозначающими концы отрѣзковъ Іи /2, /3. . . , соотвѣтствующія значенія ль лг, хя. . . , перемѣнной.

Совокупность полученныхъ такимъ образомъ точекъ съ числовыми отмѣтками составитъ масштабъ функціи і'(д-). Длина /. называется модулемъ этого масштаба.

Если масштабъ функціи долженъ быть ограниченъ двумя частными значеніями перемѣнной, напр. л„ и х„, то можно построить его, начиная съ низшаго предѣла .ѵ„, безъ участія начала координатъ О.

Чтобы получить точки а*і, д-2, х3. - - , нужно нанести на оси, начиная отъ произвольно выбранной точки съ отмѣткой .ѵ0, отрѣзки

h — >* [/Ч*і)— f (*<*)],

h = Ч/ (*в)— ГЫ,

h = 1 [f (*з) — Ф (-ѵо)], (5)

L = ).[f{xu)-f(xt,)],

гдѣ L—длина масштаба.

Принимая

/ (а*) = х (3)

и измѣняя ее черезъ ровное и круглое число единицъ того или другого десятичнаго порядка, мы получимъ, путемъ указаннаго построенія, нормальный масштабъ. Въ зависимости отъ задачъ, подлежащихъ графическому рѣшенію, иногда приходится примѣнять построеніе къ инымъ функціямъ, и тогда получаются масштабы функцій другого характера, напр. логарггфмическіе, сегментные, гізоградные *).

*) Идея построенія масштабовъ функцій (въ примѣненіи къ логарпфыической функ-

ціи) принадлежитъ Гюнтеру и относится къ началу XVII вѣка. Дальнѣйшія подробности о масштабахъ функцій см. d’Ocagno, Trait-6 de Nomographie.

Итакъ допустимъ теперь, чти ми имѣемъ уравненіе съ Л перемѣнными вида

Л*, у, *) = о, СО

которое желаемъ представитъ ьъ графической формѣ. Способъ, примѣненный для этой дѣли ІІуше. сводится къ слѣдующему Дадимъ одной изъ перемѣнныхъ, (по преимуществу той, которая чаще всего выражается въ видѣ функціи двухъ другихъ), напримѣръ опредѣленное значеніе. Тогда мы получимъ одно уравненіе съ двумя перемѣнными. Такое уравненіе легко представить въ видѣ кривой, вычерченной на сѣти прямоугольныхъ координатъ, опредѣляемой равенствами

а = /! -V, г/ = >2 у.

(«)

гдѣ /-1 и /2 соотвѣтственно выбранные модули масштаба отложенія величинъ а- и у по осямъ координатъ (ср. чорт. 4).

Уравненъ* этой кривой будетъ,

(70

Такая кривая, на протяженіи которой элементъ ^ сохраняетъ одно и то же значеніе, была названа Лалапномъ кривой равнаго элемента (гопгЬе d’igalc clement), затѣмъ нѣмецкимъ авторомъ Фоглеремъ (Voglcr) изоплетной кривой ('Ізо;—равный, -at/Joc—величина). Этотъ послѣдній терминъ былъ затѣмъ припятъ п Лалапномъ.

Построимъ подобнымъ же образомъ кривыя, соотвѣтствующія цѣлому ряду значеній возрастающихъ черезъ опредѣленные промежутки, и будемъ надписывать при каждой кривой соотвѣтствующее ей значеніе і- При этомъ, конечно, достаточно провести часть каждой кривой внутри прямоугольника, который образуется двумя парами перпендикуляровъ, проведенныхъ ьъ осямъ ОХ и ОУ черезъ точки, соотвѣтствующія конечнымъ значеніямъ а и у.

Такимъ образомъ мы получили систему кривыхъ внутри прямоугольника (черт. Г>), разбитаго рядами координатъ на клѣтки, въ видѣ сѣти. Эта система и представляетъ графически наши перемѣнныя въ назначенныхъ предѣлахъ. Діаграммамъ этого вида, а но аналогіи съ ними и другимъ діаграммамъ съ градуировкой и числовыми отмѣтками, Лалапномъ и его французскими учениками присвоено назвапіе абакъ (les abaqnes des ligues isopltthes). Мы будемъ называть ихъ просто діаграммами, въ данномъ случаѣ діаграммами изоплешныхъ кривыхъ.

Если мы условимся обозначать терминами горизонталь и вертикалъ линіи, параллельныя соотвѣтственно ОХ и 0Y, то способъ пользованія такой діаграммой въ цѣляхъ опредѣленія значенія ^ но даннымъ а и у, можетъ быть формулированъ слѣдующимъ образомъ: прочитать

отмѣтку кривой, проходящей черезъ точку встрѣчи вертикали съ отмѣткой а- и горизонтали съ отмѣткой у.

Само собой разумѣется, что при чтеніи, въ случаѣ надобности, примѣняется интерполяція. Та же самая діаграмма даетъ возможности опредѣлить х или у, если даны одна изъ этихъ перемѣнныхъ, а также Напримѣръ, если даны у и то можно получить х, прочитавъ отмѣтку вертикали, проходящей черезъ точку встрѣчи горизонтали съ отмѣткой у и изоплетной кривой съ отмѣткой

Не трудно видѣть, что въ діаграммахъ изоплетпыхъ кривыхъ графическое представленіе уравненія создается путемъ горизонтальныхъ сѣченій поверхности, опредѣляемой уравненіемъ (7), въ которомъ х, у и { приняты за Декартовы координаты пространства.

Методъ изоплетпыхъ кривыхъ въ примѣненіи къ графическому расчету получилъ широкое распространеніе по всѣхъ областяхъ техники. Количество діаграммъ изоплетпыхъ кривыхъ для разсчета трубопроводовъ также весьма значительно. Оиѣ примѣняются къ формуламъ какъ нелогарнфмическаго, такъ и логарифмпческаго вида. Не имѣя въ виду представлять исчерпывающаго списка діаграммъ этого типа, что едва ли возможно, мы можемъ указать на діаграммы Гоб-рехта (примѣненныя для расчета Берлинской канализаціи—Hobrecht, Die Kanalisation von Berlin), Гергарда (Gerhard's Diagramm fiir Ahzngs-kaniile, Gesundlicits-Ingenieur, 188?), Баумейстера (Baumeister, Stadtische Strassemvosen und Stadtereinigung), Гюртена (Hiirten, Kurventafeln zur Bestimmung dor Leistungsfahigkcit unter Druck iiegender Bauwerke in Ent-wSsserungs und Bowassorungsgriibens), Колиньопа (Collignon, Cours de mecanique, I f, Hydraulique), д Обрива и Бильрю (d’Aubrive et Villerupt, I.’album des abaques pour le calcul des conduites d’eau), Коффина (Coffin, The graphical solution of hydraulic problems), Э. и Г. Тэйлоръ (E. B. and G. M. Taylor’s Diagrams of the discharge of pipes in accordance with Kutter’s formula), П. Ф. Горбачева (П. Ф. Горбачевъ, О расчетѣ скоростей теченія и отводосгюсобности въ водопроводахъ и водостокахъ).

Примѣромъ- діаграммъ изоплетпыхъ кривыхъ могутъ служить діаграммы для расчета водопроводныхъ трубъ д’Обрива и Вильрю. Эти діаграммы, въ числѣ пяти, для расходовъ отъ О до 20000 литровъ въ секунду и для діаметровъ трубъ до 8,00 литра, построены на основаніи логарпфмической формулы Леви-Валло ■)

( Q У'»

» = 0,324 (^=) , (0)

гдѣ D — діаметръ трубы,

Q — расходъ,

і — гидравлическій уклонъ. *)

*) Подробности объ этой формулѣ въ моей' работѣ „Формулы логарифмпческаго вида для расчета водопроводовъ" (Журналъ Обіц. Сибирск. Инженеровъ, 1910).

Полагая

получаемъ

Чтобы найти вы

ь II * —^ (Ю)

п - 0,424 ф‘1‘. (»')

Я_( D у/., / ‘ \ 0,324/ ' (0")

раженіе скоростей ѵ, замѣтимъ, что

і Q (іі)

и, вводя вмѣсто D его выраящніе черезъ Q и /, получимъ

откуда уравненіе

ѵ

4 Q'U/'I* (0,324)2 - *

Qi3 =

(0,32 4)я т:4 25(5

г>4.

(12)

(13)

Нозьмемъ оси прямоугольныхъ координатъ 0Q и 0.1 (черт. (») и будемъ откладывать расходы въ видѣ нормальнаго масштаба по оси 0Q, а уклоны въ видѣ масштаба функціи

/=/7Т (Ю)

Тогда изоплеты расходовъ изобразятся прямыми, параллельными 0J, изоплеты уклоновъ- прямыми 0Q. Изоплеты скоростей будутъ кривыя, которыя могутъ быть построены по точкамъ, на основаніи предшествующаго уравненія. Изоплеты діаметровъ изобразятся въ видѣ радіальныхъ прямыхъ, исходящихъ изъ начала координатъ.

Для полученія, по заданнымъ Q и /, напримѣръ, скорости, нужно найти пересѣченіе соотвѣтственныхъ изоилегь расхода и уклона и взять скорость по изоилетѣ скоростей, проходящей черезъ найденную точку пересѣченія. При этомъ, конечно, въ случаѣ надобности, примѣняется интерполяція.

На черт. 7 изображена діаграмма икоплетныхъ кривыхъ изъ альбома д’Обрива и Вильрю, для расчета водопроводныхъ трубъ. Она включаетъ діаметры отъ 0,45 до 1,25 метра и расходы отъ 100 до 2000 литровъ въ секунду.

Другимъ примѣромъ діаграммъ изоплетныхъ кривыхъ для расчета трубопроводовъ являются извѣстныя діаграммы Баумейстера. Онѣ построены по идвому и тому же принципу для круглыхъ и овоидальпыхъ сѣченій, при различныхъ коэффиціентахъ шероховатости, при чемъ

коэффиціентъ скорости взятъ па основаніи сокращеппой формулы Гангилье-Куттера

1QO ]/ D 0,7 +7 О

(14)

На черт. 8 представлена такая діаграмма для круговыхъ сѣченій при степеняхъ шероховатости, по Гапгилье-Куттеру, IV (чугунныя трубы хорошія; хорошая кирпичная кладка) и VI (засоренныя чугунныя трубы; бутовая кладка).

Для построенія ея отложены скорости ѵ какъ абсциссы, расходы Q какъ ординаты, діаметры D даны наклонными лучами, а паденія і — кривыми, которыхъ меньшая отмѣтка дѣйствительна для степени шероховатости IV, а большая—для степени шероховатости VI. Діаграмма содержитъ, слѣдовательно, четыре величины Q, ѵ, і и D. Помощью ея двѣ изъ послѣднихъ могутъ быть опредѣлены, когда двѣ другія извѣстны.

Въ діаграммахъ для овоидальныхъ сѣченій діаметры D замѣнены высотами Н профиля (черт. !»). Слѣдовательно, по этой діаграммѣ даны расходы ф — ординатами, скорости ѵ — абсциссами, высоты Я — лучами и паденія і....кривыми.

Для выраженія болѣе сложныхъ функцій, встрѣчающихся при гидравлическомъ расчетѣ, примѣняются иногда болѣе или менѣе сложныя комбинаціи діаграммъ изоплетныхъ кривыхъ. Такую комбинацію представляетъ, напримѣръ, діаграмма для графическаго опредѣленія коэффиціента скорости k но полной формулѣ Гангилье-Куттера, приводимая, между прочимъ, ироф. М. М. Череііашинскимъ1).

При построеніи діаграммы изоплетныхъ кривыхъ могутъ быть частные случаи, когда кривыя '/ обращаются въ прямыя. Разсматривая уравненія (7), (7') и (8), мы видимъ, что это бываетъ тогда, когда уравненіе (7) можетъ быть сведено къ виду

у-/ W + у- ? (О + = 0 (15)

*'1 л2

и, въ силу (8)

* f к) + У ? к) + (с) = 0. (15')

Въ томъ болѣе общемъ случаѣ, когда для построенія уравненія (7) оказывается болѣе удобнымъ откладывать но осямъ координатъ не а- и у, а /і (а) и Я (у), такимъ образомъ, что

(8')

х' = >1 /і (у),

X = h /2 (у),

для того, чтобы кривыя к) діаграммы обратились въ прямыя, уравненіе (7) должно имѣть форму

у/’к) + у- ¥ (*) + Ф к) = 0 А1 /.2 Ч

Ч М. М. Черепашинскій. Водоснабженіе, стр. 6—7.

или

/1 (*) f (?) + ft (у) ? (?) -Г •> (?) = 0. (160

Номографическія діаграммы, отличающіяся этимъ свойствомъ, называются діаграммами изоплетныхъ прямыхъ.

Построеніе такихъ діаграммъ, конечно, значительно легче, пеясели діаграммъ съ кривыми линіями.

Отсюда понятно, что па практикѣ болѣе охотно прибѣгаютъ кь употребленію діаграммъ этого типа, если только уравненіе, опредѣляющее соотношеніе между элементами задачи, можетъ быть сведено къ виду (15') или (И)')-

Примѣромъ діаграммы изоплетныхъ прямыхъ могла бы служить діаграмма д’Обрива и Вильрю, изображенная на черт. 7, еслибы ограничиться построеніемъ соотношенія между расходомъ Q, уклономъ і и діаметромъ D. Характеръ діаграммы въ этомъ случаѣ объясняется тѣмъ, что уравненіе, выражающее зависимость между Q, г и D (9) представляетъ частный случай уравненія (15').

Нужно замѣтить, что всякая отдѣльная кривая, построенная въ координатной системѣ (прямоугольной или иной) можетъ быть обращена въ эквивалентную ей по значеніямъ прямую путемъ простого графическаго процесса. Пусть, напримѣръ, имѣемъ кривую ОМР (черт. 10) полученную въ результатѣ построенія по методу Декартовыхъ координатъ, при нормальномъ масштабѣ отложенія перемѣнныхъ. Пусть точки съ отмѣтками л* и у на осяхъ координатъ соотвѣтствуютъ точкѣ М на кривой ОМР. Продолжимъ линію ?/М до пересѣченія съ прямою ОР въ точкѣ М, и изъ этой точки опустимъ перпендикуляръ на ось ОХ до пересѣченія въ точкѣ А. Если мы теперь точкѣ А дадимъ отмѣтку х и продѣлаемъ такую же операцію съ другими точками кривой ОМР, то ясно, что прямая ОР совершенно замѣнитъ кривую ОМР. При этомъ, очевидно, масштабъ отложенія по оси ОУ остается нормальный, а масштабъ отложенія по оси ОХ измѣнитъ свой характеръ. Такая замѣна въ діаграммахъ кривыхъ линій прямыми въ Номографіи носитъ названіе анаморфоза. Этотъ наиболѣе примитивный способъ анаморфоза, въ отличіе отъ другихъ, можно назвать графическимъ. •

Очевидно, однако, что такой анаморфозъ, примѣняемый къ отдѣльной кривой, не можетъ принести существеннаго облегченія въ пользованіи діаграммами. Несравненно важнѣе способы, дающіе возможность замѣнить всѣ кривыя линіи цѣлой діаграммы прямыми.

Лаланпъ, Лаллемапъ и позднѣйшіе изслѣдователи показали разными путями, что діаграммы, заключающія кривыя линіи (діаграммы изоплетныхъ кривыхъ) въ извѣстныхъ случаяхъ, біагодаря нѣкоторымъ предварительнымъ операціямъ, могутъ быть искусственно замѣнены діаграммами, состоящими исключительно изъ прямыхъ линій,

параллельныхъ или непараллельныхъ между собою, т. е. діаграммами изоплетныхъ прямыхъ

Дѣло сводится при этомъ къ преобразованію уравненій, подлежащихъ графическому изображенію, тѣмъ или другимъ способомъ въ видъ (15') или (16'), чему сопутствуетъ обыкновенно измѣненіе масштабовъ функцій по осямъ координатъ; иногда приходится прибѣгать къ введепію новой системы координатъ или спеціальнаго третьяго масштаба функцій (гексагональныя діаграммы Лаллемапа). Такіе способы преобразованія Лаланнъ назвалъ геометрическимъ анаморфозомъ. Въ тѣхъ случаяхъ, когда при преобразованіи уравненій приходится прибѣгать къ логарифмированію (что опредѣленно отражается на характерѣ получаемыхъ діаграммъ нзоплетныхъ прямыхъ, которыя тогда получаютъ названіе логарифмо-графнческихъ таблицъ), анаморфозъ называется лоіарифмическимъ.

Къ числу уравненій, которыя представляютъ частпые случаи типа (10'), относятся уравненія

Л (*)+/«№+/» (О = <>. (17)

которыя весьма часто встрѣчаются въ практикѣ.

Въ этомъ случаѣ, примѣняя прежній способъ нанесенія координатъ, имѣемъ

х' = /•! /2 (X),

у' = >1 h (у),

на оси (16)

откуда получается уравненіе кривыхт> (^)

J-+-f = О»)

/•1 л2

Уравненія такого вида даютъ діаграмму изоплетныхъ прямыхъ, параллельныхъ между собою.

Другая форма уравненій, очень употребительная въ практикѣ и представляющая частный случай типа (16'), слѣдующая:

fi (х) • ft (у) - ft (О- (20)

Уравненія этого типа, будучи построены непосредственно, даютъ діаграммы изоплетныхъ прямыхъ въ видѣ ряда радіантъ, исходящихъ изъ начала координатъ, что мы и видѣли на частномъ примѣрѣ.

Но кромѣ того уравненія тина (20) могутъ быть приведены къ предшествующему виду путемъ догарифмированія обѣихъ частей:

Ig h о>О + Ig ft (.у) = ig /з СО- (21)

Въ такомъ видѣ уравненіе можетъ быть представлено графически въ видѣ діаграммы параллельныхъ прямыхъ (па логарифмической сѣткѣ). Полученнымъ такимъ образомъ діаграммамъ изоплетныхъ прямыхъ, въ силу логарифмическаго характера преобразованія и нанесенія, присвоено въ практикѣ, какъ мы уже упоминали, названіе лога-рифмо-ірафическихъ таблицъ.

•Этотъ простой и удобный способъ преобразованія имѣетъ очень важное значеніе. Опъ принадлежитъ извѣстному французскому инженеру Лалаппу, который но праву считается основателемъ Номографіи, какъ науки.

Дѣло въ томъ, что долгое время принципъ изоплетныхъ линій и основанный на немъ графическій способъ расчета не находилъ широкаго примѣненія. Развитіе въ 40-хъ годахъ XIX столѣтія сѣти желѣзныхъ дорогъ во Франціи поставило на очередь задачу о быстромъ подсчетѣ большихъ количествъ земляныхъ работъ. Для рѣшенія этой задачи у инженеровъ Лаланпа (Leon-Louis-Cbretion Lalanne, 1811 — 1892) и Девена (Devalue) явилась мысль примѣнить графическіе методы. Этому обстоятельству мы обязаны тѣмъ, что Лаланнъ систематизировалъ и развилъ способы графическаго расчета и между прочимъ открылъ (въ 1843 г.) замѣчательный принципъ логарифмическаго анаморфоза. Открытіе Лаланпа было опубликовано въ видѣ мемуара въ Ann ales des Pouts et Cliauss6os за 1846 годъ подъ заглавіемъ Memoire snr ies tables grapbiques et snr la gfiomotrio anamorpliose appliqueo diversos questions qui so rattacbcnt a 1'art do I’ingiMiieur. Этотъ принципъ легъ въ основаніе способа расчета при посредствѣ логарифмографиче-скихъ таблицъ. Самый способъ нерѣдко называется также способомъ Лаланпа, а логарифмо-графнческія таблицы-діаграммами Лаланпа.

Указаппое произведеніе легло въ основу дальнѣйшаго развитія Номографіи и само но себѣ дало почву для цѣлаго ряда приложеній къ техническому расчету. Самъ Лаланнъ былъ крайне заинтересованъ практическимъ приложеніемъ своей теоріи и разработалъ нѣсколько руководствъ къ графическому расчету (Tables nouvelies pour abreger divers calculs, Tables grapbiques a lTisagc des cliemins do fer, Description et usage do 1'abaque ou compteur universe!, Instruction sur Ies regies do calcul и др.; онъ же изобрѣлъ особое приспособленіе для механическаго производства вычисленій— balance а calcul, balance aIg6briquo).

Графическому представленію въ формѣ» логарифмографнческихъ таблицъ подчиняются формулы гидравлическаго (какъ и всякаго другого) расчета, имѣющія логарифмнческую форму, т. е. такія, въ которыхъ перемѣнныя или ихъ функціи входятъ исключительно въ формѣ произведеній или степеней. Другими словами, этимъ свойствомъ обладаютъ уравненія, которыя могутъ быть приведены къ виду

)\ (*) • h (у) =У.ч (<)• (2())

Не трудно видѣ»ть, что эго уравненіе является частной формой уравненія (Hi')1) и потому, безъ всякаго дальнѣйшаго преобразованія, можетъ быть представлено въ видѣ діаграммы изоплетныхъ прямыхъ.

*) Въ самомъ дѣлѣ, уравненіе (20) можетъ быть переписано въ видѣ

/і (х) •h (у) — Л" • As (?) + 0. у = О,

что вполнѣ соотвѣтствуетъ (16’).

ДЬйствительно, будемъ откладывать А (х) и /3 (%) въ видѣ масштабовъ функцій по осямъ прямоугольныхъ координатъ ОХ и OZ, при модуляхъ масштаба А и Х3, на основаніи равенствъ

= А А (у),

\ = '■» h 00-

(22)

Внося значепія А ОО и /3(^) въ уравпеніе (20), получимъ уравненіе

\

*з,

fx2 (?/).

(23)

Такое уравненіе опредѣляетъ рядъ прямыхъ, измѣняющихъ свое положеніе въ зависимости отъ измѣненія значенія у.

Легко видѣть, что всѣ эти прямыя исходятъ изъ пачала координатъ. Такія прямыя, замѣтимъ, называются въ Номографіи радіантами.

Такимъ образомъ мы видимъ, что уравненія вида (20) могутъ быть представлены графически непосредственно въ видѣ діаграммъ изо-плетныхъ прямыхъ. Въ этихъ діаграммахъ будетъ три системы прямыхъ, при чемъ прямыя одной системы будутъ параллельпы оси абсциссъ, прямыя второй системы параллельны оси орднпатъ, а прямыя третьей степени будутъ исходить изъ начала коордипатъ въ видѣ радіантъ.

Уравненія тина

(20)

могутъ быть также представлены въ видѣ діаграммы изоплетныхъ прямыхъ, параллельныхъ между собою. Это достигается приведеніемъ уравненія (20) къ виду (17) путемъ логарифмироваиія обѣихъ частей его. Тогда получается

IgA W flgA(y) = IgAk). (21)

Такое уравненіе можетъ быть представлено графически въ видѣ діаграммы параллельныхъ прямыхъ, расположенныхъ на прямоугольной сѣти координатъ. Отличіе такой діаграммы отъ діаграммы изоплетныхъ прямыхъ уравненій вида

.А (*) -КА (у) + А 00=0 (17)

будетъ состоять въ томъ, что точки градуаціи осей координатъ, имѣющія равномѣрно возрастающія отмѣтки, будутъ находиться на разстояніяхъ не равныхъ, а измѣняющихся по логарифмическому закону. Благодаря этому и координаты, проходящія черезъ точки градуаціи, будутъ представлять неправильную сѣть, вполнѣ характерную, которая и называется логарифмической сѣтью. *) Такая діаграмма и носитъ названіе логарифмографической таблицы.

*) Во Франціи находится нъ продажѣ особая бумага съ нанесенной сѣтью лога-рнфѵнческііхъ дѣленій. При употребленіи такой бумаги ностроеніе діаграммъ логариѳмическаго типа производится такъ же удобно, какъ нанесеніе обычныхъ прямолинейныхъ діаграммъ на обыкновенной клѣтчатой бумаги.

Чтобы представить уравненіе (21) графически въ видѣ такой таблицы, отложимъ по осямъ координатъ ОХ и OY (черт. 11) lg /і (х) и lg /2 (у) въ видѣ масштабовъ функцій, при модуляхъ масштабовъ Xj и Х2. Проводя черевъ точки градуаціи осей координатъ рядъ линій, перпендикулярныхъ этимъ осямъ, мы видимъ, что линіи _L ОХ будутъ представлять геометрическія мѣста точекъ, соотвѣтствующихъ различнымъ значеніямъ lg /1 (х), а линіи J_ OY будутъ подобпымъ же образомъ изображать различныя значенія lg /2 (у). Эти линіи будутъ прямолинейными изоплетами х и у. При этомъ будутъ имѣть мѣсто равенства

х' = h lg/1 (*), лдх

у'1 = J'2 lg /2 (?/)•

Опредѣливъ изъ нихъ выраженія lg /1 (х) и lg /2 (у) н внося въ уравненіе (21), мы получаемъ новое уравненіе

тг + h = /а Сй-

(25)

Придавая ^ рядъ постоянныхъ значепій, мы можемъ, па основаніи этого уравненія, построить рядъ линій, которыя будутъ изоплетами величины Не трудно видѣть, что это будетъ рядъ прямыхъ, параллельныхъ между собою. Угловой коэффиціентъ этихъ прямыхъ

/-1

постояненъ и равенъ —.

Для построенія изоплетъ величины ^ нужно опредѣлить прежде всего направленіе ихъ. Это направленіе получается, если соедипнть точку оси ОХ, означенную отмѣткой >.j, съ точкой оси OY, имѣющей отмѣтку Х2. Послѣ этого достаточно опредѣлить для каждой изопле-ты одну точку. Можно взять для этой цѣли точки встрѣчи ихъ съ осью ОХ, опредѣляемыя равенствомъ

*' = — ?Ч lg *3 (О-

(26)

Можно также находить, что еще удобнѣе, точки встрѣчи этихъ изоплетъ съ линіей, перпендикулярной ихъ направленію и проходящей черезъ начало координатъ. Уравненіе такой линіи

/>і xf = Х2 у'. (27)

Если мы обозначимъ черезъ ^ отрѣзки, считаемые по этой прямой, начиная отъ пачала координатъ О, не трудно видѣть, что такой отрѣзокъ для изоилеты представляющій не что иное, какъ разстояніе ея отъ начала координатъ, опредѣляется равенствомъ

*1 >-2 lg33.(*u)

]/ Xj2 -|- >,22

Эго значитъ, что если мы по линіи OZ, опредѣленной, какъ показано выше, будемъ откладывать величины Ig /3 (%) въ видѣ масштаба функціи, при модулѣ, получаемомъ изъ ранѣе взятыхъ нами Лі и /.2 на основаніи равенства

X* =

Хі Хо

j/xr^-f-Xe3

Г 29)

и черезъ получаемыя точки будемъ проводить прямыя _|_ OZ, то мы и получимъ соотвѣтственныя изоплеты величины

Такимъ образомъ въ концЬ концовъ построеніе логарифмо-графи-ческой таблицы для уравненія (20) сводится къ нанесенію Ig /і (х), fc (у). Ig h въ видѣ масштабовъ функцій но осямъ ОХ, ОУ и OZ, при модуляхъ X], Х2 и Х3, удовлетворяющихъ равенству (29), и къ проведенію черезъ точки градуаціи перпендикуляровъ, которые и будутъ прямолинейными изоплетами перемѣнныхъ х, j и

Какъ простѣйшій примѣръ логарифмографнческой таблицы, мы можемъ указать на приложеніе даннаго метода къ умноженію чиселъ, данное самимъ изобрѣтателемъ метода Лалапномъ.

Пусть мы желаемъ представить графически уравненіе

* х ij = (30)

Логармфмируя обѣ части, получаемъ

Положимъ

lg X 4- Ig у — Ig ^

х' = X Ig х,

£/' = X Ig у.

(31)

(32)

Тогда для пзоплетъ г получается уравненіе

хГ #/

X + X — *8*»

х* у' = х ig

(33)

Логарифмографическая таблица, представляющая это уравненіе, изображено на черг. 12.

Лигарнфмографическія таблицы (или діаграммы Лалакна) для расчета трубопроводовъ употребляются преимущественно и съ наибольшимъ удобствомъ для графическаго представленія формулъ гидравлическаго расчета, имѣющихъ лоі арифмическій видъ, но есть примѣры примѣненія ихъ и къ формуламъ не логарифмическаго вида. Къ данному типу графическихъ таблицъ относятся діаграммы Тима (TJiiem, L'eber graphischo Durclimesserbestimmung bei Wasscrleitung, «Journ. fiir Gasbeleuclit. u. Wasservovsorg., 1885), франка (Frank, Die Formeln iiber die Bewegung’des Wassers in Roliren, Civiliiig., 1881; Frank, llerc-clinung der Kanalo nnd Ilolirleitnngcn), Фромма (Fromm, Diagramm

fiir -'Trager, Schiilzen, sladlische Enlviisseruiigskanale;, Фанъ-Мейдепа (van-Muydeu, „Abaque logarithmique pour le calcul des conduites d’eau sous pression), В. А. Саткевича (Расчетъ водопроводной сѣти трубъ при помощи логарифмографпческой таблицы, Строитель 18У8), М. С. Ясюковича (Расчетъ водостоковъ съ помощью логарифмографнче-скихъ таблицъ).

Въ видѣ примѣра на черт. 13 воспроизведена логарифмографн-ческая таблица фонъ-Мейдепа для расчета водопроводпыхъ трубъ, изданная въ Швейцаріи. Таблица эта, иовидимому, пользуются нѣкоторымъ распространеніемъ, такъ какъ выдержала уже пять изданій. Въ первыхъ двухъ изданіяхъ авторъ клалъ въ основу разработки формулу Дарси. Но затѣмъ онъ отказался отъ этой формулы и построилъ новую таблицу на основаніи формулы М. Леви, которую онъ считаетъ болѣе подходящей, въ особенности для большихъ діаметровъ Таблица составлена для трубъ, бывшихъ въ употребленіи п покрытыхъ внутри осадками.

Формула М. Леви въ основной формѣ имѣетъ видъ

=Ri (а-b і/Т), (34;

гдѣ ѵ — скорость движенія воды,

R— радіусъ трубы, п, а, Ь— коэффиціенты.

ГІослѣдпіе имѣютъ разное значеніе для новыхъ и старыхъ трубъ. Для даннаго случая

и = 20,5, а = 1,

Ь -- 3.

Въ видахъ удобства построенія авторъ подвергнулъ формулу М. Леви искусственному преобразованію и привелъ ее къ логарифми-ческому виду

Q — k ]/D4, (35)

гдѣ Q—расходъ.

Взявъ ее въ послѣднемъ видѣ и логарифмируя, получаемъ

lg Q = Jg k 2,5 Jg D -j- 0,5 Ig i. (36)

Полагая

X=:]g£ + 2,5 Ig D,

У = 0,5 Ig /,

получаемъ уравненіе

x '~\~ У — Ъ (3?)

которое легко строится въ видѣ логарифмической таблицы, какъ указано выше. ,

■

\

уклоновъ и расходовъ. Подобнымъ же образомъ получается уравненіе и изоплеты для скоростей.

На логарифмической таблицѣ фапъ-Мейдепа (черт. 13) по оси абсциссъ напесепа градуація діаметровъ (отъ О,On до 3,00 метр.), по оси ординатъ градуація гидравлическихъ уклоновъ (отъ 1 до 1000 мм. па 1 пог. метръ). Линіи, проведенныя черезъ точки градуаціи перпендикулярно къ осямъ координатъ, представляютъ изоплетпыя прямыя діаметровъ и уклоновъ. Изоплеты расходовъ (отъ 1 до 100 литр. въ сек.) и скоростей (отъ 0,25 до 5,00 метр.) представляются двумя системами прямыхъ, пересѣкающихъ оси координатъ и параллель-пыхъ между собою.

Такимъ образомъ таблица представляетъ изоплетпыя прямыя четырехъ величипт>, связаипыхъ между собою уравненіями движенія волы. Если извѣстпы любыя двѣ изъ этихъ величинъ, то другія двѣ могутъ быть опредѣлены посредствомъ чтенія на таблицѣ. Для этого достаточно найти точку пересѣченія двухъ изоплстпыхъ прямыхъ, соотвѣтствующихъ заданнымъ величинамъ. Тогда проходящія черезъ найденную точку изоплеты искомыхъ величинъ своими отмѣтками опредѣляютъ зпачепія послѣднихъ, соотвѣтствующія заданнымъ. Если изоплеты искомыхъ величинъ не проходятъ непосредственно черезъ пайдепную точку, то приходится произвести интерполяцію или Припять значенія ближайшихъ изоплетъ, въ зависимости отъ характера задачи.

Среди другихъ логарифмографическихъ таблицъ для насъ заслу-служиваютъ особаго впимапія таблицы, составленныя русскими ’ спеціалистами В. А. Саткевичемъ и М. С. Яслоковичемъ, обѣ па основаніи формулы Лампс.1)

Съ переходомъ отъ изоплетпнхъ кривыхъ къ нзонлетпымъ прямымъ, способъ употребленія діаграммъ нисколько не мѣпяется. Способъ этотъ, однако, пе лишепъ нѣкоторыхъ неудобствъ, которыя сводятся, главпымъ образомъ къ тому, что для полученія отсчетовъ приходится слѣдить глазами но линіямъ и интерполировать между ними, что утомительпо и недостаточно гарантируетъ отъ .ошибокъ.

Номографія даетъ возможность графическаго представленія уравненій расчета при посредствѣ діаграммъ иного рода, гдѣ въ качествѣ элементовъ съ числовыми отмѣтками употребляются исключительно точки. Такими являются особыя діаграммы, которыя мы называемъ діаграммами сопряженныхъ масштабовъ.

отъ друга и по принципамъ, положеннымъ въ ихъ основапіе, и по способу построенія и пользованія. Первый изъ этихъ типовъ, къ разъясненію котораго мы сейчасъ переходимъ, представляетъ только приложеніе номографическаго принципа масштабовъ функцій, второй, о которомъ будемъ говорить далѣе—имѣетъ въ осповѣ, помимо упомянутаго, еще другой принципъ, именно принципъ точекъ прямолинейнаго пересѣченія.

Номографическій принципъ масштабовъ фупкцій, былъ разъяспенъ пами выше. Изъ различныхъ масштабовъ, которые получаются въ результатѣ построенія функцій, наиболѣе важное значеніе имѣетъ ло-гарифмическій масштабъ. Если въ равенствахъ (4) примемъ

f (*) = Ig * (Щ

и примѣнимъ къ этому случаю указанные выше методы построенія, тсгла получается логарифмическій масштабъ функціи.

Образцомъ его могутъ служить дѣленія счетной логарифмпческой липейки. Такой масштабъ примѣняется для построенія всѣхъ ло-гарифмическихъ діаграммъ, въ томъ числѣ и діаграммъ сопряженныхъ масштабовъ.

По поводу этого логарифмическаго масштаба нужпо замѣтить, что, если продолжить его далѣе 10, то въ промежуткѣ отъ 10 до 100 онъ будетъ имѣть ту же длину и тѣ же дѣленія, какъ отъ 0 до 10, причемъ дѣленія будутъ соотвѣтствовать величинамъ въ 10 разъ большимъ. То же самое было бы огь 100 до 1000, только съ отмѣтками еще въ 10 разъ большими и т. д. Изъ этого слѣдуетъ, во первыхъ, что на логарифмическомъ масштабѣ, построенномъ въ предѣлахъ отъ О до 10, едипицы могутъ относиться къ какому угодпо десятичпому порядку; во вторыхъ, что степепь относительной точпости отсчета въ примѣненіи къ любому порядку остается постоянной.

Первое ясно само собою. А то, что относительная точпость (или процентъ точпости) расчета при употребленіи логарифмическаго масштаба вездѣ одинакова, видно изъ слѣдующаго разсуждепія. Въ любомъ мѣстѣ масштаба наибольшая величина ошибки при отсчетѣ глазомъ, вообще говоря, по длинѣ оцпа и та же. Эта величипа представляетъ разность двухъ логарнфмовъ нѣкоторыхъ значеній, между которыми заключается истиппое значеніе. Такимъ образомъ, называя крайпія значенія черезъ Хп и Хп+Ь мы можемъ сказать, что

Ig *n+i — Ig а-п = const. (39)

Но Ig хп+і — Ig хп = Ig

Ап

откуда

т *п+і ,

Ig---— = const.

АП

*Н+1

All

= const.

А||-| 1 —All А'ІІ

= const.

(40)

Такимъ образомъ, если, читая по логарифмическоыу масштабу, мы придадимъ его числовымъ отмѣткамъ значенія въ Ю разъ большія, то увеличатся также въ М разъ числовыя значенія предѣловъ ошибки, а относительная величина ошибки и процентъ точности вычисленія остаются одни и тѣ же.

Теорія построенія діаграммъ сопряженныхъ масштабовъ по методу масштабовъ функцій очень проста. Пусть мы имѣемъ расчетную формулу въ формѣ уравненія логарифмическаго вида

А О) h (у) = /з СО-

(41)

Логарифмпруя обѣ части этого уравненія, получаемъ

lg f\ (*) + lg f-г (у) = lg /з (?)■ (410

Отложимъ функціи lg /і (а) и lg ■/■> (у) въ видѣ двухъ отдѣльныхъ масштабовъ функцій (черт. 14) при одномъ и томъ же модулѣ масштаба I, на основаніи равенствъ

х' = X lg /| (а),

у' = lg h (у)-

Выражая функціи lg /\ (а) и lg /2 {у) на основаніи этихъ равенствъ и внося въ уравненіе (41'), получаемъ новое уравненіе

или

V~J(-= '8 /> Ю

Ау + у' = I lg /з (О-

(42)

Послѣднее уравненіе показываетъ, что, если мы функцію lg /3 (^) построимъ въ видѣ третьяго масштаба фупкцій при томъ же модулѣ I, то опредѣленіе каждаго частнаго значенія величины ^0, по заданнымъ а0 и у0, можетъ быть сдѣлано такимъ образомъ. Нужпо взять но масштабу функціи а отрѣзокъ отъ начала масштаба до отмѣтки а0 и прибавить къ нему длину, соотвѣтствующую г/0 по масштабу у. Откладывая сумму этихъ длинъ по масштабу ^ отъ пачала его. мы получимъ отмѣтку, опредѣляющую соотвѣтственное значеніе ф.

Изъ предшествующаго ясно, что представленіе формулъ расчета при посредствѣ діаграммъ сопряженныхъ масштабовъ, которыя мы будемъ называть для краткости діаграммами Венера, примѣнимъ только къ такимъ формуламъ, которыя представляютъ уравненія логарифмическаго вида или въ отношеніи самихъ перемѣнныхъ, или, но крайней мѣрѣ, въ отношеніи нѣкоторыхъ функцій ихъ, отъ которыхъ возможенъ простой и удобный переходъ къ самимъ перемѣннымъ.

Излагаемый способъ графическаго изображенія формулъ гидравлическаго расчета былъ предложенъ Г. Венеромъ въ статьѣ Kin

Ingonieur, 1807), причемъ діаграмма была составлена для формулы Лампе въ метрическихъ мѣрахъ. Въ томъ же 1807 году проф. Н. К. Чижовъ примѣнилъ этотъ способъ къ той же формулѣ Лампе, но въ зависимости отъ условій русской жизни, составилъ свою діаграмму для измѣреній въ футахъ. Послѣдняя діаграмма появилась въ статьѣ подъ заглавіемъ „Механическій способъ вычисленія потери напора". (Строитель, 1807).

Въ видѣ образца діаграммъ этого рода мы прилагаемъ (черт. 15) діаграмму Н. К. Чижова.

Способъ построенія діаграммы состоить въ слѣдующемъ. Формула Лампе ') примѣняется въ практикѣ въ видѣ

Для коеффиціепта шероховатости п проф. Н. К. Чипсовъ, припи-н и маетъ слѣдующія значенія:

н, —0,0000675— для совершепно новыхъ асфальтированныхъ чугунныхъ трубъ, проводящихъ чистую воду;

п-2 =0,00009—0,00001 —для чугунныхъ трубъ, покрытыхъ осадками, (это значеніе особенно подходитъ для расчета городскихъ водопроводовъ);

«3 = 0,000095— для водосточныхъ трубъ.

Логарйфмируя эту формулу, получаемъ

На произвольной прямой (см. нижній масштабъ діаграммы і—п, черт. 15) нанесемъ !g і и lg п въ видѣ масштабовъ функцій, т. е. отложимъ въ произвольномъ масштабѣ дѣленія, пропорціональныя lg і и lg и, и надъ дѣленіями надпишемъ соотвѣтственныя, величины і и и. 11а другой произвольной прямой нанесемъ подобнымъ же образомъ (см. верхній масштабъ діаграммы, р и ѵ) съ одной стороны 1,8 lg ѵ, съ другой стороны 1,25 lg р. При этомъ модуль масштаба для данныхъ функцій долженъ быть тотъ же, что и для масштаба lg і и lg п. Абсолютныя же длины новыхъ двухъ масштабовъ между одинаковыми дѣленіями будутъ разныя, именно въ 1,8 и 1,25 раза больше соотвѣтственныхъ длинъ на масштабѣ lg і и lg п.

1) Подробности объ этой формулѣ въ моей работѣ, цитированной выше.

(43)

гдѣ

і —гидравлическій уклопъ, р —гидравлическій радіусъ сѣченія, ѵ—скорость,

п—коеффиціептъ шероховатости.

lg і — lg п ■— 1,8 lg ѵ — 1,25 lg р.

(44)

Отложеніе нужно пачипать отъ общей точки, обозначенной числовой отмѣткой 1,0 какъ для ѵ, такъ и для р. Это явствуетъ изъ слѣдующаго соображенія. Для случая, когда

Ig — lg н0 = 0, (45)

уравненіе (44) обращается въ

1,8 lg ѵ0— 1,25 lg р„ = 0. (46)

Если въ то же время

Р = 1>0>

то 1,8 lg ѵ0 = О,

ѵ0 = 1,0.

Надписавъ у дѣленій соотвѣтственныя величины р и ѵ, мы получимъ двойной логарпфмическій масштабъ гидравлическихъ радіусовъ и скоростей.

Двухъ построенныхъ масштабовъ достаточно для опредѣленія любой изъ величинъ і, ѵ и р, входящихъ въ формулу Ламие (43), если двѣ изъ нихъ заданы. Но, чтобы ввести въ расчетъ также величину расхода Q, на діаграммѣ построены еще логарифмическіе масштабы расходовъ (въ куб. футахъ) для 20 различныхъ діаметровъ, начиная съ 2" до 30". Масштабы эти строятся на линіяхъ, параллельныхъ масштабу скоростей и притомъ такимъ образомъ, чтобы дѣленія масштабовъ расхода, соотвѣтствующія одной и той же скорости при разныхъ діаметрахъ, находились на одной вертикальной линіи съ дѣленіемъ, обозначающимъ эту скорость. Модуль масштаба, удовлетворяющаго такому условію, опредѣляется на основаніи соотношенія

h (lg

- Da

— -Ig“- 0=1.» Ug»o.

(47)

гдѣ X—модуль масштаба lg і и п,

Х0—модуль масштаба соотвѣтственнаго расхода Q.

Отсюда

Іо =і,8Х. (47')

Это значитъ, что промежутки между одпозпачными дѣленіями на масштабѣ расходовъ будутъ такіе же, что и на масштабѣ скоростей.

Нужно замѣтить, что масштабы расходовъ для разныхъ діаметровъ заканчиваются слѣва въ точкахъ (обозначенныхъ на діаграммѣ кружками), которыя находятся па одной вертикали съ дѣленіями, отмѣчающими на масштабѣ р величину гидравлическихъ радіусовъ при данныхъ діаметрахъ. Значеніе этого обстоятельства будетъ ясно при описаніи употребленія діаграммы.

Для того, чтобы опредѣлить при данномъ коеффиціентѣ шерехо-ватости п по заданнымъ, напримѣръ, величинамъ гидравлическаго уклона и гидравлическаго радіуса (или діаметра) скорость, нужно

взять циркулемъ на масштабѣ і-*-п разстояніе между дѣленіями, соотвѣтствующими заданнымъ і и и. Такимъ образомъ мы получаемъ длину, отвѣчающую Jg /— lg и. Отложимъ затѣмъ полученную длину но верхнему соединенному масштабу отъ дѣленія, обозначающаго заданное р. Тогда другой конецъ циркуля укажетъ намъ дѣлеиіе, отвѣчающее искомой скорости ѵ.

Совершенно такимъ же образомъ но даннымъ уклону и скорости можетъ быть опредѣленъ гидравлическій радіусъ сѣченія. Опредѣленіе необходимаго уклона по заданнымъ гидравлическому радіусу (или діаметру) и скорости производится аналогичнымъ образомъ, только въ обратномъ порядкѣ.

Когда но извѣстнымъ діаметру и гидравлическому уклону (при опредѣленномъ коэффиціентѣ шероховатости) требуется найти расходъ, то можно было бы _сперва опредѣлить скорость и затѣмъ перейти къ расходу. Но операція упрощается тѣмъ, что начала масштаба расходовъ для разныхъ діаметровъ находятся на одной вертикали съ отмѣтками соотвѣтственныхъ гидравлическихъ радіусовъ. Поэтому удобнѣе, взявъ циркулемъ на масштабѣ і — « разстояніе между соотвѣтственными дѣленіями, отложить его отъ начала масштаба расходовъ даннаго діаметра. Тогда другой конецъ циркуля укаяіетъ намъ прямо искомый расходъ.

Опредѣленіе уклона по извѣстнымъ діаметру и расходу дѣлается такъ же просто въ обратномъ порядкѣ. Опредѣленіе діаметра но заданнымъ расходу и гидравлическому уклону производится посредствомъ послѣдовательныхъ пробъ.

Большое удобство діаграммы И. К. Чижова состоитъ въ томъ, что она допускаетъ пользоваться любымъ коеффиціентомъ шероховатости.

Всматриваясь въ способъ пользованія діаграммой типа Венера или

Н. К. Чижова, не трудно видѣть, что дѣло сводится къ операціямъ въ отношеніи логарифмическнхъ масштабовъ, вычерченныхъ на бумагѣ, подобнымъ тѣмъ, которыя примѣняются при пользованіи общеизвѣстными счетными логарифмическими линейками. Нужно сказать, что примѣненіе принципа логарифмической линейки къ гидравлическому расчету въ самой конкретной формѣ явилось значительно ранѣе. Подобныя логарифмическія линейки съ дѣленіями, нанесенными на двухъ неподвижныхъ масштабахъ и на подвижной средней части, изготовляются въ Англіи.

Другой типъ діаграммъ сопряженныхъ масштабовъ, типъ, осно-вапный на принципѣ точекъ прямолинейнаго пересѣченія, принадлежитъ д’Оканю, (именемъ котораго мы и будемъ для краткости называть такія діаграммы). Онъ именно обратилъ вниманіе на пѣкоторыя неудобства діаграммъ изоплетныхъ кривыхъ и прямыхъ и нашелъ, что является болѣе желательнымъ употреблять въ качествѣ элементовъ съ числовыми отмѣтками, для графическаго представленія урав-

пепій, по возможности, только точки. Опъ предложилъ и методъ, который даетъ возможность достигнуть этой цѣли въ отпошепіи нѣкоторыхъ уравненій, имепио методъ точекъ прямолинейнаго пересѣченія.

Нужпо сказать попутпо, что д’Окашо (Maurice d’Ocagne, профессоръ Парижской Ecole des Fonts ct Chaussees) припадлежитт, особая заслуга въ дѣлѣ продолженія идейной работы Лалаппа и развитія Номографіи. Опъ посвятилъ цѣлый рядъ работъ вопросу о графическомъ представленіи уравненій и въ 1884 году опубликовалъ пайденный имъ въ этой области повый общій принципъ, къ которому онъ пришелъ путемъ преобразованія діаграммт, Лаланпа и который положепъ въ ос-пову метода точекъ прямолинейнаго пересѣченія (mSthode des points alignSs).

Основы этого метода были изложены впервые въ мемуарѣ д'Оканя FrocSdS попѵеап de calcut graphiqnc (Annales des Fonts etChanssfies 1884). Затѣмъ тотъ же вопросъ былъ подвергнутъ болѣе широкой разработкѣ въ послѣдующей статьѣ д’Окапя. появившейся въ 1890 г., MSthode do calci.il graphiqnc fondSo sur hcmploi des coordonnces paralleles (Genic civil, 1890) и накопецъ получилъ полпое развитіе въ его обширныхъ монографіяхъ Nomographic П89і)’ги Traits de Nomographie (1899).

Предложенный д'Оканемъ методъ точекъ прямолинейнаго пересѣченія имѣетъ въ основѣ принципъ геометрическаго дуализма. Принципъ этотъ состоитъ въ томъ, что для каждой системы прямыхъ линій существуетъ такая система точекъ, что тремъ взаимно встрѣчающимся прямымъ первой системы соотвѣтствуетъ во второй три точки, лежащія на одной прямой. Всякое преобразованіе, основанное на этомъ свойствѣ, называется дуалистическимъ.

Предположимъ, что мы примѣнили такое преобразованіе къ діаграммѣ, состоящей изъ трехъ системъ какихъ либо прямыхъ, сохраняя, копечио, при переходѣ отъ одной фигуры къ другой, числовую отмѣтку каждаго элемента. Тогда мы получимъ повую діаграмму (черт. 18), па которой каждой изъ перемѣнныхъ х, у и ^ будетъ соотвѣтствовать система точекъ съ числовыми отмѣтками, расположенныхъ но линіи, въ общемъ случаѣ, кривой. Эти три системы точекъ съ числовыми отмѣтками будутъ представлять криволинейныя масштабы.

Такъ же, какъ па первой діаграммѣ, три прямыя съ числовыми отмѣтками значеній х, у и удовлетворяющихъ уравненію, сходились между собою, такъ здѣсь три соотвѣтствующія точки будутъ лежать па одпой прямой, пересѣкающей всѣ три масштаба. Эта новая діаграмма представляетъ самый общій видъ діаграммы точекъ прямолинейнаго пересіъченія. Отсюда способъ употребленія діаграммы такого рода: прямая, соединяющая точки съ отмѣтками х и у на двухъ криво-линейныхъ масштабахъ, встрѣчаетъ третій масштабъ въ точкѣ съ отмѣткой %.

Въ практикѣ примѣняется, подъ именемъ метода точекъ прямолинейнаго пересѣченія д’Оканя, частный случай выше указанныхъ діа-

граммі), когда криволинейные масштабы функцій, благодаря особенностямъ уравненій, подлежащихъ графическому изображенію, обращаются въ прямыя, параллельныя другъ другу.

Такой случай получается тогда, когда уравненія имѣютъ видъ (17) или (20—21). Иъ этомъ случаѣ діаграмма имѣетъ видъ трехъ (или пѣсколькихъ' масштабовъ функцій, расположенныхъ параллельно другъ другу и находящихся въ такой взаимной связи, что всякая прямая, пересѣкающая эти масштабы, встрѣчаетъ ихъ въ точкахъ съ такими числовыми значеніями перемѣнныхъ, которыя при одновременной подстановкѣ удовлетворяетъ уравпепіе,представляемое діаграммой.

Методу, о которомъ идетъ рѣчь, изобрѣтатель его д’Окапь, первоначально далъ названіе метода изоплетныхъ точекъ (mcthode des points isoplfethcs) по аналогіи съ методомъ изоилетпыхъ прямыхъ Ла-лаппа. Но это названіе было затѣмъ признало авторомъ пеудачпымъ (въ самомъ дѣлѣ, точка не можетъ быть изоплетной, такъ какъ по существу представляетъ одно значеніе), и опъ употреблялъ нѣкоторое время новый терминъ—niethodc dcs points cotf's (методъ точекъ съ числовыми отмѣтками), желая подчеркнуть, что въ его діаграммахъ для отсчета слуяіатъ имеппо точки, спабженпыя числовыми отмѣтками, а не линіи. Одпако тутъ является соображеніе, что можно строить діаграммы, гдѣ также входятъ только точки съ числовыми отмѣтками, но вовсе не обладающія указаннымъ свойствомъ въ отношеніи сѣкущей прямой. Поэтому въ копцѣ концовъ д’Окань остановился на термипѣ—іпбОюгіе dcs points alignes, характеризующемъ относительное положеніе точекъ, читаемыхъ одновременно. Этотъ терминъ мы будемъ переводить выраяіеніемъ—методъ точекъ прямолинейною пересѣченія.

Способъ примѣпепія даннаго метода къ рѣшенію гидравлическихъ задачъ мы называемъ способомъ сопряженныхъ масштабовъ, а служащія для этой цѣли діаграммы—діаграммами сопряженныхъ масштабовъ но типу д’Оканя или просто діаграммами д’Оканя.

Методъ точекъ прямолинейнаго пересѣченія примѣнимъ, какъ было указало, для графическаго изображенія уравненій, имѣющихъ форму

/і (*)+/*(*) = 6 W- О?)

Напомнимъ, что кгь нимъ же сводятся уравненія вида.

Уі (*)- *2 (») = Уз(0. (Щ

путемъ преобразованія въ

Ig Л (*) 4- /2 (?) = lg /3 (х) (21)

Процессъ обращенія уравненія (17) въ форму діаграммы сопряженныхъ масштабовъ можетъ быть доказанъ различными способами. Доказательство, данное д’Оканемъ, ведется при помощи такъ назы-

ваемыхъ параллельныхъ коордипатъ. Ввиду пеобычиости примѣненія эпй своебразной координатной системы,1) мы не будемъ касаться здѣсь этого доказательства, а дадимъ свой болѣе простой выводъ.

Возьмемъ на произвольной прямой (черт. 17) точки А и В и про* ведемъ черезъ нихъ двѣ параллельныхъ липіи АХ и ВУ. Отложимъ на послѣднихъ /j (х) и /2 (у) въ видѣ масштабовъ функцій, при модуляхъ и >-2, на основаніи равенствъ

f\ (х) = у!,

h /2 (*) =

(48)

гдѣ х' и «/--длины соотвѣтственныхъ отрѣзковъ на линіяхъ АХ и ВУ. Замѣняя въ уравненіи (17) f (х) и f2 {у) согласію (48), получаемъ уравненіе

х' , t/__

М ^2

хГ + I =/• «•

(49)

Дадимъ /3 (^) постоянное значепіе /3 (^0)-

Тогда уравненіе (49) обратится въ

w (4!Ѵ)

Пусть это послѣднее удовлетворяется нѣкоторыми величинами х0' и у0', т. е.

-Г- + vf = /. fo>- («О

Л1 л2

Величипы х0 и у0 на чертежѣ 17 опредѣляютъ нѣкоторую прямую Хо’Ѵ Эта прямая, въ зависимости отъ измѣненія значеній хи у, мѣняетъ свое положеніе, вращаясь около постоянной точки, положеніе которой легко опредѣляется.

Въ самомъ дѣлѣ, допустимъ, что уравненіе (49') удовлетворяется другой нарой величинъ х/ и у/, т. е.

х,'

=/> (с).

Л о

(49'")

причемъ опредѣляется другая прямая X, У,. Назовемъ точку пересѣченія прямыхъ Х„ У0 и Хі Уі черезъ Р и опредѣлимъ ея положеніе. Изъ уравненія (49") и (49'") слѣдуетъ, что

хп ■ у</ _ х/ ■ уі'

^1 ^2 ^1 ^2

J- (х°' — *і')=у-(У — уо),

А, Л2

Хр' — Хі' _

у.'-Ѵ - ).2’

(50)

(51)

’) Желающіе познакомиться съ доказательствомъ, даннымъ д’Оканемъ, могутъ найти его въ моей, цитированной выше, работѣ; общія же основанія системы параллельныхъ координатъ изложены въ книгѣ d’Ocagne, Coordonnces parallels ct axialcs.

или по чертежу

Хо X,

Y0Y, V

Проведемъ черезъ точку Р прямую C-Z, параллельную АХ и НУ, до пересѣченія съ АН въ точкѣ С, и прямую QR, параллельную АВ. Треугольники Х0РХ| и У„РУ, подобны между собою. Поэтому

PQ _ ХоХ, _

PR Уу Уі Х2

или, что то же,

АС_____Х|_

СВ Х2*

(52)

(52')

Съ другой сторопы подобіе Д-ковъ X„PQ и У„РІІ даютъ

QX0 PQ Xj НУ0 — PR Xs ’ (Г>3)

Принимая во вниманіе, что QX0 = х0' — СР, Ry0 = СР — уо', (54)

имѣемъ Хо' - СР h СР — уо Х2 ’ (530

откуда ПО *о’ Уо СР= х. + х, • (55)

Но уравненіе (40') можетъ быть представлено въ видѣ

>•2 хо -|- Хі у0' = h h /з (^о)- (40lv)

Отсюда окончательное значеніе для СР получается въ видѣ

h h

СР =

f* to).

(56)

4~ ^2 8

Соотпошепія (52') и (56), при извѣстной длинѣ липіи А В, вполнѣ опредѣляютъ точку Р. Соотношеніе (52') показываетъ, что точка пересѣченія прямыхъ Х0 У о и Хі У] находится па неподвижной оси CZ. Соотношеніе (56) доказываетъ съ другой сторопы, что разстояніе СР точки Р отъ АВ, при постоянномъ зпачепіи /3 to), постоянно, и слѣдовательно точка Р остается также постоянной, что и требовалось доказать.

Положеніе точки Г опредѣляется, если мы проведемъ прямую CZ || АХ и ВУ на такомъ разстояніи между ними, чтобы было удовлетворено отношеніе

AC X,

СВ“ Х2’ (520

и па этой прямой отъ АВ отложимъ длину

ІГ&А» W>

ср =

На осповапіи этого, если нанести соотвѣтственно па АХ, ВУ, CZ /і (*)> fi (у), ft входящія въ уравненіе (17), въ видѣ масштабовъ

функцій, при модуляхъ Х|, Х2 и—Ц-^f- > то полученныя точки бууутъ

Л1 л2

находиться на одной прямой, пересѣкающей всѣ три масштаба. Изъ этого слѣдуетъ, очевидно, что если даны значенія двухъ изъ уиомя-путыхъ функцій, то будетъ достаточно провести прямою, соединяющую соотвѣтственныя точки двухъ масштабовъ, для того чтобы прочесть въ пересѣченіи съ третьимъ масштабомъ значеніе третьей фупкціи.

Теперь скажемъ пѣсколько словъ о практическихъ пріемахъ построенія діаграммы сопряженныхъ масштабовъ. Благодаря свободѣ выбора модулей Xj и Х2 всегда можно взять оба основные масштаба одинаковой длины. Въ случаѣ построенія трехъ сопряженныхъ масштабовъ для уравненія

/. (*) и (у) = /з со т

прежде всего нужно задаться произвольно длиною масштабовъ. Модули Xj и Х2 получаются но обычнымъ правиламъ построенія масштабовъ >) на основаніи формулы

х [f(*n ) — /(*1)] = 4 (57)

гдѣ X — искомая величина модуля, / (дгі) и /(*„) — крайнія значеиія функціи, L — принятая длина масштаба. Модуль Х3, па основаніи (56). опредѣляется по формулѣ

X

з

^2

х, + Х2

(58)

Послѣ этого наносимъ на двухъ параллельныхъ осяхъ масштабъ /і (х), начиная отъ точки А къ .ѵ (черт. 18), и масштабъ /2 (//), отъ В къ у. Такъ какъ наклоненіе линій АХ и BY къ АВ можетъ быть какое угодно, то выбираемъ точки А и В на линіи, перпендикулярной къ направленію АХ и ВУ. Разстояніе масштабовъ АХ и ВУ произвольно. Поэтому мы можемъ выбрать его такимъ образомъ, чтобы наименьшій уголъ, составляемый при чтеніи линейкой или указательной чертой транспаранта2) съ направленіемъ масштабовъ не былъ слиш-

комъ малъ іі имѣлъ желательную иамъ величину (напримѣръ

Теперь проведемъ линію CZ, параллельную двумъ другимъ масштабамъ, такимъ образомъ, чтобы

АС_ Xj_

ВС~ Х2* l

l) P’Ocagnc. Traito ilc Nomographic, р. 3—6.

*) О способахъ чтенія будетъ сказано въ концѣ.

и выбираемъ пару зпачепій перемѣнныхъ х и у, для которыхъ значенія перемѣнной ^ получались бы изъ основного уравненія наиболѣе удобнымъ образомъ Проведя па діаграммѣ соотвѣтственныя линіи и найдя эти послѣднія значенія не трудно построить масштабъ функціи k(x), въ предѣлахъ прямыхъ АН и ХУ.

Токовъ теоретическій типъ діаграммы сопряжеппыхъ масштабовъ. Въ практикѣ можно болѣе или менѣе отступать отъ него. Ясно, напримѣръ, что если вычисленныя зпачепія модулей и л2 не выражаются простыми числами, ихъ приходится округлять, что вводитъ перавепство длины масштабовъ. Съ другой стороны форматъ діаграммы можетъ заставить уменьшить расчитанпый предѣльный уголъ паклопенія индекса транспаранта къ линіямъ масштабовъ. Случается, что на практикѣ предѣльныя зпачепія той или другой перемѣнной относятся только къ части масштаба другой перемѣнной. Тогда масштабъ ft) можетъ быть соотвѣтственно уменьшенъ.

Діаграммы сопряженныхъ масштабовъ, построенныя по методу точекъ прямолинейнаго пересѣченія (діаграммы д’Окапя), примѣняются только къ формуламъ логарифмичсскаго вида. Графическому представленію по этому способу до настоящаго времени подвергались формулы Фламана и Леви-Валло. Для формулы Фламана французскій инженеръ Бертранъ построилъ діаграмму сопряженныхъ масштабовъ въ видѣ системы девяти масштабовъ (Bcclimann. Salubrity ur-baine, II, Assainissemont). Даріэсъ (Darids. Calculdes conduites d’eau) упростилъ эту діаграмму, сведя ее къ обычному типу съ четырьмя масштабами (расходовъ, уклоновъ, діаметровъ и скоростей). Обѣ упомя-'нутыя діаграммы построены для метрическихъ мѣръ. ГІроф. М. М. Чере-пашипскій въ своемъ курсѣ водопроводовъ приводитъ еще діаграмму типа д’Окапя для формулы Фламана, заимствованную изъ американскихъ источниковъ, которая построена для англійскихъ (и русскихъ,) мѣръ. Наконецъ Даріэсомъ (Daries. Application do Іа Nomographie au calcul des conduites d’eau d’apres la formule de M. Levy. Nouv. Ann. do la Constr., 1897), построена діаграмма того же типа для формулы Леви-Валло*

Въ видѣ примѣра мы остановимся па діаграммѣ для формулы Фламана, построенной Даріэсомъ.

Формула нроф. Фламана1) обыкновенно примѣняется въ видѣ

DV1 і = аѵЧ*, - (58)

или

/)5 і‘і = aty. (58')

Для коеффиціента а въ примѣненіи къ трубамъ, слегка покрытымъ осадками, каковы обыкновенно послѣ нѣсколькихъ лѣтъ службы трубы водопроводовъ, Фламапъ даетъ значеніе

а = 0,00092.

Подробности въ моей работѣ „Формулы логарнфмическаго вида для расчета водопроводовъ".

Формула Фламана, въ какомъ бы видѣ она ни Пила взята, представляетъ частный случай уравненія вида

/. (*)■ h (у) - h 00 (20)

и потому можетъ быть представлена въ видѣ діаграммы сопряженныхъ масштабовъ, по методу точекъ прямолинейнаго пересѣченія.

Для представленія этой формулы въ видѣ діаграммы съ масштабами діаметровъ, гидравлическихъ уклоновъ и расходовъ, нужно преобразовать формулу

I) ' /і = а' ѵ~, (»Н')

на основаніи соотношенія

Тогда получается

/>'••) і* = (-j а* Q1,

или, рѣшая относительно У/,

1) ]Т». aw(l |!,} ((»())

V “/ і\_

г»

что, при коеффиціентѣ а для трубъ, бывшихъ въ службѣ, обращается въ

ѵ —

м.

ѵ№

/ А\<

(55))

/>> = 0,251 (00')

I1'1

Примѣняя логарнфмпрованіе кт, (формулѣ ((И»'), получаемъ:

lg^=Hg 0,251ig (<> lg і. (01)

Для представленія этого уравненія вт, видѣ діаграммы, возьмемъ двѣ параллельныя оси Q и .1 (черг. 10), находящіяся на произвольно выбранномъ разстояніи j другъ отъ друга и примемъ первую изъ нихъ за масштабъ расходовъ, а вторую за масштабъ, уклоновъ. Затѣмъ наносимъ соотвѣтственно на каждой изъ ннхь, при помощи ло-гарифмической линейки, масштабы функцій Q и і.

Для выбора модуля отложенія примемъ въ соображеніе слѣдующее. Коли бы мы приняли для обоихъ масштабовъ безъ измѣненія модуль /. логарифмической линейки, то намъ пришлось бы, для отло-

7 4 7 4

женія функцій jy lg Q и £у !g * или множить всѣ lg на п 1}j, или

измѣнять масштабъ логарифмической линейки въ отношеніи ‘t) п

—. Чтобы пе дѣлать этого, удобнѣе принять модули 1 *1

✓ 1» -для масштаба Q — >-і — — л

10

и для масштаба / — = —— л

4

(или кратные ихъ,|въ зависимости отъ размѣровъ діаграммы и взаимнаго расположенія масштабовъ). Тогда намъ придется откладывать но мас

штабамъ О и /, для выраженія функцій *!- Ig Q и f Is і, величины Ig Q

г> I ()

и Ig і въ масштабѣ логарифммческой липейки.

4 7

Такъ какъ функція -гх Ig і имѣетъ отрицательный знакъ, а — Ig Q

It* 1»*

положительный, то увеличеніе числовыхъ значеній дѣленій па масштабахъ Q и .1 должпо пттн въ разныя стороны. Это нужно имѣть въ виду мри выборѣ начальныхъ точекъ, отъ которыхъ откладывать дѣленія. Въ данномъ случаѣ удобнѣе помѣстить примѣрно по срединѣ діаграммы дѣленія 0 и (У, соотвѣтствующія пѣкоторымъ среднимъ значеніямъ Q и і и затѣмъ отъ нихъ вести дѣленія въ обѣ стороны.

Построивъ такимъ образомъ масштабы расходовъ и уклоновъ, нужно, на основаніи соотношеній (5*2) и (58). опредѣлить положеніе, модуль и дѣленія масштаба діаметровъ I).

Такъ какъ, по предыдущему, модули масштабовъ Q и і

19 .

—- А

то, обозначая разстояніе отъ оси Q до оси I) черезъ х, иміѵгь, по (52)

откуда

х = п s-

мы должны

((52)

(«20

Модуль масштаба функціи (Ig D — Ig 0,251) опредѣлится, на основаніи (58)

Jqj h 19

h-fh И

(03)

гдѣ а, но прежнему, модуль логарифмической линейки.

Для нанесенія дѣленій нА масштабѣ діаметровъ, соединяемъ выбранныя ранѣе точки 0 и 0' (или какія нибудь другія) масштабовъ Q и і. Пересѣченіе 00' съ масштабомъ I) дастъ точку 0", отмѣтка которой, соотвѣтствующая значеніямъ Q и і въ точкахъ 0 и 0', опредѣляется расчетомъ. Построивъ затѣмъ логарифмическій масштабъ при модулѣ Аз и приложивъ его соотвѣтственнымъ дѣленіемъ къ точкѣ 0", размѣчаемъ другія дѣленія масштаба діаметровъ, продолжая его въ обѣ стороны, насколько нужно.

Если въ видахъ удобства, выбраны другіе модули (кратные >ч и 1.2), то положеніе оси D должно быть соотвѣтственнымъ образомъ измѣнено. Напримѣръ при масштабѣ расходовъ въ 3 раза большемъ, чѣмъ масштабъ уклоновъ, изъ уравненія (52) получаемъ:

Обыкновенно па діаграммахъ гидравлическихъ формулъ, построеп. пыхъ но методу точект» прямолинейнаго пересѣченія, проводится еще ось, служащая масштабомъ для опредѣленія скоростей ѵ. Для опредѣленія положепія и дѣленій масштаба скоростей на осповапін положенія масштабовъ Q и D можно было бы поступить такимъ же образомъ, исходя изъ отношенія

логарифмируя это выраженіе и представляя полученное уравненіе въ видѣ системы сопряженныхъ масштабовъ, въ которой масштабы Q и I) совпадаютъ съ построенными ранѣе. Но прибѣгать къ этому не приходится, такъ какъ можно опредѣлить искомыя положенія и дѣленія чисто графическимъ путемъ. Для этого стоитъ только принять во вниманіе, что скорость въ 1,00 м. развивается въ трубопроводѣ діаметромъ 0,30 м. при расходѣ 70,7 литр., а въ трубопроводѣ діаметра 0,00 м., при расходѣ въ 282,7 литр. На основаніи этого мы можемъ провести соотвѣтственныя пересѣкающія прямыя и найти такимъ образомъ точку оси ѵ, помѣчаемую 1,00 метр. Повторяя ту ясе операцію съ данными Q = 7,07 литр., 7і — 0,30 м. и (1 = 28,27 литр., 71 = 0,60 м., получаемъ точку, соотвѣтствующую скорости 0,10 м. Эти двѣ точки должны находиться на линіи, параллельной другимъ масштабамъ. Остается только градуировать разстояніе между 0,10 м. и 1,00 м. и продолжить дѣленія въ обѣ стороны.

Черт. 20 представляетъ діаграмму сопряжедпыхъ масштабовъ для графическаго расчета трубопроводовъ круглаго сѣченія по формулѣ Фламапа, построенную Даріэсомъ. Она состоитъ изъ четырехъ масштабовъ, идущихъ въ слѣдующемъ порядкѣ, считая слѣва: масштабъ расходовъ (въ метрахъ въ секунду), масштабъ діаметровъ (въ метрахъ), масштабъ потерь напора (въ видѣ десятичныхъ дробей, опредѣляющихъ отношеніе высоты потери папоракъ длинѣ трубопровода) и масштабъ скорости (въ метрахъ въ секунду). Масштабъ расходовъ включаетъ расходы, пачиная съ 0,5 метра до 1000 литр. въ секунду, причемъ числа идутъ увеличиваясь снизу вверхъ. Масштабъ діаметровъ охватываетъ діаметры, начиная съ 0,01 метра до 1,00 метра, при-

(<>.і)

откуда

чемъ числа увеличиваются также снизу вверхъ. Масштабъ уклоновъ (потерь напора) содержитъ уклоны, начиная съ 1 : юооооо до 1 : 1 причемъ числа идутъ увеличиваясь сверху внизъ. Наконецъ, масштабъ скоростей заключаетъ скорости въ предѣлахъ отъ о,05 метр. до 10,(И) метровъ.

Эта діаграмма построена слѣдующимъ образомъ. Разстояніе между масштабомъ расхода и масштабомъ гидравлическихъ уклоновъ выбрано съ такимъ расчетомъ, что логарифмы расходовъ откладываются въ масштабѣ въ 3 раза большемъ, нежели логарифмы уклоновъ. Въ этомъ случаѣ, если обозначимъ разстояніе между масштабами расходовъ и уклоновъ .черезъ /, а разстояніе между масштабомъ расхо до въ н масштабомъ діаметровъ черезъ х, то должно быть соблюдено соотношеніе:

откуда

• !£ ‘ Т

= 12 : 7,

х =

(66)

Величина х принята равпой 70 мм. Поэтому

05.10

12

110,8 мм.

Модуль масштаба гидравлическихъ уклоповъ взятъ такимъ образомъ, что единицѣ логарифмовъ соотвѣтствуетъ 20 мм. Масштабъ расходовъ, какъ сказано, въ 3 раза крупнѣе, т. е. 00 мм. за единицу логарифмовъ. Исходя изъ такого соотношенія, на размѣщенныхъ въ вышеуказанномъ разстояніи линіяхъ отложены логарифмы чиселъ: для расходовъ отъ 1 до іооо, а для уклоновъ отъ 1 до о,оооооі. Такимъ образомъ получены масштабы расходовъ и гидравлическихъ уклоновъ. Для полученія масштаба діаметровъ, выбрано (на основаніи таблицы для формулы Фламапа) такое соотношеніе V и і, чтобы при пемъ 1) было равно 1,00 м., и точки, соотвѣтствующія этимъ величинамъ Q и і соединены прямою. Пересѣченіе ея съ линіей масштаба діаметровъ даетъ точку, помѣченную 1,00. Такимъ же образомъ найдена точка для 0,10 м. Разстояніе между этими точками раздѣлено пропорціонально дѣленіямъ логарифмнческой линейки, и дѣленія продолжены въ обѣ стороны. Такимъ образомъ полученъ масштабъ діаметровъ. Масштабъ скоростей полученъ подобнымъ же образомъ.

Способъ употребленія діаграммы для формулы Фламана, представленной на черт. 20, вытекаетъ естественно изъ предыдущаго. Соотвѣтственныя величины четырехъ элементовъ, характеризующихъ теченіе, расхода, діаметра, гидравлическаго уклона и скорости, находятся на одной пересѣкающей масштабъ прямой, которую опредѣляютъ двѣ заданныя изъ этихъ величинъ. Двѣ другія неизвѣстныя читаются въ

точкахъ встрѣчи сѣкущей липіи съ соотвѣтствующими масштабами. На практикѣ избѣгаютъ проводить сѣкущія линіи на самомъ чертежѣ, что повлекло бы быстрое загрязненіе и порчу его. Вмѣсто этого гораздо проще, скорѣе и удобнѣе употреблять или натянутую пить, или прозрачную полосу изъ бумаги, целлулоида и т и., на которой предварительно прочерчена прямая линія (называемую транспарантомъ). При этомъ можно передвигать эту полосу или при помощи пальцевъ, или, что лучше, при помощи прикрѣпленпыхъ на концахъ двухъ штифтовъ съ остріями. Въ послѣднемъ случаѣ удобно, поставивъ одно остріе па извѣстное дѣленіе, вращать прямую около оси острія, безъ опасности скольжепія или перемѣщенія.

Тѣ графическіе способы расчета трубопроводовъ, которые могутъ называться номографическими, исчерпываются вышеизложенными. Но существуютъ графическіе Методы и пріемы, примѣняемые также къ расчету водопроводной сѣти, другого типа, существенно отличнаго. Я указалъ въ началѣ этой работы коренную разницу между этими двумя методами графическаго расчета. Діаграммы номографическія представляютъ то или другое математическое соотношеніе для всѣхъ возможныхъ значеній входящихъ элементовъ въ опредѣленныхъ предѣлахъ. Другой методъ графическаго расчета состоитъ въ томъ, что числовой расчетъ замѣняется вычерчиваніемъ діаграммы (эпюры) въ примѣненіи къ даннымъ каждаго частнаго случая, такъ что каждый разъ для новаго состава данныхъ приходится составлять новую эпюру. Такой методъ можно пазывать графическимъ расчетомъ въ собственномъ значеніи слова. Я пазываю его, въ отличіе отъ номографическихъ способовъ расчета трубопроводовъ, методомъ идіоірафическимъ, а относящіяся къ нему діаграммы — идіоірафнческими діаграммами.

Примѣромъ примѣненія такого ндіографическаго метода къ расчету водопроводовъ относится попытка графическаго расчета простѣйшихъ элементовъ водопроводной сѣти, принадлежащая М. С. Ясюко-вичу („Графическій методъ расчета сѣти водопроводныхъ трубъ").

Я не буду останавливаться въ настоящей работѣ на опредѣленныхъ выше идіографнческихъ методахъ расчета, предполагая посвятить этому интересному вопросу другую работу. Скажу только, что вполнѣ возможнымъ является примѣненіе этого метода къ расчету отдѣльныхъ трубопроводовъ, т. е. къ рѣшенію той единственной задачи, которая рѣшается непосредственно путемъ методовъ номографическихъ. Къ одному изъ такихъ способовъ пришлось прійти, между прочимъ, мнѣ, и, нужно думать, этотъ способъ не единственный. Но роль идіографнческихъ методовъ гидравлическаго расчета гораздо важнѣе. Они даютъ возможность, по существу недоступную для номографическихъ методовъ расчета болѣе или менѣе сложныхъ комбинацій трубопроводовъ. Есть основаніе думать поэтому, что эти именно методы, будучи поставлены въ связь съ принципами графи-

ческаго интегрированія, могутъ дать путь къ разрѣшенію труднаго вопроса о расчетѣ цѣлой сѣти водопроводныхъ трубъ, менѣе условнаго, нежели примѣняемый въ настоящее время. Мнѣ кажется вообще, что въ дѣлѣ гидравлическаго расчета водопроводовъ очередными вопросами являются именно разработка ндіографическихъ методовъ расчета трубопроводовъ, съ одной стороны, а съ другой—графическій расчетъ цѣльныхъ сѣтей или но крайней мѣрѣ злементовъ ихъ, т. е. комбинацій отдѣльныхъ трубопроводовъ, черезъ посредство ли указанныхъ или, можетъ быть, иныхъ методовъ.

Что касается собственно помографическихъ способовъ расчета водопроводовъ, о которыхъ была рѣчь въ этой работѣ, то изъ предшествующаго видпо, что число способовъ графическаго изображенія гидравлическихъ формулъ и уравненій довольно велико; въ особенности широко разработапы они въ примѣненіи къ трубопроводамъ круглаго сѣченія. Всѣ они представляютъ приложенія различныхъ принциповъ, входящихъ въ область Номографіи и выработанныхъ Декартомъ, Пуше, Лалапномъ и д’Оканемъ. Руководящей цѣлью приложенія методовъ Номографіи въ указанныхъ способахъ гидравлическаго расчета и мотивомъ послѣдовательной смѣны и большаго или меньшаго распространенія различныхъ способовъ, т. е. различныхъ типовъ діаграммъ, являлись (помимо, конечно, точности тѣхъ формулъ, которыя подвергались графическому представленію) простота и удобство практическаго примѣненія діаграммъ и проистекающее отъ этого сбереженіе труда и времени. Въ этомъ отношеніи можно сказать, что номографическій способъ гидравлическаго расчета въ настоящее время, съ введепіемъ въ употребленіе діаграммъ сопряженныхъ масштабовъ и логарифмографическихъ таблицъ, достигъ такого успѣха, дальше котораго итти трудно.

Для освѣщенія этого вопроса, опредѣляющаго raison d’etre всѣхъ графическихъ методовъ расчета, скажемъ нѣсколько словъ о преимуществахъ такого расчета надъ расчетомъ числовымъ, даже облегченномъ при посредствѣ таблицъ, и сравнительномъ достоинствѣ отдѣльныхъ способовъ графическаго расчета.

Цѣнность всякихъ средствъ, ускоряющихъ и облегчающихъ веденіе многочисленныхъ и сложныхъ вычисленій, связанныхъ съ техническими расчетами, является общепризнанной. Всѣ пособія, направленныя къ этой цѣли въ области гидравлическаго расчета, стремятся совершенно устранить потребность въ производствѣ какихъ либо выкладокъ и достигнуть того, чтобы весь расчетъ сѣти трубъ возможно было вести, имѣя подъ рукой лишь это пособіе и бланкъ для записыванія получаемыхъ результатовъ. Такими пособіями служатъ разнаго рода таблицы, числовыя или графическія.

Числовыя таблицы, допуская возможность имѣть лишь двѣ входящихъ перемѣнныхъ величины, но двумъ координатамъ, застав-

ляютъ разбивать расчетную формулу, обыкновенно заключающую большее количество перемѣнныхъ, на составныя части, составлять для каждой такой части отдѣльную таблицу и пользоваться нѣсколькими таблицами совмѣстно. Такимъ образомъ увеличивается и число таблицъ, и время работы, и возможность ошибки при пользованіи ими. Въ графическихъ таблицахъ на одномъ и томъ же мѣстѣ помѣ щаются линіи для всѣхъ перемѣнныхъ, въ видѣ одной или пѣсколь-кихъ системъ. При этомъ, даже въ случаѣ перехода отъ одной системы къ другой, операція производится весьма легко, безъ запоминанія сложныхъ чиселъ, а лишь простымъ перемѣщеніемъ пальца, линейки или транспаранта.

Числовыя таблицы даютъ при расчетѣ рядъ чиселъ, мало говорящихъ уму, и кромѣ того не допускаютъ увѣренности въ ихъ безошибочности, если Припять во вниманіе трудность корректуры цифровыхъ таблицъ всѣхъ сортовъ. Для графической таблицы, дающей результаты въ закономѣрномъ порядкѣ, къ которому быстро привыкаетъ глазъ, ошибка ограничивается лишь предѣлами точпости отсчета (если не считать возможности ошибки при записываніи полученнаго результата). Грубой же ошибки при правильномъ пользованіи діаграммой получиться не можетъ.

Числовыя таблицы, предлагая прямой отвѣтъ лишь для чиселъ, надписанныхъ по координатамъ и неизбѣжно разнящихся другъ отъ друга на большія пли меньшія величины, требуютъ для значепій промежуточныхъ или интерполированія (при крупныхъ промежуткахъ не всегда точнаго) или веденія лишь приблизительнаго расчета, что при формулахъ, разбитыхъ па пѣсколько частей, нежелательно. Графическая таблица, давая непрерывный рядъ значеній, олицетворяющій зависимость между перемѣнными величинами, предлагаетъ непосредственный отвѣтъ для какихъ угодно заданныхъ величинъ.

Только что перечисленныя достоинства свойственны всѣмъ вообще графическимъ таблицамъ. Но, какъ было видно въ предыдущемъ, графическихъ таблицъ существуетъ два типа. Въ однихъ для построенія линій, выражающихъ уравненія расчета, производится отложеніе по осямъ координатъ самихъ перемѣнныхъ (діаграммы изоплетныхъ кривыхъ и прямыхъ), въ другихъ же по осямъ, такъ или иначе расположеннымъ, откладываются логарифмы перемѣнныхъ (логарифмо-гра-фическія таблицы и діаграммы сопряженныхъ масштабовъ). Нужно сказать, что эти послѣдніе болѣе новые виды діаграммъ, принимая логарифмнческій характеръ дѣленій, тѣмъ самымъ обезпечиваютъ новыя преимущества, отличающія ихъ отъ діаграммъ съ нормальной градуировкой осей. Преимущества эти заключаются, главнымъ образомъ, въ слѣдующемъ.

Благодаря закону измѣненія логарифмовъ послѣдовательныхъ чиселъ, охватъ таблицы, т. е. предѣлы входящихъ въ дее значеній,

можетъ быть весьма широкъ, при достаточной точности раздѣленія. Дѣ Мсти и тел оно, чтобы въ нормальный масштабъ вмѣстить величины отъ 0,00001 до 1, при условіи возможности ихъ отсчета, потребовался бы или громадный размѣръ чертежа, или очепь сильно разнящіяся отмѣтки дѣленій, или дѣленія, неуловимыя простымъ глазомъ. Въ діаграммахъ логарифмическаго тина для той же цѣли требуются крайне ограниченные размѣры чертежа, при вполнѣ достаточной ясности и точности. Въ этомъ заключается драгоцѣнное качество лога-рифмическихъ діаграммъ. Далѣе, процептъ точности вычисленій при отсчетѣ но діаграммамъ съ логарифмическимъ подраздѣленіемъ, какъ было доказано выше, всегда одинъ и тотъ же. При дѣйствіяхъ съ малыми числами точность абсолютная больше, при дѣйствіяхъ съ большими опа меньше, но величипа возможной ошибки въ отношеніи къ отсчету остается одинаковой.

Если сравнивать дна наиболѣе современные вида діаграммъ по-могряфическаго расчета, имеипо способъ логарифмо-графнческихъ таблицъ и способъ сонряженпыхъ масштабовъ, то нужно сказать прежде всего, что оба эти вида отличаются такими общими достоинствами и доводятъ гидравлическій расчетъ до такой простоты, что трудно проводить серьезную разницу между ними. Однако можно отмѣтить въ способЬ логарифмо-графнческихъ таблицъ нѣкоторые недостатки, которые избѣгнуты въ способѣ сопряженныхъ масштабовъ.

Въ самомъ дѣлѣ, способъ пользованія логарифмо графическими таблицами сводится каждый разъ къ тому, чтобы взять точку встрѣчи двухъ линій и прочесть отмѣтку прямой, проходящей черезъ эту точку. Такъ какъ отмѣтки, по необходимости, пишутся или по концамъ линій, или во всякомъ случаѣ на нѣкоторомъ, обыкновенно значительномъ разстояніи одна отъ другой, то приходится, начиная ли отъ отмѣтки и разыскивая точку встрѣчи пли наоборотъ, слѣдить за линіей на извѣстномъ протяженіи. Примѣняя эту операцію къ тремъ линіямъ при каждомъ чтеніи, всегда является опасность, при малѣйшей невнимательности, перейти съ данной линіи на сосѣднюю и такимъ образомъ допустить ошибку въ отсчетѣ. Въ этомъ отношеніи пользованіе діаграммой сопряженныхъ масштабовъ, гдѣ искомая точка и ея отсчетъ указывается пересіченіѳмъ лшіейки или линіи трапспа-ранта съ соотвѣтственнымъ масштабомъ, представляется нѣсколько • проще. Далѣе, если значепія перемѣнныхъ, съ которыми приходится имѣть дѣло, не тѣ, которымъ соотвѣтствуютъ линіи, дѣйствительно проведенныя на чертежѣ, при употребленіи логарифмо-графнческой таблицы, приходится дѣлать мысленно интерполяцію между этими линіями. Эта операція при всей ея легкости, всетаки не такъ проста, какъ если нужно намѣтить на глазъ промежуточную точку между дѣленіями, нанесенными на одинъ изъ масштабовъ діаграммъ д’Оканя.

Количество и взаимное переплетете линій въ логарнфмографи-ческихъ таблицахъ, не представляютъ, конечно, серьезнаго неудобства, такъ какъ глазъ быстро привыкаетъ къ этому Однако это обстоятельство, а также необходимое при работѣ довольно значительное вниманіе могутъ, въ концѣ концовъ, утомлять глазъ, и тѣмъ скорѣе, чѣмъ больше системъ линій заключаеть таблица. Въ діаграммѣ сопряженпыхъ масштабовъ при обычномъ составѣ ея не можетъ быть и рѣчи о помѣхѣ одной системы масштабовъ другой; даже при нѣсколькихъ системахъ масштабовъ пе можетъ быть рѣчи о затемпѣніи, что вполнѣ возможно для логарифмо-графической таблицы. Нужно думать, что благодаря этому, пользованіе діаграммой сопряженныхъ масштабовъ также менѣе утомительно.

Здѣсь кстати нужно подчеркнуть въ отношеніи обоихъ видовъ діаграммъ, что главное ихъ преимущество заключается въ простотѣ. Поэтому слѣдуетъ избѣгать при составленіи и пользованіи діаграммами всего, что можетъ быть излишнимъ и что можетъ затруднять чтеніе. Кромѣ того необходимо вычерчивать ихъ въ достаточно большомъ масштабѣ, иначе приближеніе можетъ быть недостаточнымъ.

Предшествующее не мѣшаетъ намъ, конечно, считать расчетъ при помощи логарифмо-графическихъ таблицъ весьма удобнымъ и цѣннымъ. Мы можемъ сказать, что оба новѣйшіе способа номографическаго расчета, какъ логарифмо-графическія таблицы, такъ и діаграммы сопряженныхъ масштабовъ, достигаютъ въ совершенствѣ цѣли, которая ставится всѣми вообще методами, направленными къ упрощенію гидравлическаго расчета, и доводитъ процессъ расчета, можно сказать, до идеальной простоты и скорости.

Изъ этого ясно, что въ настоящее время едва ли есть практическая падобносгь въ разработкѣ новыхъ способовъ графическаго расчета отдѣльныхъ трубопроводовъ, и спеціалисты водопроводной гидравлики могутъ направить свою работу на другія области. Въ отношеніи же труда надъ существующими номографическими способами расчета, можно пожелать, пожалуй, только дальнѣйшей разработки ихъ въ примѣненіи къ различнымъ формамъ сѣченія (кромѣ круглаго), примѣняемымъ въ практикѣ, и къ разнымъ степенямъ наполненія. Но за то вполнѣ естественнымъ является пожеланіе, чтобы эти графическіе способы обратили на себя должное вниманіе спеціалистовъ и получили болѣе широкую извѣстность и примѣненіе, какъ крайне цѣнное средство для расчета, сокращающее въ лучшихъ случаяхъ, можно сказать, до минимума необходимый трудъ и время, безъ всякаго ущерба для практической точности, при условіи, конечно, надлежащаго выбора расчетныхъ гидравлическихъ формулъ, представляемыхъ діаграммами.

1910 г.

ЛИТЕРАТУРА ПО ДАННОМУ ВОПРОСУ.

Акуловъ. Служба старыхъ водопроводиыхъ трубъ и примѣненія графическаго метода къ рѣшенію гидравлическихъ задачъ (Труды У Водойр. Съѣзда, 1901).

D'Aubrive et Fill erupt. L’album dos abaques pour Ie calcul des conduites d’eau. 1801.

Baumeister. Sladtiscbe Strasscnwcsen und Stadtcrcinigung. 1887.

Beckmann. Salubrity urbaine. II. Assainissement. 1890.

Wehner. Ein Botrag zur Bcrecbniing des Rohnviederstandes in dcr Praxis. (Gesundheits-Ingenieur, 1897).

Врублевскій. Графически! способт> расчета водостоковъ (Изв. Обід. Гражд. Инженеровъ, 1907).

Hobrecbt. Dio Kanalisation von Berlin. 1882.

Горбачевъ П. Ф. О расчетѣ скоростей теченія и отводоспособности въ водопроводахъ и водостокахъ. 1904.

Dartts. Calcul des conduites d’eau. 1900.

Каиікаровъ H. А. Расчетъ трубопроводовъ графическимъ способомъ Бертрана. 1907.

Coffin. The graphical solution of hydraulic problems. 1900.

Collignon. Cours de mechanique. IT. Ilydraulique.

Lalanne. Мбтоігс sur les tables graphiques ot sur la gfiometrie ana-morphose appliqu6e h diverses questions qui sc rattachent й Part do I’ingSmeur (Annales des Pouts et Chauss6cs, 1840).

Lampe. Untersuchungon Tiber die Bowegung dos Wassors in Rohren (Civil-Ing., 1873, Bd. XIX).

Van-Muyden. Abaque logarithmiquo pour Io calcul des conduites d’eaii sous pression. 1905.

Никелинъ Я. И. Формулы логарпфмическаго вида для расчета водопроводовъ. 1910.

Никелинъ Я. И. Графическіе методы расчета водоснабженія и канализаціи. Вып. I. Теорія и примѣненія способа сопряженныхъ масштабовъ. 1910.

D'Ocagne. CoordonnGes paralleles et axialos. 1885.

D'Ocagne. Nomographie. 1891.

D'Ocagne. Trait6 do Nomographic. 1899.

D'Ocagne. Fxposfi synthfitique des principcs fondamenteaux de la Nomographie. 1903.

Саткевичъ В. А. Расчетъ водопроводной сѣти трубъ при помощи логарифмо-графической таблицы (Строитель, 1898).

Schilling. Ueber die Nomographic do M. d'Ocagne.

E- B. and G. M. Taylor's diagrams of the discharge of pipes in accordance with Kuttcr’s formula. 1891.

Thiem. Ueber graphische Durchmesscrbcstimmung bei Wasserloitung (.Journ. fiir Oasbcleucht. mid Wasserversorg., 1885).

Flawant. llydrauliquc. 1900.

Черепашинскій M. M. Водоснабженіе городовъ. 1905.

Чижовъ Н. К. Механическій способъ вычисленія потери напора (Строитель, 1897).

Ясюковичъ М. Расчетъ водостоковъ съ помощью логарнфмо-графн-ческихъ таблицъ. 1900.

Ясюковичъ М. Графическій методъ расчета сѣти водопроводныхъ трубъ. 1905.

O. OS'S

о. to o.ttS o.tS at 75

о.яо o. SIS o. so

Таблица 1.

о I-

Черт, ).

^ "Ч

н-----1-----Н-----I—

Х«

-+-

X

Черт, 4.

Таблица ill.

Черт. 7.

о

Черт. 9.

>

Черт. и.

Черт, 12.

/о

9

8

7 6

5

4

3

8

г

4 5 6 7 8 9/0

3

1‘

j

4

>

©

Черт. і). Лоіарифмо-ірафическая таблица инж. А. van Mu у den для расчета водопроводныхъ трубъ,

(По формулѣ Леви, для труба долговременной службы).

Таблица YJ1I.

ІІ^Ж!1^11і?!'Шіі,!і,|іі,г',і;::ііПМ!ііі,і!і,іі1іі,іі»»ііііііі^ііііііііііііи

!І:УІ1^іЖтіПНІІИІППІИШІІЩЩ[ЦІІИ ..........................и....... I HI III nil 111IH1111 m ■ HI ■!!

'(mwvjr ѵі’Моф) ъдГіфи 4xnU(>o9P(fuop09 intuhnn} wq imucnfr ‘}j 'ц чро(]и lrnmnlwitf ,(.i чиф[2

Черт, іб.

X X 3

Черт. і8.

х г -и

Черт, іу.

у

у

К'

ь

/

/ о

Чсрт. 20. Діаграмма Даріэса (сокращенная Бертрана) для расчета водопроводныхъ трубъ (формула

Фламана).

Расходы (мпн-jt. ой сек.),

«■;*> -too J $00 j ТОО J

C0<k J 600 1

ш j

ѣоо і

too J

too . 00 . 80 . TO . b'o . «0 ,

40 -

$0 .

to J

to -9 .

в ; 7 .

4 .

s -l :

9 .

Діаметры (мешр.)

Гадравл. Скорости

уклоны. (метр. въ ок.).

f ОС

і.оо _ 090 Z о.8а -

0.70 2 0.60 1 о so і

обо 1 ОАО і

ОІ0

ОТО _ 0.0$ 2

008 :

0.07 _ 0.06 o.oS _ О.ОІ J

ааз : ол _

J

а

.3*

§ F

JE

S’JV,

<ъ «*-л-

0>а$

J 0.06 . ал?

. QOS

ОТО

J ал»

J оіа

ОТО J а А) а*> у оо

J У л?

J 4ж>

■і 40$ * 6л> _ 6,00 _ 70)

- Йо>

- ік?,

/ -£*•5 -

о.8; 07 06 I

OS I