CC BY
36
Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 3 УДК 621.983;539.974
ГОРЯЧЕЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ ОРЕБРЕНИЙ НА КОРПУСАХ
С.С. Яковлев, В.Н. Чудин, Г. А. Нуждин, А. А. Перепелкин
Приведена математическая модель операции горячего ступенчатого набора утолщений (оребрений) на внутренней поверхности корпусов. В основу положен расчет с привлечением разрывных полей скоростей при осесимметричном выдавливании.
Ключевые слова: вязкопластическое течение, заготовка, температура, скорость, деформация, сила, сплошность, мощность, энергетический метод.
Ряд ракетно-космических аппаратов специального назначения имеет конические корпусы с внутренним ступенчатым оребрением для подвески и крепления устройств, необходимых по назначению изделия. При этом оребрение повышает жесткость корпуса [1]. Эскизы вариантов таких корпусов приведены на рис. 1.
-*■—0зоо...500 >
0100,..200 ------------>
Рис. 1. Эскизы корпусов с внутренним оребрением: а - с криволинейным контуром; б - конические
Корпуса изготавливают из высокопрочных теплостойких металлических сплавов или композитов. Их обработка давлением возможна только при определенных температурах с регламентацией скорости деформирования. Эти факторы связаны с проявлением вязких свойств материалов и определяют силовые, кинематические, деформационные режимы и влияют на качество изделия. Механическое состояние деформируемого материала
при этом определяется уравнением [2]
se = yp Ае m 'xn, (1)
где se, ee, Xe - соответственно эквивалентные интенсивность напряжений,
деформаций и скоростей деформации; A,p,m,n - константы деформационного и скоростного упрочнения материала; 1 > y > 0 - сплошность деформируемого материала.
Схема операции формообразования внутренних оребрений на конической трубе показана на рис.2. Заготовка - труба 1, устанавливается на матрице 2. В заготовку вводится цилиндрическая оправка 5. Пуансон 4 внедряется во внутреннюю поверхность заготовки и выдавливает материал при его осадке в сторону оправки, ограничивающей перемещение материала под пуансоном. Пуансон поднимают, оправку удаляют и извлекают изделие. Возможен вариант формообразования нескольких ребер последовательно или одновременно ступенчатым пуансоном. При разработке технологии необходима расчетная оценка кинематики течения материала, скорости операции, сил и уровня поверхности материала. Используем для этого энергетический метод, в соответствии с верхнеграничной теоремой которого справедливо неравенство [3]
pn2 - r2 ) V,q £ Nd+ Np + Nmp. (2)
Здесь в левой части - мощность внешних сил, в правой - мощности в объеме деформаций на поверхностях разрыва скорости и на поверхностях трения; q - давление операции; Vq - скорость движения пуансона; r\,Г2 - радиусы, определяющие размеры формируемой ступени (ребра).
Будем использовать разрывное поле скоростей перемещений материала, что также показано на рис. 2. Поле состоит из блока деформаций «1», оно ограничено торцевой плоскостью пуансона, жесткой частью не-деформируемой заготовки и оправкой, что обозначено как блоки 0, 2, 3 соответственно. Граничные поверхности - поверхности разрыва скорости обозначены. В процессе формообразования материал перемещается по направлению движения пуансона и радиально к оправке. Направления скоростей так же указаны на рис. 2. План скоростей изображен на рис. 3.
Для дальнейших расчетов необходимо задать функцию скорости перемещения материала в объеме деформаций. Эта функция будет иметь вид:
sin a
2 2
где k = 1 - r—— tga; a, h - геометрические размеры ступени (ребра) на 2hr2
рис.2; х,y - текущие координаты.
1 +
к (y - x ■ ctga - n )
x ■ ctga - Гу + Г2
(3)
Рис. 2. Схема операции и поле скоростей:
1 - заготовка; 2 - матрица; 3 - оправка; 4 - пуансон
Рис. 3. План скоростей перемещений
В уравнении (3) учтены практические условия:
V = V
V
1
о
sm а
при уі2 = х • а - гі
V2
1
Vo - Г2)
при _У23 = -r2 .
(4)
cos a 2hr2 • cos a При этом обеспечивается неразрывность нормальной составляющей скорости на поверхности разрыва и контактных поверхностях. Запишем компоненты скоростей деформаций в блоке деформаций, используя уравнение (3), следующим образом:
ЭУ . ЭУ ЭУ . ЭУ
Эх
sin a, X v = ^~ cos a, j = -^— si Эу Y Эх
sin a -
ЭУ
cos a,
& xy
ЭV ЭV .
cos a + -— sin a.
Эх Эу
Отметим, что при дифференцировании по х переменны У12 (х) и х. При этом у - постоянна. При дифференцировании по у постоянна х.
Компоненты скоростей деформаций позволяют представить эквивалентную скорость деформации и деформацию при осевой симметрии как
1
43
[2(x 2+x 2+xj )+& 2v J
1/2
/Э^ 2
Эх
ЭУ
и , о 2 )^ ЭV Э^
1 + 3cos aj+ 3——~— sin2a
Эх Эу
1/2 (5)
Ah ~ г
eе = Т/Г Хе = Хе ^ ■ V0
где ?, А^ - текущее время и рабочий ход пуансона.
Эквивалентное напряжение в объеме деформаций соответствует уравнению (1) при учете выражений (5). Следовательно,
Ое = y pA
Ah ' m
V0 )
■X
m+и
(6)
Ah\mh-r2
SS УP ■ХЄ+ m+"dydx. (7)
Vo )
0 y12
Запишем мощность внутренних сил в объеме деформаций, используя выражения (5), (6). Перейдем к интервалу по координатам, используя теорему Гудьдека:
(1 ^
NЭ = $ °е '^е^ = рА Т(г1 - г2)+ г2 Ж ^3
Здесь вычисляется внутренний интервал по у при постоянном х в соотношении (5), после чего производится интегрирование по х.
Перейдем к поверхности разрыва скорости «12», разделяющей область деформаций и жесткую область заготовки. Касательные и нормальные скорости на этой поверхности в соответствии с первым из условий (4) будут
1
(Vl2 )t = Vi =4^, (V12 )„ = 0.
sin a
(8)
Эквивалентные скорость деформаций и деформацию здесь можно в этом случае представить как
(Xe )12 = (xj)
(V12 )t V0 (x ) = 0 & = V0
h , (Хи)12 = 0, &12 = h =
AhV5 _ V0tV5
l
12
v0S * '12_ hV3
(Xe )12 =
(ee )12 =
(9)
е'12 иТэ Ил/э ’
где И - конечный размер.
Касательное напряжение сдвига на этой поверхности получим по уравнению (1), используя выражения (8). Таким образом
Г г- +П
V 5
I — ---Г I А И Г" -
^12 = 2 (о е )12 = 2 Ур2 (Ah )
hV3
V
и
0 •
(10)
Мощность сдвига на поверхности разрыва скорости «12» выразим, учитывая зависимости (8) и (10), соотношением
N p = т12 (v12 )t s12
pyp2 A(r1 + r2) (S_
2sin2 a V V3
\m+и
■ h1
(Ah )mv1+и. (11)
Рассчитаем мощность на поверхности контактного трения «01». При равномерно распределенном на контактной поверхности давлении, касательное напряжение трения можно задать в виде
^тр — , (12)
где т - коэффициент трения.
Скорость перемещения материала по поверхности контакта выражается в соответствии с функцией (3), т.е.
\ + к (у - Г11
Vk = V • cosa|r_n = Vo 1 + ——— ctga. (13)
x _ 0 I r2 - rl )
При учете выражения (12) и (13) мощность на поверхности трения получим в виде следующего соотношения:
f 1 ( W
N
тр
I \ -Г2 ( k ( — )
S У101трVkdSk =pm(r12 - Г22 )gV0 ■ ctga S yp 1 + ly П)
*тр
0 •ctga S y 10 - r1
+
V r2 - r1
dy. (14)
У
Трение на оправке незначительно и его учитывать нет необходимо-
сти.
Подстановка выражений (7), (11) и (14) в энергетическое неравенство (2) дает следующую оценку давления:
q
£
Nд + Np
rl - r22 Vo
-r2
1 +
k(у - ri)
\ •
r2 - r1
dy
(15)
1 - т • с^а • с^а | у 10 -"1
Отметим, что если плотность материала при расчете давления не учитывать, то у = У12 = Ую = 1.
Более точные расчетные соотношения можно получить, используя вариационный метод [1] минимизации энергетического неравенства (2). При этом уравнение образующей линии поверхности разрыва скорости является искомой функцией. Обозначим У12, у12, У12 уравнение образующей (функция координаты "х") и её производные.
Первая производная есть тангенс угла между касательной к линии У12 (х) и положительным направлением оси х:
p
a = ^ - arctm 2.
(16)
В соответствии с планом скоростей (рис. 2.) и условием несжимаемости имеем
V1 _ ^V1 + (у12 )2 , V2
_ Vo (r2 - Г22)
2hr2
(17)
Распределение скоростей в области деформаций зададим функцией
v _ V0V1+ ( у! 2)
1 +
У! 2 - k
у! 2 (y12 + r2 )
что соответствует граничным условиям
У0 -лг /1 , Л/ \2
V _ ¥{_
cos a • rctgy12 V2
(У - У12)
— _ VW1 + (у12) при У _ У12:
(18)
sin arctgy12
_ kV0
1 + (y12)2 y12
при У _ -Г2
где k ■■
r1
r22
2hr2
Составляющие скорости по осям координат
V
Vx _ V • cos arctgy12 --
1 + (y12)2
Vv _ V • sin arctgy 12 _
! _ V • y12
У—г '-'-.е^12 — /--------— • (19)
д/1 + (у12)
Эквивалентная скорость деформации, деформация и напряжение будут соответствовать выражениям (5) и (6) при скорости (18) и угле (16).
2
Отметим, что при дифференцировании функции (18)
/ /
(У) х = У , (у) у =1 Мощность в объеме деформаций представлена интервалом
=р
Го
-Г2
1+т+п
Лу
V у12
У122 Лх
(20)
Здесь выполняется внутреннее интегрирование по у при постоянном х,
после чего внешнее по х.
На поверхности разрыва скорости с образующей этой поверхности У12 касательная скорость
(У\2)х = V = ^1 + (у;2)2 . (21)
Компоненты скорости деформации на этой поверхности
(Х ) _3(^12 )х _ 1 3(^12 )х _ У0у12у12 (Х ) _ 0
Ь12)/ _^-------------_ I, ( , х—^----------_-/ / \2 , ^12>п _ ^
3/12 V1 + (у12) 3х 1 + (У12)
(Х12 )ф _ -(Х12 )/, 7п1 _ (Х12 )/ .
Эквивалентные скорость деформации, деформация и касательное напряжение с учетом этого будут иметь вид:
_ у12у12 / \
(X,)
е П2
^(і + (уІ2 )2
1
^12 = 2 (°е )12 = 2 Ур2
е /12
/Ллт АИ
Го
(X е )
т+п
е /12
(22)
(23)
Мощность на данной поверхности разрыва скорости при использовании выражений (21) и (23) представим соотношением
п
N12 = 2яЛГо (АИ )т І у12 У12
о
45 , ,Л 43 У12 У12
т+п
1 + ( у12 )2
-т - п
Лх. (24)
Перейдем далее к поверхности трения с образующей «о1». Контактная скорость движения материала по этой поверхности записана вторым из выражений (19), т.е.
Г, - Гу
х - о
(25)
I1 + (у12 )2
Учитывая выражения (12) и (25), получим, что на поверхности тре-
ния
N
тр
РЦ(Г12 - Г22 )дГо • у12
х - о
Лу.
(26)
-Г1
о
где р = 1 + ,У}2 к . (у - У12) при х = 0.
У12 (У12 + г2 )
В соответствии с неравенством (2) при учете выражений для мощности (20), (24), (26) получим, что
И
! р(Уl2, у12 , У12 )йХ
д <
р(г12 - г22 К
(27)
Здесь Р = у 12 • У12
У12 •к +
'■Г5 ,
-Л
\Ш+п
У12 • У12
1 + (у12 )
2—(т+п)
-г2
При этом к = | (Хе )1+т+пф .
- Г1
Для получения решения необходимо минимизировать интервал в числителе зависимости (27), что является вариационной задачей, связанной с определением функции У12, т.е. образующей поверхности разрыва скорости. Из соответствующего вариационного уравнения следует уравнение Эйлера
Л Л 2
рУ __ р+ ° р = с
^У12 Лх У 12 +Лх 2 Ру 12 С.
Граничные условия определены точками закрепления искомой линии разрыва, т.е.
У(с) = -r1, У(И) = —г2.
Аналитическое решение нелинейного уравнения затруднительно. Предложено в этом случае получить решение в конечной аналитической функции приближенно методом коллокации. Оно связано с заданием
функции У12 (х) второго порядка при заданных граничных условиях и оп-
ределением входящих констант. Определение искомой минимизированной функции позволяет рассчитать давление (27).
Произведем оценку сплошности материала заготовки, исходя из уравнений. По энергетическому уравнению
¿у = —ое ХеЖ, (28)
А
пр
где Апр - константа, определяемая как удельная работа разрушения. В соответствии с уравнением (28) получим
с
У:
Л(1 - р) Лпр (і + т )
X
1+т+пЛ+т е 1
1-Р
при р Ф1.
(29)
у = ехр
Л(1 - р)
Л-
пр 0- + т )
X
1+т+пЛ+т е 1
при р = 1.
(30)
Зависимости (29) и (30) дают оценку сплошности материала в объеме деформаций (блок «1») и на поверхности разрыва скорости (поверхность «12»). Здесь Хе - эквивалентная скорость деформации по первому из выражений (5) и (9); ? - конечное время операции. На контактной поверхности трения под пуансоном сплошность определяется по этим же выра-
ук
жениям, где X е =
при контактной скорости (13).
л/3(п — Г2)
По деформационной теореме прочности имеем
1 ее
у=1—(ГГ ’
'ье >пр
(31)
где (ее )пр - предельная эквивалентная деформация материала при данной
температуре.
На контактной поверхности трения
АН • Ук
у =1 -
л/3(Г1 - г2 )Го (ее )пр
(32)
Критические режимы обработки определяются по соотношениям (29)-(31) при у = 0. Константы Апр, (ее )пр зависят от величины среднего
напряжения.
Приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения, напряженного и деформированного состояний, потери сплошности материала, силовых режимов операции горячего осесимметричного формообразования внутренних оребрений на корпусах из высокопрочных материалов.
Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», государственному заданию Министерства образования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантов РФФИ.
Список литературы
1. Изотермическое формоизменение анизотропных материалов жестким инструментом в режиме кратковременной ползучести / С. С. Яковлев
1
1
1
1
[и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 412 с.
2. Яковлев С.С., Кухарь В.Д., Трегубов В.И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2012. 400 с.
3. Теория обработки металлов давлением: учебник для вузов / В. А. Голенков [и др.]/ Под ред. В.А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.
Яковлев Сергей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Чудин Владимир Николаевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Москва, Московский государственный университет путей сообщения,
Нуждин Георгий Анатолиевич, [email protected], Россия, Москва, Орган по сертификации систем качества «Консерсиум»,
Перепелкин Алексей Алексеевич, асс., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE HOT AXISYMMETRIC FORMING OF INNER RIBBINGS ON CORPSES S.S. Yakovlev, V.N. Chudin, G.A. Nuzhdin, A.A. Perepelkin
The mathematical model of hot multistage ensembling of thickenings (ribbings) on corpse’s inner surface is provided. As the basis was used calculation of axisymmetric extrusion with the assistance of discontinuous velocity fields.
Key words: viscoplastial flow, piece, temperature, speed, deformation, power, uniformity, capability, energy method.
Yakovlev Sergey Sergeyevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Tchudin Vladimir Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Moscow, Moscow State University of Means of Communication,
Nuzhdin George Anatoliyevich, [email protected], Russia, Moscow, Body on certification of the quality systems "Konsersium",
Perepelkin Alexey Alekseevich, assistant, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
