CC BY
13
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Научная статья УДК 539.3
doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-10-20
ГРАДИЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ИЗГИБА НЕОДНОРОДНОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ БАЛКИ
Александр Ованесович Ватульян1, Сергей Анатольевич Нестеров2В
'Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ,
Республика Северная Осетия - Алания, Россия
Аннотация. Исследована задача изгиба горизонтально неоднородной пьезоэлектрической кантиле-верной балки с учетом масштабных эффектов. Нижняя и верхняя поверхности балки электродированы. Рассмотрены три вида нагружения: равномерно распределенной по длине нагрузкой; поперечной силой на другом торце балки; подачей электрического потенциала на верхний электрод. Изгиб балки моделируется на основе гипотез Эйлера - Бернулли и квадратичного распределения электрического потенциала. На основе применения вариационного принципа градиентной электроупругости получена система дифференциальных уравнений изгиба и электростатики, а также расширенный спектр граничных условий. Для нахождения изгибающего момента и прогиба срединной линии однородной балки получены точные аналитические выражения. В случае неоднородной балки при больших значениях масштабного параметра решение построено на основе метода пристрелки. На конкретных примерах проведены вычисления моментов и прогиба в случае как однородной, так и неоднородной балки. Выяснено влияние механического и электростатического градиентных параметров, коэффициента электромеханической связанности, параметра неоднородности на распределение прогибов.
Ключевые слова: балка Эйлера - Бернулли, градиентная теория электроупругости, масштабный эффект, неоднородные материалы, метод пристрелки, прогиб срединной линии, электрический потенциал, коэффициент электромеханической связанности
Благодарности: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-''-00265, https://rscf.ru/project/22-n-00265/, в Южном федеральном университете.
Для цитирования: Ватульян А.О., Нестеров С.А. Градиентная модель изгиба неоднородной пьезоэлектрической балки // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 10-20.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0). Original article
GRADIENT BENDING MODEL OF INHOMOGENEOUS PIEZOELECTRIC BEAM
Alexander О. Vatulyan1, Sergey A. Nesterov2^
'Southen Federal University, Rostov-on-Don, Russia
2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences,
Republic of North Ossetia-Alania, Vladikavkaz, Russia
© Ватульян А.О., Нестеров С.А., 2022
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Abstract. The problem of bending a horizontally inhomogeneous piezoelectric cantilever beam is studied taking into account scale effects. The lower and upper surfaces of the beam are electroplated. Three types of loading are considered: load uniformly distributed along the length; transverse force at the other end of the beam; supply of electric potential to the upper electrode. The beam bending is modeled based on the Euler-Bernoulli hypotheses and the quadratic distribution of the electric potential. Based on the application of the variational principle of gradient electroelasticity, a system of differential equations of bending and electrostatics is obtained, as well as an extended range of boundary conditions. To find the bending moment and deflection of the middle line of a homogeneous beam, exact analytical expressions are obtained. In the case of an inhomogeneous beam at large values of the scale parameter, the solution is based on the shooting method. On specific examples, the calculations of moments and deflection are carried out, both in the case of a homogeneous and inhomogene-ous beam. The influence of the mechanical and electrostatic gradient parameters, the electromechanical coupling coefficient, and the inhomogeneity parameter on the distribution of deflection s has been clarified.
Keywords: Euler-Bernoulli beam, gradient theory of electroelasticity, size effect, inhomogeneous materials, shooting method, median line deflection, electric potential, electromechanical coupling coefficient
Acknowledgments: the study was supported by the Russian Science Foundation grant No. 22-11-00265, https://rscf.ru/project/22-11-00265/, at the Southern Federal University.
For citation: Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Gradient Bending Model of Inhomogeneous Piezoelectric Beam. Bulletin ofHigher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):10-20. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Масштабно-зависимое поведение пьезоэлектрических структур привлекает в последние годы большое внимание ученых [1-8]. Это связано с широким применением микробалок в качестве сенсоров и акуаторов в микро- и наноэлектромеханических устройствах. Классическая механика не может описать экспериментальные факты, полученные при изгибе микроразмерных тел [9]. Описание масштабных эффектов возможно только на основе градиентной теории упругости [9] и электроупругости [3].
Задачи электроупругого изгиба балок и пластин хорошо изучены [10-13]. На основе вариационных принципов получены уравнения равновесия и граничные условия, предложены приближенные аналитические и численные методы решения поставленных задач. Однако в этих моделях не учитывались масштабные эффекты, которые возникают при деформации микроразмерных тел.
Для учета масштабных эффектов применяется градиентная теория упругости, которая получила свое развитие в середине XX в. в работах [14, 15]. На основе градиентной теории упругости и термоупругости исследованы масштабные эффекты, возникающие при деформировании как однородных [16, 17], так и функционально-градиентных [18-20] и составных тел [21-24]. Так, в работе [23] исследована градиентная модель изгиба составной балки Эйлера - Бернулли в предположении одноосного напряженного состояния. Для трех видов изгибающей нагрузки получены упрощенные асимптотические выражения для градиентных слагаемых при малых значениях масштабного параметра. Исследована зависимость скачка изгибающих моментов от модулей изгибной жесткости и масштабного параметра.
Однако в работах, исследующих изгиб и колебания неоднородной балки с учетом масштабных эффектов, материальные характеристики являются функциями поперечной координаты. Задача градиентной электроупругости об изгибе горизонтально неоднородной балки является неисследованной.
Цель данной работы - постановка задачи градиентной теории электроупругости для неоднородной балки при различных типах нагружения; получение аналитических выражений для нахождения изгибающих моментов и прогибов однородной балки; получение численного решения методом пристрелки для неоднородной балки; исследование влияния механического и электростатического градиентных параметров, коэффициента электромеханической связанности, параметра неоднородности на распределение прогибов и моментов; анализ полученных результатов.
граничных условий ui — vi, ЫцЩ , электростатических граничных условий Qijninj — 0,
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Постановка задачи
В градиентной теории электроупругости плотность электрической энтальпии зависит не только от деформации и напряженности электрического поля, но и от их первых градиентов [7, 8]:
, j, Е,, EiJ ) — 2 Cjj - ekijSijEk - 2 jEj + 1 AijUmnSij,kSlrn,n - ^wWv '
Здесь Суп и AjMmn - компоненты тензоров модулей упругости 4-го и 6-го порядка; ekij -компоненты тензора пьезомодулей 3-го порядка; Зц и aijjli - компоненты тензоров коэффициентов диэлектрической проницаемости 2-го и 4-го порядка соответственно.
Вводятся определяющие соотношения для компонент тензора напряжений Коши
8g 8g Ту —-— cijklsld - eldjEk , тензора моментных напряжений mijk —-— Aijklmn slm n, вектора электри-
j 8Zjj 1 1 1 8Sj,k j '
8g 8g ческой индукции Di —--— eijks ¡k + ЗцЕ:, тензора квадрупольного момента Qij —--— amEk l.
8E:J J 8E ,• J '
î i,j
Математическая постановка задачи градиентной электроупругости состоит из уравнений равновесия Tj,j - mjk jk — 0, уравнений электростатики Di,i - Qj,j — 0 , статических граничных условий mijkknjnk — ri, Tjnj - mjkknj - (mijkknk),j + imijk,knjnk ),s ns = ti , кинематических
dvL 8n
(Dj- Qjk,k )nj- (Qjknk),j + (Qjkknkni),i nj = q или v — Vo, En — о.
Здесь S — Su U St — Sp U Sq - поверхность тела; ti, ri - векторы заданных сил на поверхности тела; q - плотность поверхностного заряда; щ - компоненты единичного вектора нормали к поверхности тела в рассматриваемой точке.
В рамках градиентной модели электроупругости рассмотрим изгиб горизонтально неоднородной пьезоэлектрической кантилеверной балки длиной L и объемом V — [0, L] х S, где S — 2bh - площадь постоянного по длине поперечного сечения балки высотой 2h и шириной b. Ось Xj направим по нейтральной линии балки, оси xj и x3 совпадают с главными осями инерции балки. Балка поляризована вдоль оси Ox^, торцы не электродированы. На поверхности X3 — -h находится закороченный электрод, а на электрод, находящийся на поверхности X3 — +h, подается электрический заряд vo. На балку действует один из трех видов механической нагрузки: 1) равномерно распределенная нагрузка p; 2) на конце балки x — L действует момент M0 ; 3) на конце балки x — L действует поперечная сила Q0. Ненулевые компоненты тензора модулей упругости, пьезомодулей и коэффициента диэлектрической проницаемости являются непрерывными функциями от координаты xj, т.е. cjj — cjj(xj) e3j — c3j(xj) э3 — 33(xj) .
Уравнение изгиба электроупругой балки и граничные условия находятся путем применения вариационного принципа электроупругости. Для этого составляют выражение для полной энтальпии, которое для балки имеет вид
G — bL h(TJJ£JJ + mJJJsJJ1 -D3E3 -Q33Е3,3 )dx3dx1 . О)
2 0 -h
Для нахождения деформации £jj — ujj и напряженности электрического поля Е3 =-v3
примем кинематические гипотезы Эйлера - Бернулли [2] и гипотезу о распределении электрического потенциала [13]:
V0 x3
Uj(xj,x3) — -x3w'(xj) , Uj — 0 , U3(xj) — w(xj) , v(xj,x3) — ■
2h
f \ / 2 ^
x3 ' — +1 + 1 - x3
Vh ) V h 2 )
ф(xj). (2)
Здесь х1) и ф( X!) - прогиб и электрический потенциал срединной линии балки соответственно, знак «штрих» обозначает производную по координате х!.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
С учетом гипотез (2) ненулевые компоненты тензора деформации, напряжений Коши, мо-ментных напряжений, вектора электрической индукции и квадрупольного момента примут вид
—^w", m =-Cll(x1)x3w"(x1) + ^ + ™ - 2X3 Ф( Xl) I , ^111 v-11
h У 2
= -l12x3 (C11(x1)w")' ,
D = -e
(X1)X3W"(X1) - ^ + X3TL - 2T1 Ф^] , Ö33 = £ 33^3,3 =-33(X1)(^0 - 2**)) . h У 2 h h ) h
31(х1)х3
Здесь 1У, /2 - механический и электростатический градиентные параметры соответственно. После нахождения вариации функционала (1) с учетом гипотез (2) и некоторых преобразований краевая задача изгиба пьезоэлектрической балки примет вид
м "(х1) - м;"(х1)+р = о, ^(0) = ^(0) = о, мп (0) = о, (3)
М" (Ь) = 0, м(Ь) - М" (Ь) = Мо +вз1(Ь)¥о , М'(Ь) -М'"(Ь) = бо .
"
Здесь I -
2bhJ 3
- момент инерции балки; M (xj) = - cnIw" +—е31!ф | - изгибающий мо
2
мент; M" =-l121 (с11н>" )' - градиентный момент.
При этом распределение электрического потенциала на нейтральной линии находится по
6з1" w". С учетом этого изгибающий момент примет вид
формуле ф( x1 ) :
2з
1 +
I
У
M ( x1) = -1
\
c11 +-
2
e31
33
1 +
I
У ) )
w .
Обезразмерим задачу (3) по формулам: Ç = —, a1 = —
L L
„2 _ dS
I
- 2 и/ w - cn _ З3 1 - —, a2 , W - —, c, - , э - 3
L
= co c11
e31
ML
e31 --0r, m - —, P -
г31
cOI
0 T СиI
m 0 L L Qo L
m1 , m2 e31(L)^0 , f0--
cV
h2c01
0
c11I
Mh ,2 mh , k0 -
qV c11 э3
3 3?
Ш:
0 0 •
Здесь к0 - коэффициент электромеханической связанности; , , э3 - некоторые характерные значения упругого модуля, пьезомодуля и коэффициента диэлектрической проницаемости соответственно.
Обезразмеренная краевая задача (3) примет вид
т"(4) - т"(4) + Р = 0, V(0) = V'(0) = тп (0) = 0, (4)
т" (1) = 0 , т(1) - т" (1) = т1 + т2 , т'(1) - т" (1) = /о .
При этом
m(4) --
С11 +
7 2 -2
k0 esü.
1 + a| э3
W .
(5)
Аналитическое решение задачи в случае однородной балки
Если пьезоэлектрическая балка изготовлена из однородного материала, то задачу удобно решать в терминах изгибающего момента. После нахождения изгибающего момента, исходя из
1 4
выражения (5), определяется прогиб по формуле V (4) = — } (4 - ^)т(^)^^, 5 = 1 +
5 о
Постановка задачи (4) в терминах изгибающего момента примет вид
k 2
1 + aj
V
V
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
ш"-а2ш1Г + Р — 0 , ш'(0) = ш'(1) = 0, (6)
2 2 ш(1) - %- ш" (1) = ш1 + ш2, т"(1) - %- т"(1) = /0.
В работе получено точное аналитическое решение задачи (6) при различных видах нагруже-ния балки.
Пример 1. На балку с закороченными электродами действует только равномерно распределенная нагрузка Р. Решение задачи (6) при / = щ — ш2 — 0 в классической постановке
—— 0) имеет вид ^ Р(^-1)2. В случае, если масштабные параметры а1 и % не
, г> а1 ^ а< Г> а1
равны нулю, имеем ш1 — шс[а5 + Р-т1е 1 - Р—- .
' л/5 5
Пример 2. На торец балки £ — 1 действует только поперечная сила /0, при этом электроды закорочены. Решение задачи (6) при Р — ш1 — ш- — 0 имеет вид
1 , где шс1а5 — /0(£-1) - решение задачи в классической
г а\
mH - mclas + /о ~г
V5
а
е 1 - е
постановке.
Пример 3. Нижний электрод закорочен, а на верхний подается электрический потенциал, при этом механическая нагрузка отсутствует. В этом случае, полагая в (6) Р — ш1 — /0 — 0, получим, что шш — шс1а<, — ш2, т.е. решение задачи в градиентной постановке совпадает с решением в классической постановке [8].
Решение задачи в случае неоднородной балки методом пристрелки
В случае, если балка изготовлена из неоднородных материалов, задачу удобно решать при ее постановке в терминах прогиба. Рассмотрим постановку задачи:
f с
cii +
W
j 2 -2
k0 f31_
9 _
1 + а2 э3
л У W "
J )
+ al (c11W " У + P - 0, W (0) = W ' (0) = (c11W " )' (0) = 0,
(cnW")(1) = 0 , -
cii(1) +
k02 ез21(1)Л 1 + a2 эз(1)
W " (1) + a12 (c11W " )" (1) = m1 + m2
(7)
f с
2 -2 Л V
W
7 2 —2
-11(1) + -k2T e31(1) 1 + aj эз
W (1)
+ af (cnW'')""(1) = /0.
Задача (7) при произвольных законах неоднородности электроупругих характеристик может быть решена только численно, например методом пристрелки, как в [25, 26].
Введем следующие обозначения: и1 — V, и2 — V', и3 —-Сп(£)№", и4 = -а2(сп(£)№" ) ',
U --
f ,2 -2^ - + k0 e31 c11 + ï 2 ~ 1 + a2 эз
W " + aj2 (cnW " )", U6 — U', U'6 — -P. Тогда после некоторых преобразо-
ваний получим каноническую систему ОДУ 1-го порядка, а также граничные условия:
U
U? U„
U1 - U2, U 2 , U3 = u4 , и 4 - и 3
а
1 +
, 2 -2 k0 e31
1 + а2 спЭ3
- U 5, U5 - U 6, U6--P. (8)
U1(0) - U2(0) - U4(0) - 0, U4(1) - 0, U5(1) - m1 + m2, U6(1) - /0.
(9)
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Решение задачи (8), (9) представим в виде суммы решений неоднородной задачи Коши (8) с нулевыми начальными условиями на торце 4 = 0, т.е. Uj0(0) = 0, U°(0) = 0, U0(0) = 0,
U 40(0) = 0, U°(0) = 0, U 0(0) = 0 и однородных задач Коши с ненулевыми начальными условиями. Сформулируем начальные условия на торце 4 = 0 трех вспомогательных задач Коши:
и{ (0) = 0, U 2 (0) = 0, U30(0) = 1, U 4 (0) = 0, u5 (0) = 0, u6 (0) = 0,
Ui1 (0) = 0, uf (0) = 0, UI1 (0) = 0, U 4 (0) = 0, Uf (0) = 1, U i1 (0) = 0,
U1///(0) = 0, U Iя (0) = 0, и3ш(0) = 0, U 4я (0) = 0, U;P (0) = 0, и6ш(0) = 1.
Решение задачи (8), (9) ищем в виде линейной комбинации U-t = U0 + pU\ + p|U1 + p3Uin, i = 1,..6 . Постоянные pi, p2, p3 определяются из граничных условий при 4 = 1 :
U4(1) = U0(1) + pU4(1) + p2u4(1) + p3uf (1) = 0 , U5(1) = U0(1) + pxu\(1) + pU (1) + p3UI511 (1) = Ш1 + m2,
Ui (1) = Ui0 (1) + pUi (1) + p&i (1) + p3Ui11 (1) = f0.
Результаты вычислений
В первой серии вычислений рассматривалась однородная балка. На рис. 1, 2 сплошной линией показано распределение моментов и прогибов по координате 4 при решении задачи в классической постановке, точками - в градиентной постановке при «1 = 0,1, а2 = 0, &0 = 0,5 . При этом на рис. 1 изображено распределение функций в случае равномерно распределенной нагрузки Р=1, на рис. 2 - в случае действия на торец балки 4 = 1 поперечной силы fo=1. На рис. 3 изображена зависимость прогиба от механического масштабного параметра при действии поперечной силы.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 £ 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 е 1
а/а б/b
Рис. 1. Графики распределения по координате £ : а - моментов; б - прогибов в случае равномерно распределенной поперечной нагрузки / Fig. 1. Coordinate distribution graphs: a - moments; b - deflections in the case of a uniformly distributed transverse load
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 £ 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 £ 1
а/a б/b
Рис. 2. Графики распределения по координате q: а - моментов; б - прогибов в случае действия на торец балки £ = 1 поперечной силы / Fig. 2. Coordinate distribution graphs : a - moments; b - deflections in the case of a transverse force acting on the end £ = 1 of the beam
Рис. 3. График зависимости прогиба от механического масштабного параметра в случае действия на торец балки
£ = 1 поперечной силы / Fig. 3. Graphs of the dependence of the deflection on the mechanical scale parameter in the case of a transverse force acting on the end £ = 1 of the beam
На рис. 4 для случая подачи на верхний электрод потенциала изображена зависимость прогиба от электростатического масштабного параметра а2 (рис. 4а) и от коэффициента электромеханической связи ко (рис. 4б).
Из рис. 1-4 следует, что увеличение масштабных параметров а и а2 приводит к уменьшению прогиба, а увеличение коэффициента электромеханической связанности -к его увеличению.
Во второй серии проводились вычисления методом пристрелки для горизонтально неоднородной балки. Проведена верификация решения методом пристрелки в случае однородной балки для всех типов нагрузки путем сравнения с аналитическими решениями для прогибов. Выяснено, что устойчивые решения с погрешностью менее 1 % можно получить при механическом масштабном параметре больше 0,07.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
a/a б/b
Рис. 4. Графики зависимости прогиба: а - от электростатического масштабного параметра; б - коэффициента электромеханической связи / Fig. 4. Graphs of the dependence of the deflection: a - on the electrostatic scale parameter; b - the coefficient of electromechanical coupling
Полагаем, что материалом неоднородной балки является функционально-градиентный, полученный путем перемешивания пье-зокерамик PZT-4 и PZT-5H, материал. Законы неоднородности, найденные по «правилу смеси» [18], в безразмерном виде
сп(4) — 1 - 0,26£
N
ёц(4) -1 - 0,34^
N
(10)
э3(£) — 0,39 + 0,61^, Я=1, 2.
Исследовано влияние параметра неоднородности N в законах (10) на распределение прогибов в случае действия на балку поперечной нагрузки _/о=1, действующей на торец балки ¿=1. На рис. 5 сплошной линией показан график распределения прогибов при N — 1 , точками - при N — 3 . В расчетах принято: к0 — 0,3, а2 — 0,1.
а - 0,2,
Рис. 5. Распределение по координате q прогибов при разных значениях параметра неоднородности N / Fig. 5. Distribution of deflections along the coordinate q at different values of the inhomogeneity parameter N
Из рис. 5 следует, что степенные законы с разными показателями неоднородности оказывают большое влияние на распределение прогибов.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Заключение
В рамках модели Эйлера - Бернулли исследована задача об изгибе пьезоэлектрической балки. Показано отличие распределений моментов и прогибов по горизонтальной координате, рассчитанных по классической теории и по градиентной теории электроупругости. В случае однородной балки для каждого вида нагрузки получены точные аналитические выражения для нахождения изгибающего момента и прогиба срединной линии. В случае неоднородной балки при больших значениях масштабного параметра решение построено на основе метода пристрелки. Выяснено, что увеличение значения масштабных параметров снижает значения прогибов, а увеличение параметра связанности - повышает их. Исследовано влияние параметра неоднородности в степенном законе, моделирующем электромеханические характеристики балки, на распределение прогибов по горизонтальной координате.
Список источников
1. Liang X., Shen S. Size-dependent piezoelectricity and elasticity due to the electric field-strain gradient coupling and strain gradient elasticity // Int. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 5 (2). P. 1350-1365.
2. Liang X., Hu S., Shen S. Bernoulli-Euler dielectric beam model based on strain-gradient effect // J. Appl. Mech. 2013. Vol. 80 (4). https://doi.org/10.1115/1.4023022.
3. Hadjesfandiari A.R. Size-dependent piezoelectricity // Int. J. Solids Struct. 2013. Vol. 50 (18). P. 27812791.
4. Yue Y., Xu K., Aifantis E.C. Strain gradient and electric field gradient effects in piezoelectric cantilever beams // J. Mech. Behav. Mater. 2015. Vol. 24 (3-4). P. 121-127.
5. Iesan D.A. Theory of thermopiezoelectricity with strain gradient and electric field gradient effects // Eur. J. Mech. A/Solids. 2018. Vol. 67. P. 280-290.
6. Arvanitakis A. Gradient effects in a new class of electro-elastic bodies // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. 2018. Vol. 69 (3). https://doi.org/10.1007/s00033-018-0959-0.
7. Solyaev Yu., Lurie S. Pure bending of the piezoelectric layer in second gradient electroelasticity theory // Acta Mech. 2019. Vol. 230. P. 4197-4211.
8. Lurie S., Solyaev Yu. On the formulation of elastic and electroelastic gradient beam theories // Continuum Mech. Thermodyn. 2019. Vol. 31. P. 1601 -1613. https://doi.org/10.1007/s00161-019-050781-3.
9. Lam D.C., Yang F., Chong A., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity // J. Mech. Phys. Solids. 2003. Vol. 51 (8). P. 1477-1508.
10. Ватульян А.О., Гетман И.П., Лапицкая Н.Б. Об изгибе пьезоэлектрической биморфной пластины // Прикладная механика. 1991. Т. 27 (10). С. 101-105.
11. Krommer M., Irschik H. An electromechanicailly coupled theory for piezoelastic beams taking into account the charge equation of electrostatics // Acta Mech. 2002. Vol. 154 (1-4). P. 141-158.
12. Yang J.A. Review of a few topics in piezoelectricity // Appl. Mech. Rev. 2006. Vol. 59 (6). P. 335345. https://doi.org/10.1115/L2345378.
13. Soloviev A.N., Chebanenko V.A., Parinov I.A., Oganesyan P.A. Applied theory of bending vibrations of a piezoelectric bimorph with a quadratic electric potential distribution // Materials Physics and Mechanics. 2019. Vol. 42 (1). P. 65 -73.
14. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses // Arch. Rational Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P.385-414.
15. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. Vol. 16. P. 51 -
78.
16. Aifantis E.C. Gradient effects at the macro, micro and nano scales // JMBM. 1994. Vol. 5. P. 335-353.
17. Ломакин Е.В., Лурье С.А., Рабинский Л.Н., Соляев Ю.О. Об уточнении напряженного состояния в прикладных задачах теории упругости за счет градиентных эффектов // Докл. РАН. 2019. Т. 489, № 6. С. 585-591.
18. Asghari M., Ahmadian M.T., Kahrobaiyan M.H., Rahaeifard M. On the size dependent behavior of functionally graded micro-beams // Mater. Des. 2010. Vol. 31. P. 2324-2333.
19. Kahrobaiyan M.H., Rahaeifard M., Tajalli S.A., Ahmadian M.T. A strain gradient functionally graded Euler-Bernoulli beam formulation // Int. J. Eng. Sci. 2012. Vol. 52. P. 65 -76.
20. Momeni S.A., Asghari M. The second strain gradient functionally graded beam formulation // Composite Structures. 2018. Vol. 188. P. 15 -24.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
21. Vatulyan А.О., Nesterov S.A. On the deformation of a composite rod in the framework of gradient thermoelasticity // Materials Physics Mechanics. 2020. Vol. 46. P. 27-41.
22. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Решение задачи градиентной термоупругости для полосы с покрытием // Уч. зап. Казан. ун-та. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 163, кн. 2. С. 181-196.
23. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Градиентная модель изгиба составной балки // Экол. вестн. научн. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2022. Т. 19, № 2. С. 6-16.
24. Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Modeling of thermoelastic deformation of a thin-layer "coating-substrate" system // J. of Physics: Conference Series. 2022. Vol. 2317, art. № 012012. P. 1-9. https://doi.org/10.1088/1742-6596/2317/1/012012.
25. Ватульян А.О., Варченко А.А. Исследование колебаний балки из функционально-градиентного материала с учетом затухания // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2021. № 4. С. 10-18.
26. Stoer J., Bulirsch R. Introduction to numerical analysis. Springer, 2002. 746 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21738-3.
References
I. Liang X., Shen S. Size-dependent piezoelectricity and elasticity due to the electric field-strain gradient coupling and strain gradient elasticity. Int. J. Appl. Mech. 2003;5(2):1350-1365.
2. Liang X., Hu S., Shen S. Bernoulli-Euler dielectric beam model based on strain-gradient effect. J. Appl. Mech. 2013;80(4), https://doi.org/10.1115/L4023022.
3. Hadjesfandiari A.R. Size-dependent piezoelectricity. Int. J. Solids Struct. 2013;50(18):2781-2791.
4. Yue Y., Xu K., Aifantis E.C. Strain gradient and electric field gradient effects in piezoelectric cantilever beams. J. Mech. Behav. Mater. 2015;24(3-4):121-127.
5. Iesan D.A. Theory of thermopiezoelectricity with strain gradient and electric field gradient effects. Eur. J. Mech. A/Solids. 2018;67:280-290.
6. Arvanitakis A. Gradient effects in a new class of electro-elastic bodies. Zeitschrift fur angewandte Mathematik undPhysik. 2018;69(3), https://doi.org/10.1007/s00033-018-0959-0.
7. Solyaev Yu., Lurie S. Pure bending of the piezoelectric layer in second gradient electroelasticity theory. Acta Mech. 2019;230:4197-4211.
8. Lurie S., Solyaev Yu. On the formulation of elastic and electroelastic gradient beam theories. Continuum Mech. Thermodyn. 2019;31:1601-1613, https://doi.org/10.1007/s00161-019-00781-3.
9. Lam D.C., Yang F., Chong A.,Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity. J. Mech. Phys. Solids. 2003;51(8):1477-1508.
10. Vatul'yan A.O., Getman I.P., Lapitskaya N.B. Flexure of a piezoelectric bimorphic plate. Soviet Applied Mechanics. 1991;27(10):1016-1019, doi: 10.1007/BF00887512.
II. Krommer M., Irschik H. An electromechanicailly coupled theory for piezoelastic beams taking into account the charge equation of electrostatics. Acta Mech. 2002;154(1-4): 141-158.
12. Yang J.A. Review of a few topics in piezoelectricity. Appl. Mech. Rev. 2006;59(6):335-345, https://doi.org/10.1115/L2345378.
13. Soloviev A.N., Chebanenko V.A., Parinov I.A., Oganesyan P.A. Applied theory of bending vibrations of a piezoelectric bimorph with a quadratic electric potential distribution. Materials Physics and Mechanics. 2019;42(1):65-73.
14. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses. Arch. Rational Mech. Anal. 1962;11:385-414.
15. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity. Arch. Rational Mech. Anal. 1964;16:51-78.
16. Aifantis E.C. Gradient effects at the macro, micro and nano scales. JMBM. 1994;5:335-353.
17. Lomakin E.V., Lurie S.A., Rabinskiy L.N., Solyaev Yu.O. Refined stress analysis in applied elasticity problems accounting for gradient effects. Doklady Physics. 2019;64(12):482-486.
18. Asghari M., Ahmadian M.T., Kahrobaiyan M.H., Rahaeifard M. On the size dependent behavior of functionally graded micro-beams. Mater. Des. 2010;31:2324-2333.
19. Kahrobaiyan M.H., Rahaeifard M., Tajalli S.A., Ahmadian M.T. A strain gradient functionally graded Euler-Bernoulli beam formulation. Int. J. Eng. Sci. 2012;52:65-76.
20. Momeni S.A., Asghari M. The second strain gradient functionally graded beam formulation. Composite Structures. 2018;188:15-24.
21. Vatulyan А.О., Nesterov S.A. On the deformation of a composite rod in the framework of gradient thermoelasticity. Materials Physics Mechanics. 2020;46:27-41.
22. Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Solution of the problem of gradient thermoelasticity for a coated strip. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki = Scientific Notes of Kazan University. Series of Physical and Mathematical Sciences. 2021;163(2):181-196. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
23. Vatulyan A. O., Nesterov S. A. Gradient model of bending of a composite beam. Ekol. vestn. nauch. tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation. 2022;19(2):6-16. (In Russ.).
24. Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Modeling of thermoelastic deformation of a thin-layer "coating-substrate" system. J. of Physics: Conference Series. 2022;2317(012012):1-9, https://doi.org/10.1088/1742-6596/2317/1/012012.
25. Vatulyan A.O., Varchenko A.A. Investigation of Vibrations of a Beam Made of a Functionally Graded Material Taking into Account Attenuation. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2021;(4):10-18. (In Russ.)
26. Stoer J., Bulirsch R. Introduction to numerical analysis. Springer; 2002. 746 p., https://doi.org/10.1007/978-0-387-21738-3.
Информация об авторах
А. О. Ватульян - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича. С.А. Нестеров - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, отдел дифференциальных уравнений, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН.
Information about the authors
A.O. Vatulyan - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
S.A. Nesterov - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Senior Researcher, Department of Differential Eqations, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Science.
Статья поступила в редакцию 02.08.2022; одобрена после рецензирования 18.08.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 02.08.2022; approved after reviewing 18.08.2022; accepted for publication 15.11.2022.
