CC BY
26
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4
Научная статья УДК 539.3
doi: 10.18522/1026-2237-2021-4-10-18
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОГО МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ ЗАТУХАНИЯ
Александр Ованесович Ватульян1^, Анастасия Андреевна Варченко2
1,2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия 1 Южный математический институт - филиал ВНЦ РАН, Владикавказ, Россия
1aovatulyan@sfedu.ruB 2aner@sfedu.ru
Аннотация. Рассмотрена задача о колебаниях неоднородной балки из функционально-градиентного материала в рамках различных моделей деформирования - модели Эйлера - Бернулли и модели Тимошенко при наличии затухания, которое описывается в рамках концепции комплексных модулей для стандартного вязкоупруго-го тела. Левый конец балки защемлен, а на правом конце действует сосредоточенный момент, осциллирующий с некоторой частотой. Решение построено двумя способами. В первом из них на основе асимптотического анализа осуществлено построение решения в низкочастотной области, показано полное совпадение решений для рассматриваемых моделей в низкочастотной области (до первого резонанса) для любых законов неоднородности. Во втором с помощью метода пристрелки проанализировано влияние реологических факторов на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) неоднородной вязкоупругой балки в частотном диапазоне до третьего резонанса. Проведен сравнительный анализ А ЧХ двух моделей для различных законов неоднородности. Представлены А ЧХ для различных законов неоднородности, изучено движение резонансных частот в зависимости от безразмерного времени релаксации.
Ключевые слова: изгибные колебания, модель Эйлера - Бернулли, модель Тимошенко, неоднородность, вяз-коупругость, метод пристрелки, асимптотический анализ
Для цитирования: Ватульян А.О., Варченко А.А. Исследование колебаний балки из функционально -градиентного материала с учетом затухания // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2021. № 4. С. 10-18.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
INVESTIGATION OF VIBRATIONS OF A BEAM MADE OF A FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL TAKING INTO ACCOUNT ATTENUATION
Alexander O. Vatulyan Anastasiya A. Varchenko2
1,2Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
1Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia
1aovatulyan@sfedu.ruB 2aner@sfedu.ru
Annotation. The problem of oscillations of an inhomogeneous beam made of a functionally gradient material in the framework of various deformation models - the Euler-Bernoulli model and the Timoshenko model in the presence of attenuation, which is described within the framework of the concept of complex modules for a standard viscoelastic body, is considered. The left end of the beam is pinched, and at the right end there is a concentrated moment oscillating with a certain frequency. The solution is built in two ways. In the first of them, on the basis of asymptotic analysis, a
© Ватульян А.О., Варченко А.А., 2021
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4
solution was constructed in the low-frequency domain, and a complete coincidence of solutions for the models under consideration in the low-frequency domain (up to the first resonance) for any laws of inhomogeneity was shown. In the second case, the influence of rheological factors on the amplitude-frequency characteristics of an inhomogeneous vis-coelastic beam in the frequency range up to the third resonance was analyzed using the targeting method. A comparative analysis of the frequency response of two models for different laws of heterogeneity is carried out. Frequency response for various laws of inhomogeneity are presented, the movement of resonant frequencies depending on the di-mensionless relaxation time is studied.
Keywords: bending vibrations of beams, Euler-Bernoulli beam, Timoshenko model, viscoelasticity, targeting method, deformation models, asymptotic analysis
For citation: Vatulyan A.O., Varchenko A.A. Investigation of Vibrations of a Beam Made of a Functionally Graded Material Taking into Account Attenuation. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2021;(4):10-18. (In Russ.)
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
Введение
Исследование характеристик неоднородных материалов (полимеры, композиты, функционально -градиентные материалы (ФГМ), геологические породы, биологические ткани) и совершенствование моделей их деформирования в настоящее время являются одними из важнейших направлений развития механики сплошной среды. Вследствие сложности прямых экспериментальных оценок механических свойств таких материалов с неоднородностью и сложной реологией важна разработка различных методов идентификации свойств и неоднородных характеристик, основанных на моделях линейной неоднородной вязкоупругости [1-3]. В настоящей работе рассмотрено влияние реологических факторов на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) балки с переменными свойствами. При этом используется концепция комплексных модулей, в которой при анализе установившихся колебаний однородных структур достаточно заменить в соответствующей краевой задаче теории упругости упругие характеристики на комплексные функции частоты колебаний [4, 5]. Подобный подход реализован в настоящей работе для анализа колебаний неоднородных балок в рамках различных моделей деформирования - классической модели Эйлера - Бернулли и учитывающей поперечные сдвиги модели Тимошенко. При этом задача исследования колебаний такого часто встречающегося элемента конструкций сведена к решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального оператора с переменными комплексными коэффициентами (аналогичные задачи в рамках классических моделей исследованы в [6-8]), которая анализируется с помощью метода пристрелки. Представлены АЧХ для различных законов неоднородности, изучено движение резонансных частот, проведен асимптотический анализ изучаемых задач и построено решение в низкочастотной области.
Исследование задачи в рамках модели Эйлера - Бернулли (модель 1)
Рассмотрим колебания консольно закрепленной неоднородной вязкоупругой балки. Будем считать, что левый конец балки защемлен, а на правом действует момент М, осциллирующий с частотой ш. Пусть балка занимает объем V = [0; Ь] X Б, где Ь - длина балки; 5 - поперечное сечение, постоянное по её длине.
Сначала рассмотрим упругий случай, обозначая далее через №(%) прогиб срединной линии; р -плотность материала балки; Е(х) - переменный модуль Юнга. Ось х = х1 направим по нейтральной оси. Будем считать, что оси %2 и х3 совпадают с главными осями инерции балки.
В рамках модели Эйлера - Бернулли имеем известные соотношения: а11 = Ее11, и3 = ы(х), и1 = —х3ы', е11 = и[ = -х3№", а11£11 = Е^х^")2, где а11, - компоненты тензора напряжений и деформаций соответственно. Потенциальная и кинетическая энергия находятся следующим образом:
П = ±$уЕ(х^")2М = ±15х2а5101Еы"2ах1 = 1 , Т = \ра>2 !с5ы2йХ1 ,
где I = /х^йБ - момент инерции поперечного сечения балки.
Из принципа Остроградского - Гамильтона можно построить уравнение колебаний и сформулировать граничные условия [9, 10]. Краевая задача имеет вид
(Elw''(x))" — pœ2Sw(x) = 0, w(0) = w'(0) = 0; EIw''(L) = M; (EIw''(x))'(L) = 0.
Введём безразмерные переменные и параметры - безразмерную координату Ç = x/L и Е = E0G(Ç) , к4 = ( pw2SL4/IE0) (здесь Е0 — характерное значение модуля Юнга).
Для формирования краевой задачи с учетом затухания используем модель стандартного вязко-упругого тела и принцип соответствия, согласно которому упругие характеристики (модуль Юнга в рассматриваемом случае) надо заменить на комплекснозначную функцию частоты колебаний (или безразмерного частотного параметра к). Введем в рассмотрение комплексный модуль для неоднородной среды G(Ç, к) = (iTkg(Ç) + h(Ç))/(1 + iTk), где h(^), g(Ç) - безразмерные функции, которые отражают законы изменения длительного и мгновенного модулей упругости в зависимости от безразмерной координаты и удовлетворяют неравенству g(Ç) > h(Ç); т - безразмерное время релаксации. После обезразмеривания уравнение колебаний балки в рамках рассматриваемой модели примет вид
(Gw'')'' — k4w = 0. (1)
Сформулируем граничные условия (в силу линейности задачи в дальнейшем будем считать, что M = l).
wb = 0, w'|ç=c = 0, Gw'%1 = l, (Gw'')\=o = 0. (2)
Задача (1), (2) представляет собой краевую задачу для дифференциального оператора с переменными комплексными коэффициентами. Проведём её исследование в двух случаях: при малых к на основе асимптотического анализа и в общем случае на основе метода пристрелки.
Опишем общую схему исследования. Для уравнения (1) 4-го порядка с переменными коэффициентами осуществим процесс сведения к канонической системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Введём вектор U = (U1, U2, U3, U4) следующим образом: U1 = w, U2 = w', U3 = Gw'', U4 = (Gw").
Тогда каноническая система дифференциальных уравнений и соответствующие граничные условия примут вид
U[ = U2, U2 = щ/g, из = и4, U4 = к4иъ (3)
Ut(0) = 0, U2(0) = 0, U3(1) = l , U4(1) = 0. (4)
Метод пристрелки предполагает решение двух вспомогательных задач Коши для системы первого порядка (3). Сформулируем начальные условия для двух вспомогательных задач Коши относительно векторов U1 = (Un, U^, U13, Щ4) и U2 = (U21, U22, U23, Щ4). Uu(0) = 0, Ui2(0) = 0, Ui3(0) = 1, Ui4(0) = 0, U2i(0) = 0, U22(0) = 0, U23(0) = 0, U24(0) = 1.
После решения задач Коши и нахождения векторов U1,^2 ищем решение исходной задачи (3), (4) в виде линейной комбинации U = С^1 + C2U2 , причем постоянные С1,С2 определяются из оставшихся граничных условий
(Щ(1) = C1U13(1) +С2Щз(1) = 1, \U4(1) = C1U14Ç1) + C2U24(1) = 0.
Найдя из последней системы С1, С2, можно строить решение для любых законов неоднородности в различных частотных диапазонах. Некоторые дальнейшие результаты приведены ниже.
Исследование задачи в рамках модели Тимошенко (модель 2)
Используем для моделирования колебаний консольно закрепленной балки из ФГМ при тех же условиях нагружения (момент M приложен на конце балки) модель Тимошенко в упругом случае, а
для учета затухания - принцип соответствия. Соответствующие гипотезы модели Тимошенко при
1
учете касательных напряжений имеют вид [11, 12] % = w, и1 = Хзв, s13^j(w +9), а1з =
^(w' + в), s11 = х3в', s33 = 0, а11 = Ех3в', ^ - модуль сдвига.
Потенциальная и кинетическая энергия при деформировании балки с учётом касательных напряжений имеет вид [13]
П = ЦЕ(х3в')2 + p(w' + 9)2]dSdx1 =1 {¡¡E [l(e')2 + -^(w' + 0)2s] dxx , T = 1pœ2 ¿[Sw2 + ie2]dxi.
Далее используем вариационный принцип Гамильтона - Остроградского и из условия стационарности получим систему дифференциальных уравнений [14, 15]:
-(k*pS(w' + в))' - pœ2Sw = 0,
-(Е1в')' + k*pS(w' + в)- рш21в = 0,
w(0) = 0, 0(0) = 0, E(L)W'(L) = -M, (k*pS(w' + 0))(L) = 0.
Здесь параметр k* = 1/K - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по поперечному сечению стержня (введён С.П. Тимошенко для прямоугольного
поперечного сечения [16, 17]); К = F/(I2 f^hSy(x)/b(x) dx), причем для прямоугольного поперечного сечения k* ^ 0,833 или к* = 10(1 + v)/(12 + 11v) [10, 11] (v - коэффициент Пуассона), далее х1 = х.
После обезразмеривания, аналогичного описанному выше, и введения комплексного модуля G (Ç, к) получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
йк4
(G6')' + smG(w' + 6)- — =0
' , (5) sm(G(w' + в)) + k4w = 0
где s = (к*1л0)/Е0,т = (SL2)/I, к4 = (рш2БЬ4/1Е0).
Соответствующие граничные условия при M = 1 примут вид
w(0) = 0, 0(0) = 0, [G9'](1) = -1, [G(в + w')](1) = 0. (6)
Для системы (5) осуществим процесс сведения к канонической системе дифференциальных уравнений с помощью новых неизвестных. Введём вектор V = (V1, Уг, V3, V4) следующим образом: V1 = w, V2 = в, У3 = G(9 + w'), V4 = GQ'. Тогда уравнение и граничные условия примут вид
V1 = V3/G - V2, V2 = V4/G, V3 = (-k4V1)/sm, V4 = smV3 - k4/m V2, (7)
W) = 0, V2(0) = 0, V3ÇÏ) = 0 , V4(1) = -1. (8)
Сформулируем вспомогательные задачи Коши для краевой задачи (7), (8) относительно вектор-функций V1 = (Vu,V12,V13,V14) и V2 = (V21,V22,V23,^24), где
Vu(0) = 0, V12(0) = 0, V13(0) = 1, V14(0) = 0, (9)
V21(0) = 0, V22(0) = 0, V23(0) = 0, V24(0) = 1. (10)
Далее находим решения задач Коши (7), (9) и (7), (10). Линейная их комбинация Z = D-^V1 + D2V2 есть общее решение исходной задачи; при выполнении граничных условий (6) можно определить постоянные D1, D2 из системы
(Z3(1) = D1V13(1) + D2V23(1) = 0, \Z4(1) = D1V14(1) + D2V24(1) = -1 и построить решение исходной задачи. Результаты вычислительных экспериментов будут представлены ниже.
Асимптотический анализ задачи в низкочастотной области
Модель 1. Построим решение краевой задачи (1), (2) при малых к, т.е. в низкочастотной области на основе метода возмущений. Будем отыскивать решение в виде w = w0 + ikw1 + О (к2).
Учитывая разложение к) = (к + 1ктд)/(1 + 1тк.~) = к + 1кт(д — К) + О (к2), сформулируем краевые задачи, собирая слагаемые при одинаковых степенях к. к0: (кыо)" = 0, ш0(0) = 0, wo(0) = 0, кыо(1) = 1 , (кы0')'(1) = 0. к1: (тмо(д — К) + км")" = 0,
ш1(0) = 0^[(0) = 0, ^0'(д — к) + кы")(1) = 0, (^'¿(д — К) + кы"У(1) = 0.
Нетрудно построить решение сформулированной задачи. Интегрируя уравнение в первой задаче, получим hw0' = 1, откуда находим w0' = h-1(Ç),
Wo(0 = fo(ï — V)h-1(v)dv. (11)
Во второй задаче интегрирование осуществляем аналогично.
w'' = T<(J^ = T(±zf.
= — (12)
что следует из исходного ограничения на модули д(х) > h(x).
Отметим, что функция w1 (Ç) пропорциональна времени релаксации и при стремлении его к нулю также стремится к нулю.
Модель 2. Будем искать решение задачи при малых к, используя разложения
w = w0 + ikw1 + 0(к2), 9 = 90 + ikd1 + 0(к2).
Сформулируем краевые задачи при одинаковых степенях к.
к0: -(h90)' + smh(w0 + 90) = 0, (h(w0 + в0))' = 0,
w0(0) = 0, 90(0) = 0, hO0(1) = —1, h(90 + w0)'(1) = 0.
к1: -(hd1 + т(д — h)e0')' + sm(h(w1' + ej + r(g — h)(w0 + в0)) = 0.
(h(w! + в1) + т(д — h)(w0 + в0))' = 0 , w1(0) = 0,01(0) = 0,
(h91 + т(д — h)90)(1) = 0, (h(w! + 81) + т(д — h)(w0 + 90))(1) = 0.
Из первой задачи находим w' + 90 = 0 => 90 = —w0', h90 = —1, 9' = —1 , w0' = h-1(Ç), что совпадает с моделью 1. Этот результат означает, что в низкочастотном случае модель Тимошенко вырождается в модель Эйлера - Бернулли и для неоднородных балок.
Интегрируя уравнение во второй задаче и учитывая граничные условия, получим
01 = —т(-°-±в'0, откуда 01 =T0°M^dr] , (13)
™1 = —9,, щ(0 = — (14)
что также совпадает с моделью 1. Таким образом, асимптотический анализ в низкочастотном случае показал, что главные члены асимптотических разложений в изучаемых моделях совпадают независимо от законов неоднородности.
Численные результаты исследования
Реализация метода пристрелки произведена в пакете Maple. При этом на этапе ввода информации были заданы функции, характеризующие неоднородные свойства и время релаксации, далее после разделения действительной и мнимой части и решения ряда вспомогательных задач Коши строилось решение. Результаты вычислительных экспериментов приведены ниже.
В рамках описанной выше схемы метода пристрелки получены графики амплитудно-частотных зависимостей для разных моделей.
Амплитуда прогиба неограниченна в окрестности резонансов в упругом случае и имеет конечные значения при т > 0. Резонансные значения для вязкоупругого случая определялись из условия максимума амплитуды. Отметим, что они достаточно близки в упругом и вязкоупругом случаях при малом параметре . При помощи метода половинного деления найдены достаточно точные значения резонансов в упругом случае (к1 = 1,875104, к2 = 4,694091, к3 = 7,854757), которые совпадают с приведёнными в литературе [10, 11].
Результаты вычислительных экспериментов показали, что значения резонансных частот для вяз-коупругого случая, задаваемого функцией G, где h = 1 + х2, g = 1,5 + х3, увеличиваются (сдвигаются вправо) при увеличении времени релаксации (табл. 1).
Точные значения резонансов, полученные с помощью метода половинного деления (модель Тимошенко для упругого случая, т.е. при т = 0, G = 1), к1 = 1,86865, к2 = 4,58697, к3 = 7,46407 немного меньше, чем для модели Эйлера - Бернулли.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OFHIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4
На рисунке изображены АЧХ для моделей 1, 2 в упругом и вязкоупругом случаях при т = 0,01. Результаты, приведенные в табл. 1, позволяют сделать вывод о том, что при увеличении времени релаксации значения резонансов сдвигаются вправо, причем чем больше величина безразмерного времени релаксации, тем больше это смещение.
АЧХ для модели 1 (сплошная линия) и модели 2 (пунктирная) при т = 0,01: а - упругий случай; б - вязкоупругий / Amplitude-frequency characteristics for model 1 (solid line) and model 2 (dotted line)
at т = 0.01: a - elastic case; b - viscoelastic
Таблица 1 / Table 1
Сравнение резонансных значений при изменении времени релаксации для моделей 1 и 2 / Comparison of resonant values when the relaxation time changes for models 1 and 2
Время релаксации кг к2 кэ
Номер модели
1 2 1 2 1 2
т = 0 1,875104 1,86865 4,694091 4,58697 7,854757 7,46407
т = 0,001 1,900378 1,89344 4,916557 4,78608 8,329632 7,85596
т = 0,003 1,900384 1,89344 4,916635 4,78518 8,329994 7,85647
т = 0,005 1,900394 1,89345 4,916784 4,78538 8,330661 7,85743
т = 0,007 1,900410 1,89347 4,917013 4,78568 8,331752 7,85904
т = 0,01 1,900443 1,89350 4,917492 4,78631 8,334156 7,86234
т = 10 2,082801 2,07496 5,299593 5,16194 8,950762 8,44993
Исследуем, как будут меняться АЧХ для моделей 1 и 2 в зависимости от времени релаксации и законов изменения длительного и мгновенного модулей, удовлетворяющих неравенству д(^) > к(^). При этом будем применять законы, имеющие одинаковые средние:
ко = ¡1 = ¡1(1 + х2)ах = 4,до = $1 д(№ = $1(1,5 + х3)йх = 7- .
Рассмотрим 4 варианта функций h, g, входящих в описание комплексных модулей.
I. Л1 = 1 + 2х/3,01 = 1,5 + 3х2/4. (15)
II. h2 = 1 + 4х3/3,#2 = 1,5 + 5Х4/4. (16)
III. Л3 = 1 + 5х4/3, = 1,5 + 7х6/4. (17)
IV. h4 = 2 - 4х/3, д4 = 2 - 3х2/4. (18)
В табл. 2 представлены значения резонансов для разных законов неоднородности с одинаковыми средними.
Таблица 2 / Table 2
Резонансы для моделей 1 и 2 при разных законах неоднородности (в зависимости от времени релаксации) / Resonances for models 1 and 2 with different laws of inhomogeneity
(depending on time relaxation)
Время релаксации Вариант ^3
Модель 1
т = 0,001 I 1,92899 4,96920 8,37958
II 1,88868 4,86793 8,27623
III 1,88310 4,82822 8,22487
IV 2,14497 5,11003 8,40656
т = 0,01 I 1,93784 4,97866 8,38373
II 1,88875 4,86893 8,28082
III 1,88316 4,82923 8,22951
IV 2,14500 5,11101 8,41142
Модель 2
т = 0,001 I 1,86782 4,83746 7,90490
II 1,88173 4,73904 7,80634
III 1,87610 4,70210 7,75894
IV 2,13559 4,98295 7,95005
т = 0,01 I 1,87382 4,84261 7,91952
II 1,88179 4,74038 7,81324
III 1,87616 4,70344 7,76596
IV 2,13563 4,98416 7,95702
Из данных, приведенных в табл. 2, вытекает, что законы изменения функций и (15)—(18) с одинаковыми средними в значительной степени влияют на смещение резонансов функций вправо.
Заключение
В представленной работе изучены колебания неоднородных вязкоупругих балок в рамках моделей Эйлера - Бернулли и Тимошенко. Осуществлен анализ решения в низкочастотной области, получены решения в явном виде для произвольных законов неоднородности, показано полное совпадение решений в низкочастотной области для любых законов неоднородности. С помощью метода пристрелки проанализировано влияние реологических факторов на АЧХ неоднородной вязкоупру-гой балки. Проведен сравнительный анализ АЧХ двух моделей для различных законов неоднородности, выявлен рост резонансных значений с увеличением времени релаксации и установлено достаточно выраженное уменьшение амплитуд с ростом частоты. По сравнению с однородным случаем выявлено смещение резонансных значений вправо как для возрастающих, так и убывающих законов неоднородности. Приведены результаты вычислительных экспериментов.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4
Список источников
1. Soderstrom T. System Identification Techniques for Estimating Material Functions from Wave Propagation Experiments // Inverse Problems in Engineering. 2002. Vol. 10, № 5. P. 413-439.
2. Hafidi A.El., Martin B., Ersoy S. Identification of viscoelastic material properties based on Big Bang-Big Crunch optimization method. Vibroengineering PROCEDIA. 2016. Vol. 10. Р. 102-107.
3. Qiu J., Li F.-F. Identification of Viscoelastic Constitutive Parameters of a Cell Based on Fluid-Structure Coupled Finite Element Model and Experiment // Mathematical Problems in Engineering. Vol. 2019. Article ID 5868561, 13 p.
4. МейзДж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974. 239 с.
5. Вильде М.В., Сергеева Н.В. Развитие асимптотических методов анализа дисперсионных соотношений для наследственно-упругого сплошного цилиндра // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, № 2. С. 183-195.
6. Endo M. Study on an alternative deformation concept for the Timoshenko beam and Mindlin plate models // International J. of Engineering Science. 2015. Vol. 87. P. 32-46.
7. Yildirim K., Kucuk I. Active piezoelectric vibration control for a Timoshenko beam // J. of the Franklin Inst. 2016. Vol. 353. P. 95-107.
8. GukN.A., Stepanova N.I. Identification of the geometry and elastic properties of rigid inclusions in a thin plate // Eastern-European J. of Enterprise Technologies. 2016. Vol. 2, № 7(80). Р. 4-9. Doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2016.64395.
9. Крысько В.А., Жигалов М.В., Салтыкова О.А. Нелинейная динамика балок Эйлера - Бернулли и типа Тимошенко // Изв. вузов. Машиностроение. 2008. № 6. С. 7-27.
10. ФилипповА.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 736 c.
11. Ватульян А.О., Беляк О.А., Сухов Д.Ю., Явруян О.В. Обратные и некорректные задачи. Ростов н/Д., Изд-во Южн. фед. ун-та, 2011. 232 с.
12. Ватульян А.О., Осипов А.В. Поперечные колебания балки с локализованными неоднородностями // Вестн. ДГТУ. 2012. Т. 12, № 8. С. 34-40.
13. Федоров А.Е., Лохов В.А. О применении теории вязкоупругости в эстетической хирургии // Рос. журн. биомеханики. 2003. Т. 7, № 4. С. 32-43.
14. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Лисенкова Е.Е., Семерикова Н.П. Динамическое поведение балок моделей Бернулли - Эйлера, Рэлея и Тимошенко, лежащих на упругом основании (сравнительный анализ) // Вестн. Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 5-3. С. 274-278.
15. Салтыкова О.А., Папкова И.В., Крысько В.А. Об истинности хаотических колебаний контактных задач гибких балок, описываемых моделями Эйлера - Бернулли, Тимошенко и их комбинациями // Нелинейная динамика машин School-NDM 2017 : сб. IV Междунар. школы-конференции молодых ученых. 2017. С. 393-400.
16. Ватульян А.О., Васильев Л.В. Об определении параметров закрепления неоднородной балки при наличии затухания // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 4. С. 449456.
17. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 c.
References
1. Soderstrom T. System Identification Techniques for Estimating Material Functions from Wave Propagation Experiments. Inverse Problems in Engineering. 2002;10(5):413-439.
2. Hafidi A. El., Martin B., Ersoy S. Identification of viscoelastic material properties based on Big Bang-Big Crunch optimization method. Vibroengineering PROCEDIA. 2016;10:102-107.
3. Qiu J., Li F.-F. Identification of Viscoelastic Constitutive Parameters of a Cell Based on Fluid-Structure Coupled Finite Element Model and Experiment. Mathematical Problems in Engineering. 2019;2019:5868561.
4. Maze J. Theory and problems of continuum mechanics. Moscow: Mir Publ.; 1974. 239 p. (In Russ.).
5. Vilde M.V., Sergeeva N.V. Development of asymptotic methods for the analysis of dispersion relations for a hereditarily elastic solid cylinder. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika = Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2017;17(2):183-195. (In Russ.).
6. Endo M. Study on an alternative deformation concept for the Timoshenko beam and Mindlin plate models. International Journal of Engineering Science. 2015;87:32-46.
7. Yildirim K., Kucuk I. Active piezoelectric vibration control for a Timoshenko beam. J. of the Franklin Inst. 2016;353:95-107.
8. Guk N. A., Stepanova N. I. Identification of the geometry and elastic properties of rigid inclusions in a thin plate.
Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2016;2(7):4-9, doi: 10.15587/1729-4061.2016.64395.
9. Krysko V.A., Zhigalov M.V., Saltykova O.A. Nonlinear dynamics of Euler-Bernoulli beams and Timoshenko type. Izv. vuzov. Mashinostroenie = BMSTU Journal of Mechanical Engineering. 2008;(6):7-27. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4
10. Filippov A.P. Vibrations of deformable systems. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1970. 736 p. (In Russ.).
11. Vatulyan A.O., Belyak O.A., Sukhov D.Yu., Yavruyan O.V. Inverse and incorrect tasks. Rostov-on-Don: Southern Federal University Press; 2011. 232 p. (In Russ.).
12. Vatulyan A.O., Osipov A.V. Transverse vibrations of a beam with localized inhomogeneities. Vestn. DGTU = Advanced Engineering Research. 2012;12(8):34-40. (In Russ.).
13. Fedorov A.E., Lokhov V.A. On the application of the theory of viscoelasticity in aesthetic surgery. Ros. zhurn. biomekhaniki = Russian Journal of Biomechanics. 2003;7(4):32-43. (In Russ.).
14. Erofeev V.I., Kazhaev V.V., Lisenkova E.E., Semerikova N.P. Dynamic behavior of beams of Bernoulli-Euler, Rayleigh and Timoshenko models lying on an elastic base (comparative analysis). Vestn. Nizhegorodskogo un-ta im. N.I. Lobachevskogo = Vestnik of Lobachevsky University ofNizhni Novgorod. 2011;(5-3):274-278. (In Russ.).
15. Saltykova O.A., Papkova I.V., Krysko V.A. On the truth of chaotic oscillations of contact problems of flexible beams described by Euler-Bernoulli, Timoshenko models and their combinations. Nonlinear dynamics of machines School-NDM2017. Collection of the IV International School-Conference of Young Scientists. 2017:393-400. (In Russ.).
16. Vatulyan A.O., Vasiliev L.V. On determining the parameters of fixing an inhomogeneous beam in the presence of attenuation. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika = Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2016;16(4):449-456. (In Russ.).
17. Worknov Yu. N. Creep of structural elements. Moscow: Nauka Publ.; 1966. 752 p. (In Russ.).
Информация об авторах:
Ватульян А.О. - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет; заведующий отделом дифференциальных уравнений, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН.
Варченко А.А. - магистр, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the author
Vatulyan A.O. - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Elasticity Theory, Vo-rovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University; Head of the Department of Differential Equations, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences.
Varchenko A.A. - Master, Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences.
Статья поступила в редакцию 31.08.2021; одобрена после рецензирования 12.09.2021; принята к публикации 26.11.2021. The article was submitted 31.08.2021; approved after reviewing 12.09.2021; accepted for publication 26.11.2021.
