Градуированные регулярные кольца и модули Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 3 (2010)

УДК 512.552, 512.553

ГРАДУИРОВАННЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЬЦА И МОДУЛИ 1

И. Н. Бал аба (г. Тула)

Аннотация

В работе дан обзор результатов о регулярных градуированных кольцах и модулях. Получен ряд новых результатов, касающихся регулярных модулей, градуированных полугруппой.

Важную роль в теории ассоциативных колец играют регулярные (в смысле Неймана) кольца [1]. В 70 годах прошлого века в работах [2, 3] было введено понятие регулярного модуля, обобщающее понятие регулярного кольца на случай модуля.

Градуированные аналоги регулярных колец, в случае групповой градуировки, изучались в работах [4, 5, 6]. В [7] были рассмотрены §г-регулярные модули, градуированные по группе целых чисел Z, но результаты работы остаются справедливыми и в случае произвольной группы С, поскольку структура группы не играет в этих исследованиях существенной роли.

В последние годы появилось много работ, касающихся колец и модулей, градуированных полугруппой, при этом существенную роль в исследованиях играла структура самой полугруппы (см., например, [8, 9, 10, 12]). В работах [11, 13, 14] изучались свойства регулярных колец, градуированных по полугруппе. Заметим, что свойства §г-регулярных колец, градуированных по полугруппе, отличаются не только от неградуированного случая, но и от случая групповой градуировки; при этом существенную роль играет структура полугруппы, по которой осуществляется градуировка.

1 Основные определения

Пусть А - ассоциативное кольцо те обязательно с единицей, Б - полугруппа. Кольцо А называется градуированным по полугруппе Б (или просто Б-градуированным), если существует семейство |А5 | в Е Б} аддитивных подгрупп кольца, таких, что А = Фзей' А и А3Аь С АзЬ для всех в, к Е Б, Кольцо А называется сильно градуированным, если А3Аь = АзЬ для вс ех в, к Е Б.

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 08-01-00790-а.

Элементы множества к(А) = и А3 называются однородными элементами,

3€й’

кольца, а ненулевой элемент а3 Е А3 - однородным элементом степени в. Любой ненулевой элемент а имеет единственное представление в виде суммы однород-

а = а3 а3

3€й’

в Е Б. Ненулевые элементы а3 в таком разложении называются однородными

а

Идеал / кольца А называется градуированным, если I = 0зей(I П А3), Правый А-модуль М называется Б-градуированным А-модулем, если существует семейство {М3 | в Е Б} аддитивных подгрупп модуля М таких, что М = фзей М3 и М3Аь С МзЬ для всех в, к Е Б, Для каждого подмножества Т в Б, каждого гравированного модуля М = ф3ей М3 и каждого элемента т = ^2 т3 Е М обозначим через Мт = 04еТ М4, тт = т4.

3€й’

Обозначим через gr.mod—А - категорию правых Б-градуированных А-моду-

БА физмами - сохраняющие градуировку гомоморфизмы, т.е. если Нот^(М, N) -множество всех гомоморфизмов из модуля М в модуль N, то

Нот§г.тоа-А(М, N) = {/ Е НотА(М, N) | /(М3) С N3 доя всех в Е Б}.

Как и в случае градуированных по группе модулей, кроме гомоморфизмов, сохраняющих градуировку, естественно рассматривать гомоморфизмы, градуировку "сдвигающие", А-линейное отображение / : М ^ N правых Б-градуиро-Ак /(М3) С ^3 для всех в Е Б, Ясно, что градуированные морфизмы степени к образуют аддитивную подгруппу НОМа(М, N)ь группы Нот^(М, N), Обозначим через

НОМа(М, N) = ^ НОМа(М, N)ь, ЕШа(М) = НОМа(М, М).

Заметим, что в отличие от групповой градуировки, НОМа(М, N) является почти градуированной абелевой группой, поскольку НОМа(М, N)3 при разных вЕБ

Б

жеетве из двух элементов X = {1, 2} [18, стр. 46], то есть полугруппа

Б = {(1, 1);(1, 2); (2, 1); (2, 2)}

со следующим законом умножения:

(х,У)(М) = (М), Е х-

Рассмотрим кольцо А, порожденное в кольце М4^2) матриц четвертого порядка над полем Z2 матричными единицами Ец, Е12, Е21, Е22, Е33, Е34, Е43, Е44,

Зададим на нем градуировку полугруппой S, полагая:

А(1,2) =< E11, E12, E21, E22, E33, E34 >,

A(2,2) =< E43,E44 >? A(1,1) = 0) A(2,1) = 0)

здесь < a, b > обозначает абелеву группу, порожденную элементами a и Ь,

Рассмотрим A как правый S-градуированный A-модуль, и определим отображение f : Aa ^ Aa, задав его на образующих следующим образом:

f (£-12) = E12, f (E21) = E21> f (E11) = E11, f (E22) = E22, f (0) = f (E34) = f (E43) = f (£33) = f (E44) = 0.

Ясно, что f G Homgr.mod_A (M, M), но в то же время

f G HOMa(M, M)(1,1^ HOMa(M, M)(1,2)•

□

Следуя [8], для каждой пары (ж, у) G S x S положим

[ж-1у] = {s G S | xs = y}.

Заметим, что, если полугруппа S обладает нулем v, то [v-1v] = S, Если зафик-

сировать ж, то множества

{[ж-1у] 1 У G S, [ж-1у] = 0}

S

Для каждого S-градуированного правого A-модуля M = фseS Ms определим S-градуированный A-модуль M(s), положив M(s) = фyeS M(s)y, где

M (s)y = M[s-1y] = ф Mt.

te[s-1y]

M(s) s M

Заметим, что HOMa(M, N)s = Homgr.mod_A(M(s),N),

Обозначим через H(M, N) множество всех всех градуированных морфизмов модуля M в модуль N, т,е, H(M, N) = (JseSl HOMa(M, N)s, где S1 - полугруппа, полученная из полугруппы S присоединением единицы 1, если S не имеет

S

Пусть далее

H(M*) = H(M, A), E(M) = H(M,M).

Ясно, что если f G H(M*), a G h(A), to af G H(M*), вде (af)(ж) = af (ж) для любого ж G M; если f, g G E(M), to fg,gf G E(M), С другой стороны, для любого f G H(M*), m G h(M) правило [m, f](ж) = mf (ж), ж G M определяет градуированный морфизм [m, f ] G E(M),

аА

мана), если существует такой элемент х Е А, что аха = а; кольцо А называется регулярным (в смысле Неймана), если любой его элемент является регулярным. Всюду далее, следуя стандартной практике, градуированные аналоги стандартных определений будем обозначать приставкой "§г-". Градуированное ко-А

етея регулярным, т. е, для любого а Е к(А) найдется такой элемент г Е к(А), что а = ага,

2 Кольца, градуированные группой

В этом параграфе Б = С - мультипликативная группа с единичным элементом е, все кольца с единицей.

Ясно, что градуированное регулярное кольцо является и §г-регулярным, в то же время §г-регулярное кольцо может не быть регулярным.

Действительно, в теории групповых колец известно, что: групповое кольца АС регулярно тогда и только тогда, когда кольцо А регулярно, группа С локально конечна (т.е. каждая конечно порожденная подгруппа группы С конечна) и порядок каждой конечной подгруппы группы С обратим [15, теорема 10,4],

Таким образом, групповое кольцо кС, вде к - поле, является градуированным телом со стандартной С-градуировкой, а следовательно, §г-регулярным кольцом, но может не быть регулярным.

Предложение 1. ([16], предложение 2,2), Пусть С - конечная группа, А

- С-градуированное кольцо такое, что |С|—1 Е А. Тогда кольцо А регулярно в

А

Предложение 2. ([4], предложение С,1,5,1), Для градуированного кольца

А

А

А

дается, однородным, идем,патентом,;

3) каждый конечно порожденный правый (левый) градуированный идеал, порождается, однородным, идем,патентом,;

А

(т.е. плоским,).

А

утверждения:

• однородные идемпотенты принадлежат единичной компоненте Ае;

• если Ай = 0 для некоторого эле мента д Е С, то А-1 = 0 и А-1АЙ = 0;

• Ае - регулярное кольцо;

• каждый главный правый (левый) градуированный идеал I порожден как правый (левый) идеал своей частью /е;

• градуированные правые (левые) идеалы идемпотентны.

А

ированное кольцо и Ае регулярно, то А - дг-регулярно.

Пусть Я - конечно порожденный §г-свободный правый А-модуль с базисом состоявшем из однородных элементов /1; /2, /га, где / Е А^, Тогда

ЕШа(Я) = Еп^Я) - Мга(А)(д),

где д = (д1;... ,дп) Е СП а Мп(А)(д) - кольцо матриц МП(А) с градуировкой

^ Ад^дх 1 АЙ1^й2 1 . . . А -1 д1^дп \

Мп(А)^(д) = АЙ2^й-1 АЙ2^й-1 . . . А -1 д2^дп

V Айп^й-1 А -1 . дпЬ<д2 . . А -1 дпЬдп /

если д = (е,е), то пишут просто МП(А) [4, пункт А,1,5], Такие градуировки на кольцах матриц будем называть хорошими.

В ([16], теорема 2,4) было установлено, что если п = |С| < го, то кольцо А является §г-регулярным тогда и только тогда, когда §г-регулярным является кольцо матриц МП(А) с хорошей градуировкой.

Предложение 3. ([4], замечания С,1,5,4), Если Р - конечно порожденный градуированный модуль над дг-регулярным кольцом А то ЕпаА(Р) - дг-регулярное кольцо.

СА

лентны:

А

2) кольцо матриц Мп(А)(д) - дг-регулярно.

Доказательство. Импликация 1 ^ 2 сразу следует из предложения 3, поскольку §г-свободный модуль является §г-проектпвным и, следовательно, проективным.

Докажем импликацию 2 ^ 1,

Пусть кольцо Я = Мга(А)(д), где д = (д1;... ,дп) Е С”, является §г-регуляр-ным. Рассмотрим а Е Аст, тогда г = аЕ11 Е Я^ для К = д-1ад1, В силу §г-регулярности кольца Я существует элемент х = ^”'^=1 ХуЕу Е Я^-1 такой, что г = гхг, Легко видеть, что при этом а = ах11 а и х11 Е А-1, и, следовательно, А

- §г-регулярное кольцо, □

Важный подкласс класса регулярных колец образуют строго регулярные или абелевы регулярные кольца, в которых, по определению, разрешимо уравнение а2х = а.

Градуированное gr-регулярное кольцо A называется gr-абелево регулярным, если все его однородные идемпотенты являются центральными [4, 6].

A

следующие условия эквивалентны:

A

A

A

сторонним;

4) каждый ненулевой градуированный левый идеал, содержит ненулевой центральный однородный идемпотент;

5) для, всякого gr-первичного двустороннего идеала P кольца, A фактор кольцо A/P является, gr-телом,.

Заметим, что если A - gr-абелево регулярное кольцо, то кольцо Ae является абелево регулярным, В то же время, как показано в [6], сильно градуированное кольцо, единичная компонента Ae которого является абелево регулярным, может не быть gr-абелево регулярным,

3 Регулярные кольца, градуированные полугруппой

Пусть далее S - полугруппа, A - S-градуированное кольцо.

Ясно, что gr-регулярные кольца могут быть градуированы только регуляр-

S

s £ S существует такой t £ S, для которого sts = s.

Если S - группа, то однородный регулярный элемент а £ Ag является и gr-регулярным. Так как если аха = а для некоторого элемента х £ A, то axg-i а = а и для однородной компоненты xg-i элемепта х степени g-1,

S

S

был построен С,В, Зеленовым и И.Р. Нуретдиновым и аннонснрован в [14].

Элемент s* полугруппы S называется инверсным для элемента s £ S, если ss*s = s и s*ss* = s* , Ясно, что инверсный элемент существует для каждого

s£S

обладает единственным инверсным называется инверсной. Очевидно, что все инверсные полугруппы являются регулярными, но не каждая регулярная по-

S

необходимо и достаточно, чтобы множество Е ее идемпотентов было коммутативной подполугруппой, то есть полуструктурой [18, теорема 1.17].

В работе [11] исследовалась регулярность кольца, градуированного полуструктурой. Была доказана следующая теорема

Теорема 3. ([11], теорема 5). Пусть Е - полуструктура и А - Е-градуиро-

А

Ае (е Е Е)

В [13] для любой регулярной, но не инверсной полугруппы построен пример градуированного регулярного кольца, не являющего §г-регулярным.

Теорема 4. [13] Чтобы для любого Б-градуированного кольца, А каждый однородный регулярный элемент был, дг-регулярным необходим,о и достаточно, чтобы, полугруппа Б была, инверсной.

В [13] также рассматривались свойства §г-регулярного кольца, градуированного инверсной полугруппой, были доказаны следующие утверждения.

Теорема 5. Пусть Б - инверсная, полугруппа. Тогда, для Б-градуированного А А

А

однородным, идем,патентом,;

А

однородным, идем,патентом,.

Обозначим через Е = Е(Б) множество идемпотентов полугруппы Б. Назо-

А

(гА)е = 0 ((Аг)Е = 0) для некоторого однородного элемента г Е А следует, что г = 0. Градуировка, невырожденная слева и справа, называется невырожден-Б

г,поденным в [17].

Подкольцо Ае играет такую же роль в теории колец, градуированных полугруппой как единичная компонента, в случае групповой градуировки.

Предложение 5. Пусть Б - инверсная полугруппа, Е = Е(Б) - полуструктура ее идемпотентов. Тогда, для дг-регулярного градуированного кольца, А

А

/ = /2 А / Е Ае

еЕЕ

Ае е Е Е

4) Ае = 0ееЕ Ае - регулярное кольцо;

5) каждый левый (правый) градуированный идеал, I кольца А порожден как левый (правый) идеал, своей частью 1Е;

А

Заметим, что, в отличие от колец е единицей, градуированных группой, в нашем случае конечно порожденный левый (правый) градуированный идеал gr-регулярного кольца с единицей не обязательно порожден однородным идем-потентом, а в случае регулярной, но не инверсной полугруппы не справедлива и теорема 5,

Известно, что если A - кольцо с единицей 1, строго градуированное груп-A

компонента Ae. Аналогичный результат справедлив в случае, если градуировка рассматривается по примитивной инверсной полугруппе.

Напомним, что регулярная полугруппа с нулем называется примитивной, если каждый ее ненулевой идемпотент является минимальным элементом во множестве ненулевых идемпотентов E, относительно естественного частичного порядка < (e < f e,f £ E, если ef = fe = e). Ясно, что если множество E

SS

полугруппой с локальными единицами [1Л.-полугруппой), то есть для любого ненулевого s £ S существуют e, f £ E, для которых esf = s.

S

0 обладающая конечным, множеством идемпотентов E, и A = 0seS As -строго градуированное кольцо с единицей 1, такое, что A0 = 0. Тогда, кольцо A является, gr-регулярным, в том, и только том случае, если, подкольцо AE = 0еее Ae является, регулярным,.

4 Регулярные градуированные модули

S

Определение 1. Градуированный A-модуль M называется, gr-регулярным, если для, любого однородного элемента m £ h(M) найдется градуированный морфизм, f £ H(M*), такой, что m = mf (m) = [m, f]m.

Легко видеть, что любой градуированный подмодуль gr-регулярного градуированного модуля является gr-регулярным.

A

дуль Aa - gr-регулярен.

A

породного а £ h(A) найдется такой элемент b £ h(A), что аЬа = а. Положив f (х) = bx для любого х £ A, получим градуированный морфизм f : Aa ^ Aa, для которого af (а) = а, □

Предложение 7. Пусть S - инверсная полугруппа и A - S-градуированное кольцо с единицей. Тогда, если модуль Aa является, gr-регулярным, то кольцо A

Доказательство. Пусть модуль A а является gr-регулярным, и а £ h(A), Тогда существует градуированный морфизм f £ H(A*), такой, что af (а) = а. Так как f (а) = f (1а) = f (1)а, то f (1) = b £ Д и элемент а £ h(A) является

□

A M MA

2) каждый циклический градуированный подмодуль проективен и выделяется прямым слагаемым,;

3) каждый конечно порожденный градуированный подмодуль проективен и выделяется, прямым слагаемым,;

Заметим, что в случае градуировки по регулярной (даже инверсной) по. iy-

S

то ядра градуированных морфизмов могут не быть градуированными подмодулями. А регулярная полугруппа с сокращениями является группой.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Goodearl К.Е. Von Neumann regular rings. - London:Pitman, 1979.

[2] Zelmanowitz J. Regular modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 163. P. 341 - 355.

[3] Ware E. Endomorphism rings of proeetive modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 155. P. 233 - 256.

[4] Nastaseseu C,, van Ovstaeven F. Graded ring theory. - Amsterdam e. a.: North-Holland, 1982.

[5] van Ovstaeven F. Note on graded von Neumann regular rings // Eev.Eoumaine Math.Pures Appl. 1984. V. 29, no 3. P. 263 - 271.

[6] Yahva H. A note on graded regular rings // Comm. Alg,, 1997. V. 25, no 1. P. 223 - 228.

[7] Эльмахди С.С. Градуированные регулярные модули и градуированные V-модули // Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук. - Москва, 1985.

[8] Abrams G,, Menini С., del Eio A. Eealization theorems for categories of graded module over semigroup-graded rings // Comm. Alg., 1994. V. 22, no 13. P. 5343 - 5388.

[9] Bell A.D. Prime ideals and radicals in rings graded by Clifford semigroups //Comm. Alg., 1997. V. 25. P.1595-1608.

[10] Kelarev A.V. Semisimple ring graded by inverse semigroup // J,Algebra, 1998, V. 205. P. 451 - 459.

[11] Janeski J., Weissglass J. Regularity of semilattiee sums of rings// Proe. Amer. Math. Soc., 1973. V. 39, no 3. P. 479 - -482.

[12] Munn W.D. A class of band-graded rings // J.London Math. Soc., 1992,- V.45. P. 1 - 16.

[13] Балаба 11.11. Градуированные регулярные кольца // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2002. Выи.1. Том 8. С.5-9

[14] Нуретдинов И.Р., Золеной С.В. Градуированные регулярные кольца // Труды 12 Международной конференции FPSAC‘00 "Формальные степенные ряды и алгебраическая комбинаторика дополнительные тезисы - М. 2000. С. 51 - 52.

[15] Залесский А.Е., Михалев А.В. Групповые кольца //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. - Т. 2. - М: ВИНИТИ. - 1973. С. 5 - 118.

[16] Daus L,, van Ovstaeven F. Regularity and generalized invertibilitv in graded rings // New techniques in Hopf algebras and graded rings theory. Proceeding. 2007. P. 79 -84.

[17] Cohen М., Montgomery S. Group-graded ring, smash products, and group action. //Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 282, no 1. P. 237 - 258.

[18] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Том 1. -М.:Мир, 1972.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Поступило 10.11.10